(专题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编及解析
（专题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编及解析
一、选择题
1．a 的一半与b 的差是负数，用不等式表示为( )
A ．102a b -
< B ．102a b -≤ C ．()102
a b -< D ．102a b -< 【答案】D
【解析】
【分析】
列代数式表示a 的一半与b 的差，是负数即小于0． 【详解】 解：根据题意得
102
a b -< 故选D ．
【点睛】 本题考查了列不等式，首先要列出表示题中数量关系的代数式，再由不等关系列不等式．
2．关于 x 的不等式组21231x x a
-??恰好只有 4 个整数解，则 a 的取值范围为（ ）
A ．-2≤a ＜-1
B ．-2＜a≤-1
C ．-3≤a ＜-2
D ．-3＜a≤-2
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．
【详解】 解：21231x x a -??①②
解不等式组①，得x<72
， 解不等式组②，得x>a+1， 则不等式组的解集是a+1 72， 因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是0，1，2，3． 所以可以得到-1? a+1<0， 解得?2≤a ＜?1． 故选A ． 【点睛】 本题主要考查了一元一次不等组的整数解.正确解出不等式组的解集，确定a+1的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 3．若m n >,则下列不等式中成立的是( ) A ．m+a B ．ma>nb C ．ma 2>na 2 D ．a-m 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质判断． 【详解】 A. 不等式两边加的数不同，错误； B. 不等式两边乘的数不同，错误； C. 当a =0时，错误； D. 不等式两边都乘?1，不等号的方向改变，都加a ，不等号的方向不变，正确； 故选D. 点睛：不等式的性质：(1)不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； (2)不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 4．若关于x 的不等式0521x m x - -≤?，整数解共有2个，则m 的取值范围是( ) A ．3m 4<< B ．3m 4<≤ C ．3m 4≤≤ D ．3m 4≤< 【答案】B 【解析】 【分析】 首先解不等式组，利用m 表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有2个整数解，即可确定整数解，进而求得m 的范围． 【详解】 解：0521x m x - ， 解①得x m <， 解②得2x ≥． 则不等式组的解集是2x m ≤<． Q 不等式组有2个整数解， ∴整数解是2，3． 则34m <≤． 故选B ． 【点睛】 本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 5．已知a ＞b ，则下列不等式中，正确的是( ) A ．-3a ＞-3b B ．3a -＞3b - C ．3-a ＞3-b D ．a-3＞b-3 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可知，根据不等式的性质，看各不等式是加（减）什么数或乘（除）以哪个数得到的，用不用变号即可求解. 【详解】 A.a ＞b ，－3a ＜－3b ，故A 错误； B.a ＞b ，3 a - ＜3b - ，故B 错误； C.a ＞b ，3－a ＜3－b ，故C 错误； D. a ＞b ，a －3＞b －3，故D 正确； 故答案为：D. 【点睛】 本题考查了不等式的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 6．不等式组32110x x - +≥?的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】 32110 x x - ①② 解不等式①得，1x <， 解不等式②得，1x ≥- 所以，不等式组的解集为：-11x ≤<， 在数轴上表示为： 故选D. 【点睛】 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ） A ．6折 B ．7折 C ．8折 D ．9折 【答案】B 【解析】 【详解】 设可打x 折，则有1200× 10 x -800≥800×5%， 解得x≥7． 即最多打7折． 故选B ． 【点睛】 本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要 除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解． 8．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到”结果是否“为一次程序操作．如果程序操作进行了三次才停止，那么x 的取值范围是（ ） A ．11x ≥ B ．1123x ≤≤ C ．1123x <≤ D ．23x ≤ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可． 【详解】 解依题意得：()()219522119522211195x x x ?+≤??++≤????+++>???? ①② ③ 解不等式①得，x≤47， 解不等式②得，x≤23， 解不等式③得，x ＞11， 所以，x 的取值范围是11＜x≤23． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键． 9．若a b <，则下列变形错误的是（ ） A ．22a b < B ．22a b +<+ C ．1122a b < D ．22a b -<- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质解答. 【详解】 ∵a b <，∴22a b <，故A 正确； ∵a b <，∴22a b +<+，故B 正确； ∵a b <，∴11 22a b <，故C 正确； ∵a b <，∴2-a>2-b ，故D 错误， 故选：D. 【点睛】 此题考查不等式的性质，熟记性质定理并运用解题是关键. 10．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 由（1）得x ＞-1，由（2）得x≤1，所以-1＜x≤1．故选B ． 11．不等式组10 235x x +≤??+ A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 先分别解不等式，得到不等式组的解集，再在数轴上表示解集. 【详解】 因为，不等式组10 235x x +≤??+ 所以，不等式组的解集在数轴上表示为 故选C 【点睛】 本题考核知识点：解不等式组.解题关键点：解不等式. 12．若不等式组 236 x x x m -<- ? ? < ? 无解，那么m的取值范围是（） A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2D．m≤2 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m的取值范围． 【详解】 解： 236 x x x m -<- ? ? < ? ② ① 由①得，x＞2， 由②得，x＜m， 又因为不等式组无解， 所以根据“大大小小解不了”原则， m≤2． 故选：D． 【点睛】 此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于掌握求不等式组的解集，要根据以下原则：同大取较大，同小较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 13．不等式组 34 33 1 22 x x x -≥ ? ? ? -<+ ?? 的解集在数轴上表示正确的是（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）． 【详解】 343 3122 x x x -≥???-<+??①② 解①，得1x ≤- 解②，得5x >- 所以不等式组的解集是51x -<≤- 在数轴表示为 故选：A 【点睛】 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 14．2222(2)(3)(5)(7)9x x x x ----≤，则x 取值范围为（ ） A ．26x ≤≤ B ．37x ≤≤ C ．36x ≤≤ D ．17x ≤≤ 【答案】A 【解析】 【分析】 先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解． 【详解】 ()()()()222223579x x x x ----， 即：23579x x x x -+-+-+-≤， 当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾； 当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合； 当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合； 当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合； 当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾； 综上，x 取值范围为：26x ≤≤， 故选：A ． 【点睛】 本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则． 15．已知4＜m ＜5，则关于x 的不等式组0420x m x - 的整数解共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【解析】 【分析】 先求解不等式组得到关于m 的不等式解集，再根据m 的取值范围即可判定整数解． 【详解】 不等式组0420x m x - ①② 由①得x ＜m ； 由②得x ＞2； ∵m 的取值范围是4＜m ＜5， ∴不等式组0420 x m x - - 【点睛】 本题考查了一元一次不等式组的整数解，用到的知识点是一元一次不等式组的解法，m 的取值范围是本题的关键． 16．已知实数(0)a a >，b ，c 满足0a b c ++<，20a b +=，则下列判断正确的是（ ）． A ．c a <，24b ac > B ．c a <，24b ac < C ．c a >，24b ac > D ．c a >，24b ac < 【答案】A 【解析】 【分析】 由20a b +=，可得2,b a =- 代入0a b c ++<可得答案，再由2b a =-得到224,b a =利用已证明的基本不等式c a <，利用不等式的基本性质可得答案． 【详解】 解：20,a b +=Q 2,b a ∴=- 224,b a = 0,a b c ++Q ＜ 20,a a c ∴-+＜ ,c a ∴＜ 0,a Q ＞ 40,a ∴＞ 244,a ac ∴＞ 24.b ac ∴＞ 故选A ． 【点睛】 本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 17．不等式组213312x x +?? +≥-?＜的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】 213312x x +??+≥-? ＜①② ∵解不等式①得：x ＜1， 解不等式②得：x≥-1， ∴不等式组的解集为-1≤x ＜1， 在数轴上表示为： ， 故选A ． 【点睛】 本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 18．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ） A ．m ﹣2＜n ﹣2 B ．44m n > C ．6m ＜6n D ．﹣8m ＞﹣8n 【答案】B 【解析】 【分析】 将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得． A、将m＞n两边都减2得：m﹣2＞n﹣2，此选项错误； B、将m＞n两边都除以4得：m n 44 >，此选项正确； C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误； D、将m＞n两边都乘以﹣8，得：﹣8m＜﹣8n，此选项错误， 故选B． 【点睛】 本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 19．关于x的方程 2 1 11 ax x x -= ++ 的解为非正数，且关于x的不等式组 22 5 3 3 a x x + ? ? + ? ?? ? … 无解， 那么满足条件的所有整数a的和是（） A．﹣19 B．﹣15 C．﹣13 D．﹣9 【答案】C 【解析】 解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，整理得：（a﹣1）x=3，由分式方程的解为非正数， 得到 3 1 a- ≤0，且 3 1 a- ≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2． 不等式组整理得： 2 2 4 a x x - ? ≤ ? ? ?≥ ? ，由不等式组无解，得到 2 2 a - ＜4，解得：a＞﹣6，∴满足 题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C． 点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．在数轴上表示不等式x<2的解集，正确的是（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 把不等式x＜2的解集在数轴上表示出来可知答案． 在数轴上表示不等式x＜2的解集 故选：A． 【点睛】 本题运用了不等式的解集在数轴上的表示方法，体现了数形结合的数学思想．