全国2011年4月高数
上海市浦东新区2011届高三4月高考预测考试(数学理)答案不全
上海浦东新区2011年4月高三年级高考预测数 学 试 题（理）注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考号填写清楚。
2．本试卷共有23道试题，满分100分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．若集合{|(1)0},{|||1},P x x x Q x x P Q =->=< 则= 。
2．函数12x y -=的反函数 。
3．若复数z 满足1i z i ⋅=-（i 为虚数单位），则|z|= 。
4．若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线222x y -=的右焦点，则p = 。
5．设{}n a 为等差数列，若15928,tan()a a a a a π++=+则的值为 。
6．三阶行列式230367145-的第3行第2列元素的代数余子式的值为 。
7．设1i +是关于x 的方程2420x qx -+=()q R ∈是一个虚根，若n S 表示数列1{5}n q-⋅的前n 项和，则lim n n S →∞的值是 。
8．在极坐标系中，曲线cos sin ρθθ=+关于极轴的对称曲线的极坐标方 程为 。
9．如图所示，对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，依次得到8个数据：对上述数据按算法流程图执行，输出的S 的值是 。
10．若2221322213210(2)nn n n n x a x a x a x a x a x a --+=++++++ ，*13521,n n N a a a a -∈++++ 则的值为 。
11．一平面截一球得到面积为12π的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的表面积是 。
12．函数21|21|(0)()2(0)x x x x f x a x -⎧+-≤⎪=⎨+>⎪⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是为 。
13．设1122(,),(,)M x y N x y 为不同的两点，直线1122:0,ax by cl ax by c ax by cδ++++==++，以下命题中正确的序号为 。
2011年高考数学(理)真题(Word版)——天津卷(试题+答案解析)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+U()()().P AB P A P B =棱柱的体积公式.V Sh =圆锥的体积公式1.3V Sh =其中S 表示棱柱的底面面积 其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数131ii--= A ．2i + B ．2i -C ．12i -+D ．12i --2．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．1105．在62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数为A ．154-B ．154C ．38-D ．386．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB=AD ，2AB=BD ，BC=2BD ，则sin C 的值为A 3B 3C 6D 67．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭第II 卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________ 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m11．已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =________.12．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________.13．已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.14．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +u u u r u u u r的最小值为____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．16．（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X . 17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-u u u u r u u u u r，求点M 的轨迹方程．19．（本小题满分14分）已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断） （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当18a =时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =； （Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明ln 3ln 2ln 253a -≤≤．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（III ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑．答案解析一、选择题( 本大题共8 题, 共计40 分)1、(5分) B.2、(5分) A∵x≥2，∴x2≥4.∵y≥2，∴y2≥4.∴x2＋y2≥8≥4.∴x≥2且y≥2?x2＋y2≥4，反之令x2＋y2＝5≥4，可取x＝2，y＝1，无法推出y≥2.故选A项．3、(5分) B第一次运算：i＝1，a＝2，a＜50；第二次运算：i＝2，a＝5，a＜50；第三次运算：i＝3，a ＝16，a＜50；第四次运算：i＝4，a＝65，a＞50.所以输出i＝4.4、(5分) D设等差数列{a n}的首项为a，公差d＝－2.则a7＝a1＋6d＝a1－12；a3＝a1＋2d＝a1－4；a9＝a1＋8d＝a1－16.∵a7是a3与a9的等比中项，∴＝a3·a9，∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，∴a1＝20.∴S10＝10a1＋d＝110.5、(5分) C设含x2的项是二项展开式中第r＋1项，则.令3－r＝2，得r＝1.∴x2的系数为.6、(5分) D设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝A．在△ABD中，由余弦定理，得cos A＝＝＝.又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝.在△ABC中，由正弦定理得，.∴sin C＝·sin A＝·＝.7、(5分) C，log23.4＞log22＝1，log43.6＜log44＝1，＞log3 3＝1，又log23.4＞＞，∴log23.4＞＞log43.6.又∵y＝5x是增函数，∴a＞c＞b．8、(5分) B由题意得，即在同一坐标系内画出函数y＝f(x)与y＝c的图象如图所示，结合图象可知，当c∈(－∞，－2]∪(－1，)时两个函数的图象有两个公共点，从而方程f(x)－c＝0有两个不同的根，即y＝f(x)－c与x轴有两个不同交点．二、填空题( 本大题共6 题, 共计30 分)9、(5分) 12解析：设抽取男运动员人数为n，则女运动员人数21－n.由分层抽样知：，∴n＝12.10、(5分) 6＋π解析：由几何体的三视图可知，原几何体是一个长方体和一个圆锥的组合体．下面的长方体的长、宽、高分别是3 m，2 m，1 m，∴体积为3×2×1＝6(m3)．上面的圆锥底面圆半径为1 m，高为3 m，∴圆锥的体积为π×12×3＝π(m3)．∴该几何体的体积为(6＋π) m3.11、(5分)解析：消去参数t，得抛物线标准方程y2＝8x，其焦点F(2，0)，∴过抛物线焦点斜率为1的直线方程：x－y－2＝0，∵直线与圆(x－4)2＋y2＝r2相切，∴r＝d＝.12、(5分)解析：设BE＝m，则BF＝2m，AF＝4m.∵AB与CD是圆的两条相交弦，交点为F，∴由相交弦定理，得AF·FB＝CF·FD＝＝2，∴4m·2m＝2，∴m2＝.又∵CE是圆的切线，根据切割弦定理，得CE2＝EB·EA＝m(m＋2m＋4m)＝7m2＝，∴CE＝.13、(5分) {x|－2≤x≤5}解析：解不等式|x＋3|＋|x－4|≤9.(1)当x＜－3时，|x＋3|＋|x－4|＝－x－3＋4－x≤9，∴x≥－4，即－4≤x＜－3；(2)当－3≤x≤4时，|x＋3|＋|x－4|＝x＋3＋4－x≤9恒成立，∴－3≤x≤4；(3)当x＞4时，|x＋3|＋|x－4|＝x＋3＋x－4≤9，∴x≤5，即4＜x≤5.综上所述，A＝{x∈R|－4≤x≤5}．∵t∈(0，＋∞)，∴x＝4t＋－6≥2－6＝－2，当且仅当t＝时等号成立．∴B＝{x∈R|x≥－2}．∴A∩B＝{x∈R|－4≤x≤5}∩{x∈R|x≥－2}＝{x∈R|－2≤x≤5}．14、(5分) 5解析：根据题意，以AD为x轴，DC为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．∵AD＝2，∴A(－2，0)．∵BC＝1，∴可设B(－1，n)．∴点P在DC上运动，∴可设P(0，y)(0≤y≤n)．∴＝(－2，－y)，＝(－1，n－y)，∴＝(－5，3n－4y)．∴.∴当3n＝4y，即y＝n时，取得最小值5.三、解答题( 本大题共6 题, 共计80 分)15..解：（1）由，得，所以f(x)的定义域为．f(x)的最小正周期为（2）由得，，整理得．因为，所以.因此由，得．所以16.解：（1）①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A i(i＝0，1，2，3)，则②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.又且A2，A3互斥，所以.（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.所以X的分布列是X0 1 2PX的数学期望17. 解：(方法1)如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.依题意得（1）解：易得，于是所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为（2）解：易知设平面AA1C1的法向量，则即不妨令可得，同样地，设平面A1B1C1的法向量，则即不妨令，可得于是从而所以二面角A—A1C1—B的正弦值为（3）解：由N为棱B1C1的中点，得设M（a，b，0），则由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以线段BM的长为(方法2)（1）解：由于AC//A1C1，故是异面直线AC与A1B1所成的角. 因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，可得因此所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为（2）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以≌，过点A作于点R，连接B1R，于是，故为二面角A—A1C1—B1的平面角. 在中，连接AB1，在中，，从而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为（3）解：因为平面A1B1C1，所以取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，所以ND//C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则由得，延长EM交AB于点F，可得连接NE.在中，所以可得连接BM，在中，18. 解：（1）设F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)．由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即整理得(舍)，或，所以.（2）由(1)知，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为．A，B两点的坐标满足方程组，消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得得方程组的解.不妨设．设点M的坐标为．由于是由，即，化简得将，所以x＞0.因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x＞0)．19. 解：（1）．令.xf′(x) ＋0 －f(x) ↗极大值↘所以，f(x)的单调递增区间是的单调递减区间是．（2）证明：当由(1)知f(x)在(0，2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．令由于f(x)在(0，2)内单调递增，故.取所以存在x0∈(2，x′)，使g(x0)＝0，即存在(说明：x′的取法不唯一，只要满足x′＞2，且g(x′)＜0即可．)（3）证明：由f(α)＝f(β)及(1)的结论知，从而f(x)在[α，β]上的最小值为f(α)．又由β－α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3.故从而20. 解：（1）由可得又b n a n＋a n＋1＋b n＋1a n＋2＝0，当n＝1时，a1＋a2＋2a3＝0，由a1＝2，a2＝4，可得a3＝－3；当n＝2时，2a2＋a3＋a4＝0，可得a4＝－5；当n＝3时，a3＋a4＋2a5＝0，可得a5＝4.（2）证明：对任意n∈N*，a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0，①2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0，②a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0.③②－③，得a2n＝a2n＋3.④将④代入①，可得a2n＋1＋a2n＋3＝－(a2n－1＋a2n＋1)．即c n＋1＝－c n(n∈N*)．又c1＝a1＋a3＝－1，故c n≠0，因此是等比数列．（3）证明：由(2)可得a2k－1＋a2k＋1＝(－1)k，于是，对任意k∈N*且k≥2，有a1＋a3＝－1，－(a3＋a5)＝－1，a5＋a7＝－1，(－1)k(a2k－3＋a2k－1)＝－1.将以上各式相加，得a1＋(－1)k a2k－1＝－(k－1)，即a2k－1＝(－1)k＋1(k＋1)，此式当k＝1时也成立．由④式得a2k＝(－1)k＋1·(k＋3)．从而S2k＝(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋…＋(a4k－2＋a4k)＝－k，S2k－1＝S2k－a4k＝k＋3所以，对任意n∈N*，n≥2，对于n＝1，不等式显然成立．。
2011全国一高考数学(理)word版、可编辑、高清无水印
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅰ卷第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A）13（B）3（C）6（D）9(6)已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A)23(B)33(C)63(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种(8)曲线y=2xe-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1(9)设()f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x=2(1)x x-，则5 ()2f-=(A) -12(B)14-(C)14(D)12(10)已知抛物线C：24y x=的焦点为F，直线24y x=-与C交于A，B两点．则cos AFB∠=(A)45 (B)35 (C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修II) 第Ⅱ卷 注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年高考数学文史类(重庆卷)真题及答案
2011年高考数学文史类（重庆卷）真题及答案参考答案一、选择题15 DAACD 610 BCDBA二、填空题：11．24012．13．14．15．三、解答题：满分75分16．解：设q为等比数列的公比，则由，即，解得，因此所以的通项为17．解：这是等可能性事件的概率计算问题。
解法一：所有可能的申请方式有34种，而没有人申请A片区房源的申请方式有24种。
记没有人申请A片区房源为事件A，则解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.记申请A片区房源为事件A，则由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为所有可能的申请方式有34种，而每个片区的房源都有人申请的申请方式有种.记每个片区的房源都有人申请为事件B，从而有18．解：故的最小正周期为依题意当为增函数，所以上的最大值为19．解：因从而即关于直线对称，从而由题设条件知又由于由知令当上为增函数；当上为减函数；当上为增函数；从而函数处取得极大值处取得极小值20．解法一：如答图1，过D作DFAC垂足为F，故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AGCD，从而由故四面体ABCD的体积如答图1，过F作FEAB，垂足为E，连接DE。
由知DF平面ABC。
由三垂线定理知DEAB，故DEF为二面角CABD的平面角。
在在中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以在Rt△DEF中，解法二：如答图2，设O是AC的中点，过O作OHAC，交AB于H，过O作OMAC，交AD于M，由平面ABC平面ACD，知OHOM。
因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系Oxyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A，C。
设点B的坐标为，有即点B的坐标为又设点D的坐标为有即点D的坐标为从而△ACD边AC上的高为又故四面体ABCD的体积由知设非零向量是平面ABD的法向量，则由有由，有取，由，，可得显然向量是平面ABC的法向量，从而即二面角CABD的平面角的正切值为21．解：由解得，故椭圆的标准方程为设，则由得因为点M，N在椭圆上，所以，故设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。
上海市松江区2011届高三数学4月模拟 文
上海市松江区2011年高考4月模拟数学（文科）试卷考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题 (本大题每满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数xx y 2log 2-=的定义域为 ▲ ． 2．若i R b a i b i i a ,)2(∈+=+、，其中是虚数单位，则b a += ▲ ． 3．若)2,1(=a ，)5,2(2-=k b ，b a //，则k = ▲ ．4．2222lim()212121nnn n n →∞++++++= ▲ ． 5．已知数列}{n a 的前n 项和27n S n n =-，若第k 项满足912k a <<，则k = ▲ ．6．设y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥102021y x y x x ，则y x z -=2的最小值为 ▲ ．7．若函数4y x x=+在(0,]x a ∈上存在反函数，则实数a 的取值范围为 ▲ ．8．直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 上的点的最近距离是 ▲ ．9.定义一种运算S a b =⊗，运算原理如右框图所示，则cos 45sin15sin 45cos15⊗+⊗= ▲ ．10．在53x x ⎛+ ⎝的展开式的各项中随机取两项，其系数和为奇数的概率是 ▲ ．11．已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 ▲ ．12．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(2)2(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立，则a 的取值范围是 ▲ ．13．定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在]0,1[-上是增函数，下面五个关于)(x f 的命题：①)(x f 是周期函数；②)(x f 图像关于1=x 对称；③)(x f 在]1,0[上是增函数；④)(x f 在]2,1[上为减函数；⑤)0()2(f f =，其中的真命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）14．已知数集},,,,{321n a a a a A =，记和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数为)(A M ．如当}4,3,2,1{=A 时，由321=+，431=+，53241=+=+，642=+，743=+，得5)(=A M ．若{1,2,3,,}A n =， 则)(A M = ▲ ．二、选择题(本大题每满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对答5分，否则一律得零分． 15．若将函数3sin ()1cos xf x x的图像向左平移a （0a ）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π16．如果正数a 、b 、c 、d 满足4==+cd b a ，则下列各式恒成立的是 A ．d c ab +< B ．d c ab +≤ C ．d c ab +> D ．d c ab +≥17．有一正方体形状的骰子，六个面分别涂上了红、黄、蓝、绿、白、黑六种不同的颜色，投掷了三次，观察到的结果如图所示，则黄色对面的颜色是A ．红色B ．蓝色C ．绿色D ．黑色 18．设函数()||( )f x x x bx c b c R =++∈，，则下列命题中正确的是 A ．“0b ≥”是“函数()y f x =在R 上单调递增”的必要非充分条件； B ．“0b <，0c <”是“方程()0f x =有两个负根”的充分非必要条件； C ．“0c =”是“函数()y f x =为奇函数”的充要条件；D ．“0c >”是“不等式()(2)f x c b x ≥对任意x R +∈恒成立”的既不充分也不必要条件．三．解答题 (本大题每满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题12分）如图，为了测量河对岸的塔高AB ，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测量点C 与D ．现测得FE DCBA53BCD ∠=,60BDC ∠=，60CD =（米），并在点C 测得塔顶A 的仰角为29ACB ∠=，求塔高AB （精确到0.1米）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC BAD π∠=∠=，24AB BC AD ===，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，//EF BC ，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使AE ⊥平面EBCF (如图) . 设AE x =，四面体DFBC 的体积记为)(x f .(1) 写出)(x f 表达式，并求)(x f 的最大值；(2) 当2=x 时，求异面直线AB 与DF 所成角θ的余弦值. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数(),()()f x x a g x ax a R =-=∈． （1）讨论函数()f x 的奇偶性；（2）若0a >，记()()()F x g x f x =-，且()F x 在()0,+∞上有最大值，求a 的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分我们把一系列向量(1,2,,)i a i n =按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a ．已知向量列{}n a 满足：1(1,1)a =，(,)n n n a x y =11111(,)2n n n n x y x y ----=-+(2)n ≥. （1）证明数列{}i a 是等比数列；（2）设n θ表示向量1,n n a a -间的夹角，求证cos n θ是定值； （3）若21n n b n θ=-，12n n S b b b =+++，求2lim nn nb S →∞的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知抛物线方程为)0(22>=p px y ．FE DCB A（1）若点)22,2(在抛物线上，求抛物线的焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）在（1）的条件下，若过焦点F 且倾斜角为60的直线m 交抛物线于A 、B 两点，点M 在抛物线的准线l 上，直线MA 、MF 、MB 的斜率分别记为MA k 、MF k 、MB k ，求证：MA k 、MF k 、MB k 成等差数列；（3）对（2）中的结论加以推广，使得（2）中的结论成为推广后命题的特例，请写出推广命题，并给予证明.说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.松江区2011年高考模拟数学（文科）试卷参考答案（完成时间120分钟，满分150分） 2011.4一、填空题 (每小题4分,满分56分)1． ),2()0,(+∞-∞ 2．－1 3． 3± 4． 25． 96． -6 7． ]2,0( 8． 122- 9. 21- 10． 81511．),3[]1,(+∞--∞ 12． ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 13．①②⑤ 14． 23n -二、选择题15． D 16． B 17．C 18．C19．（本题12分）如图，为了测量河对岸的塔高AB ，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测量点C 与D ．现测得53BCD ∠=,60BDC ∠=，60CD =（米），并在点C 测得塔顶A 的仰角为29ACB ∠=，求塔高AB （精确到0.1米）． 解：在BCD ∆中，180(5360)67CBD ∠=-+=，…2分 由正弦定理得 sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，…4分 所以sin 60sin 60sin sin 67CD BDC BC CBD ⋅∠⋅==∠，…7分在Rt ABC ∆中， 60sin 60tan tan 2931.3sin 67AB BC ACB ⋅=⋅∠=⨯≈，…11分所以，塔高AB 为31.3米．……12分20．（本题14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =2π，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，设AE =x 。
2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(07 数系的扩充与复数的引入)
2011年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（07数系的扩充与复数的引入）一、选择题：1. (2011安徽文、理)设 i 是虚数单位，复数ai i1+2-为纯虚数，则实数a 为（ ） （A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 121.A 【解析】本题主要考察复数的乘法运算和复数的概念。
法一：()()()()()ai i ai a a i i i i 1+2+1+2-+2+1==2-2-2+5g 为纯虚数，所以,a a 2-=0=2； 法二：()i a i ai i i-1+=2-2-为纯虚数，所以a =2，答案为A. 法三： 设()ai bi b R i1+∈2-=，则1+(2)2ai bi i b bi =-=+，所以1,2b a ==.故选A. 【技巧点拨】复数运算乘法是本质，除法中的分母“实化”也是乘法，同时注意提取公因式，因式分解等变形技巧的运用。
2. (2011北京文、理)复数212i i-=+ ( ) (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ 2.【答案】A2.【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i i i i ---------+====++----，选A 。
3. (2011福建理) i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则（ ） A.i S ∈ B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.2S i ∈ 3.解析：由21i S =-∈得选项B 正确。
4. (2011福建文) i 是虚数单位1+i 3等于（ ）A.iB.-iC.1+i D .1-i4. 解析：1+i 3=1-I ，答案应选D 。
5．(2011广东文)设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．15. 解析：（A ）．1()i z i i i i -===-⨯-6．(2011广东理)设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -解析：（B ）．22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-7. (2011湖北理)i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i i （ ）A.i -B.1-C.iD.17.【答案】A7. 解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A .8．(2011湖南文、理)若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=-8.答案：C8. 解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
2011年全国各地高考数学试题及解答分类(选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换)
图4BAC D EF图4COPBA2011年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：选修4—1；几何证明选讲1.(2011北京理)如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ； ○2AF ·AG=AD ·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（ ） （A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③1.【答案】A.【解析】：①正确。
由条件可知，BD=BF ，CF=CE ，可得CA BC AB AE AD ++=+。
②正确。
通过条件可知，AD=AE 。
由切割定理可得2AF AG AD AD AE ⋅==⋅。
③错误。
连接FD （如下图），若ADG AFB ∽△△，则有ABF DGF ∠=∠。
通过图像可知 2ABF BFD BDF DGF ∠=∠+∠=∠，因而错误。
答案选A. 2．(2011广东文) 如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，4AB =，2CD =，,E F 分别为,AD BC 上的点，且3EF =，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________． 2. 解析：75如图，延长,AD BC ，ADBC P = ∵23CD EF =，∴49PCDPEF S S ∆∆= ∵24CD AB =，∴416PCDPEF S S ∆∆= ∴75ABEF EFCD S S =梯形梯形3．(2011广东理)如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B ，且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB =___________． 3. 解析：35．由弦切角定理得PAB ACB ∠=∠，又BAC APB ∠=∠， 则△PAB ∽△ACB ，则PB AB AB BC=，235AB PB BC =⋅=，即35AB =4.(2011江苏) 如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），求证：:AB AC 为定值。
2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解北京理
2011年北京理一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合P = x x 2≤1 ，M ={a }．若P ∪M =P ，则a 的取值范围是 A. −∞,−1 B. 1,+∞C. −1,1D. −∞,−1 ∪ 1,+∞2. 复数i −21+2i = A. iB. −iC. −45−35iD. −45+35i 3. 在极坐标系中，圆ρ=−2sin θ的圆心的极坐标是 A. 1,π2B. 1,−π2C. 1,0D. 1,π4. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A. −3B. −12C. 13D. 25. 如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ．给出下列三个结论： ①AD +AE =AB +BC +CA ；②AF ⋅AG =AD ⋅AE ；③△AFB ∽△ADG ． 其中正确结论的序号是 A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③6. 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为f x =x x <AAx ≥AA ,c 为常数 ．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是 A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，167. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 A. 8B. 62C. 10D. 828. 设A0,0，B4,0，C t+4,4，D t,4t∈R．记N t为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N t的值域为 A. 9,10,11B. 9,10,12C. 9,11,12D. 10,11,12二、填空题（共6小题；共30分）9. 在△ABC中，若b=5，∠B=π4，tan A=2，则sin A=；a=．10. 已知向量a=3,1，b=0,−1，c= k,3．若a−2b与c共线，则k=．11. 在等比数列a n中，a1=12，a4=−4，则公比q=；a1+a2+⋯+a n=．12. 用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）13. 已知函数f x=2x,x≥2,x−13,x<2,若关于x的方程f x=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．14. 曲线C是平面内与两个定点F1−1,0和F21,0的距离的积等于常数a2a>1的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=4cos x sin x+π6−1．（1）求f x的最小正周期：（2）求f x在区间 −π6,π4上的最大值和最小值．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60∘．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．17. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．x1−x2+x2−x2+⋯+x n−x2，其中x为x1,x2,⋯,x n的平均数）（注：方差s2=1n（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．18. 已知函数f x=x−k2e x k．（1）求f x的单调区间；（2）若对于任意的x∈0,+∞，都有f x≤1，求k的取值范围．e+y2=1．过点m,0作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．19. 已知椭圆G:x24（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将 AB 表示为m的函数，并求 AB 的最大值．20. 若数列A n:a1,a2,⋯,a n n≥2满足a n+1−a k=1k=1,2,⋯,n−1，则称A n为E数列．记S A n=a1+a2+⋯+a n．（1）写出一个满足a1=a5=0，且S A5>0的E数列A5；（2）若a1=12，n=2000，证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n=2011；（3）对任意给定的整数n n≥2，是否存在首项为0的E数列A n，使得S A n=0 ?如果存在，写出一个满足条件的E数列A n；如果不存在，说明理由．答案第一部分 1. C 2. A【解析】i −21+2i=i −2 1−2i5=5i 5=i ．3. B【解析】ρ=−2sin θ⇔ρ2=−2ρsin θ⇔x 2+y 2=−2y .∴圆心直角坐标为 0,−1 ，极坐标为 1,−π2 ． 4. D【解析】i =1，s =2−12+1=13；i =2，s =13−11+1=−12； i =3，s =−12−1−1+1=−3；i =4，s =−3−1−3+1=2． 5. A【解析】①正确，BC =BF +FC =BD +CE ； ②正确，AF ⋅AG =AD 2=AD ⋅AE ；③错误，若△AFB ∽△ADG ，则ABAG =AFAD ，AF ⋅AG =AB ⋅AD ，这与AF ⋅AG =AD 2矛盾． 6. D 【解析】f x = x在 0,A 上是减函数，所以由题意可得f 4 = 4=30,f A =A=15,解得c =60，A =16． 7. C【解析】原四面体的图形如下图，其中AB ⊥BC ，AB =4，BC =3；PA ⊥面 ABC ，PA =4．于是PB =4 2，AC =5，S △BCA =6，S △PAB =8，S △PBC =6 2，S △PAC =10．8. C 【解析】当t =0时，平行四边形ABCD 的四个顶点是A 0,0 ,B 4,0 ,C 4,4 ,D 0,4 ，此时符合条件的点有 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 ，共九个，于是N t =9，故选项D 不正确；当t =1时，平行四边形ABCD 的四个顶点是A 0,0 ,B 4,0 ,C 5,4 ,D 1,4 ，同理，知N t =12，故选项A 不正确；当t =2时，平行四边形ABCD 的四个顶点是A 0,0 ,B 4,0 ,C 6,4 ,D 2,4 ，同理，知N t =11，故选项B 不正确． 综上，选C ． 第二部分 9.2 55，2 1010. 111. −2，2n−1−12【解析】根据第一空求得的结果可知{ a n }仍旧是一个等比数列，公比为2． 12. 14【解析】数字2，3组成四位数，共有24=16个，其中都是2或都是3组成的数有2个，故符合题意的有16−2=14个． 其他解法： 应当分三种情况：一个2三个3的四位数有4个；两个2两个3的四位数有C 42=6个；三个2一个3的四位数有4个． 所以，这样的四位数一共有14个． 13. 0,1【解析】函数f x 的图象如图所示，原方程有两个不同根等价于f x 的图象与直线y =k 有两个不同的交点，结合图形，得0<k <1． 14. ②③【解析】对于①，若C 过原点，则 OF 1 OF 2 =a 2，但a 2>1， OF 1 OF 2 =1，矛盾，故①错误； 对于②，对于C 上任一点P ，其关于原点的对称点设为Q ，由于F 1和F 2也关于原点对称，故 QF 2 = PF 1 ， QF 1 = PF 2 ，于是 QF 1 ⋅ QF 2 = PF 1 ⋅ PF 2 =a 2，故Q 点也在C 上，②正确． 对于③，直接使用三角形面积公式有：S ΔPF 1F 2=12 PF 1 ⋅ PF 2 sin ∠F 1PF 2≤a 22，③正确．第三部分 15. （1）因为f x =4cos x sin x +π−1=4cos x 32sin x +12cos x −1= 3sin2x +2cos 2x −1= 3sin2x +cos2x=2sin 2x +π6,所以f x 的最小正周期为π．（2）因为−π6≤x ≤π4，所以−π6≤2x +π6≤2π3，于是，当2x+π6=π2，即x=π6时，f x取得最大值2；当2x+π6=−π6，即x=−π6时，f x取得最小值−1．16. （1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，而AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．（2）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60∘,PA=AB=2,所以BO=1,AO=CO= 3.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O−xyz，则P 0,− 3,2,A 0,− 3,0,B1,0,0,C 0,3,0.所以PB=1,3,−2,AC=0,23,0.设PB与AC所成角为θ，则cosθ=PB⋅ACPB AC=22×23=6.故PB与AC所成角的余弦值为64．（3）由（2）知BC= −1,3,0.设P 0,−3,t t>0，则BP= −1,− 3,t .设平面PBC的法向量m=x,y,z，由m⋅BC=0,m⋅BP=0,得−x+3y=0,−x−3y+tz=0,令y=3，则m = 3, 3,6.同理，平面PDC 的法向量n = −3, 3,6.因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以m ⋅n =−6+36t 2=0, 解得t = 6,所以PA = 6．17. （1）当X =8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数为8+8+9+104=354;方差为s 2=1 8−35 2+ 8−35 2+ 9−35 2+ 10−35 2 =11.（2）当X =9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21．事件“ Y =17 ”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”， 所以该事件有2种可能的结果，因此P Y =17 =216=18. 同理可得P Y =18 =1;P Y =19 =1;P Y =20 =1;P Y =21 =1.所以随机变量Y 的分布列为Y 1718192021P1814141418所以数学期望为EY =17×1+18×1+19×1+20×1+21×1=19.18. （1）fʹ x =1k x 2−k 2e x k，令fʹ x =0，得x =±k ． 当k >0时，f x 与f ′ x 的情况如下：x −∞,−k −k−k ,k kk ,+∞fʹ x +0−0+f x ↗4k 2e −1↘0↗所以，f x 的单调递增区间是 −∞,−k 和 k ,+∞ ；单调递减区间是 −k ,k ．当k<0时，f x与fʹx的情况如下：x−∞,k k k,−k−k−k,+∞fʹx−0+0−f x↘0↗4k2e−1↘所以，f x的单调递减区间是−∞,k和−k,+∞；单调递增区间是k,−k．（2）当k>0时，因为f k+1=e k+1>1e，所以不会有x∈0,+∞，f x≤1e．当k<0时，由（1）知f x在0,+∞上的最大值是f−k=4k 2e．所以x∈0,+∞，f x≤1e 等价于f−k=4k2e≤1e，解得−12≤k<0．故当x∈0,+∞，f x≤1e 时，k的取值范围是 −12,0．19. （1）由已知得a=2,b=1,所以c=a2−b2= 3.所以椭圆G的焦点坐标为− 3,0,3,0,离心率为e=ca=32.（2）由题意知，m ≥1．当m=1时，切线l的方程为x=1，点A,B的坐标分别为1,32,1,−32，此时AB=当m=−1时，同理可得AB=3；当m>1时，设切线l的方程为y=k x−m．由y=k x−m,x2+y2=1,得1+4k2x2−8k2mx+4k2m2−4=0.设A,B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，则x1+x2=8k2m2,x1x2=4k2m2−42.又由l与圆x2+y2=1相切，得k2+1=1,即m2k2=k2+1.所以AB=2121=1+k2［x1+x22−4x1x2］=1+k264k4m222−44k2m2−42=43m m2+3.由于当m=±1时，AB=3，所以AB=43m,m∈ −∞,−1］∪［1,+∞ .因为AB=43mm2+3=43m+3m≤2,且当m=±3时，AB=2，所以AB的最大值为2．20. （1）0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5．（答案不唯一）（2）必要性：因为E数列A n是递增数列，所以a k+1−a k=1k=1,2,⋯,1999.所以A n是首项为12，公差为1的等差数列，所以a2000=12+2000−1×1=2011.充分性：由于a2000−a1999≤1,所以a2000−a1≤1999,即a2000≤a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011，所以a2000=a1+1999.故a k+1−a k=1>0k=1,2,⋯,1999,即A n是递增数列．综上，结论得证．（3）令c k=a k+1−a k k=1,2,⋯,n−1，则c k=±1．因为a2=a1+c1,a3=a1+c1+c2,⋯a n=a1+c1+c2+⋯+c n−1,所以S A n=na1+n−1c1+n−2c2+n−3c3+⋯+c n−1=n−1+n−2+⋯+1−1−c1n−1−1−c2n−2−⋯−1−c n−1=n n−1−1−c1n−1+1−c2n−2+⋯+1−c n−1.因为c k=±1，所以1−c k为偶数k=1,2,⋯,n−1．所以1−c1n−1+1−c2n−2+⋯+1−c n−1为偶数．所以要使S A n=0，必须使n n−12为偶数，即4整除n n−1，亦即n=4m或n=4m+1m∈N∗．当n=4m m∈N∗时，E数列A n的项满足a4k−1=a4k−3=0，a4k−2=−1，a4k=1k=1,2,⋯,m时，有a1=0，S A n=0；当n=4m+1m∈N∗时，E数列A n的项满足a4k−1=a4k−3=0，a4k−2=−1，a4k=1k=1,2,⋯,m，a4m+1=0时，有a1=0，S A n=0；当n=4m+2或n=4m+3m∈N时，n n−1不能被4整除，此时不存在E数列A n，使得a1=0，S A n=0．。
2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解北京文
2011年北京文一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知全集U=R，集合P=x x2≤1，那么∁U P= A. −∞,−1B. 1,+∞C. −1,1D. −∞,−1∪1,+∞2. 复数i−21+2i= A. iB. −iC. −45−35i D. −45+35i3. 如果log12x<log12y<0，那么 A. y<x<1B. x<y<1C. 1<x<yD. 1<y<x4. 若p是真命题，q是假命题，则 A. p∧q是真命题B. p∨q是假命题C. ¬p是真命题D. ¬q是真命题5. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A. 32B. 16+16C. 48D. 16+326. 执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P的值为 A. 2B. 3C. 4D. 57. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 A. 60件B. 80件C. 100件D. 120件8. 已知点A0,2,B2,0．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（共6小题；共30分）9. 在△ABC中．若b=5，∠B=π4，sin A=13，则a=．10. 已知双曲线x2−y2b2=1b>0的一条渐近线的方程为y=2x，则b=．11. 已知向量a=1，b=0,−1，c= k,3．若a−2b与c共线，则k=．12. 在等比数列a n中，若a1=12，a4=4，则公比q=；a1+a2+⋯+a n=．13. 已知函数f x=2x,x≥2,x−13,x<2,若关于x的方程f x=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．14. 设A0,0，B4,0，C t+4,3，D t,3t∈R．记N t为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N0=；N t的所有可能取值为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=4cos x sin x+π6−1．（1）求f x的最小正周期；（2）求f x在区间 −π6,π4上的最大值和最小值．16. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．甲组乙组990X891110（注：方差s2=1nx1−x2+x2−x2+⋯+x n−x2，其中x为x1,x2,⋯,x n的平均数）（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．17. 如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点．（1）求证：DE∥平面BCP；（2）求证：四边形DEFG为矩形；（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由．18. 已知函数f x=x−k e x．（1）求f x的单调区间；（2）求f x在区间0,1上的最小值．19. 已知椭圆G:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，右焦点为22,0，斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P−3,2．（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积．20. 若数列A n:a1,a2,⋯,a n n≥2满足a k+1−a k=1k=1,2,⋯,n−1，则称A n为E数列，记S A n=a1+a2+⋯+a n．（1）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（2）若a1=12，n=2000，证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n=2011；（3）在a1=4的E数列A n中，求使得S A n=0成立的n的最小值．答案第一部分1. D2. A 【解析】i−21+2i =i−21−2i5=5i5=i．3. D 【解析】由log1x<log1y<0=log11，根据对数函数的单调性可得x>y>1．4. D5. B【解析】据三视图可知正四棱锥高为2，底面是边长为4的正方形，解得四棱锥的斜高为22+22= 22，故其表面积S=4×12×4×22+4×4=162+16．6. C7. B 【解析】设平均每件产品的生产准备费用和仓储费用之和为y，则y=800x +x8≥2800x ⋅x8=20，当且仅当800x=x8，即x=80时取得最小值．8. A 【解析】根据题意，S△ABC=1× AB ×ℎ=1×22×ℎ=2,解得ℎ=2，即点C到直线AB的距离为2．问题转化为与直线AB距离为2的直线与抛物线交点的个数．由两平行线间的距离公式，得与直线AB距离为2的直线方程为y=−x 或 y=−x+4,分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有2个交点，因此，共有4个不同的C点满足条件．第二部分9. 523【解析】由正弦定理可得a sin A =bsin B⇒5sinπ4=a13．解得a=523．10. 2【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为y=±bx，得b=2．11. 1【解析】由已知得a−2b=3,1−20,−1=3,3．故a−2b∥c⇒3×3−3k=0,解得k=1．12. 2，2n−1−12【解析】由a4a1=8=q3，解得q=2，故a1+a2+⋯+a n=121−2n=2n−1−1.13. 0,1【解析】函数f x的图象如图所示，原方程有两个不同根等价于f x的图象与直线y=k有两个不同的交点，结合图形，得0<k<1．14. 6，6,7,8【解析】当t=0时，作图易知共有6个整点，即N0=6；如图分别确定直线AD，BC的方程，然后确定直线y=1，y=2与其交点的坐标依次为E t3,1,Gt3+4,1,F2t3,2,H2t3+4,2,故当t3∈Z时，则2t3∈Z，在线段GE上且在平行四边形内部的整点共有3个，在线段FH上且在平行四边形内部的整点共有3个，此时整点的个数共有6个；当t3∉Z，2t3∈Z时，线段GE上满足条件的整点有4个，FH上共有3个，故整点总数为7个；当t3∉Z，2t3∉Z时，线段EG，FH上各有4个整点在平行四边形内部，故此时整点个数共有8个，综上可知N t的所有取值为6，7，8．第三部分15. （1）因为f x =4cos x sin x +π6 −1=4cos x 3sin x +1cos x −1= 3sin2x +2cos 2x −1= 3sin2x +cos2x=2sin 2x +π6,所以f x 的最小正周期为π．（2）因为−π6≤x ≤π4，所以−π6≤2x +π6≤2π3．于是，当2x +π6=π2，即x =π6时，f x 取得最大值2； 当2x +π6=−π6，即x =−π6时，f x 取得最小值−1．16. （1）当X =8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为x =8+8+9+10=35;方差为s 2=14 8−354 2+ 8−354 2+ 9−354 2+ 10−354 2 =11.（2）记甲组四名同学为A 1,A 2,A 3,A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11； 乙组四名同学为B 1,B 2,B 3,B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：A 1,B 1 , A 1,B 2 , A 1,B 3 , A 1,B 4 ,用C 表示："选出的两名同学的植树总棵数为19 "这一事件，则C 中的结果有4个，它们是A 1,B 4 , A 2,B 4 , A 3,B 2 , A 4,B 2 ,故所求概率为P C =416=14.17. （1）因为D ,E 分别为AP ,AC 的中点，所以DE ∥PC ． 又因为DE ⊄平面BCP ，所以DE ∥平面BCP ．（2）因为D ,E ,F ,G 分别为AP ,AC ,BC ,PB 的中点，所以DE ∥PC ∥FG ,DG ∥AB ∥EF .所以四边形DEFG 为平行四边形．又因为PC ⊥AB ，所以DE ⊥DG ，所以四边形DEFG 为矩形． （3）存在点Q 满足条件，理由如下： 连接DF ,EG ，设Q 为EG 的中点，由（2）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=1 EG.分别取PC,AB的中点M,N，连接ME,EN,NG,MG,MN．与（2）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，QM=QN=1 EG,所以Q为满足条件的点．18. （1）fʹx=x−k+1e x．令fʹx=0，得x=k−1．f x与fʹx的情况如下：x−∞,k−1k−1k−1,+∞fʹx−0+f x↘−e k−1↗所以，f x的单调递减区间是−∞,k−1；单调递增区间是k−1,+∞．（2）当k−1≤0，即k≤1时，函数f x在0,1上单调递增，所以f x在区间0,1上的最小值为f0=−k;当0<k−1<1，即1<k<2时，由（1）知f x在0,k−1上单调递减，在k−1,1上单调递增，所以f x在区间0,1上的最小值为f k−1=−e k−1;当k−1≥1，即k≥2时，函数f x在0,1上单调递减，所以f x在区间0,1上的最小值为f1=1−k e.19. （1）由已知得c=22，ca =63．解得a=23．又b2=a2−c2=4．所以椭圆G的方程为x 212+y24=1．（2）设直线l的方程为y=x+m．由y=x+m,x2 12+y24=1,得4x2+6mx+3m2−12=0. ⋯⋯①设A,B的坐标分别为x1,y1,x2,y2x1<x2，AB中点为E x0,y0，则x0=x1+x22=−3m4,y0=x0+m=m 4 .因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．所以PE的斜率k=2−m4−3+3m4=−1.解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=−3,x2=0.所以y1=−1,y2=2.所以AB=3P−3,2到直线AB:x−y+2=0的距离d=−3−2+22=322,所以△PAB的面积S=12AB ⋅d=92．20. （1）0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A5．（答案不唯一，0,−1,0,1,0;0,±1,0,1,2;0,±1,0,−1,−2;0,±1,0,−1,0都是满足条件的E数列A5）（2）必要性：因为E数列A n是递增数列，所以a k+1−a k=1k=1,2,⋯,1999.所以A n是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000=12+2000−1×1=2011.充分性：由于a2000−a1999≤1,a1999−a1998≤1,⋯⋯,a2−a1≤1,所以a2000−a1≤1999，即a2000≤a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011，所以a2000=a1+1999.故a k+1−a k=1>0k=1,2,⋯,1999,即A n是递增数列．综上，结论得证．（3）对首项为4的E数列A n，由于a2≥a1−1=3,a3≥a2−1≥2,⋯⋯a8≥a7−1≥−3.⋯⋯所以a1+a2+⋯+a k>0k=2,3,⋯,8,所以对任意的首项为4的E数列A n，若S A n=0，则必有n≥9．又a1=4的E数列A9:4,3,2,1,0,−1,−2,−3,−4满足S A9=0，所以n的最小值是9．。
2011山东高考数学试卷及答案详解(理科)WORD版
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第I卷和第□卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3、第n卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：柱体的体积公式：V =Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。
圆柱的侧面积公式：S二cl，其中c是圆柱的地面周长，丨是圆柱的母线长。
4 3球的体积公式：V R ,其中R是球的半径。
3球的表面积公式：错误！未找到引用源。
，其中R是球的半径。
nZ X i Y - nx y 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：错误！未找到引用源。
=号w = y-bX.2 2 X j _nxi d如果事件A、B互斥，那么P(A B)二P(A)+P(B);如果事件A、B独立，那么P(AB) = P(A)：P(B)。
第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合M = ：x | x2 x - 6 ：： 0』，N = \x |1 乞x 乞3.',则M N 二(A) [1,2) (B) [1,2] (C) (2,3] (D) [2,3]2、复数z= — (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(A) 第一象限(B)第二象限3、若点(a,9 )在函数y = 3的图象上，贝U(A) 0 (B) 丁(C) 1(C)第三象限(D)第四象限a"tan 的值为6(D) 34、不等式x -5 x 3 _10的解集是(C) -二，-5| 〔7, ：： (D) 16,二5、 对于函数y=f(x),x^R ，“y=|f (x)的图象关于y 轴对称”是“ y=f(x)是奇函数”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6、 若函数f(x) =sin 「x (门、0)在区间 0,上单调递增，在区间 ，一 上单调递减，则-■=_ 3.[3 23 2 (A) 3 (B) 2(C)-(D)-237、 某产品的广告费用 x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万兀)4 235销售额y (万兀)49263954图象在区间10,6 1上与x 轴的交点的个数为 (A) 6(B) 7(C) 8(D) 911、右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：① 存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；② 存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③ 存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图。
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全国2011年4月高数（工专）试题课程代码：00022
一、单项选择题
1.设f(x)=lnx，g(x)=x+3，则f[g(x)]的定义域是( )
A.(-3，+) B.[-3，+） C.(- ，3] D.(-，3)
2.当x+时，下列变量中为无穷大量的是( )
A.x1 B.ln(1+x) C.sinx D.e-x
3.)πsin(1lim2nnn ( ) A.不存在 B.2 C.1 D.0
4. 1122)111(dxxxx ( ) A.0 B.4π C.2π D.
5.设A为3阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于( )
A.a B.a1 C. a2 D.a3
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
6.
)3131313(lim
12n
n
_________.
7.设函数0,,0,1sin)(2xaxxxxf在x=0连续，则a=_________.
8.xxx1sinlim _________.
9.y＇=2x的通解为y=_________.
10.设y=sin2x，则y〃=_________.
11.函数y=ex-x-1单调增加的区间是_________.
12.设xdttxf0)sin(ln)(，则f＇(x)=_________.
13.若无穷限反常积分4112dxxA，则A=_________.
14.行列式aaa111111_________.
15.设矩阵300220111A，则AA'_________.
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
16.设f(x)=(x-a)g(x)，其中g(x)在点x=a处连续且g(a)=5，求)('af.
17.求极限30arctanlimxxxx.
18.求微分方程0xdyydx满足条件y|x=3=4的特解.
19.已知参数方程,3,232ttyttx求22dxyd.
20.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.
21.求不定积分dxex13.
22.计算定积分10dxxex.
23.问入取何值时，齐次方程组
,0)2(,0)3(4,0)1(312121xx
xx
xx
有非零解？
四、综合题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
24.已知f(x)的一个原函数为xxsin，证明Cxxxdxxxfsin2cos)('.
25.欲围一个高度一定，面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6
元，其余三面是每平方米3元.问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用材料费最