高中数学(人教A版)必修1同步练习题：第2章 2.2.2 第1课时 对数函数的图象及性质
高中数学：2.2.2对数函数及其性质 (1)
2．2.2对数函数及其性质第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)比较对数值的大小[例1]比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)．[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，于是log a5.1＜log a5.9；当0＜a＜1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，于是log a5.1＞log a5.9.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性．1．比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (2)log 0.56，log 0.54； (3)log 132与log 152;(4)log 23与log 54.解：(1)因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8. (2)因为函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log 0.56＜log 0.54. (3)由于log 132＝1log 213，log 152＝1log 215. 又∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15，∴0＞log 2 13＞log 2 15，∴1log 213＜1log 215.∴log 132＜log 152. (4)取中间值1，∵log 23＞log 22＝1＝log 55＞log 54，∴log 23＞log 54.[例2] (1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.7(2x )＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． [解] (1)由log a 12＞1得log a 12＞log a a .求解对数不等式①当a ＞1时，有a ＜12，此时无解．②当0＜a ＜1时，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．2．已知log a (3a －1)恒为正，求a 的取值范围． 解：由题意知log a (3a －1)＞0＝log a 1. 当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＞1，3a －1＞0，解得a ＞23，∴a ＞1；当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜1，3a －1＞0，解得13＜a ＜23.∴13＜a ＜23. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞).有关对数型函数的值域与最值问题[例3] 求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．[解] (1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域是R. 因为x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2， 所以y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4. 因为u ＞0，所以0＜u ≤4.又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，所以log 12u ≥log 124＝－2，所以y ＝log 12(3＋2x －x 2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． (2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．3．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及此时x 的值． 解：y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋log 3x 2＋2＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. ∵f (x )的定义域为[1,9]， ∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中，x必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，∴6≤y ≤13. ∴当x ＝3时，y 取得最大值，为13.[例4] 已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中(a ＞0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x )．求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由． [解] ∵f (x )＝log a (1＋x )的定义域为{x |x ＞－1}， g (x )＝log a (1－x )的定义域为{x |x ＜1}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x ＞－1}∩{x |x ＜1}＝{x |－1＜x ＜1}． ∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )，∴h (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－h (x )， ∴h (x )为奇函数． [一题多变]1．[变条件]若f (x )变为log a 1＋x1－x (a ＞1)：求f (x )的定义域．解：因为f (x )＝log a 1＋x1－x，需有1＋x1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞0，1－x ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜0，1－x ＜0，所以－1＜x ＜1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．2．[变设问]在本例条件下，若f (3)＝2，求使h (x )＜0成立的x 的集合． 解：∵f (3)＝log a (1＋3)＝log a 4＝2，∴a ＝2. ∴h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， ∴h (x )＜0等价于log 2(1＋x )＜log 2(1－x )，对数函数性质的综合应用∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x ，1＋x ＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜0.故使h (x )＜0成立的x 的集合为{x |－1＜x ＜0}．层级一 学业水平达标1．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(2,7] C ．[7，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B ∵lg(2x －4)≤1，∴0＜2x －4≤10，解得2＜x ≤7，∴x 的取值范围是(2,7]，故选B.2．已知log 12m ＜log 12n ＜0，则( )A ．n ＜m ＜1B ．m ＜n ＜1C ．1＜m ＜nD ．1＜n ＜m解析：选D 因为0＜12＜1，log 12m ＜log 12n ＜0，所以m ＞n ＞1，故选D.3．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．4．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝⎛⎭⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选D 由题知，a ＝log 45＞1，b ＝⎝⎛⎭⎫120＝1，c ＝log 30.4＜0，故c ＜b ＜a . 5．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1－x ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝lg1(x 2＋1)－x 2＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A. 6．比较大小： (1)log 22______log 23； (2)log 3π______log π3.解析：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＞3，所以log 22＞log 2 3. (2)因为函数y ＝log 3x 增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1. 同理1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3. -=-=答案=-=-：(1)＞ (2)＞7．不等式log 13(5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧5＋x >0，1－x >0，5＋x >1－x ，得－2<x <1.-=-=答案=-=-：{x |－2<x <1}8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增， ∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12＝2，a ＝4. -=-=答案=-=-：49．已知对数函数f (x )的图象过点(4,2)，试解不等式f (2x －3)＞f (x )． 解：设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)， 因为f (4)＝2，所以log a 4＝2，所以a ＝2，所以f (x )＝log 2x ，所以f (2x －3)＞f (x )⇒log 2(2x －3)＞log 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0，x ＞0，2x －3＞x ⇒x ＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．10．求函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值．解：要使y ＝log 12(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，则－1＜x ＜1，因此函数的定义域为(－1,1)． 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1)．当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝log 12t 减小，∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 12(1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 12(1－x 2)是增函数．故函数y ＝log 12(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 12(1－02)＝0.层级二 应试能力达标1．若a ＞0，且log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C ∵log 0.25(a 2＋1)＞log 0.25(a 3＋1)，∴a 2＜a 3，即a 2(1－a )＜0，∴a ＞1，故选C.2．设a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解析：选D 由于b ＝log 53＜a ＝log 54＜1＜log 45＝c ，故b ＜a ＜c . 3．关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是增函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内是减函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数 D ．.f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是减函数 解析：选C 由于底数12∈(0,1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．由1－2x ＞0，得x ＜12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为(－∞，12)．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)内是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12内是增函数，故选C. 4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．5．若y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，所以2a －3＞1，解得a ＞2. -=-=答案=-=-：(2，＋∞)6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为________________．解析：∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称．∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，做出函数图象如图所示．由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 18x )＞0⇒log 18x ＜－13或log 18x ＞13⇒x ＞2或0＜x ＜12， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． -=-=答案=-=-：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 7．求函数f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤12，4的值域． 解：f (x )＝log 2(4x )·log 14x 2 ＝(log 2x ＋2)·⎣⎡⎦⎤－12(log 2x －1) ＝－12[](log 2x )2＋log 2x －2. 设log 2x ＝t .∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴t ∈[－1,2]，则有y ＝－12(t 2＋t －2)，t ∈[－1,2]， 因此二次函数图象的对称轴为t ＝－12， ∴它在⎣⎡⎦⎤－1，－12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－12，2上是减函数， ∴当t ＝－12时，有最大值，且y max ＝98. 当t ＝2时，有最小值，且y min ＝－2.∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－2，98.8．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0＜a ＜1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0， 解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]， 因为－3＜x ＜1，所以0＜－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0＜a ＜1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )min ＝log a 4，由log a 4＝－4，得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。
2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质
探究1：对数函数的定义 一般地，我们把函数_y_=_l_o_g_a_x_(_a_>_0_,_且__a_≠_1_)_叫
做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 _〔__0_，__+_∞__〕__．__ 注意:〔1〕对数函数定义的严格形式;
〔2〕对数函数对底数的限制条件：
a 0且a 1.
思考1.对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？ 提示：对数函数的解析式具有以下三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数； (2)真数位置是自变量x，且x的系数是1； (3)logax的系数是1.
1
2
4
……
y=2x
反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以 等于1万个、10万个细胞？细胞个数y，如何求细 胞分裂次数x？得到怎样一个新的函数？
1
2
4 ……
y=2x
x=? x log2 y y 2x
现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些 问题吧！
1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像与 性质.〔重点〕 2.知道对数函数是一类重要的函数模型； 3.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函 数〔a>0,且a≠1)．〔难点〕
4,
1 2
.
①求f(x)的解析式; ②解方程f(x)=2. 分析:(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解 即可;(2)根据设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数; 然后利用指对互化解方程.
变式训练1(1)假设函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,那么 a= .
所以函数 y 1 的定义域为{x|x>0,且x≠1}. log2 x
〔3〕因为
【金版教程】人教版高中数学必修一练习：2.2.2.2对数函数的图象及性质的应用(含答案解析)
一、选择题1．函数y ＝lg (x ＋1)的图象大致是( )答案 C解析 当x ＝0时y ＝0，而且函数为增函数，可见只有C 符合． 2．若⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，且|log b a|＝－log b a ，则a ，b 满足的关系式是( ) A ．a>1，且b>1 B ．a>1，且0<b<1 C ．0<a<1，且b>1 D ．0<a<1，且0<b<1 答案 C解析 ∵⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，∴log a 14>0， ∴0<a<1.又∵|log b a|＝－log b a ，∴log b a<0，又0<a<1，∴b>1，故选C. 3．已知a ＞1，b ＜－1，则函数y ＝log a (x －b)的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 ∵a ＞1，∴函数y ＝log a x 如下图所示，函数y ＝log a (x －b)(b ＜－1)图象就是需要把函数y ＝log a x 的图象向左平移|b|单位，如图．由图可知函数y ＝log a (x －b)不经过第四象限，所以答案选D.4．若定义在区间(－1,0)上的函数f(x)＝log 2a (x ＋1)满足f(x)>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)答案 A解析 当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，因此由log 2a (x ＋1)>0可知0<2a<1，即0<a<12.5．[2016·通化高一检测]已知f(x)＝log 3x ，则f ⎝⎛⎭⎫14，f ⎝⎛⎭⎫12，f(2)的大小是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫14>f ⎝⎛⎭⎫12>f(2) B ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫12<f(2) C ．f ⎝⎛⎭⎫14>f(2)>f ⎝⎛⎭⎫12 D ．f(2)>f ⎝⎛⎭⎫14>f ⎝⎛⎭⎫12 答案 B解析 ∵f(x)＝log 3x ，∴f(x)在(0，＋∞)为增函数．又∵2>12>14，∴f(2)>f ⎝⎛⎭⎫12>f ⎝⎛⎭⎫14，故选B.二、填空题6．设函数f(x)＝log 2x 的反函数为y ＝g(x)，若g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝14，则a ＝________.答案 12解析 由反函数的定义可得，函数f(x)＝log 2x 的反函数为g(x)＝2x ，又g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝14，所以21a －1 ＝14＝2－2，解得a ＝12.7．[2015·海南中学高一期中]若log a 12<1(a>0，且a≠1)，那么a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12∪(1，＋∞) 解析 ∵log a 12<1＝log a a ，∴0<a<1时，12>a ；a>1时，12<a.解得0<a<12或a>1.8．[2016·襄阳高一检测]函数y ＝log 0.8(－x 2＋4x)的递减区间是________． 答案 (0,2]解析 因为t ＝－x 2＋4x 的递增区间为(－∞，2]．但当x≤0时，t≤0.故只能取(0,2]，即为f(x)的递减区间．三、解答题9．比较下列各组数的大小． (1)log 2π与log 20.9； (2)log 20.3与log 0.20.3； (3)log 0.76,0.76与60.7； (4)log 20.4与log 30.4.解 (1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，所以log 2π>log 20.9. (2)由于log 20.3<log 21＝0，log 0.20.3>log 0.21＝0， 所以log 20.3<log 0.20.3.(3)因为60.7>60＝1,0<0.76<0.70＝1， 又log 0.76<log 0.71＝0，所以60.7>0.76>log 0.76.(4)底数不同，但真数相同，根据y ＝log a x 的图象在a>1,0<x<1时，a 越大，图象越靠近x 轴，如图所示，知log 30.4>log 20.4.10．[2016·岳阳高一检测]已知函数f(x)＝log a (1－x)＋log a (x ＋3)，其中0<a<1. (1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a 的值．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，x ＋3>0，解之得－3<x<1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为：f(x)＝log a [(1－x)(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3) ＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3<x<1，所以0<－(x ＋1)2＋4≤4. 因为0<a<1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f(x)min ＝log a 4，由log a 4＝－4得a －4＝4，所以a ＝4－14＝22.。
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 习题2.2》_16
明目标、知重点 1.巩固和深化对有关对数基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好对数函数的图象及性质的应用及对数函数与其它有关知识的综合应用．1．若log x 7y ＝z ，则( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x z D ．y ＝z 7x 答案 B解析 由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴⎝⎛⎭⎫7y 7＝(x z )7，则y ＝x 7z .2．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b答案 B解析 f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故f (－a )＝－f (a )＝－b .3．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[12，2] C ．[1,2] D ．[2，4]答案 D解析 ∵－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤2，即12≤2x ≤2.∴y ＝f (x )的定义域为[12，2]，即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 B解析 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上， y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减． 因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0) ＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.5．已知a 23＝49(a >0)，则log 23a ＝________.答案 3解析 设log 23a ＝x ，则a ＝⎝⎛⎭⎫23x，又a 23＝49，∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x 23＝⎝⎛⎭⎫232，即⎝⎛⎭⎫2323x ＝⎝⎛⎭⎫232，∴23x ＝2，解得x ＝3. 6．已知0＜a ＜b ＜1＜c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是________． 答案 m ＞n解析 ∵m ＜0，n ＜0，∵mn＝log a c ·log c b ＝log a b ＜log a a ＝1，∴m ＞n .题型一 对数式的化简与求值例计算：(1)log(2(2－3)；(2)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求log(3-x y. 解 (1)方法一 利用对数定义求值： 设log(2(2－3)＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二 利用对数的运算性质求解：log(2(2－3)＝log (212＋3＝log (2(2＋3)－1＝－1.(2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y )2－6(x y )＋1＝0.∴xy ＝3±2 2. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＞0，x ＞0，y ＞0，∴x y ＞1，∴xy＝3＋22， ∴log(3-xy＝log (3-(3＋22)＝log (3-13－22＝－1.反思与感悟 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化． 跟踪训练1 计算： (1)log 2748＋log 212－12log 242－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25. 解 (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22 ＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 2232-＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25 ＝lg 100＝2.题型二 对数函数的图象与性质例已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a的取值范围．解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．反思与感悟 本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 进行分类讨论．跟踪训练2 已知函数f (x )＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0＜a ＜b ，f (a )＝f (b )，∴0＜a ＜1，b ＞1，∴lg a ＜0，lg b ＞0.又f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1，∴b ＝1a，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，又0＜a ＜1，函数t ＝a ＋2a 在(0,1)上是减函数，∴a ＋2a ＞1＋21＝3，即a ＋2b＞3.题型三 对数函数的综合应用例 3已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[2,8]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )． (1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]，若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)因为x ∈[2,8]，所以log 2x ∈[1,3]． 设log 2x ＝t ，t ∈[1,3]，则g (t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2 当a <1时，y min ＝g (1)＝4－2a ， 当1≤a ≤3时，y min ＝g (a )＝3－a 2，当a >3时，y min ＝g (3)＝12－6a . 所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2a (a <1)3－a 2(1≤a ≤3)12－6a (a >3).(2)因为m >n >3，所以h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上为减函数， 因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 212－6n ＝m 2， 两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )， 所以m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾， 故满足条件的实数m ，n 不存在．反思与感悟 本题利用了换元法，把log 2x 看作一个整体用t 来表示，从而得到一个新函数，因此需要求出函数的定义域．所示函数的最值本身也是关于a 的分段函数，所以函数思想是中学阶段常用的重要思想．跟踪训练3 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上． (1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围． 解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点， 则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a (－1＋21－x )，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0. 故m ≤0即为所求． [呈重点、现规律]1．指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键． 2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式log a m b n ＝n m ·log a b ，log a b ＝1log b a在解题中的灵活应用．4．在运用性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数)．5．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．6．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.一、基础过关 1．函数f (x )＝3x1－x＋lg(2x －1)的定义域为( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(0，＋∞)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＞0，2x －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞0.故选C.2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 的值为( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 由1a ＋1b ＝2，得1log 2m ＋1log 5m＝2. 即log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10， 又因为m ＞0，所以m ＝10.3．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是( )答案 D解析 由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知， 函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数． 所以0<a <1，－1<－b <0，故0<b <1.因为0<a <1，所以g (x )＝a x ＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B. 因为0<b <1，函数g (x )＝a x ＋b 的值域为(b ，＋∞)， 所以g (x )＝a x ＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方， 故排除C.4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－x D ．y ＝lg 1x ＋1答案 D解析 函数y ＝2|x |和y ＝2x ＋2－x 显然为偶函数，对于函数y ＝lg(x ＋x 2＋1)，由于f (－x )＝lg(－x ＋x 2＋1)＝lg(x 2＋1－x )＝lg 1x 2＋1＋x＝－f (x )，所以为奇函数，故选D.5．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)满足f (9)＝2，则a ＝________. 答案 3解析 由f (9)＝2得a 2＝9，所以a ＝3.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x ， x ≤0.若f (a )＝12，则a ＝______.答案 2或－1解析 当a ＞0时，log 2a ＝12，则a ＝2；当a ≤0时，2a ＝12，则a ＝－1.7．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}． (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数， 所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}． 二、能力提升8．已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋3，若f (12 013)＝5，则f (2 013)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 013 答案 A9．已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f (1)>f (lg 1x )，则x 的取值范围为____________________． 答案 0<x <110或x >10解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数， 所以f (x )在区间(－∞，0)上是增函数， 所以不等式f (1)>f (lg 1x )可化为lg 1x >1或lg 1x<－1， 所以lg 1x >lg 10或lg 1x <lg 110，所以1x >10或0<1x <110，所以0<x <110或x >10.10．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________. 答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.11．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝212-， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(213-)32-＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)32-＝22∈[2,8]，符合题意， ∴a ＝12.12．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，当点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图象上时，点(x 3，y2)在函数y ＝g (x )的图象上．(1)写出y ＝g (x )的解析式； (2)求方程f (x )－g (x )＝0的根．解 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )＝log 2(x ＋1)，y 2＝g (x3)， 则g (x 3)＝12log 2(x ＋1)，故g (x )＝12log 2(3x ＋1)．(2)由f (x )－g (x )＝0得， log 2(x ＋1)＝12log 2(3x ＋1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3x ＋1>0，3x ＋1＝(x ＋1)2，解得，x ＝0或x ＝1.三、探究与拓展13. 已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．解 (1)由a x －b x ＞0，得(a b )x ＞1，且a ＞1＞b ＞0，得ab ＞1，所以x ＞0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)任取x 1＞x 2＞0，a ＞1＞b ＞0，则a 1x＞a 2x ＞0，b 1x＜b2x ，所以a 1x －b 1x＞a2x －b2x ＞0，即lg(a 1x－b 1x)＞lg(a2x －b2x )．故f (x 1)＞f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．(3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)，这样只需f (1)＝lg(a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．。
人教A数学必修1限时规范训练：222 第1课时对数函数的图象及性质 含解析
第二章 2.2 2.2.2 第1课时【基础练习】1．给出下列函数：①y ＝log 23x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．2.在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称【答案】B【解析】∵y ＝log 13x ＝－log 3x ，∴函数y ＝log 3x 与y ＝log 13x 的图象关于x 轴对称.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫18的值为( ) A ．27 B ．127C ．－27D ．－127【答案】B【解析】f ⎝⎛⎭⎫18＝log 218＝log 22－3＝－3，f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫18＝f (－3)＝3－3＝127. 4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B ．12xC ．log 12xD ．2x －2【答案】A【解析】函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a＝2.故f (x )＝log 2x .5.已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 【答案】－32【解析】设f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.6.已知函数y ＝|log 12x |的定义域为⎣⎡⎦⎤12，m ，值域为[0,1]，则m 的取值范围为________. 【答案】[1,2]【解析】作出y ＝|log 12x |的图象(如图)，可知f ⎝⎛⎭⎫12＝f (2)＝1，由题意结合图象知1≤m ≤2.7.求下列函数的定义域. (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x ).【解析】(1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3.故函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞). (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. 故函数的定义域为(－1,0)∪(0,4). 8.已知f (x )＝lg1＋x 1－x，x ∈(－1,1)，若f (a )＝12，求f (－a ).【解析】方法一：∵f (－x )＝lg 1－x1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－f (x )，∴f(－a)＝－f(a)＝－12.方法二∶f(a)＝lg 1＋a1－a，f(－a)＝lg1－a1＋a＝lg⎝⎛⎭⎪⎫1＋a1－a－1＝－lg1＋a1－a＝－12.【能力提升】9.若|log a 14|＝log a14且|log b a|＝－log b a，则a，b满足的关系式是()A．a>1，b>1 B．a>1,0<b<1 C．b>1,0<a<1 D．0<a<1,0<b<1 【答案】C【解析】由|log a 14|＝log a14，知log a14>0，∴0<a<1；由|log b a|＝－log b a，知log b a<0，∴b>1.故选C．10.若函数f(x)＝log a(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x＋b的图象大致是()【答案】D【解析】由函数f(x)＝log a(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝log a(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数.所以0＜a＜1,0＜b＜1.所以g(x)＝a x＋b在R上是减函数，故排除A，B．由g(x)的值域为(b，＋∞).所以g(x)＝a x＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C．11.设函数f(x)＝log a x(a＞0且a≠1)，若f(x1x2…x2016)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22 016)的值等于________.【答案】16【解析】∵f(x21)＋f(x22)＋f(x23)＋…＋f(x22 016)＝log a x21＋log a x22＋log a x23＋…＋log a x22016＝log a(x1x2x3…x2 016)2＝2log a(x1x2x3…x2016)＝2f(x1x2x3…x2016)，∴原式＝2×8＝16.12.求函数f(x)＝(log0.25x)2－log0.25x2＋5在x∈[2,4]上的最值.【解析】设t ＝log 0.25x ，y ＝f (x ). 由x ∈[2,4]，得t ∈⎣⎡⎦⎤－1，－12. 又y ＝t 2－2t ＋5＝(t －1)2＋4在区间⎣⎡⎦⎤－1，－12上单调递减，所以当t ＝－1，即x ＝4时，y 有最大值8；当t ＝－12，即x ＝2时，y 有最小值254.。
高中数学 2.2.2.1 对数函数的图象及性质训练(学生版)
【金版新学案】高中数学 2.2.2.1 对数函数的图象及性质训练（学生版） 新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定解析： 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1，x >0)，则2＝log a 4＝log a 22＝2log a 2，即log a 2＝1，a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x .故选A.答案： A2．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： f (a )＝log 2(a ＋1)＝1∴a ＋1＝2∴a ＝1.故选B.答案： B3．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)<0，则函数g (x ＋1)的图象是下图中的( )解析： 由y ＝a x 解得x ＝log a y ，∴g (x )＝log a x .又∵g (2)<0，∴0<a <1.故g (x ＋1)＝log a (x ＋1)是单调递减的，并且是由函数g (x )＝log a x 向左平移1个单位得到的．答案： A4．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2 B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，22∪[2，＋∞) 解析： 函数f (x )＝2log 12x 在(0，＋∞)为减函数， 则－1≤2log 12x ≤1， 可得－12≤log 12x ≤12， 解得22≤x ≤ 2.故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(3,1)，则a ＝________.解析： 函数f (x )的反函数为y ＝log a x ，由题意，log a 3＝1，∴a ＝3.答案： 36．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x x ≤0ln x x >0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析： g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12<0， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12. 答案： 12三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝log 2(9－x 2)；(2)f (x )＝log (5－x )(2x －3)；(3)f (x )＝2x ＋3x －1log 2(3x －1)． 解析： (1)由对数真数大于零，得9－x 2＞0，即－3＜x ＜3，∴所求定义域为{x |－3＜x ＜3}．(2)要使f (x )＝log (5－x )(2x －3)有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3＞05－x ＞05－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞32x ＜5x ≠4.∴所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 32＜x ＜4，或4＜x ＜5. (3)要使f (x )＝2x ＋3x －1log 2(3x －1)有意义， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1＞0，2x ＋3≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞13x ≥－32x ≠1.∴所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＞13，且x ≠1. 8．已知2x ≤256且log 2x ≥12，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 2的最大值和最小值． 解析： 由2x ≤256得x ≤8，log 2x ≤3即12≤log 2x ≤3， f (x )＝(log 2x －1)·(log 2x －2)＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14. 当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14， 当log 2x ＝3，即x ＝23＝8时，f (x )max ＝2.尖子生题库☆☆☆9．(10分)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，求a的取值范围．解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝log a x，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x 恒成立．只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝log a x的下方即可．当0<a<1时，由图象知显然不成立．当a>1时，如图所示，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x －1)2的图象在f2(x)＝log a x的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤log a2，log a2≥1，∴1<a≤2.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修一作业：2.2.2.1 对数函数的图象及性质
D．y＝ln x
解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有
“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．
答案：D
2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( ) A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log x(a>0，
y ＝log a (－x )有意义，知x ＜0，所以对数函数的图轴左侧，可排除A ，C.又当a ＞1时，y ＝a x 为增函数，所以每小题5分，共15分)
解析：由对数函数的定义可知
Error!，∴a ＝5.
答案：5
7．已知函数f (x )＝log 3x ，则f ＋f (15)＝________.
(95)解析：f ＋f (15)＝log ＋log 15＝log 27＝3.
(95)
9
5
解析：(1)对数函数y ＝log x ，它的底数为，所以它的反函数是
161
6指数函数y ＝x ；
(16)(2)同理，指数函数y ＝x 的反函数是对数函数y ＝log x ；
(1
e )1)的图象是下图中的( )
x 解得x ＝log a y ，
∴0<a <1.
y＝log2(x＋1)
，值域为R，与x轴的交点是
的定义域为
(x－1)。
人教A版高中数学必修一第二章基本初等函数第5讲2.2.2 对数函数图像及性质无答案
第5讲§2.2.2 对数函数图像及性质※知识要点1．对数函数我们把函数( )叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为．2．对数函数的图像及性质3．反函数(1)指数函数与对数函数y＝log a x互为反函数；(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线____对称．※题型讲练【例1】下列函数表达式中，是对数函数的个数有()①y＝log x2；②y＝log a x(a∈R)；③y＝log8x；④y＝l n x；⑤y＝log x(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1个B．2个C．3个D．4个变式训练1：1．若f(x)＝log(a+1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝______. 2．若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________. 【例2】已知函数f(x)＝log a(x－1)＋1(a>0，且a≠1)．(1)函数f(x)图像恒过定点________；(2)若a>1，则函数f(x)图像经过________象限．变式训练2：1．函数y＝3log a(x+2)－1(a>0且a≠1)的图像恒过定点．2．若g(x)与函数f(x)＝e x互为反函数，则g(x)＝________．【例3】解下列对数不等各式：(1)log2(2x－1)＜1 (2)log9(x+2)≥log3x变式训练3：1．分别求下列函数的定义域：(1) f(x)＝ln(x＋1)2－x(2) f(x)＝2－log2(x－1)(3)f(x)＝4－xlg(x－1)(4)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)【例4】分别求下列函数的值域：(1) f(x)＝log12(x－1)，x∈[2,5] (2) f(x)＝log2(x2－2x)(3) f(x)＝log2(－x2－2x+3)变式训练4：1．设函数f(x)＝log12(－x2+4x)，则f(x)的定义域为，值域为．2．已知函数f(x)＝lg(ax2+2x+1)的值域为R，求a的取值范围．※课堂反馈1．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝()A．{x|x>－1} B．{x|x<1} C．{x|－1<x<1} D．∅2．同一坐标系中，y＝a－x与y＝log a x的图象可能是()3．若f(x)是对数函数，且f(2)＝2，则f(12)＝________.4．函数y＝log a(2x＋1)＋2(a＞0且a≠1)必过定点________．5．已知f(x)与g(x)＝log3x(x＞0)互为反函数，则f(－2)＝____.6．求函数f(x)＝log12(x2－2x+5)的定义域和值域．※基础夯实1．已知下列函数：①y＝log12(－x)(x<0)；②y＝2log4(x－1)(x>1)；③y＝ln x(x>0)；④y＝log a x(x>0，a是常数)．其中为对数函数的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．函数y＝1＋log12(x－1)的图象一定经过点()A．(1,1) B．(1,0) C．(2,1) D．(2,0)3．函数y＝1log2(x－2)的定义域为()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)4．函数f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的图象必不过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2x B．12x C．log12x D．2x－26．函数y＝(a2－4a＋4)log a x是对数函数，则a＝________.7．函数y＝lg (x＋1)2x－1的定义域为____________．8．已知函数y＝log a(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．9．函数y＝x＋a与y＝log a x的示意图在同一坐标系中正确的是下列图象中的________．(填序号)10．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，(1)求f(22)；(2)设g(x)=f(－x2－x)，求g(x)的值域．※能力提升1．满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数可以是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝2x C．f(x)＝log2x D．f(x)＝e l n x2．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a x与函数g(x)＝－log b x的图象可能是()3．设f (x)＝log2x的反函数为g(x)，且g(a)＝14，则a＝_____.4．若f (ln x)＝3x+4，则f (x)的解析式为____________．5．设函数f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2017)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22017)的值等于________．6．已知函数f(x)＝lg(ax2－ax+1)，(1)若该函数的定义域是R，求a的取值范围；(2)若该函数的值域是R，求a的取值范围．。
高中数学 2.2.2.2对数函数的图象及性质的应用课后课时精练 新人教A版必修1-新人教A版高一必修
【金版教程】2015-2016高中数学 .2对数函数的图象及性质的应用课后课时精练 新人教A 版必修1知识点基础 中档 稍难 与对数函数有关的图象 2、3 对数函数的单调性 1、4、7 5 对数函数性质的综合应用 68、9101．已知log 12b <log 12a <log 12c ，则( )A ．2a >2b >2cB ．2b >2a >2cC ．2c>2b>2aD ．2c>2a>2b[解析] 由于函数y ＝log 12 x 为减函数，因此由log 12 b <log 12 a <log 12 c 可得b >a >c ，又由于函数y ＝2x为增函数，所以2b>2a>2c.[答案] B2．[2015·哈三中高一模考]函数f (x )＝log 21＋x1－x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于y 轴对称[解析]∵函数的定义域为(－1,1)，f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝log 2(1＋x 1－x)－1＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． ∴图象关于原点对称． [答案] A3．[2014·某某某某高一期中]函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )[解析]∵y ＝ln|x |是偶函数关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调增，∴f (x )＝ln|x －1|关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调增．[答案] B4．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14B.12 C ．2 D ．4[解析] 当a >1时，f (x )在[0,1]上单调递增； 当0<a <1时，f (x )在[0,1]上单调递减．由此可知，f (x )的最大值、最小值应在[0,1]的端点处取得，所以f (0)＋f (1)＝a ， 即(1＋0)＋(a ＋log a 2)＝a ，log a 2＝－1， 解得a ＝12.[答案] B5．[2015·某某某某高一检测]若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值X 围为( )A ．(0,1)B ．[1，＋∞)C ．[2,3)D ．(1,3)[解析] 因为二次函数f (x )＝x 2－ax ＋2开口向上，所以f (x )＝x 2－ax ＋2在(－∞，a2]上单调递减，在(a2，＋∞)单调递增，又因为函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1a2≥112－a ×1＋2＞0解得2≤a ＜3. [答案] C 二、填空题6．[2015·某某三校高一联考]已知函数f (x )＝log 13(x ＋2)的定义域为(1,7]，则它的反函数f －1(x )的定义域为________．[解析]∵原函数的值域为它的反函数的定义域，∴x ∈(1,7]，∴log 13(7＋2)≤log 13 (x ＋2)<log 13(1＋2)，即－2≤f (x )<－1.∴f －1(x )的定义域为[－2，－1)． [答案] [－2，－1)7．已知log m 7<log n 7<0，则m ，n,0,1间的大小关系是__________． [解析]∵log m 7<log n 7<0， ∴0>log 7m >log 7n .又y ＝log 7x 在(0,1)内递增且函数值小于0， ∴0<n <m <1. [答案] 0<n <m <18．[2014·某某高考]函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． [解析] 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14.[答案] －14三、解答题9．已知函数f (x )＝lg|x |. (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)画出函数f (x )的草图；(3)求函数f (x )的单调递减区间，并加以证明．[解] (1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，如右图所示． (3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)． 证明：设x 1、x 2∈(－∞，0)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg|x 1|－lg|x 2| ＝lg |x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2. ∵x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2， ∴|x 1|>|x 2|>0.∴|x 1x 2|>1.∴lg|x 1x 2|>0.∴f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在(－∞，0)上是减函数， 即函数的单调递减区间是(－∞，0)．10．[2014·某某某某高一月考]已知函数f (x )＝log a (3＋x )，g (x )＝log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)当a ＝2时，求函数y ＝f (x )＋g (x )的定义域、值域； (2)求使f (x )－g (x )＞0成立的x 取值X 围．[解] (1)当a ＝2时，有y ＝log 2(3＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(－x 2＋9)，则由3＋x >0且3－x ＞0，解得－3＜x ＜3，故函数y 的定义域为(－3,3)；又因为0＜－x 2＋9≤9且函数y ＝log 2t (令t ＝－x 2＋9)为增函数，所以log 2(－x 2＋9)≤log 29＝2log 23即y ≤2log 23，故函数y 的值域为(－∞，2log 23]．(2)由f (x )－g (x )＞0，得f (x )＞g (x )，即log a (3＋x )＞log a (3－x )， 当a ＞1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋x ＞3－x 3＋x ＞03－x ＞0解得0＜x ＜3；当0＜a ＜1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＜1－x 3＋x ＞03－x ＞0解得－3＜x ＜0故所求x 取值X 围为：当a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜3}，当0＜a ＜1时，解集为{x |－3＜x ＜0}．。
2014年秋《全优课堂》高中数学(配人教A版,必修一)同步课件：第二章+基本初等函数(9份)2.2.2 第1课时
配人教A版
数学 必修1
预习测评
1 ．若某对数函数的图象过点 (4,2) ，则该对数函数的解析
式为( ) A．y＝log2x B．y＝2log4x C．y＝log2x或y＝2log4x
∈
.
所以函数 y＝f(x)的表达式为 y＝103x(3－x)， 定义域为(0,3)， 值域为 .
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数学 必修1
纠错心得： 解决含有对数的问题时一定要使对数式有意 义，即要使对数的真数大于 0 ，底数大于0且不等于1，也就是
说无论是解对数方程、对数不等式，还是解决含对数的函数问
题都必须始终关注这一点．
4 ．函数 f(x) ＝ 1 － loga(2 － x)(a>0 且 a≠1) 的图象恒过定点 ________．
【答案】(1,1)
解析 ： 由对数函数的知识 ，知对数函数的图象过定点 (1,0)．∴函数f(x)＝1－loga(2－x)的图象恒过点(1,1)．
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数学 必修1
要点阐释
1．对数函数定义的理解 (1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y＝
＋∞)．
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2．对数函数的图象与性质：
定义 底数 y＝logax(a>0，且 a≠1) a>1 0<a<1
图象
定义 域
(0，＋∞)
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数学 必修1
定义 值域 单调 性 共点 性
y＝logax(a>0，且 a≠1) R 在(0，＋∞)上是增函数 在(0， ＋∞)上是减函数 图象过点(________) ，即 loga1＝0 1,0
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学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知下列函数：①y＝log12(－x)(x<0)；②y＝2log4(x－1)(x>1)；③y＝ln x(x>0)；
④y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数)．
其中为对数函数的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 对于①，自变量是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－
1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于
③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝
a＋
1
2
2
－14，当a＝－12时，底数小于0，故④不是对数函数．故选A.
【答案】 A
2．函数y＝1＋log12(x－1)的图象一定经过点( )
A．(1,1) B．(1,0)
C．(2,1) D．(2,0)
【解析】 ∵函数y＝log12x恒过定点(1,0)，而y＝1＋log12(x－1)的图象是由
y＝log12x的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，故函数y＝1＋log
1
2
(x－1)恒过的定点为(2,1)．故选C.
【答案】 C
3．函数y＝1log2x－2的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
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C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】 要使函数有意义，则 x－2>0 log2x－2≠0，解得x＞2且x≠3，
所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C.
【答案】 C
4．已知0＜a＜1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
【解析】 函数y＝ax与y＝logax互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，
y＝loga(－x)与y＝logax的图象关于y轴对称，又0＜a＜1，根据函数的单调性即
可得D正确．故选D.
【答案】 D
5．函数f(x)＝loga(x＋2)(0
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 ∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．函数f(x)＝log123x－2的定义域是________．
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【解析】 要使函数f(x)有意义，则 3x－2>0 log123x－2≥0，即 3x－2>03x－2≤1，解
得23＜x≤1，故函数的定义域的23，1.
【答案】 23，1
7．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(22)＝________.
【解析】 设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
则－3＝loga8，∴a＝12，
∴f(x)＝log12x，f(22)＝log12(22)＝－log2(22)＝－32.
【答案】 －32
8．已知函数y＝log22－x2＋x，下列说法：
①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点．其中正确的是________.
【解析】 由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，又f(－x)＝log
2
2＋x
2－x
＝－log22－x2＋x＝－f(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为
当x＝0时，y＝0，所以③正确．
【答案】 ①③
三、解答题
9．已知函数f(x)＝logax＋1x－1(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性．
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【解】 (1)要使函数有意义，则有x＋1x－1>0，即 x＋1>0x－1>0或 x＋1<0x－1<0，解得
x>1或x<－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由于f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝loga－x＋1－x－1＝logax＋1x－1＝－
logax＋1x－1＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
10．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，
求f(x)的表达式，并画出大致图象．
【解】 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f(－x)＝lg(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝ lgx＋1，x>00，x＝0－lg1－x，x<0，
∴f(x)的大致图象如图所示．
[能力提升]
1．满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数可以是( )
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A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2x
C．f(x)＝log2x D．f(x)＝eln x
【解析】 ∵对数运算律中有logaM＋logaN＝logaMN，∴f(x)＝log2x，满足
“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”．故选C.
【答案】 C
2．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是
( )
【解析】 由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝1b，所以当0
＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.
又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息
可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．
【答案】 B
3．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2017)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…
＋f(x22017)的值等于________．
【解析】 ∵f(x21)＋f(x22)＋f(x23)＋…＋f(x22017)
＝logax21＋logax22＋logax23＋…＋logax22017
＝loga(x1x2x3…x2017)2
＝2loga(x1x2x3…x2017)
＝2f(x1x2x3…x2017)，
∴原式＝2×8＝16.
【答案】 16
4．若不等式x2－logmx<0在0，12内恒成立，求实数m的取值范围.
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【解】 由x2－logmx<0，得x2
要使x2
的上方，于是0
∴12≤m14，即116≤m.
又0