2.3.1__空间直角坐标系及两点间的距离公式.doc1.ashx
课件11：4.3.1 空间直角坐标系~4.3.2 空间两点间距离公式
2．已知三点 A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( ) A．三点构成等腰三角形 B．三点构成直角三角形 C．三点构成等腰直角三角形 D．三点构不成三角形 【解析】∵|AB|＝ 29，|AC|＝2 29，|BC|＝ 29，而|AB| ＋|BC|＝|AC|，∴三点 A，B，C 共线，构不成三角形． 【答案】D
6 4 a.
方法归纳 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式， 应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐 标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转 化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直 角坐标系的知识确定．
跟踪训练 3 在空间直角坐标系中，若 A(1,2，－1)、B(2,0,2)， (1)在 x 轴上求一点 P，使|PA|＝|PB|； (2)在 xOz 平面内的点 M 到 A、B 两点等距离，求 M 点轨迹．
A．y 轴上
B．xOy 平面上
C．zOx 平面上
D．第一象限内
【解析】点(2,0,3)的纵坐标为 0，所以该点在 zOx 平面上． 【答案】C
3．若已知点 A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段 AB 的
长为( )
A．4 3
B．2 3
C．4 2
D．3 2
【解析】|AB|＝ (－3－1)2＋(－3－1)2＋(－3－1)2＝4 3. 【答案】A
解：(1)设 P(a,0,0)，则由已知，得 (a－1)2＋(0－2)2＋12＝ (a－2)2＋(0－2)2.
∴a2－2a＋6＝a2－4a＋8. ∴a＝1.∴点 P(1,0,0)． (2)设 M(x,0，z)，则有
(x－1)2＋(－2)2＋(z＋1)2＝ (x－2)2＋(z－2)2. ∴x＋3z－1＝0. ∴M 点的轨迹是 xOz 平面内的一条直线． 直线方程为 x＋3z－1＝0.
2.3空间直角坐标系课件(北师大版)
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题型一 根据条件，求点的坐标 【例 1】 已知棱长为 2 的正方体 ABCD -A′B′C′D′，建立 如图所示不同的空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的 坐标．
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[思路探索] 对于图(1)，A，B，C，D 都在 xDy 平面上，所以竖 坐标均为零，A′，B′，C′，D′均在平面 xDy 的上方，所 以其竖坐标均为正．对于图(2)，可作类似分析． 解 (1)因为 D 是坐标原点，A，C，D′分别在 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴上，又正方体的棱长为 2， 所以 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D′(0,0,2)． 因为点 B 在 xDy 平面上，它在 x 轴，y 轴上的射影分别为 A，C， 所以 B(2,2,0)．同理，A′(2,0,2)，C′(0,2,2)．
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想一想：平面直角坐标系中的两坐标轴把平面分成四部分，空 间直角坐标系中的三个坐标平面把空间分成几部分？ 提示 三个坐标平面把空间分成八部分． 3．空间两点间的距离公式 空间中点 P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之间的距离是|P1P2|＝
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
§3 空间直角坐标系 3．1 空间直角坐标系的建立 3．2 空间直角坐标系中点的坐标 3．3 空间两点间的距离公式
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【课标要求】
1．了解空间直角坐标系的建系方式．
2．掌握空间中任意一点的表示方法．
3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标．
4．掌握空间两点间的距离公式．
【核心扫描】
1．掌握在空间直角坐标系中表示空间中的点的坐标的方法和空
空间直角坐标系点面距离公式(二)
空间直角坐标系点面距离公式(二)空间直角坐标系点面距离公式1. 点到点的距离公式当空间直角坐标系中给定两个点的坐标(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)时，可以使用以下公式来计算它们之间的距离d12：d12=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2例子：假设有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)。
按照上述公式，可以计算出它们之间的距离d AB：$d_{AB} = = $因此，点A和点B之间的距离约为。
2. 点到平面的距离公式当空间直角坐标系中给定一个点的坐标(x0,y0,z0)和一个平面的方程ax+by+cz+d=0时，可以使用以下公式来计算它们之间的距离d P：d P=|ax+by+cz+d|√a2+b2+c2例子：假设有一个平面的方程2x−3y+4z−5=0，以及一个点P(1, 2, 3)。
按照上述公式，可以计算点P到该平面的距离d P：$d_{P} = = $因此，点P 到平面2x −3y +4z −5=0的距离约为。
3. 点到直线的距离公式当空间直角坐标系中给定一个点的坐标(x 0,y 0,z 0)和一条直线的参数方程{x =x 1+aty =y 1+bt z =z 1+ct时，可以使用以下公式来计算它们之间的距离d L ：d L =|(x −x )a +(y −y )b +(z −z )c |√a 2+b 2+c2 例子： 假设有一条直线的参数方程{x =1+ty =2+2t z =3+3t，以及一个点L(4,5, 6)。
按照上述公式，可以计算点L 到该直线的距离d L ：$d_{L} = = $因此，点L 到直线{x =1+ty =2+2t z =3+3t的距离约为。
4. 平面与平面的距离公式当空间直角坐标系中给定两个平面的方程ax +by +cz +d 1=0和ax +by +cz +d 2=0时，可以使用以下公式来计算它们之间的距离d PP ：d PP =|d −d |√a 2+b 2+c 2例子：假设有两个平面的方程2x−3y+4z+5=0和2x−3y+ 4z−7=0。
空间直角坐标系和空间两点距离26页PPT
P(x,y,z)
O x
y
P`(x,y,0)
两点间距离公式
平 面 ： |P 1 P 2|(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2
类比
猜想
空 间 ： |P 1 P 2 |( x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 ( z 1 z 2 ) 2
二、空间中两点之间的距离公式： 在空间直角坐标系中，任意
两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2) 间的距离：
|P 1P 2|(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2
空间中点坐标公式：
在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
x
y
z
x1 x2
2 y1 y2
2 z1 z2
2
谢谢！
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
卦限
坐标符
号
(+,+,+) (-,+,+) (-,-,+) (+,-,+)
点P所在 Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
卦限
坐标符
号
(+,+,-) (-,+,-) (-,-,-) (+,-,-)
当堂检测
例1:在长方O体 ABCDABC中，
OA3， OC4， OD 2,
写出所有z 点.的坐标
2 D '(0,0,2)
C '0,4,2
在空间取定一点O
(原点)
z
从O出发引三条两两垂直的射线
(坐标轴) 1
选定某个长度作为单位长度
O• 1
y
Z
1
x
Y
《空间两点间的距离公式》名师课件2
当 x＝87时，|AB|有最小值 57＝ 735.
此时 A87，277，97，B1，272，67.
例题讲解
例2、已知A（1，-2，11），B（4，2，3） ，C（6，-1，4），求证其连线组成的三角 形为直角三角形。
证明：利用两点间距离公式，由
| AB | 89,| AC | 75,| BC | 14
巩固训练
1、(1)已知两点 P(1，0，1)与 Q(4，3，－1)． ①求 P、Q 之间的距离； ②求 z 轴上的一点 M，使|MP|＝|MQ|. (2)已知 A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小 值时，A、B 两点的坐标，并求此时的|AB|. 解：
(1)①|PQ|＝ （1－4）2＋（0－3）2＋（1＋1）2＝ 22. ②设 M(0，0，z)由|MP|＝|MQ|， 得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2， 所以 z＝－6.所以 M(0，0，－6)．
空间两点间的距离公式
复习引入
如何计算空间两点之间的距离?
复习引入
1.在平面直角坐标系中两点间 的距离公式是什么？
复习引入
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
y
P1
o
x
P2
复习引入
2.类比平面两点间的距离公式，你 能猜想出在空间直角坐标系中两点 间的距离公式吗？
|BC|＝ （6－4）2＋（－1－2）2＋（4－3）2＝ 14， 所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，故△ABC 为直角三角形．
例题讲解
例1、(2)如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上
空间两点间的距离公式课件
03
通过以上三个方面的扩展，我们详细 介绍了空间两点间的距离公式在二维 空间中的应用，包括平面坐标系、极 坐标系中的公式应用以及与勾股定理 的关系。这些内容有助于学生更好地 理解空间两点间的距离公式，掌握其 在不同坐标系中的应用，并加深对勾 股定理的理解。
03
空间两点间的距离公式在三维空间中的应 用
05
空间两点间的距离公式的实践应用
地球上两点间距离的计算
地球上两点间距离的计算是空间两点 间距离公式的重要实践应用之一。通 过使用地球半径和两点间的经纬度坐 标，可以计算出两点间的最短距离。
地球上两点间距离的计算在地理学、 气象学、交通规划等领域具有广泛的 应用，例如确定两城市间的最短航线 、预测天气系统移动路径等。
该公式将极坐标转换为笛卡尔坐标进行计算，同样基于勾股 定理。
距离公式与勾股定理的关系
01
勾股定理是直角三角形中直角边的关 系，即$c^2 = a^2 + b^2$，其中 $c$是斜边，$a$和$b$是直角边。
02
在二维空间中，两点之间的距离公式 实际上就是勾股定理的应用，通过计 算两点之间直线的距离，得到一个等 效的直角三角形，然后利用勾股定理 计算出距离。
空间两点间的距离公式课件
汇报人：文小库
2024-01-02
CONTENTS
• 空间两点间的距离公式概述 • 空间两点间的距离公式在二维
空间中的应用 • 空间两点间的距离公式在三维
空间中的应用 • 空间两点间的距离公式的扩展
与变形 • 空间两点间的距离公式的实践
01
空间两点间的距离公式概述
定义与公式
三维坐标系中的公式应用
适用范围
适用于三维空间中任意两点$P(x_1, y_1, z_1)$和$Q(x_2, y_2, z_2)$的距 离计算。
课件8：4.3.1 空间直角坐标系~4.3.2 空间两点间距离公式
2．坐标 如图所示，设点 M 为空间直角坐标系中的一个定点， 过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的___平__面_____， 依次交 x 轴、y 轴和 z 轴于点 P、Q 和 R.设点 P、Q 和 R 在 x 轴，y 轴和 z 轴上的坐标分别是 x、y 和 z，
那么点 M 就和有序实数组(x，y，z)是_一__一___对__应____的关系， 有序实数组___(x_，__y_，__z_)__叫做点 M 在此空间直角坐标系中 的 坐 标 ， 记 作 __M_(_x_，__y_，__z_)__ ， 其 中 x 叫 做 点 M 的 __横__坐__标____，y 叫做点 M 的__纵__坐__标____，z 叫做点 M 的
【解析】 |AB|＝ (－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝ 86.
3．点 A 在 z 轴上，它到点(2 2， 5，1)的距离是 13， 则点 A 的坐标是 ( C ) A．(0,0，－1) B．(0,1,1) C．(0,0,1) D．(0,0,13)
【解析】 设点 A 的坐标为(0,0，z)， ∵点 A 到点(2 2， 5，1)的距离是 13， ∴(2 2－0)2＋( 5－0)2＋(z－1)2＝13，解得 z＝1， 故点 A 的坐标为(0,0,1)．
B．(－1，－2，－4)
C．(1,2，－4)
D．(1，－2,4)
【解析】 关于x轴对称的点的纵坐标、竖坐标变为原来
的相反数，故选A．
3．如下图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1， 则点 B1 的坐标是( C )
A．(1,0,0) C．(1,1,1)
B．(1,0,1) D．(1,1,0)
设 D(x，y,0)，
在 Rt△AOC 中，|OA|＝2，|OC|＝3，|AC|＝ 13，
知识讲解_空间直角坐标系_基础
空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -.要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离||d AB ==特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA =2.空间线段中点坐标空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一：空间坐标系例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。
平面直角坐标系中两点之间的距离公式
平面直角坐标系中两点之间的距离公式
在平面直角坐标系中，两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离公式为：S=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]
这个公式描述了平面内两点之间的直线距离，是数学和物理学中常用的基本公式之一。
其中，S表示两点之间的距离，(x2-x1)和(y2-y1)分别表示两点在x轴和y轴上的坐标差，√表示开平方。
这个公式的推导可以通过勾股定理来实现。
假设A和B两点在x轴上的距离差为dx=(x2-x1)，在y轴上的距离差为dy=(y2-y1)，那么线段AB的长度S就可以看作是直角三角形ACB的斜边，其中AC为dx，BC为dy。
根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和，即S²=dx²+dy²，化简后得到S=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
除了平面直角坐标系中的距离公式外，还有三维空间中两点之间的距离公式。
设两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则它们之间的距离公式为：
S=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]
这个公式与平面直角坐标系中的距离公式类似，只是在x轴、y轴和z轴上分别进行了计算。
这个公式也是通过勾股定理推导得到的。
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2.3.1 空间直角坐标系及两点间的距离公式
课题： 空间直角坐标系
目的要求： 理解空间直角坐标系、掌握两点间的距离公式
重点： 两点间的距离公式
难点： 空间直角坐标系的概念
教学方法： 讲练结合
教学时数： 2课时
教学进程：
一、空间直角坐标系
在空间内作三条相互垂直且相交的数轴OzOyOx,,,这三条数轴的长度单位相同．它们
的交点O称为坐标原点． OzOyOx,,称为x轴、y轴和 z轴．一般地，取从后向前，从
左向右，从下向上的方向作为x轴，y轴, z轴的正方向（图6．1）． OzOyOx,,统称为
坐标轴．由两个坐标轴所确定的平面，称为坐标平面，简称坐标面． x轴，y轴, z轴可
以确定zOxyOzxOy,,三个坐标面．这三个坐标面可以把空间分成八个部分，每个部分称为
一个卦限．其中xOy坐标面之上，yOz坐标面之前，xOz坐标面之右的卦限称为第一卦
限．按逆时针方向依次标记xOy坐标面上的其他三个卦限为第二、第三、第四卦限．在
xOy
坐标面下面的四个卦限中，位于第一卦限下面的卦限称为第五卦限，按逆时针方向依次确定
其他三个卦限为第六、第七、第八卦限．（图2）
图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定．用右手握住z轴,当右手的四个手指
从x轴正向以90的角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是 z轴的正向．
图1 图2
二、空间一点的坐标
已知M为空间一点．过点M作三个平面分别垂直于x轴，y轴和z轴，它
们与x轴、y轴、z轴的交 点分别为Ｐ、Q、R（图3），这三点在x轴、y轴、
z
轴上的坐标分别为zyx,,．于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组
zyx,,．这组数zyx,,就叫做点M的坐标，并依次称zyx,,
为点M的横坐标，
纵坐标和竖坐标．坐标为zyx,,的点M通常记为),,(zyxM．
图3
反过来，有一个序数组zyx,,，我们在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为
y
的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴与z轴的垂
直平面．这三个垂直平面的交点M即为以有序数组zyx,,为坐标的点（图3）．
我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组zyx,,之间的
一一对应关系．
三、两点间的距离公式
设),,(),,,(22221211zyxMzyxM为空间内的两个点，由图4可知21,MM两点间的距
离为
2221212MMMNNM（12MNM是直角三角形），
其中
222
111
(MNMPPNMPN
是直角三角形），
而
,1212yyQQPN
1212PMPPxx，
.122zzNM ，
所以21MM之间的距离为
2122122
1221
)()()(zzyyMM
．
求之间的距离)3,2,1(),0,1,2(21．
解 22221)03())1(2()2)1(( 图4
.27＝
小结本讲内容： 强调空间直角坐标系、两点间的距离公式
作业：