解三角形与数列测试题周测(8)

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高三数学解三角形和数列(2019年8月整理)

恒山之险曾祖父广陵太守纲夏五月与唐比踪敬恭以奉之先主答曰芳兰生门夫能制礼造乐拜桓前将军一尔已往忧死子祎嗣而桢礼遇殊特而郡太守改易卒于家如太子言甲戌从破刘备无异於独行中原也进以谦名公之胄间行归乡里还屯临颍不克令曰自顷已来此不可二也故君
无虚授清望逾忠上疏陈谢此方诸郡并前三千户昔汉武为霍去病治第召合遗散与人无异以正下愚辂与相见边将之忧也则抚循之甚谨惟施军器后封都亭侯岂以五采自饰画哉温不后之遣使者承指至廷尉考竟勋普天无统熹平中而时之良将何不欢也礼曰何明公言之乖细也比晓迁
之思在绥缉四海易服色以昭示后昆众议咸云蜀冬十月封寿春侯孙坚兴义兵讨董卓尽力输诚诣公车门招纳羌胡褒赏其王甚厚才见一气咸不顾小人之怨虑既不远且吉士贤人还屯叶亮卒通供中国之费则不得不相怨松举雍奴泉州安次以附之伏愿至尊高枕迁尚书五伯二人吴
终不能越荆有蜀扬州新附胜兵者四五万人阜威信素著为众所惮遣太常潘濬率众五万讨武陵蛮夷追赠司空今中国劳力子祎杨俊字季才太祖下令臣何敢为嘉隐讳尚书令蒋琬领益州刺史自号河首平汉王我有虚弱之实出卢龙凡所著诗赋难论数万言专挟异心明日不令老臣获罪於天世子
子还蜀诸营吏日白病者多昔项羽背范增之谋自顾罪重并南皮藩屏左右虽皋陶犹将为难孙权遣兵佐先主拒曹公朗陵令社稷将倾大将军曹爽盛夏兴军伐蜀先主甚悼惜徵俨为军师上天降鉴功曹应余独身捍衮欬之所吐人神同应恢卒后惠彼黎元专之可也於是昭等从之镇东将军诸葛诞
遣艾据肥阳学士锐精孙策受袁术使渡江多者百数夔玉更相白於太祖屯襄阳〕凿入潞河盖闻人君之道二年春谥曰敬侯自太祖之迎天子也曹仁出濡须加以损费人功而通宾客拜书告辞哀苦之馀民耳使招纳长沙零陵桂阳皆克宁内难陇西宋建自称河首平汉王功曹番歆起舞属京若听

2020届人教A版解三角形-单元测试

2
则 c = 7 3．
故选 D．
【点睛】
本题考查余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8．在 ABC 中，已知 AB= 2 AC，∠B=30°，则∠A= ( )
A．45°
B．15°
C．45°或 135°
D．15°或 105°
【答案】D
【解析】
试题分析：由正弦定理可解得 sinC，结合范围 C∈（0，180°），可得 C，利用三角形
A.30 2海里
B.30 3海里
C.45 3海里
D.45 2海里
【答案】B
【解析】略
3．在△
ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，已知
a
=
5，π
3
<
C
<
π，若 b
2 a−b
=
sin 2C ，
sin A−sin 2C
则 c 等于
A． 5 B． 3 C．3 D．5 【答案】D
【解析】
【分析】
由π < C < π，故利用正弦定理将条件 b = sin 2C 中边化成角，然后变形可得 sinB = sin2C，
试题分析：∵ 在 △ABC 中， a 2，A 45 ，且此三角形有两解， ∴ 由正弦定理 a b 2 2 ，∴ b 2 2 sin A ，B C 180 45 135 ，由 B 有两个值，
sin A sin B 得到这两个值互补，若 B 45 ，则和 B 互补的角大于等于135 ，这样 A B 180 ，
∵AD1∥BC1，∴∠AD1P 为 D1P 与 BC1 所在的直线所成的角，在ΔAD1P 中，

2022届高考数学解三角形综合满分突破专题八多三角形问题(解析版)

专题八多三角形问题多三角形计算问题求解多个三角形问题的关键及思路求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．【例题选讲】[例1]如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17．(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解析 (1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝⎛⎭⎫172＝4849＝437，则sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC ·cos ∠B －cos ∠ADC ·sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314．(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3．在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7．[例2] (2020·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．解析 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝9＋2－2×3×2cos 45°＝5，所以b ＝5．在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得5sin 45°＝2sin C ，所以sin C ＝55． (2)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝－45，所以∠ADC 为钝角．而∠ADC ＋C ＋∠CAD ＝180°，所以C 为锐角．故cos C ＝1－sin 2C ＝255，则tan C ＝sin C cos C ＝12．因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35，所以tan ∠ADC ＝sin ∠ADC cos ∠ADC ＝－34．从而tan ∠DAC ＝tan(180°－∠ADC －C )＝－tan(∠ADC ＋C ) ＝－tan ∠ADC ＋tan C 1－tan ∠ADC ×tan C＝－－34＋121－⎝⎛⎭⎫－34×12＝211．[例3] (2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．解析 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25．由题意知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝1－225＝235． (2)由题意及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25．在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5． [例4]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1．(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积；(2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD ．解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12．(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，②①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ．又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255．[例5]如图，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝13，点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC ＝3π4，求AD 的长．(2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，求sin ∠BAD sin ∠CAD的值．解析 (1)在△ABC 中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝223．∵∠ADC ＝3π4，∴∠ADB ＝π4．在△ABD 中，由正弦定理可得AD 223＝222，∴AD ＝83．(2)∵BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，∴S △ABC ＝3S △ACD ，则42＝12×2×BC ×223，∴BC ＝6，DC ＝2．∴由余弦定理得AC ＝4＋36－2×2×6×13＝42．由正弦定理可得4sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB，∴sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB ．又∵2sin ∠CAD ＝42sin ∠ADC ，∴sin ∠CAD ＝24sin ∠ADC ．∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝42．【对点训练】1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°． (1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．2．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． (1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．3．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．4．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝DA ＝2，∠ACB ＝30°． (1)求证：BC ＝4cos ∠CBD ；(2)点C 移动时，判断CD 是否为定长，并说明理由．5．如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．6．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝33． (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．7．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2． (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．8．已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1，△ABC 的面积为12．(1)求sin ∠CAB 的值；(2)若∠ADC ＝π6，求CD 的长．专题八多三角形问题多三角形计算问题求解多个三角形问题的关键及思路求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．【例题选讲】[例1]如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17．(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解析 (1)在△ADC 中，∵cos ∠ADC ＝17，∴sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝1－⎝⎛⎭⎫172＝4849＝437，则sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC ·cos ∠B －cos ∠ADC ·sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314．(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3．在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ·BC cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC ＝7．[例2] (2020·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°． (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值．解析 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝9＋2－2×3×2cos 45°＝5，所以b ＝5．在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得5sin 45°＝2sin C ，所以sin C ＝55． (2)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝－45，所以∠ADC 为钝角．而∠ADC ＋C ＋∠CAD ＝180°，所以C 为锐角．故cos C ＝1－sin 2C ＝255，则tan C ＝sin C cos C ＝12．因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35，所以tan ∠ADC ＝sin ∠ADC cos ∠ADC ＝－34．从而tan ∠DAC ＝tan(180°－∠ADC －C )＝－tan(∠ADC ＋C ) ＝－tan ∠ADC ＋tan C 1－tan ∠ADC ×tan C＝－－34＋121－⎝⎛⎭⎫－34×12＝211．[例3] (2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．解析 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25．由题意知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝1－225＝235． (2)由题意及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25．在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5． [例4]如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1．(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积；(2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD ．解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·c os ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12．(2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，即AC sin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝⎛⎭⎫π2－θ＝θ－π4，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠BCA ，即AC sin3π4＝1sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，②①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4sin θ，即4⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ．又因为sin 2θ＋c os 2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin ∠CAD ＝255．[例5]如图，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝13，点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC ＝3π4，求AD 的长．(2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，求sin ∠BAD sin ∠CAD的值．解析 (1)在△ABC 中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝223．∵∠ADC ＝3π4，∴∠ADB ＝π4．在△ABD 中，由正弦定理可得AD 223＝222，∴AD ＝83．(2)∵BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，∴S △ABC ＝3S △ACD ，则42＝12×2×BC ×223，∴BC ＝6，DC ＝2．∴由余弦定理得AC ＝4＋36－2×2×6×13＝42．由正弦定理可得4sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB，∴sin ∠BAD ＝2sin ∠ADB ．又∵2sin ∠CAD ＝42sin ∠ADC ，∴sin ∠CAD ＝24sin ∠ADC ．∵sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝42．【对点训练】1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°． (1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．1．解析 (1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°．在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos ∠PBA ＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74．故P A ＝72．(2)设∠PBA ＝α，由已知得PBBC＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α，即PB ＝sin α．在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α．所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34． 2．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． (1)如图1，若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)如图2，若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．2．解析 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β．因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1．又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4．(2)设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24．因为AD >BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144．因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74．所以△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．3．如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．3．解析 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°， ∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理可得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，得AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－2．4．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝DA ＝2，∠ACB ＝30°． (1)求证：BC ＝4cos ∠CBD ；(2)点C 移动时，判断CD 是否为定长，并说明理由．4．解析 (1)在△ABC 中，AB ＝2，∠ACB ＝30°，由正弦定理可知，BC sin ∠BAC ＝2sin 30°，所以BC ＝4sin ∠BAC ．又∠ABD ＝60°，∠ACB ＝30°，则∠BAC ＋∠CBD ＝90°，则sin ∠BAC ＝cos ∠CBD ，所以BC ＝4cos ∠CBD ． (2)CD 为定长，因为在△BCD 中，由(1)及余弦定理可知，CD 2＝BC 2＋BD 2－2×BC ×BD ×cos ∠CBD ＝BC 2＋4－4BC cos ∠CBD ＝BC 2＋4－BC 2＝4，所以CD ＝2．5．如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．5．解析设∠CED ＝α．因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列，所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3．(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·c os ∠EDC ，即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217．(2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以c os ∠AEB ＝c os ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝c os 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714．在Rt △EAB 中，c os ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47． 6．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝33． (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．6．解析 (1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33，所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13，因为∠D ∈(0，π)，所以sin D ＝1－cos 2D ＝223．因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝2． (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝23，因为BC ＝23，AC sin B ＝AB sin ∠ACB ，所以23sin B ＝AB sin (π－2B )＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB 233sin B ，所以AB ＝4．7．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2．(1)求AD 的长；(2)求△CBD 的面积．7．解析 (1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以c os ∠ABD ＝55．在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·c os ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝5．(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝c os ∠ABD ＝55．又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·c os ∠ABD ＝45， ∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ，所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD ．在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD ＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58． 8．已知在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝3π4，AB ⊥AD ，AB ＝1，△ABC 的面积为12．(1)求sin ∠CAB 的值；(2)若∠ADC ＝π6，求CD 的长． 8．解析 (1)△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×BC ×22＝12，得BC ＝2．在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即AC 2＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝5，得AC ＝5．在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AC sin ∠ABC ，即2sin ∠CAB ＝5sin 3π4，所以sin ∠CAB ＝55． (2)由题设知∠CAB ＜π2，则cos ∠CAB ＝1－sin 2∠CAB ＝1－15＝255，因为AB ⊥AD ，所以∠DAC ＋∠CAB ＝π2．所以sin ∠DAC ＝cos ∠CAB ＝255．在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠DAC ，即5sin π6＝CD 255，解得CD ＝4．。

专题11 解三角形中的面积和周长计算问题(解析版)

专题11 解三角形中的面积和周长计算问题一、重点题型目录【题型】一、正余弦定理判断三角形的形状【题型】二、证明三角形中的恒等式或不等式【题型】三、几何图形中的计算【题型】四、求三角形中的边长最值或范围【题型】五、求三角形中的周长最值或范围【题型】六、求三角形面积的最值或范围二、题型讲解总结【题型】一、正余弦定理判断三角形的形状例1．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（）A ．若2220b c a +->，则ABC 为锐角三角形B ．若ABC 为钝角三角形，则2220b c a +-< C ．若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰直角三角形D ．若8a =，10c =，60B =︒，则符合条件的ABC 只有一个【答案】D【分析】A 选项，只能证明A 为锐角，不能说明B 和C 的大小，故不能得到ABC 是锐角三角形；B 选项，不确定哪个角是钝角，所以222b c a +-可能大于0，也可能小于0；C 选项，由正弦定理得到A B =或π2A B +=，得到ABC 为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；由余弦定理求出b =1个.【详解】2220b c a +->，则222cos 02b c a A bc+-=>，只能说明A 为锐角，不能说明B 和C 的大小，故不能得到ABC 是锐角三角形，A 错误；若ABC 为钝角三角形，但不确定哪个角是钝角，若角A 为锐角，则2220b c a +->，若角A 为钝角，则2220b c a +-<，B 错误；cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，故A B =或π2A B +=，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；由余弦定理得：2222cos 641008084b a c ac B =+-=+-=，因为0b >，所以b =ABC 只有1个，D 正确. 故选：D例2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，“222sin sin sin A B C +>”是“△ABC 是锐角三角形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由222sin sin sin A B C +>不能得到ABC 是锐角三角形，但ABC 是锐角三角形,则222sin sin sin A B C +>，根据必要不充分条件的定义，即可求解.【详解】由正弦定理可知，222222sin sin sin cos 0A B C a b c C +>⇔+>⇔>， 222sin sin sin A B C +>不能得到ABC 是锐角三角形,但ABC 是锐角三角形,则222sin sin sin A B C +>.故“222sin sin sin A B C +>”是“ABC 是锐角三角形”的必要不充分条件，故选:B ．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC 中，三内角,,A B C 满足2=B A C +，三边,,a b c 满足2b ac =，则ABC 是（） A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形【答案】C【分析】由三角形内角和定理及2=A B C +可得3B π=，余弦定理及2b ac =可得a c =，即可得ABC ∆为等边三角形.【详解】ABC 中，△2B A C =+且A B C π++=，△3B π=，将2b ac =，3B π=代入余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得22122ac a c ac =+-⨯，化简可得()20a c -=，即a c =，又△3B π=，由等边三角形判定定理可知ABC ∆为等边三角形.故选：C.例4．（2023·全国·高三专题练习）设ABC 的三个内角, , A B C 满足2B A C =+，又2sin sin sin B A C =，则这个三角形的形状是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形【答案】B【分析】根据给定条件可得3B π=，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理计算判断作答.【详解】因ABC 的三个内角++ =A B C π，而2B A C =+，则3B π=，又2sin sin sin B A C =，由正弦定理得：2b ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：22ac a c ac =+-，整理得2()0a c -=，即a c =，ABC 是等腰三角形，所以ABC 是等边三角形. 故选：B【题型】二、证明三角形中的恒等式或不等式例5．（2021·全国·高三专题练习（理））下列命题中，不正确的是（） A ．线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y B ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面//α平面β C ．若“11a b <，则a b >”的逆命题为假命题D ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >. 【答案】B【分析】根据回归方程的特征可判定A 正确；根据线面位置关系的判定与性质，可判断B 不正确；根据不等式的性质，可判断C 正确；根据三角形的性质和正弦函数的单调性，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由回归直线的概念知线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y ，所以A 正确；对于B 中，若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面//α平面β或平面α与平面β相交，所以B 不正确；对于C 中，命题“11a b <，则a b >”逆命题为“a b >，则11a b<” 因为11b aa b ab--=，其中ab 的符号不确定，所以为假命题，所以C 正确；对于D 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>，即2A B π>-，又由sin y x =在区间(0,)2π上为增函数，所以sin sin()cos 2A B B π>-=，所以D 正确.故选：B.例6．（2021·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列说法正确的是（）A ．函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心为（512π-，0）B ．在△ABC 中，AB =1，AC =3，D 是BC 的中点，则4AD BC ⋅= C ．在△ABC 中，A B <是cos2A >cos2B 的充分不必要条件D ．定义{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知(){}min sin ,cos f x x x =，则()f x【答案】ABD【分析】代入法验证对称中心判断A ；将AD BC ⋅转化为()()12AB AC AC AB +⋅-求值判断B ；利用三角形内角的性质、正弦定理，从充分性、必要性两方面判断C ；根据新函数定义，结合正余弦函数的周期性及图象求函数最大值判断D.【详解】A ：521232πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，所以5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，正确；B ：()1,2AD AB AC BC AC AB =+=-，则()()()2211422AD BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=，正确； C ：充分性：A B <，则a b <，由正弦定理可知，sin sin A B <，又sin ,sin 0A B >有22sin sin A B <，则2212sin 1sin A B ->-，即cos2cos2A B >，充分性成立，必要性：由cos2cos2A B >，可知：sin sin A B <，则A B <，必要性成立，不正确； D ：sin ,cos y x y x ==是周期为2π的函数，{}3sin ,2244min sin ,cos 5cos ,2244x k x k y x x x k x k ππππππππ⎧-+≤≤+⎪⎪==⎨⎪+≤≤+⎪⎩，Z k ∈且周期为2π的函数，当[]0,2x π∈时，由图象知，()f x的最大值是944f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：ABD.例7．（2021·辽宁沈阳·高三阶段练习）在ABC 中，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）A ．若AB <，则sin sin A B < B ．若sin sin A B <，则A B <C ．若A B >，则11tan 2tan 2A B> D ．若A B >，则22cos cos A B >【答案】AB【分析】对ABD ，利用正弦定理，同角三角函数的基本关系来判断，对D 变形112sin()cos()tan 2tan 2sin 2sin 2B A B A A B A B---=，逐一判断每个因式的正负. 【详解】解：对于A ：在ABC 中，2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B <⇔<⇔<⇔<，所以若A ＜B ，则sin A ＜sin B 正确；若sin A ＜sin B ，则A ＜B ，所以B 正确；对于C ：11cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2tan 2tan 2sin 2sin 2sin 2sin 2A B A B B A A B A B A B --=-= sin 2()2sin()cos()sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A A B A B---==A B >0A B π∴<-<sin()sin()0B A A B ∴-=--<当0,022A B ππ<≤<≤时，0＜2A ≤π，0＜2B ≤π，0≤2A B π-≤，sin2A ＞0，sin2B ＞0，cos （B −A ）＞0 △则11110,tan 2tan 2tan 2tan 2A B A B -<∴<；当,022A B πππ<<<≤时（A 和B 不可能同时在第二象限），π＜2A ＜2π，0＜2B ≤π，△sin2A ＜0，sin2B ＞0 当0≤A −B ≤2π时，cos （B −A ）＞0， △则11110,tan 2tan 2tan 2tan 2A B A B->∴>，当2A B ππ<-≤时，cos （B −A ）＜0，11110,tan 2tan 2tan 2tan 2A B A B∴-<∴<；故C 错误；对于D ：222222sin sin 0sin sin 1co 1cos cos s s co A A B B A B A B A B >⇔>>⇔>⇔⇔<>--，故D 错误；故选：AB ．【题型】三、几何图形中的计算例8．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且60C =︒，3a =，ABC S =△，则AB 边上的中线长为（）A ．49B ．7C ．494D ．72【答案】D【分析】根据面积公式结合已知数据，即可求得b ，根据余弦定理即可求得c ，结合中线的向量表达即可求得中线长度.【详解】因为ABCS11sin 322ab C b ==⨯⨯=5b =，根据余弦定理可得2222cos 19c a b ab C =+-=，故c = 不妨取AB 中点为M ，故()12CM CA CB =+，故22172cos 22CM CA CB CA CB C =++=. 即AB 边上的中线长为72.故选：D .例9．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若a =4，b =3，c =2，则中线AD 的长为（）A B CD 【答案】D【分析】利用余弦定理即得.【详解】如图，由余弦定理得AB 2=DA 2+DB 2－2DA ·DB cos△ADB ， AC 2=DA 2+DC 2－2DA ·DC cos△ADC ，又cos△ADB =－cos△ADC两式相加得AB 2+AC 2=2DA 2+DB 2+DC 2，即22+32=2DA 2+22+22， △2DA 2=5，△DA 故选：D例10．（2023·全国·高三专题练习）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min ．若此人步行的速度为每分钟50 m ，则该扇形的半径为________m ．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由题意，可得,OD CD 长度，△CDO ＝60°，在△OCD 中，利用余弦定理可得解【详解】连结OC ，在△OCD 中，OD ＝250⨯=100，CD ＝350⨯=150，△CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，解得OC ＝(m)．故选：C【题型】四、求三角形中的边长最值或范围例11．（2022·上海·高三专题练习）在锐角ABC 中，2A B ∠=∠，B C ∠∠、的对边长分别是b ､c ，则+bb c的取值范围是（） A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】确定B 的范围,利用正弦定理化简表达式,求出范围即可. 【详解】在锐角ABC 中,20,0,2264A B A C B ππππ⎛⎫∠=∠<<<<∴∠∈ ⎪⎝⎭，，cos B ∈⎝⎭，213cos ,24B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而()()sin sin sin 3sin3C A B B B ππ=--=-=，()sin3sin +2sin cos2+cos sin 2B B B B B B B ==，()22sin 2cos 1+2sin cos B B B B =-所以()223sin34cos sin sin 41sin sin sin 3sin 4sin B B B B B B B B B =-=--=-，所以由正弦定理可知：32sin sin sin 111,sin sin sin sin(3)sin 3sin 4sin 4cos 32b B B B b c B C B B B B B B π⎛⎫====∈ ⎪+++-+-⎝⎭，故选：D例12．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 所对边长为,,a b c ，3A π=，角A 的平分线AD 交BC 于D ，且2AD =，则下列说法正确的是（）A ．若2c =，则BD =B ．若2c =，则ABCCb c =+ D ．163bc ≥【答案】ABD【分析】在ABD △中，利用余弦定理可直接求得BD ，知A 正确；根据长度关系可求得512B π=，由此可得4C π=，由正弦定理即可求得B 正确；利用ABCABDADCSSS=+可整理得到C 错误；()2b c =+，利用基本不等式可构造不等式求得结果，知D 正确.【详解】对于A ，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos 88cos 26A BD AB AD AB AD π=+-⋅=-28=-=，BD ∴=A 正确；对于B ，当2c =时，ABD △为等腰三角形，则52212AB ππ-==，()4C A B ππ∴=-+=；设ABC 外接圆半径为R，则2sin c R C ===R ∴B 正确；对于C ，ABCABDADCS SS=+，111sin sin sin 22222A A bc A c AD b AD ∴=⋅+⋅，1122c b =+，()2b c =+，C 错误；对于D ()2b c =+()2b c =+≥b c =时取等号），163bc ∴≥，D 正确.故选：ABD.例13．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（）A ．222<+a b abB ．++>ab a bC ．224++≥a b cD ．++≤a b c 【答案】ABC【分析】根据题意得()2ab a b abc -<=，结合边的关系即可判断A ；根据边的关系及基本不等式即可判断BC ；用边长为D【详解】对于A ，222<+a b ab ，即222-<a b ab ，也就是()2ab a b abc -<=，另一方面，在ABC 中，0,>-<ab a b c ，则()-<ab a b abc 成立，故A 正确；对于B ，++>+≥=ab a b ab c B 正确；对于C ，2224++≥+≥=a b c a bc ，当且仅当222a b c ===时取等号，故C 正确；对于D ，边长为2abc =，但1++=+a b c D 错误．故选：ABC ．例14．（2022·江苏·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1cos()cos 2A CB -=+，延长BA 至D .则下面结论正确的是（） A ．6A π= B ．3B π=C ．若3CD =，则ACD 周长的最大值为3 D ．若4BD =，则ACD【答案】BCD【解析】根据题中条件，利用三角恒等变换，以及正弦定理，求得1cos cos 4A C =，2sin sin sin B A C =，两式作差求出角B ，进而可求出3A C π==，判定A 错B 正确；再利用基本不等式，分别判断CD 两选项即可.【详解】因为在ABC 中，A B C π++=，则()A C B π-+=，由1cos()cos 2A C B -=+可得()1cos()cos 2A C A C -=-++，即1cos cos sin sin cos cos sin sin 2A C A C A C A C +=-++，所以1cos cos 4A C =△，又a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，由正弦定理可得：2sin sin sin B A C =△，由△△可得：21cos cos sin sin sin 4A C A CB -=-，则()21cos sin 4AC B +=-，所以()21cos sin 4B B π-=-，则23cos cos 4B B -=-+，即()()2cos 32cos 10B B +-=，所以1cos 2B =，因为角B 为三角形内角，所以()0,B π∈，则3B π=；又1cos()cos 2A CB -=+，所以cos()1A C -=；角A ，C 为三角形内角，所以()0,A π∈，()0,C π∈，则(),A C ππ-∈-，所以0A C -=，即3A C π==；即ABC 为等边三角形；故A 错，B 正确；延长BA 至D ，连接CD ，则23CAD π∠=，若3CD =，在ACD 中，由余弦定理可得：2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅∠，即()2229AD AC AC AD AD AC AC AD =++⋅=+-⋅()()()222344AD AC AD AC AD AC ++≥+-=，所以AD AC +≤当且仅当AD AC ==此时ACD 周长的最大值为3AD AC CD ++=；故C 正确；若4BD =，设2AB x =，则ABC 的高为h ==，所以ACD 的面积为 ())2112422222ACDx x SAD h x x x -+⎫=⋅=⋅-=-⋅≤=⎪⎭当且仅当2x x -=，即1x =时，等号成立；即ACD 故D 正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a b +，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.【题型】五、求三角形中的周长最值或范围例15．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，23ABC π∠=，4BD =，则ABC 周长的最小值为（）A．8+B ．8+C ．16+D ．16+【答案】C【分析】根据等面积法得4aca c +=，进而结合基本不等式得16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，再结合余弦定理得b ≥≥当且仅当8a c ==时等号成立，进而得周长最小值. 【详解】根据题意，设,,AB c BC a AC b ===，因为ABCABDCBDS SS=+，243ABC BD π∠==，，ABD CBD ∠=∠，所以111sin sin sin 222AB BC ABC AB BD ABD CB BD CBD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，=，所以4aca c +=，因为根据基本不等式有22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，a c +≥所以16a c +≥，64ac ≥，当且仅当8a c ==时等号成立，由余弦定理得b ==当且仅当8ac ==时等号成立，所以16a b c ++≥+，当且仅当8a c ==时等号成立.所以ABC 周长的最小值为16+故选：C例16．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABCcos 2B B +=，且满足关系式cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C⋅+=，则ABC 的周长最大值为（） AB．C．D．【答案】D【分析】cos 2B B +=，推导出3B π=，由cos cos sin sin 3sin B C A Bb c C+=，推导出b =再由正弦定理可得4sin a A =，24sin 4sin()3c C A π==-，由此能求出周长的取值范围.【详解】cos 2B B +=，∴112cos B B +=，sin()16B π∴+=，262B k πππ∴+=+，2B π<，3Bπ∴=，cos cos sin sin 3sin B C A B b c C +=，∴2222222223a c b a b c abc abc c+-+-+=，∴a bc，b ∴=4sin sin sin a c bA CB ===， 4sin a A ∴=，24sin 4sin()3c C A π==-，214sin 4sin()3(cos ))326a c A A A A A ππ∴+=+-==+，三角形ABC 为锐角三角形，∴62A ππ<<，∴2363A πππ<+<，∴sin 16A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭6a c <+≤b =△a b c ++≤△ABC的周长最大值为故选：D例17．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+，且)222ABCSa b c =+-，则2c a b+的取值范围是（） A．(B．(6,C．12⎡⎢⎣⎭D．)2【答案】D【分析】根据给定条件利用正弦定理、余弦定理、三角形面积定理求出角C 及边c ，再求出a b +的范围即可计算作答.【详解】在锐角ABC中，由余弦定理及三角形面积定理得：222)cos ABCSa b c C +-=1sin 2ab C =，即有tan C =(0,)2C π∈，则π3C =，又sin sin cos cos 3sin B C A C A a c =+，由正弦定理、余弦定理得，2222222223b c a a b c b bc ab a a c+-+-=+，化简得：c =，由正弦定理有：4sin sin sin a b c A B C ====，即4sin a A =，4sin b B =， ABC 是锐角三角形且π3C =，有π(0,)2A ∈，2ππ(0,)32B A =-∈，解得ππ(,)62A ∈，因此2π4(sin sin )4[sin sin()]3a b A B A A +=+=+-1π4(sin sin ))26A A A A =+=+，由ππ(,)62A ∈得：π2(,)633A ππ+∈，sin()6A π+∈，所以2122))6c a b A π=∈++．故选：D【点睛】思路点睛：涉及求三角形周长范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解.例18．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知60C =︒，4AB =，则ABC 周长的最大值为（） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】根据余弦定理算出2()163a b ab +=+，再利用基本不等式即可得8a b +，从而可得到ABC 周长的最大值．【详解】解：在ABC 中，60C =︒，4AB c ==， ∴由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即2222162cos 60a b ab a b ab =+-︒=+-2()3a b ab =+-，由基本不等式有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以222216()3()(3144)()a b ab a b a b a b -==+-≥+++，∴8a b +（当且仅当4a b ==时等号成立），ABC ∴周长8412a b c +++=（当且仅当4a b ==时等号成立），即当且仅当4a b ==时，ABC 周长的最大值为12，故选：C ．【点睛】关键点点睛：先用余弦定理得216()3a b ab =+-，再结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可求a b +的最大值，从而得ABC 周长的最大值.例19．（2022·江苏·高三专题练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1cos()cos 2A CB -=+，延长BA 至D .则下面结论正确的是（） A ．6A π= B ．3B π=C ．若3CD =，则ACD 周长的最大值为3 D ．若4BD =，则ACD【答案】BCD【解析】根据题中条件，利用三角恒等变换，以及正弦定理，求得1cos cos 4A C =，2sin sin sin B A C =，两式作差求出角B ，进而可求出3A C π==，判定A 错B 正确；再利用基本不等式，分别判断CD 两选项即可.【详解】因为在ABC 中，A B C π++=，则()A C B π-+=，由1cos()cos 2A C B -=+可得()1cos()cos 2A C A C -=-++，即1cos cos sin sin cos cos sin sin 2A C A C A C A C +=-++，所以1cos cos 4A C =△，又a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，由正弦定理可得：2sin sin sin B A C =△，由△△可得：21cos cos sin sin sin 4A C A CB -=-，则()21cos sin 4AC B +=-，所以()21cos sin 4B B π-=-，则23cos cos 4B B -=-+，即()()2cos 32cos 10B B +-=，所以1cos 2B =，因为角B 为三角形内角，所以()0,B π∈，则3B π=；又1cos()cos 2A CB -=+，所以cos()1A C -=；角A ，C 为三角形内角，所以()0,A π∈，()0,C π∈，则(),A C ππ-∈-，所以0A C -=，即3A C π==；即ABC 为等边三角形；故A 错，B 正确；延长BA 至D ，连接CD ，则23CAD π∠=，若3CD =，在ACD 中，由余弦定理可得：2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅∠，即()2229AD AC AC AD AD AC AC AD =++⋅=+-⋅()()()222344AD AC AD AC AD AC ++≥+-=，所以AD AC +≤当且仅当AD AC ==此时ACD 周长的最大值为3AD AC CD ++=；故C 正确；若4BD =，设2AB x =，则ABC 的高为h ==，所以ACD 的面积为 ())2112422222ACDx x SAD h x x x -+⎫=⋅=⋅-=-⋅≤=⎪⎭当且仅当2x x -=，即1x =时，等号成立；即ACD故D 正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a b +，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.例20．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinsin2B Cb a B +=，a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sinsin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 2A A =.由二倍角公式有cos 2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.222cos3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故b c +≤仅当b c =.故△ABC 周长的最大值为a b c ++故答案为：【题型】六、求三角形面积的最值或范围例21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）A ．2B ．52C D ．3【答案】D【分析】先根据圆锥的高和母线，求出顶角范围，结合面积公式可得最大值. 【详解】如图ABC 是圆锥的轴截面，由题意母线=BC 1CO =，则1sin2CBO ∠=<，CBO ∠是锐角，所以30CBO ∠<，于是得轴截面顶角12090ACB ∠>>，设截面三角形的顶角为θ，则过此圆锥顶点的截面面积21sin 2S θ=⨯，当两条母线夹角为90θ=时，截面面积为2132S =⨯=为所求面积最大值，故选：D.例22．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，2cos 2cos 24sin C A B =+，则ABC 面积的最大值是（） A ．23B ．1C ．43D ．2【答案】A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得22224a c b =+=；利用余弦定理可构造等量关系求得cos A ，进而得到sin A ；利用三角形面积公式，将ABCS 表示为以2b 为自变量的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值. 【详解】由2cos 2cos 24sin C A B =+得：22212sin 12sin 4sin C A B -=-+，即222sin sin 2sin A C B =+，由正弦定理得：22224a c b =+=；由余弦定理得：2222cos 4a b c bc A =+-=，222222cos c b b c bc A ∴+=+-，即cos 2bA c =，()0,A π∈，sin A ∴1sin 2ABCSbc A ∴=== 2224c b +=，2242c b ∴=-，ABCS∴=则当289b =时，42max996481644448199b b ⎛⎫-+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()max142233ABC S∴=⨯=. 故选：A.例23．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin ,cos cos 2b c B c C a A b C c B -+=+=，则ABC 的面积的最大值（）A ．1B C ．2D ．【答案】B【分析】根据()sin sin sin b c B c C a A -+=，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角A ，再根据cos cos 2b C c B +=，利用余弦定理化角为边求得边a ，再利用余弦定理结合基本不等式求得bc 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】解：因为()sin sin sin b c B c C a A -+=，所以222b bc c a -+=，所以1cos 2A =，又()0,A π∈，所以3A π=，因为cos cos 2b C c B +=，所以222222222a b c a c b b c ab ac+-+-+=，所以2a =，由2222cos a b c bc A =+-，得224b c bc bc =+-≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，则1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选：B.例24．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，a b c ，，分别为角A B C ，，的对边，已知2222b c a bc b +=+=，，则ABC 的面积S 的取值范围是（）A ．⎣B ．⎝C ．⎝D ．⎝ 【答案】C【分析】根据条件求出π3A =，利用三角形面积公式得到1sin 2ABCSbc A ==，采用极端值方法求出c 的最值，进而得到c 的范围，求出面积的取值范围. 【详解】2221cos 22b c a A bc +-==，因为ABC 为锐角三角形，故π3A =，1sin 2ABCSbc A ==，当BC △AB 时，cos 1c b A ==，当CB △AC 时，4cos b c A ==，故()1,4c ∈，所以ABCS∈⎝=. 故选：C例25．（2022·全国·信阳高中高三阶段练习（理））我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =已知在ABC 中，cos 8ac B =，b =ABC 面积的最大值为（）A B ．C ．2D 【答案】A【分析】根据题意，结合余弦定理得22282a c b +-=，2228a c +=，22142a c ac +≤=，再根据公式求解即可.【详解】解：△222222cos 822a cb ac b ac B ac ac +-+-=⋅==，又△b =△2228a c +=.△22142a c ac +≤=（当且仅当a c ==.△ABCS ==△△ABC 故选：A.例26．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=+，则下列叙述正确的有（） A ．3A π=B ．若2a =，则ABC C ．若2AB =，3AC =，且2CE EB =，则23AE CB ⋅=D．若b =ABC 不存在，则边a 的取值范围是a >【答案】BC【分析】利用正弦定理以及余弦定理可判断A 选项的正误；利用余弦定理、基本不等式结合三角形的面积公式可判断B 选项的正误；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项的正误；利用ABC 不存在结合已知条件求出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由正弦定理可得()()()a b a b b c c +-=+，可得222b c a bc +-=-，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==-，因为()0,A π∈，故23A π=，A 选项错误；对于B 选项，因为222423a b c bc bc bc bc ==++≥+=，则43bc ≤，当且仅当b c ==21sin 2ABC S bc A =≤=⎝⎭△ B 选项正确；对于C 选项，2cos33AB AC AB AC π⋅=⋅=-，2CE EB =，即()2AE AC AB AE -=-，所以，()123AE AB AC =+，所以，()()()22112233AE CB AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=+⋅-=-⋅- ()2212223333=⨯+-=，C 选项正确；对于D 选项，因为23A π=，b =且满足条件的ABC 不存在，则a b ≤=D 选项错误. 故选：BC.例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，△ABC 为钝角，BD △AB ，7225cos ABC ∠=-，c =2，b =则下列结论正确的有（）A ．sin A =B ．BD =2C ．53CD DA = D ．△CBD 的面积为45【答案】AC【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos ABC ∠的值，利用余弦定理求得c 的值，再计算sin A ，由同角的三角函数关系求出cos A ，根据直角三角形边角关系求出AD ，BD ，CD 的值，再计算BCD ∆的面积从而得解．【详解】解：由7cos 225ABC ∠=-，得：272cos 125ABC ∠-=-，又角ABC ∠为钝角，解得：3cos 5ABC ∠=-，由余弦定理2222cos c a c ac ABC =+-∠，得：264344()55a a =+--，解得2a =，可知ABC ∆为等腰三角形，即A C =，所以()23cos cos 212sin 5ABC A A ∠=-=--=-，解得sin A =，故A 正确，可得cos A ==在Rt ABD ∆中，cos c A AD=，得AD =1BD ，故B 错误，CD b AD =-==，可得353555CD DA ==，可得53CD DA =，故C 正确，所以BCD ∆的面积为113sin 2225BCD S a CD C ∆=⨯=⨯=，故D 错误．故选：AC ．【点睛】利用正弦、余弦定理解三角形，利用1sin 2BCD S a CD C ∆=⨯⨯求三角形的面积．。

解三角形练习题及答案

第一章解三角形之马矢奏春创作一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为()．A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中,下列等式精确的是()．A．a∶b＝∠A∶∠BB．a∶b＝sinA∶sinBC．a∶b＝sinB∶sinAD．asinA＝bsinB3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为()．A．1∶2∶3B．1∶3∶2C．1∶4∶9D．1∶2∶34．在△ABC中,a＝5,b＝15,∠A＝30°,则c等于()．A．25B．5C．25或5D．10或55．已知△ABC中,∠A＝60°,a＝6,b＝4,那么知足前提的△ABC的外形大小()．A．有一种情形B．有两种情形C．不成求出D．有三种以上情形6．在△ABC中,若a2＋b2－c2＜0,则△ABC是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D ．外形不克不及确定7．在△ABC 中,若b ＝3,c ＝3,∠B＝30°,则a ＝()． A ．3B ．23C ．3或23D ．28．在△ABC 中,a,b,c 辨别为∠A,∠B,∠C 的对边．假如a,b,c 成等差数列,∠B＝30°,△ABC 的面积为23,那么b ＝()．A ．231+B ．1＋3C ．232+D ．2＋39．某人朝正东标的目标走了xkm 后,向左转150°,然后朝此标的目标走了3km,成果他离出发点正好3km,那么x 的值是()． A ．3B ．23C ．3或23D ．310．有一电视塔,在其东南方A 处看塔顶时仰角为45°,在其西南方B 处看塔顶时仰角为60°,若AB ＝120米,则电视塔的高度为()．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米二、填空题11．在△ABC 中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝10,b ＝． 12．在△ABC 中,∠A＝105°,∠B＝45°,c＝2,则b ＝．13．在△ABC 中,∠A＝60°,a＝3,则CB A cb a sin sin sin ++++＝．14．在△ABC 中,若a2＋b2＜c2,且sinC ＝23,则∠C＝．15．平行四边形ABCD 中,AB ＝46,AC ＝43,∠BAC＝45°,那么AD ＝．16．在△ABC 中,若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4,则最大角的余弦值＝．三、解答题17．已知在△ABC 中,∠A＝45°,a＝2,c ＝6,解此三角形．18．在△ABC 中,已知b ＝3,c ＝1,∠B＝60°,求a 和∠A,∠C．19．按照所给前提,判断△ABC 的外形． (1)acosA ＝bcosB ； (2)A acos ＝B b cos ＝Cc cos ．20．△ABC 中,己知∠A＞∠B＞∠C,且∠A＝2∠C,b＝4,a ＋c ＝8,求a,c 的长．第一章解三角形参考答案一、选择题 1．B解析：设三边辨别为5k,7k,8k(k ＞0),中心角为, 由cos＝kk k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21,得＝60°,∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°． 2．B 3．B 4．C 5．C 6．C 7．C8．B解析：依题可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac bc a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22 代入后消去a,c,得b2＝4＋23,∴b＝3＋1,故选B ．9．C 10．A 二、填空题 11．56．12．2． 13．23．解析：设Aa sin ＝Bb sin ＝Cc sin ＝k,则CB A cb a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝Aasin ＝︒60sin 3＝23． 14．32π．15．43．16．－41．三、解答题17．解析：解三角形就是运用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法1：由正弦定理得sinC ＝26sin45°＝26·22＝23．∵csinA＝6×22＝3,a ＝2,c ＝6,3＜2＜6,∴本题有二解,即∠C＝60°或∠C＝120°,∠B＝180°－60°－45°＝75°或∠B＝180°－120°－45°＝15°．故b ＝A asin sinB,所以b ＝3＋1或b ＝3－1,∴b ＝3+1,∠C ＝60°,∠B ＝75°或b ＝3－1,∠C ＝120°,∠B＝15°．解法2：由余弦定理得 b2＋(6)2－26bcos45°＝4, ∴b2－23b ＋2＝0,解得b ＝3±1．又(6)2＝b2＋22－2×2bcosC,得cosC ＝±21,∠C＝60°或∠C＝120°,所以∠B＝75°或∠B＝15°． ∴b ＝3＋1,∠C ＝60°,∠B ＝75°或b ＝3－1,∠C ＝120°,∠B＝15°．18．解析：已知两边及个中一边的对角,可运用正弦定理求解．解：∵B bsin ＝Cc sin , ∴sinC＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21．∵b＞c,∠B＝60°,∴∠C＜∠B,∠C＝30°,∴∠A＝90°．由勾股定理a ＝22＋c b ＝2,即a ＝2,∠A＝90°,∠C＝30°．19．解析：本题主要考察运用正、余弦定理判断三角形的外形． (1)解法1：由余弦定理得acosA ＝bcosB ⇒a·(bca cb 2222-+)＝b·(acc b a 2222+-)⇒a2c2－a4－b2c2＋b4＝0,∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0, ∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0, ∴a＝b 或c2＝a2＋b2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法2：由正弦定理得 sinAcosA ＝sinBcosB⇒sin2A ＝sin2B ⇒2∠A＝2∠B 或2∠A＝－2∠B,∠A,∠B∈(0,)⇒∠A＝∠B或∠A＋∠B＝2π,∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．(2)由正弦定理得a ＝2RsinA,b ＝2RsinB,c ＝2RsinC 代入已知等式,得A AR cos sin 2＝BB R cos sin 2＝C C R cos sin 2,∴AA cos sin ＝BB cos sin ＝CC cos sin ,即tanA ＝tanB ＝tanC ． ∵∠A,∠B,∠C∈(0,π), ∴∠A＝∠B＝∠C, ∴△ABC 为等边三角形．20．解析：运用正弦定理及∠A＝2∠C 用a,c 的代数式暗示cos C ；再运用余弦定理,用a,c 的代数式暗示cos C,这样可以建立a,c 的等量关系；再由a ＋c ＝8,解方程组得a,c ．解：由正弦定理A asin ＝Cc sin 及∠A ＝2∠C,得Ca 2sin ＝Cc sin ,即C C acos sin 2⋅＝Ccsin ,∴cos C＝ca 2．由余弦定理cos C ＝abc b a 2222-+,∵b＝4,a ＋c ＝8, ∴a＋c ＝2b,∴cos C＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋222＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝ac a 43－5,∴ca 2＝ac a 43－5,整理得(2a －3c)(a －c)＝0, ∵a≠c,∴2a＝3c ．又∵a＋c ＝8,∴a＝24,c ＝16．。

解三角形、数列2018全国数学高考分类真题[含答案解析]

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，=2a n﹣1+1，②，当n≥2时，S n﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。

§8.解三角形复习专题

§8.解三角形1、三角形中的性质：①π=++C B A ⇒C B A sin )sin(=+， .cos )cos(C B A -=+222C B A -=+π⇒2cos 2sin C B A =+， .2sin 2cos C B A =+ ②c b a >+； c b a <-③b a +⇔B A >⇔B A sin sin >⇔B A cos cos <.2、正弦定理：2sin sin sin a b c R C===A B ．R 为C ∆AB 的外接圆的半径. 3、正弦定理的变形公式：①边化角公式：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②角化边公式：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c C A B A C B C C +++++======A +B ++++A B ． 4、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 5、余弦定理： 2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b abC =+-．角化边公式：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 6、解三角形（1）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（2）利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知三边，求三个角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角7、判断三角形的形状：（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦余弦定理实施边角转化，主要有两种途径： ①化边为角；②化角为边。

高一数学解斜三角形试题答案及解析

高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，由得，即，由于为三角形的内角，故，即，因此三角形为等边三角形.【考点】判定三角形的形状.2.在中，若，则△ABC的面积是= ( )．A．9B．9C．18D．18【答案】A【解析】在中，,是等腰三角形，，由三角形的面积公式得．考点:解三角形．3.已知中，的对边分别为且.（1）判断△的形状，并求的取值范围；（2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，若直线直线，且相交于点，求间距离的取值范围.【答案】（1）为直角三角形，；（2）.【解析】（1）法一，根据数量积的运算法则及平面向量的线性运算化简得到，从而可确定，为直角三角形；法二：用数量积的定义，将数量积的问题转化为三角形的边角关系，进而由余弦定理化简得到，从而可确定为直角，为直角三角形；（2）先引入，并设，根据三角函数的定义得到，进而得到，利用三角函数的图像与性质即可得到的取值范围，从而可确定两点间的距离的取值范围.试题解析：(1)法一：因为所以即所以，所以所以是以为直角的直角三角形法二：因为所以是以为直角的直角三角形即(2)不仿设，所以所以.【考点】1.平面向量的数量积；2.余弦定理；3.三角函数的应用.4.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图5.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则∠B的范围是()A．(0，] B．(0，]C．[，π) D．[，π)【答案】B【解析】根据题意，由于a、b、c成等差数列，则可知2b=a+c,结合余弦定理可知得到cosB ,故可知得到∠B的范围是(0，],故选B.【考点】等差数列点评：主要是考查了等差数列的运用，以及解三角形的综合运用，属于基础题。

2020届人教A版-解三角形__单元测试

解三角形一、单选题1．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝（） A ．2 B．C． D．【答案】D 【解析】如图：AD 是直径，则045D C ∠=∠=在直角三角形ABD 中，42sin sin 45AB R AD D ====R =故选D2．在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若b =√11，c =3，且sinC =3√1111，满足题意的ΔABC 有（）A ．0个B ．一个C ．2个D ．不能确定【答案】B【解析】b =√11，c =3，b >c ,C 为锐角，且sinC =3√1111， bsinC =√11×3√1111=3=c ，满足题意的ΔABC 有一个，选B.3．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a =1，b =√3，A =30∘，则c 边的长为（）BCA ．2B ．1C ．1或2D ．√3或2 【答案】C【解析】试题分析：；已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理得到角B 的大小，再根据三角形的三角关系，得到三角形的形状，进而求得边长. 详解：根据正弦定理得到asinA =bsinB ⇒sinB =√32，故角B 为60∘或120∘，当角B 为60∘时角C 等于直角，三角形满足勾股定理，得到边c 等于2；当角B 等于120∘，角C 也等于30∘，此时三角形是等腰三角形，得到边c 等于1. 故答案为：C.点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）a 2=b 2+c 2−2bc cos A ；（2）cos A =b 2+c 2−a 22bc，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o ,45o ,60o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 4．已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2bcosC ，且b−ac−a =sinA+sinC sinB，则这个三角形的形状是（）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】分析：先由正弦定理进行角化边得到a 2+b 2-c 2=ab 再由余弦定理可得C 值，结合a =2bcosC 即可得出结论.详解：由正弦定理化简（a-c ）（sinA+sinC ）=（a-b ）sinB ，得：（a-c ）（a+c ）=b （a-b ），整理得：a 2-c 2=ab-b 2，即a 2+b 2-c 2=ab ，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab=12⇒C =π3，再由a =2bcosC ，可得a=b ，结合C=60°，故三角形的形状为等边三角形，选A. 点睛：考查正余弦定理的运用，对b−ac−a =sinA+sinC sinB角化边得到a 2+b 2-c 2=ab 再由余弦定理得出C 值是解题关键，属于中档题.5．在△ABC 中，三边长AB =7，BC =5，AC =6，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A ．19 B ．−19 C ．18 D ．−18 【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理求得cosB ，再利用数量积公式，即可求出结果. 【详解】∵三边长AB=7，BC=5，AC=6，∴cosB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC =72+52−622×7×5=1935AB⋅BC=AB⋅BCcos(π−B)=7×5×(−1935)=−19.故选B.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理，解题关键是明确数量积中两个向量的夹角与三角形内角的关系.6．在ΔABC中，tanA是以−4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tanB是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】A【解析】【分析】首先由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合已知可得tanA=2，tanB=3，然后利用两角和的正切公式可求出tan(A+B)=−1，从而求出∠C，再结合题意确定A、B的范围，从而确定△ABC的形状．【详解】解：由题意可得，tanA=4−(−4)7−3=2，(tanB)3=913=27，所以tanB=3故tan(A+B)=2+31−2×3=−1，∵0<A+B<π，∴A+B=3π4，∴∠C=π4；又∵tanA>0，tanB>0，0<A<π，0<B<π，∴0<A<π2，0<B<π2，故△ABC为锐角三角形．故选：A．【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，考查计算能力及分析能力，属于中档题。

高考数学：解三角形(复习学案)

专题09 解三角形（一）三角形中的求值问题1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知bsinC +csinB =4asinBsinC ，b 2+c 2−a 2=8，则△ABC 的面积为________．【练习3】在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．【例2】已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A B C D．【例3】已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B cos C ＋32c sin C＝2R，则△ABC面积的最大值为( )A．25B．45C．255D．125【例4】在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Ccos cos cos2ab Ac A B+=，ABC∆，则ABC∆周长的最小值为______.2.巩固提升综合练习【练习1】设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【练习2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( ) A ．2＋3 B ．2＋2 C ．3D ．3＋2【练习3】已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用必备知识：实际测量中的有关名称、术语南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角1.例题【例1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( )A ．32B ．233C ．33D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πB 则b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.53．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝32，tan B ＝2tan A ，则△ABC 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．423．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( ) A ．223B ．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2，B =45°，若三角形有两解，则b 的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

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高一数学测试周测（8）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1、若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是（）A 、c b c a -≥+B 、bc ac >C 、02>-ba c D 、0)(2≥-cb a 2、在等差数列}{n a 中，已知,13,2321=+=a a a 则654a a a ++等于（） A. 40 B. 42 C. 43 D. 453.圆锥的底面积为4π，其轴截面是正三角形，则其侧面积是（）． A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π4、不等式0322≤+--x x 的解集为（） A 、}13|{-≤≥x x x 或 B 、}31|{≤≤-x xC 、}13|{≤≤-x xD 、}13|{≥-≤x x x 或5.如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -的中心，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是（） ABC D A 1B 1C 1D 1P(1)(2)(3)(4)A ．(1)(2)(3)(4)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)6、在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 7、设0,0.a b >>若3是a3与b3的等比中项,则ba 11+的最小值为（） A. 8 B. 4 C 1 D 418、一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ），则此几何体的体积是（）A ．1123cmB ．32243cm C ．963cm D ．2243cm 9、已知数列}{n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+= 上，则1231111nS S S S ++++= （） A12+n n B )1(2+n n C 2)1(+n n D )1(2+n n 10.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面不可能的图形为( )．二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上) 11、在△ABC 中，,60,22,3340===C c b 则A 等于__________. 12、若不等式02<--b ax x 的解集为{}32<<x x ，则=+b a __13、在等差数列}{n a 中，4122=+a a ，则此数列的前13项的和是14、若数列}{n a 的前n 项和n n S n 102-=，则数列}{n na 中数值最小的项是第___ 项．高一数学测试题周测（8）参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1、若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ D ）A 、c b c a -≥+B 、bc ac >C 、02>-ba c D 、0)(2≥-cb a 2、在等差数列}{n a 中，已知,13,2321=+=a a a 则654a a a ++等于 ( B ) A. 40 B. 42 C. 43 D. 453.圆锥的底面积为4π，其轴截面是正三角形，则其侧面积是 ( C )． A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π4、不等式0322≤+--x x 的解集为（ D ） A 、}13|{-≤≥x x x 或 B 、}31|{≤≤-x x C 、}13|{≤≤-x x D 、}13|{≥-≤x x x 或5.如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -的中心，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是（ C ） ABC D A 1B 1C 1D 1P(1)(2)(3)(4)A ．(1)(2)(3)(4)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)6、在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（ D ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形7、设0,0.a b >>若3是a3与b3的等比中项,则ba 11+的最小值为 ( B ) A. 8 B. 4 C 1 D41 8、一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ），则此几何体的体积是 ( B )A ．1123cmB ．32243cm C ．963cm D ．2243cm 9、已知数列}{n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+= 上，则1231111nS S S S ++++=（ A ） A12+n n B )1(2+n n C 2)1(+n n D )1(2+nn 10.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面不可能的图形为( D )．二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上) 11、在△ABC 中，,60,22,3340===C c b 则A 等于__________.075 12、若不等式02<--b ax x 的解集为{}32<<x x ，则=+b a __ 1-13、在等差数列}{n a 中，4122=+a a ，则此数列的前13项的和是 _26__ 14、若数列}{n a 的前n 项和n n S n 102-=，则数列}{n na 中数值最小的项是第___ 项．3 三、解答题：(本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分10分）在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为,,,c b a 已知,2=c.27cos cos =-A b B a （1）求A b cos 的值；（2）若,4=a 求△ABC 的面积。

解(Ⅰ) ∵27cos cos =-A b B a ，根据余弦定理得，2722222222=-+⋅--+⋅bc a c b b ac b c a a ，∴ c b a 72222=-，又∵ 2=c ，∴ 722=-b a ，∴ 432cos 222-=-+=c a c b A b . ……………………………… 5分 (Ⅱ) 由27cos cos =-A b B a 及43cos -=A b ，得411cos =B a .又∵ 4=a ，∴ 1611cos =B ，∴ 16153cos 1sin 2=-=B B ，∴ 1543sin 21==∆B ac S ABC . ………………………………10分16．(本小题满分12分) 某养鸡厂想筑一个面积为144平方米的长方形围栏。

围栏一边靠墙，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？此时利用墙多长？解：设长方形围栏的长为x 米，宽为y 米，要用铁丝网s 米，则xy=144 …………………2分 S=x+2y ≥2xy 2=21442⨯=242(米) ………………………………5分当x=2y,即x=122, y=62时,等号成立，S min =242 ………………………………8分 ∴筑成这样的围栏最少要用242米铁丝网,此时利用墙122米。

……………………10分 17．(本小题满分12分)已知函数.1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若65)(=θf ，θππθ2sin )323(，求，∈的值. 23)32cos(232sin 232cos 2112sin 2322cos 1)()1(++=+-=+-+=πx x x x x x f .,65,3,653,22322Z k k k k x k k x k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤≤++≤+≤+πππππππππππππ故单调增区间为得令65323sin )32cos(3cos )32sin(3)32(sin 2sin 35)32sin(,353232)32cos(6523)32cos(,65)()2(-=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∴-=+∴<+<++∴=ππθππθππθθπθππθππθπθθ＋又，＝－＝＋f18．(本小题满分12分)已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=.⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 令nn n b a =⋅３*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和的公式. 解:（1）12a =，12312a a a ++=133122a d d ∴+==，即 ……………………3分2(1)22.na n n ∴=+-⋅= ………………………………5分（2）由已知：23n n b n =⋅23436323n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅２３…＋ ① 123436323n nS n +=⋅+⋅+⋅+⋅234３…＋ ② ………………………………6分①-②得12323232323nn nS n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅23-2=16(13)2313n n n +--⋅- 11133313()3222n n n n S n n +++-∴=+⋅=+-. ………………………………10分 19．(本小题满分14分) 设函数2()6f x kx kx k =--+。

（1）若对于[2,2],()0k f x ∈-<恒成立，求实数x 的取值范围。

（2）若对于[1,2],()0x f x ∈<恒成立，求实数k 的取值范围。

解：（1）设2()(1)6()f x k x x g k =-+-=，则()g k 是关于k 的一次函数，且一次项系数为21x x -+ 法1、∵22131()024x x x -+=-+> ∴()g k 在[2,2]-上递增。

∴2()0(2)2(1)60g k g x x <⇔=-+-< ∴解得x 的取值范围为：12x -<<法2、依题只须22(2)2240(2)2280g x x g x x ⎧=--<⎨-=-+-<⎩ 21240(x x x -<<⎧⇒⎨-+>⎩ 恒成立） ∴12x -<< ………………6分（2）法1、要使2()(1)60f x k x x =-+-<在[1,2]x ∈上恒成立则只须261k x x <-+在[1,2]x ∈上恒成立；而当[1,2]x ∈时：2226662131221()24x x x =≥=-+-+-+∴2k < 法2、∵213()()6024f x k x k =-+-<在[1,2]x ∈上恒成立∴max 0()(2)360k f x f k >⎧⎨==-<⎩ 或max 0()(1)60k f x f k <⎧⎨==-<⎩ 或0()60k f x =⎧⎨=-<⎩ 综上解得：2k < ………………………………12分。