高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质
新人教B版高中数学必修二教学课件 第一章 立体几何初步 1.2.3《(第2课时)平面与平面垂直》
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， 又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC．
[点评]
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直
线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线 与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中， 高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看 到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
求证：平面ABC⊥平面SBC．
[ 解析]
解法一：取 BC 的中点 D，连接 AD、SD.
由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角 形，则 AB＝AC． ∴AD⊥BC，SD⊥BC． 2 令 SA＝a，在△SBC 中，SD＝ 2 a， 2 又∵AD＝ AC －CD ＝ 2 a，
2 2
∴AD2＋SD2＝SA2. 即 AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面 SBC． ∵AD⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 SBC．
[解析]
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC． 又∵CC1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC， ∴CC1⊥AD. 又BC∩CC1＝C， ∴AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.
三棱锥 S －ABC 中，∠ BSC ＝ 90°，∠ ASB＝ 60°，∠ ASC ＝60°，SA＝SB＝SC．
当 F 为 PC 的中点时，满
足平面 DEF⊥平面 ABCD. 取 AD 的中点 G，PC 的中点 F，连 接 PG、BG、DE、EF、DF，则 PG⊥ AD，而平面 PAD⊥面 ABCD， 所以 PG⊥平面 ABCD.在△PBC 中， EF∥PB； 在菱形 ABCD 中，GB∥DE，而 EF⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE ＝E，∴平面 DEF∥平面 PGB.又 PG⊥平面 ABCD，PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
立体几何第六讲面面垂直练习题(含答案)
第六节 面面关系(一)平行 (二)垂直1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2．【2012高考江西文19】（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG .（1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2）求多面体CDEFG 的体积。
3.如图，已知空间四边形中，,BC AC AD BD ==，E是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ；B 1C BADC 1A 1AEDBCA AC⊥平面BDE.（2）求证：平面15.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，∠PDDAB,60平面ABCD，PD=AD，=⊥︒点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值第六节 面面关系答案（一）平行 （二）垂直1.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EG GF ⊥又因为CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG . （2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，所以所求体积为11125520335DECF S GO ⋅=⨯⨯⨯=正方形3.证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 4.证明：（1）设AC BD O ⋂=，∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO又1AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥，1AC AA A⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC5.（1）证明：连接BD.ADB DAB AD AB ∆∴︒=∠=,60, 为等边三角形.E 是AB 中点，.DE AB ⊥∴⊥PD 面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，.PD AB ⊥∴⊂DE 面PED ，PD ⊂面PED ，⊥∴=AB D PD DE , 面PED. ⊂AB 面PAB ，⊥∴PED 面面PAB.（2）解：⊥AB 平面PED ，PE ⊂面PED ，.PE AB ⊥∴ 连接EF ，⊂EF PED ，.EF AB ⊥∴PEF ∠∴为二面角P —AB —F 的平面角. 设AD=2，那么PF=FD=1，DE=3. 在,1,2,7,===∆PF EF PE PEF 中,147572212)7(cos 22=⨯-+=∠∴PEF 即二面角P —AB —F 的平面角的余弦值为.1475立体几何练习题1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n ． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A ．B ．CD ．3.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是 边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（） A ． 8πB ．C ．D ． 8π4.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 长为（）A ． 5B ． 2C ． 3D ． 55.如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（） A ． AC⊥SB B ．AB∥平面SCDC ． SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ． AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角6.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ） A ． 1＜d 1＜d 2 B ． d 1＜d 2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜17.在锐角的二面角βα--EF ，A EF ∈，AG α⊂， 45=∠GAE ，若AG 与β所成角为 30，则二面角βα--EF 为__________. 8.给出下列四个命题：(1)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//； (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；(3)两条异面直线中的一条平行于平面α，则另一条必定不平行于平面α； (4)b ,a 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个． 其中正确命题的序号是_______________________9.已知正方体 1111ABCD A B C D -中，点E 是棱 11A B 的中点，则直线AE 与平而 11BDD B 所成角的正弦值是_________.EFA Gαβ10.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090ABC ∠=，122AC AA ==，2AB =，M 为1BB 的中点，则1B 与平面ACM 的距离为______11.边长分别为a 、b 的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则ba的取值范围是 ． 12.已知矩形ABCD 的长4AB =，宽3AD =，将其沿对角线BD 折起，得到四面体A BCD -，如图所示， 给出下列结论：①四面体A BCD -体积的最大值为725； ②四面体A BCD -外接球的表面积恒为定值；③若E F 、分别为棱AC BD 、的中点，则恒有EF AC ⊥且EF BD ⊥； ④当二面角A BD C --为直二面角时，直线AB CD 、所成角的余弦值为1625； ⑤当二面角A BD C --的大小为60︒时，棱AC 的长为145． 其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)． 13.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角．（I ）求证：平面B 1AC⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值．14.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5． （1）若PB⊥BC，证明平面BDE⊥平面ABC ． （2）求直线BD 与平面ABC 所成角的正切值．15.如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为DD 1的中点． （1）求证：直线BD 1∥平面PAC ；4343AB CD4334DCBA（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．16.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：AC⊥平面PDB（2）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求二面角M﹣AC﹣D的正切值．18.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．19.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：A1C⊥AB1；（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．20.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．试卷答案1.B：解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误；由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误；由面面平行的性质定理，易得③正确；由线面平行的性质定理，我们易得④正确；故选B2.D考点：棱柱的结构特征．专题：空间角．分析：找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值．解答：解：连接BD，；∵DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD的射影，∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角；设AB=1，则BD=，BD1=，∴cos∠DBD1===；故选：D．点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题．3.C考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为△ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：r==．所以外接球的体积为：V=πr3=π×（）3=．故选：C．点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．4.D考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP为长方体的对角线，求出OP即可．解答：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，则a2+b2+c2=32+42+52=50因为OP为长方体的对角线．所以OP=5．故选：D．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题．5.D考点：直线与平面垂直的性质．专题：综合题；探究型．分析：根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．解答：解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．6.D考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2＜d1＜1．解答：解：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1．同理，d1＜1．再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d2＜d1．所以d2＜d1＜1．故选D．点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．7.48.(2)(4)10.111.1 (,) 212.②③④13.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：证明题．分析：（I）欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；（II）过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM 中求出此角的正弦值即可．解答：解：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M⊥平面B1AC．∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．14.考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得DE⊥AC，DE2+EF2=DF2，从而DE⊥平面ABC，由此能证明平面BDE⊥平面ABC．（2）由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值．解答：（1）证明：∵在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，∴DE⊥AC，DE=3，EF=4，DF=5，∴DE2+EF2=DF2，∴DE⊥EF，又EF∩AC=F，∴DE⊥平面ABC，又DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（2）∵DE⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∵PB⊥BC，∴AB⊥BC，∴AC==10，∴，由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，tan∠DBE==．∴直线BD与平面ABC所成角的正切值为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15.考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：证明题．分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得PO∥BD1，从而证明直线BD1∥平面PAC．（2）证明AC⊥BD，DD1⊥AC，可证AC⊥面BDD1B1，进而证得平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，利用边角关系求得∠CPO的大小．解答：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，∵PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC．（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．∵BD⊂平面BDD1B1，D1D⊂平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角．依题意得，，在Rt△CPO中，，∴∠CPO=30°∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°．点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题．16.考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据题意证明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；（2）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，又BD∩PD=D∴AC⊥平面PDB，（3分）（2）设AC∩BD=O，连接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，（5分）又O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，OE=PD，在Rt△AOE中，OE=PD=AB=AO，∴∠AEO=45°，（7分）即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．（8分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．17.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：（Ⅰ）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OM∥PB，由此能够证明PB∥平面ACM．（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC=1，知AC⊥AD，由此能够证明AD⊥平面PAC．（Ⅲ）取DO中点N，连接MN，由MN∥PO，知MN⊥平面ABCD．过点N作NE⊥AC于E，由E为AO中点，连接ME，由三垂线定理知∠MEN即为所求，由此能求出二面角M﹣AC﹣D的正切值．解答：（Ⅰ）证明：连接OM，BD，∵M，O分别为PD和AC中点，∴OM∥PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，∴PB∥平面ACM…．（4分）（Ⅱ）证明：由已知得PO⊥平面ABCD∴PO⊥AD，∵∠ADC=45°，AD=AC=1，∴AC⊥AD，∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．…..（8分）（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，则MN∥PO，∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M﹣AC﹣D的平面角，∵MN=1，NE=∴tan∠MEN=2…..（13分）点评：本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂直线定理的合理运用．18.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD，又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3∴OC=在△PAC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握19.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）利用线面垂直的判定定理证明A1C⊥平面AB1C1，即可证明A1C⊥AB1；（3）证明∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角，点E为BB1的中点，确定DE⊥A1D，再求三棱锥C﹣A1DE 的体积．解答：（1）证明：连结AC1，交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（3分）（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1=AC，所以AC1⊥A1C…（4分）因为CA⊥CB，B1C1∥BC，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥A1C…（6分）因为B1C1∩AC1=C1，所以A1C⊥平面AB1C1所以A1C⊥AB1…（8分）（3）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，因为AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，CD⊥平面ABB1A1．所以CD⊥DE，CD⊥DB，所以∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角．在Rt△DEB中，．由AA1=AC=CB=2，CA⊥CB，所以，．所以，得BE=1．所以点E为BB1的中点．…（11分）又因为，，，A1E=3，故，故有DE⊥A1D所以…（14分）点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥C﹣A1DE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．20.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C 和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC解答：证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz如图．设底面边长为a，则高．于是，，，，故OC⊥SD从而AC⊥SD（2）由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量．设所求二面角为θ，则，所求二面角的大小为30°．（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，且设，则而即当SE：EC=2：1时，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结精编版38页PPT
高中数学必修2立体几何专题-线面垂 直方法总结精编版
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
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，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
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谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
高二数学会考专题辅导专题二十五立体几何(四)—线面、面面面垂直的判定和性质定理练习(无答案)
专题二十五 立体几何（四）—线面、面面面垂直的判定和性质定理（一）知识梳理：（二）例题讲解：考点1：垂直关系的判定ββαβαβαβαβαβαβαβαβα⊥⇒⊥=⋂⊥⊥⇒⊥⊥⊥⇒⊥⊥⇒⊥⊂⊥n m n m D n m n m C n m n m B n m n m A n m ,,.//,,.//,,//.,,.,1 ）面命题中正确的是（ 是两个不同的平面，下、是两条不同的直线，、设例易错笔记：心的是三边的距离相等，则到心；若的是距离相等，则的三个顶点到内的射影，若在平面是外一点，所在平面是、例________2ABC O ABC P ABC O ABC P P O ABC P ∆∆∆∆∆αα心是两两垂直，则若____,,ABC O PC PB PA ∆易错笔记：考点2：垂直问题的证明1B A BEDF A BD AC F CC E D C B A ABCD 平面的交点，求证：、是中点，是中、如图，在正方体例⊥-111111,3易错笔记：BGDBEF AC DA CD G F E DA CD BC AB ABCD 平面的中点，求证：平面分别是中，、如图，在空间四边形例⊥==,,,,,4易错笔记：例5、如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC易错笔记：（三）练习巩固：1、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC=BC,M 是A 1B 1的中点．求证C 1M ⊥平面11ABB A ；P A B C2、在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB =1，21=AA . (1) 求1BC 与ABCD 平面所成角的余弦值; (2) 证明：BD AC ⊥1；3、在四棱锥ABCD P -中，底面是边长为a 的正方形，侧棱a PD =，a PC PA 2==.（1）求证：ABCD PD 平面⊥；（2） 求证：AC PB ⊥；（3）求PA 与底面所成角的大小；4、如图，BC⊥平面PAB，AE⊥PB，AF⊥PC,PA=AB=BC=2，PA⊥面ABC，（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；（2）求二面角P—BC—A的大小；（3）求三棱锥P—AEF的体积.AB CPEF。
高考数学复习点拨 例说线面垂直的判定
例说线面垂直的判定立体几何中线面垂直关系的证明是同学们体会和理解逻辑推证的最好素材，此处有些同学往往知道要通过线线关系或面面关系去推导线面关系，但就是找不到正确的直线或平面．要么是随意入手而瞎推一气，要么是混淆中间命题，用一些想当然的结论作为依据来推证结果．下面对线面垂直证明中的常见的找线、面的方法进行分类评析，供同学们参考．一、判定线面垂直的常用方法①定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则线面垂直；③如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面；④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面；⑤如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面； ⑥如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面．二、线面垂直的证明中的找线技巧◆ 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直例1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ．设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =． 在Rt △11A C M 中，22194A M a =． ∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴1A O ⊥平面MBD ．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．◆ 利用面面垂直寻求线面垂直例2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC⊥平面PAC．证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．（另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．。
新必修二-第八章.立体几何初步-8.6空间直线、平面的垂直(知识点一：直线与平面垂直)
8.6空间直线、平面的垂直（知识点一：直线与平面垂直）一．选择题（共30小题）1．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝，D为直角边BC上的一点，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H 在线段AB上，设AH＝x，则x的取值范围是（）A．（1，）B．（，1）C．（，）D．（0，1）2．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F 的长的最大值为（）A．B．C．D．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AP＝2，AB ＝BC＝1，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设PF＝λPC，则λ＝（）A．B．C．D．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（）A．A1C⊥面AB1D1B．A1C⊥面AB1C1DC．A1B⊥面AB1D1D．A1B⊥AD15．如图，在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5B．6C．7D．86．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC，则点S在平面ABC的射影一定在（）A．BC边的中线上B．BC边的高线上C．BC边的中垂线上D．∠BAC的平分线上8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C9．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能使a⊥b成立是（）A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN⊥CC1B．MN⊥平面ACC1A1C．MN∥AB D．MN∥平面ABCD11．已知三条直线a，b，c及平面α，具备以下哪一条件时a∥b？（）A．a∥α，b∥αB．a⊥c，b⊥cC．a⊥c，c⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α12．如图在矩形ABCD中，，BC＝2，将△ACD沿着AC折起．使得D折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，其中面面互相垂直的对数为（）A．2对B．3对C．4对D．5对13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论中正确的有：（）①总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE；②总有BM∥平面A1DE；③存在某个位置，使DE⊥A1C．A．①②B．①③C．②③D．①②③14．在空间直角坐标系中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，c），D（2，d，﹣1），若直线OD⊥平面ABC，则实数c，d的值分别是（）A．2，﹣1B．﹣2，1C．，1D．，﹣115．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB1⊥BC，则B1在底面ABC上的射影H 必在（）A．直线AC上B．直线BC上C．直线AB上D．△ABC内部16．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④17．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，BC⊥AC求证：BC⊥P A证明：因为平面P AC⊥平面ABC平面P AC∩平面ABC＝ACBC⊥AC，BC⊂平面ABC所以______．因为P A⊂平面P AC．所以BC⊥P AA．AB⊥底面P AC B．AC⊥底面PBC C．BC⊥底面P AC D．AB⊥底面PBC 18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部19．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内（）A．不存在与l垂直的直线B．存在一条与l垂直的直线C．存在无数条与l垂直的直线D．任一条都与l垂直20．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（）A．4B．C．D．21．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则（）A．AE⊥CC1B．AE⊥B1D1C．AE⊥BC D．AE⊥CD22．已知P是△ABC所在平面外一点，P A，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心23．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A．B．C．D．24．如图所示，已知P A⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，令PD＝x，∠BPC＝θ，则（）A．B．C．D．25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC中直角三角形的个数为（）A．4B．3C．2D．126．如图，在下列四个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是（）A．B．C．D．27．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为（）A．B．C．3D．428．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（）A．B．1C．D．229．下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．同一平面的两条垂线一定共面30．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断错误的是（）A．A1D与AC所成角为60°B．A1D⊥BC1C．A1D⊥AC1D．A1D⊥B1D1二．填空题（共20小题）31．已知四边形ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件时，有PC⊥BD（填上你认为正确的一个条件即可）．32．如图，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝，则球O的体积等于．33．如图，矩形ABCD的长AB＝2，宽AD＝x，若P A⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得PQ⊥BQ，则x的范围是．34．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，则四个侧面△P AB，△PBC，△PCD，△P AD中，有个直角三角形．35．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝x，将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则．①∀x∈（0，2），都存在某个位置，使得AB⊥CD②∀x∈（0，2），都不存在某个位置，使得AB⊥CD③∀x＞1，都存在某个位置，使得AB⊥CD④∀x＞1，都不存在某个位置，使得AB⊥CD36．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝．37．已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是．38．在三棱锥P﹣ABC中，点O是点P在底面ABC内的射影．①若P A＝PB＝PC，则O是△ABC心；②若P A⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的心；③若侧面P AB，PBC，P AC与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的心．39．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．其中正确的是（填序号）．40．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD．已知AB＝1，AA1＝，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为．41．边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将△AEF沿EF折起，此时A 点的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，则A'B＝．42．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，PB＝BC，F为BC的中点，DE垂直平分PC，且DE分别交AC，PC于点D，E．（1）证明：EF∥平面ABP；（2）证明：BD⊥AC．43．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．（1）若P A、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的心；（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的心；（3）若P A⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的心；（4）若P A、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的心．44．如图，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝3，点E在CD上，若PE⊥BE，则PE＝．45．已知三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两垂直，则点P在底面内的射影是△ABC的心．46．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线P A垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：①MO∥平面P AC；②P A∥平面MOB；③OC⊥平面P AC；④平面P AC⊥平面PBC．其中正确的命题的序号是．47．已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC＝1，AC＝2，AB＝．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为．48．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线AA1垂直的条数共有条．49．若△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，PC⊥平面ABC，PC＝2，P′是AB 上的动点，则△PP′C的面积的最小值为．50．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝时，CF⊥平面B1DF．8.6空间直线、平面的垂直（知识点一：直线与平面垂直）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D ＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH＝，当CD＜1时，AH＞＝，由此能求出x的取值范围．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH＝，当CD＜1时，AH＞＝，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．【分析】以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段C1F长的最大值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，设F（0，a，b），0≤a≤1，0≤b≤2，由题意得A（1，0，2），B1（0，1，0），C1（0，0，0），D（，0），＝（﹣1，1，﹣2），＝（，0），＝（0，a，b），∵AB1⊥平面C1DF，∴，解得a＝2b，∴F（0，2b，b），∵0≤a≤1，0≤b≤2，a＝2b，∴0，∴线段C1F的长的最大值为：||＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查线段长的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．【分析】延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，由已知可确定点F为三角形的重心，从而可得答案．【解答】解：延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，平面ABE即为平面AEG，连接PG，因为AD＝2BC，且AD∥BC，可得点C，B分别是DG和AG的中点，又点E是PD的中点，即GE和PC分别为△PDG的中线，从而可得点F为△PDG的重心，即PF＝λPC，可得λ＝，故选：C．【点评】本题考查平面的确定和三角形的重心的性质，考查分析和推理能力，属于中档题．4．【分析】由已知证明A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，得A1C⊥平面AB1D1，说明A正确，B不正确，再求出A1B与AD1所成角为60°，说明C，D错误．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，则A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，则A1C⊥平面AB1D1，故A正确，B不正确；连接D1C，AC，则∠AD1C为A1B与AD1所成角，为60°，故C、D不正确．故选：A．【点评】本题考查直线与平面存在着的判定，考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5．【分析】在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，由此能求出图中直角三角形的个数．【解答】解：∵在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，∴图中直角三角形有：△ABD，△ADC，△P AD，△P AB，△P AC，△PBD，△PCD，共7个．故选：C．【点评】本题考查直角三个形个数的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．【分析】根据题意，由直线与平面垂直的性质，结合充分必要条件的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，“a⊥α”，又由平面α∥β，则有“a⊥β”，则“a⊥α”是“a⊥β”的充分条件，反之，若“a⊥β”，又由平面α∥β，则有“a⊥α”，则“a⊥β”是“a⊥β”的必要条件，则“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件；故选：C．【点评】本题考查充分必要条件的判定，涉及直线与平面垂直的性质，属于基础题．7．【分析】设点S在平面ABC上的射影为O，连结OA、OB、OC，由SA＝SB＝SC，得到O是△ABC的外心，从而点S在平面ABC的射影一定在BC边的中垂线上．【解答】解：设点S在平面ABC上的射影为O，连结OA、OB、OC，∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，∴点S在平面ABC的射影一定在BC边的中垂线上．故选：C．【点评】本题考查三棱锥中顶点到底面上的射影位置的判断，考查空间位置关系和空间思维能力的培养，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8．【分析】推导出B1C⊥BC1，B1C⊥AB，从而B1C⊥平面ABC1D1，由此能得到AP⊥B1C．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵点P是线段BC1上任意一点，∴AP⊥B1C．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．【分析】在A中，a，b相交、平行或异面；在B中，a，b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质定理得a⊥b；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：在A中，∵a⊥c，b⊥c，∴a，b相交、平行或异面，故A错误；在B中，∵α⊥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b相交、平行或异面，故B错误；在C中，∵a⊥α，b∥α，∴由线面垂直的性质定理得a⊥b，故C正确；在D中，∵a⊥α，b⊥α，∴由线面垂直的性质定理得a∥b，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），＝（﹣1，﹣1，0），＝（0，0，2），∴•＝0，∴MN⊥CC1，故A正确；A（2，0，0），＝（﹣2，2，0），＝2﹣2+0＝0，∴AC⊥MN，又MN⊥CC1，AC∩CC1＝C，∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；∵＝（0，2，0），＝（﹣1，﹣1，0），∴MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量＝（0，0，1），＝0，又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．【分析】在A中，a，b相交、平行或异面；在B中，a，b相交、平行或异面；在C中，a，b相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．【解答】解：在A中，∵a∥α，b∥α，∴a，b相交、平行或异面，故A错误；在B中，∵a⊥c，b⊥c，∴a，b相交、平行或异面，故B错误；在C中，∵a⊥c，c⊥α，b∥α，∴a，b相交、平行或异面，故C错误；在D中，∵a⊥α，b⊥α，∴由线面垂直的性质定理得a∥b，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12．【分析】设D1在平面ABC的射影为E，连接D1E，根据线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定定理寻找互相垂直的平面．【解答】解：设D1在平面ABC的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，∵D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC．∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1，又BC⊂平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1，∵平面BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1．∴共有3对平面互相垂直．故选：B．【点评】本题考查互相垂直的平面的对数的判断，考查线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定等基础知识，是中档题．13．【分析】在①中，总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE；在②中，取CD中点F，连接MF，BF，可得平面MBF∥平面A1DE，总有BM∥平面A1DE；在③中，A1C在平面ABCD 中的射影为AC，AC与DE不垂直，从而DE与A1C不垂直．【解答】解：在①中，总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE，①正确；在②中，取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，由MF∥A1D与FB∥ED，可得平面MBF∥平面A1DE，∴总有BM∥平面A1DE，故②正确；在③中，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故③错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14．【分析】求出＝（2，d，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，c），由直线OD ⊥平面ABC，列出方程组，能求出实数c，d的值．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，c），D（2，d，﹣1），∴＝（2，d，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，c），∴，解得c＝﹣2，d＝1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．【分析】由题意知要判断B1在底面ABC上的射影H，需要看过这个点向底面做射影，观察射影的位置，根据BC与一个平面上的两条直线垂直，得到BC与两条直线组成的面垂直，根据面面垂直的判断和性质，得到结果．【解答】解：∵在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB1⊥BC，∴BC⊥AC，又AC∩AB1＝A，∴BC⊥平面ACB1，BC⊂平面ABC，∴平面ACB1⊥平面ABC，∴B1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AC上．故选：A．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．【分析】设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC＝a，①利用面面垂直的性质定理易证BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，从而可知BD⊥AC，可判断①；②依题意及设法可知，AB＝AC＝a，BD＝CD＝a，利用勾股定理可求得BC＝•a＝a，从而可判断②；③又因为DA＝DB＝DC，根据正三棱锥的定义判断；④作出平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，利用BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，从而可判断④．【解答】解：设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC＝a，①∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD＝AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABD，∴BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，∴BD⊥AC，故①正确；②由A知，BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，又BD＝CD＝a，∴由勾股定理得：BC＝•a＝a，又AB＝AC＝a，∴△ABC是等边三角形，故②正确；③∵△ABC是等边三角形，DA＝DB＝DC，∴三棱锥D﹣ABC是正三棱锥，故③正确．④∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误；综上所述，正确的结论是①②③．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面垂直的判定与应用，考查二面角的作图与运算，属于中档题．17．【分析】根据面面垂直的性质定理判断即可．【解答】解：根据面面垂直的性质定理判定得：BC⊥底面P AC，故选：C．【点评】本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题．18．【分析】由条件，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．【解答】解：如图：∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，∴AC⊥BC1，而BC1、AB为平面ABC1的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选：B．【点评】本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题．19．【分析】平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故可得结论．【解答】解：平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故A、B不正确，C正确；若在平面α内，任一条都与l垂直，则直线l与平面α垂直，与题设矛盾，故D不正确故选：C．【点评】本题考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．【分析】取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，由此可得使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长．【解答】解：如图，取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则MG∥BC，∵BC⊥平面ABA1B1，NB⊂平面ABA1B1，∴NB⊥MG，∵正方体的棱长为1，M，N分别是A1B1，BB1的中点，△BEM中，易得∠MBE＝∠MAB，可得∠MEB＝∠ABM＝90°，可得：BN⊥AM，MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，∵正方体的棱长为1，∴故由勾股定理可得，使B1C与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长等于2+．故选：D．【点评】本题主要考查了立体几何中的轨迹问题，考查学生的分析解决问题的能力，解题的关键是确定使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹，属于中档题．21．【分析】根据线面垂直和线线垂直的性质判断即可．【解答】解：如图示：，连接AC，BD，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥ABCD，∴BD⊥AC，BD⊥CE，而AC∩CE＝C，故BD⊥平面ACE，∵BD∥B1D1，且B1D1⊊ACE，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE，故选：B．【点评】本题考查了线线，线面垂直的性质及判定，考查数形结合思想，是一道基础题．22．【分析】点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，从而证得BE⊥AC、AD⊥BC，符合这一性质的点O是△ABC垂心．【解答】解：过P点作PO⊥平面ABC，垂足为O，连结AO并延长，交BC与D，连结BO并延长，交AC与E；因P A⊥PB，P A⊥PC，故P A⊥面PBC，故P A⊥BC；因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面P AO，故AO⊥BC即AD⊥BC；同理：BE⊥AC；故O是△ABC的垂心．故选：C．【点评】本题考查线面垂直的定义与三角形的全等，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．【分析】由已知几何体为正方体，利用线面垂直的判定逐一分析四个选项得答案．【解答】解：对于A，连接CD，则MN∥CD，在正方体AB中，可证AB⊥CD，则AB⊥MN，同理AB⊥MQ，则有直线AB⊥平面MNQ；对于B，连接CD，则MN∥CD，在正方体AB中，可证AB⊥CD，则AB⊥MN，又AB ⊥NQ，可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，显然AB⊥NQ，连接CD，可得AB∥CD，CD⊥MQ，则AB⊥MQ，∴直线AB ⊥平面MNQ；对于D，若AB⊥平面MNQ，则AB⊥MN，则AB⊥AC，而∠ACB为直角，矛盾，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选：D．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．24．【分析】由P A⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，利用x表示P A，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ．【解答】解：∵P A⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，设PD＝x，∴可求得：AC＝，AB＝，P A＝，PC＝，BP＝，∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ＝＝，∴tan2θ＝﹣1＝﹣1＝，∴tanθ＝．故选：A．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．25．【分析】由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，能推导出BC⊥平面P AB．由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∴BC⊥P A，BC⊥AB，∵P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB．∴四面体P﹣ABC中直角三角形有△P AC，△P AB，△ABC，△PBC．故选：A．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．26．【分析】画出截面图形，利用直线与平面垂直的判定定理判断即可．【解答】解：如图在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选：D．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．27．【分析】推导出PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，由此能求出的值．【解答】解：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，则，∵AB＝2BC，∴DE＝＝CD，∴＝3．故选：C．【点评】本题考查两线段长的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．28．【分析】作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求，由C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，则C1D⊥AB1，AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，满足线面垂直的判定定理，则AB1⊥平面C1DF【解答】解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF．四边形AA1B1B为矩形，此时点F为B1B的中点．如图则有△AA1B1∽DB1F，即⇒．故选：A．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定．应熟练记忆直线与平面垂直的判定定理，属于中档题．29．【分析】对于A，空间中，一组对边平行可确定此四边形为平面四边形，再利用平行四边形的判定定理可判断①正确；对于B，由面面垂直的判定定理可判断②错误；对于C，由平面公理三得正确；对于D，同一平面的两条垂线一定平行，两平行线确定一个平面，可得共面．【解答】解：对于A，空间中，一组对边平行，则此四边形为平面四边形，由平行四边形的判定定理可知正确；对于B，当一条直线与已知平面垂直时，过这条直线的所有平面都与已知平面垂直，此时不唯一，故错误；对于C，由平面公理三得过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内，故正确；对于D，同一平面的两条垂线一定平行，两平行线确定一个平面，所以共面．正确．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，着重考查平面的基本性质等考点的理解，考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查空间想象能力，属于中档题．30．【分析】在A中，由A1D∥B1C，得∠ACB1是A1D与AC所成角，由AC＝B1C＝AB1，得A1D与AC所成角为60°；在B中，由C1B∥AD1，且A1D⊥AD1，得A1D⊥C1B；在C中，由A1D⊥平面AD1C1，得A1D⊥AC1；在D中，A1D与B1D1成60°角．【解答】解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1知在A中，∵A1D∥B1C，∴∠ACB1是A1D与AC所成角，∵AC＝B1C＝AB1，∴∠ACB1＝60°，∴A1D与AC所成角为60°，故A正确；在B中，∵C1B∥AD1，且A1D⊥AD1，∴A1D⊥C1B，故B正确；在C中，∵A1D⊥C1D1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥平面AD1C1，∵AC1⊂平面AD1C1，∴A1D⊥AC1，故C正确；在D中，A1D与B1D1成60°角，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．二．填空题（共20小题）31．【分析】推导出BD⊥P A，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，从而BD⊥平面P AC，进而PC⊥BD．【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，∴BD⊥P A，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴PC⊥BD．故答案为：四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查满足线线垂直的条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．32．【分析】取CD中点M，证明BC⊥BD，故而M为外接球的球心，利用勾股定理计算出半径，代入体积公式得出答案．【解答】解：取CD的中点M，连接MA，MB，∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AD，又BC⊥AB，AB∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD，又BD⊂平面ABD，∴BC⊥BD，∴△ACD，△ABD都是直角三角形，∴MA＝MB＝MC＝MD，∴M为外接球的球心，∵AD＝AB＝BC＝，∴BD＝2，CD＝＝，∴外接球半径为r＝．∴外接球的体积V＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．33．【分析】依据三垂线定理，要使PQ⊥BQ，必须有AQ⊥BQ，即以AB为直径的圆应与CD有公共点即可，从而可求x的范围．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD，BQ⊂平面ABCD，∴P A⊥BQ；要使PQ⊥BQ，依三垂线定理得，必须有AQ⊥BQ，而Q为矩形的边CD上的一个点，∴以AB为直径的圆应与CD有公共点，∵AB＝2，宽AD＝x，∴0＜x≤1．故答案为：0＜x≤1．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，考查等价转化思想，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．34．【分析】首先由线面垂直得P A⊥AB，P A⊥AD；再证BC⊥平面P AB，得到△PBC为直角三角形，同理得另一个也是．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD∴P A⊥AB，P A⊥AD∴△P AB，△P AD为直角三角形事实上，BC⊥P A，BC⊥AB∴BC⊥平面P AB∴BC⊥PB∴△PBC为直角三角形同理△PDC为直角三角形∴四个侧面三角形均为直角三角形．【点评】此题考查了线面垂直与线线垂直之间的关系，难度不大．35．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当a＝1时，满足AB⊥CD，当a≠1时，不满足AB⊥CD，当a＝0时，点A1位于yoz坐标平面内，b2+c2＝1，0＜b＜1，x＝。
直线与平面的垂直的判定和性质
直线与平面的垂直的判定和性质典型例题一例1下列图形中,满足唯一性的是()．A．过直线外一点作与该直线垂直的直线B．过直线外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线分析:本题考查的是空间线线关系和线面关系,对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解:A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线,由于并没有强调相交,所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内,这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行,但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线,这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点.平面,过点有两条直线.都垂直于,由于.为相交直线,不妨设.所确定的平面为,与的交线为,则必有,,又由于..都在平面内,这样在内经过点就有两条直线和直线垂直,与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明:有关〝唯一性〞结论的问题,常用反证法,或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中,过一点作已知平面的垂线有且仅有一条,同时,过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是〝唯一性〞命题,在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题:(1)若一直线垂直于一个平面的一条斜线,则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行;(3)若平面外的两条直线,在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直;(4)若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一条是这个平面的斜线,则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是( )．A．(1).(2) B．(2).(3) C．(3).(4) D．(2).(4)分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意〝平面内〞这一条件,同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解:(1)已知直线不一定在平面内,所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直,所以它们之间也平行;(3)根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直,但不能进一步说明直线和直线垂直;(4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念,不难证明此命题的正确性．故选D．说明:(3)中若一直线与另一直线的射影垂直,则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体中,分别为棱和上的点,为棱上的点,且,,求．典型例题三例3 如图,在正方体中,是的中点,是底面正方形的中心,求证:平面．分析:本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法,要证明平面,只要在平面内找两条相交直线与垂直．证明:连结..,在△中,∵分别是和的中点,∴．∵面,∴为在面内的射影．又∵,∴．同理可证,．又∵,.面,∴平面．∵,∴平面．另证:连结,,设正方体的棱长为,易证．又∵,∴．在正方体中易求出:,,．∵,∴．∵,.平面,∴平面．说明:要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意有时是从数量关系方面找垂直,即勾股定理或余弦定理的应用．典型例题四例4 如图,在△中,,平面,点在和上的射影分别为,求证:．分析:本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证,可证面,为此须证,进而可转化为证明平面,而已知,所以只要证即可．由于图中线线垂直.线面垂直关系较多,所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．证明:∵面,平面,∴．∵,即,,∴平面．∵平面．∴．又∵,,∴平面．∵平面,∴,又∵,,∴平面．∵平面．∴．另证:由上面可证平面．∴为在平面内的射影．∵,∴．说明:在上面的证题过程中我们可以看出,证明线线垂直常转化为证明线面垂直,而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题,想想如何证:已知⊙所在平面,为⊙的直径,为⊙上任意一点(与不重合)．过点作的垂面交.于点,求证:．典型例题五例5 如图,为平面的斜线,为斜足,垂直平面于点,为平面内的直线,,,,求证:．分析:本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系,可考虑构造直角三角形,在直角三角形中求出三个角的余弦值,再代入验证证明,其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．证明:过点作垂直于点,连．∵,∴在平面内射影为．∵,,∴．在△中有:①在△中有:②在△中有:③由①.②.③可得:．说明:由此题结论易知:斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为,则斜线与平面内其它直线所成角的范围为．典型例题六例6 如图,已知正方形边长为4,平面,,分别是中点,求点到平面的距离．分析:此题是1991年高考题,考查了直线与直线.直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离,可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点与平面平行的直线,因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．证明:连结,和分别交于,连,作于．∵为正方形,分别为的中点,∴,为中点．∵,平面,∴平面．∴与平面的距离就是点到平面的距离．∵,∴．∵面,∴．∵,∴平面．∵平面,∴．又∵,,∴平面．即长就是点到平面的距离．∵正方形边长为4,,∴,,．在△中,．在△中,．说明:求点到平面的距离常用三种方法:一是直接法．由该点向平面引垂线,直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法:延长交的延长线于,连结,作于,作交于,连结,再作于,可得平面,长即为点到平面的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离,可逆用体积公式．典型例题七例7 如图所示,直角所在平面外一点,且．(1)求证:点与斜边中点的连线面;(2)若直角边,求证:面．分析:由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直,从而得到线面垂直．证明:(1)在等腰中,为中点,∴．取中点,连.．∵,,∴．又,∴面,∴．∴面(.是面内两相交直线)．(2)∵,∴．又∵面,∴．∵,∴面．说明:证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直,可由勾股定理进行计算,可由线面垂直得线线垂直等．典型例题八例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面．已知:,．求证:．分析:由线面垂直的判定定理知,只需在内找到两条相交直线与垂直即可．证明:如图所示,在平面内作两条相交直线.．∵,∴,．又∵,从而有,．由作图知.为内两条相交直线．∴．说明:本题的结论可以作为判定线面垂直的依据,即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时,可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．典型例题九例9 如图所示,已知平面平面=,为.外一点,于,于,于．证明:．分析:先证...四点共面,再证明平面,从而得到．证明:∵,,∴．∴...四点共面．∵,,,∴,．又,∴平面．∴．说明:与线面平行和线线平行交替使用一样,线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直,先找线线垂直;要证线线垂直,先找线面垂直．本题证明〝...四点共面〞非常重要,仅由平面,就断定,则证明是无效的．典型例题十例10 平面内有一半圆,直径,过作平面,在半圆上任取一点,连.,且.分别是在.上的射影．(1)求证:;(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?分析:注意利用直线与直线.直线与平面垂直的有关知识进行判断．(1)证明:连.．如上图所示,∵为已知圆的直径,∴．∵平面,,∴．∵,∴平面．∵平面,∴．∵于,,∴平面．∵于,且是在平面的射影,∴．解(2):由(1)知,平面,平面,平面．∵且,∴平面,∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵平面,∴.均为直角三角形．∵平面,∴.均为直角三角形．∵平面,∴..均为直角三角形．∵平面,∴...均为直角三角形．综上,图中共有11个直角三角形．(4)由平面知,,,．由平面知,,,．由平面知,,,．由平面知,,．综上,图中共有11对互相垂直的直线．说明:为了保证(2)(3)(4)答案不出错,首先应找准(2)的答案,由〝线面〞可得到〝线面内线〞,当〝线面内线〞且相交时,可得到直角三角形;当〝线面内线〞且不相交时,可得到异面且垂直的一对直线．典型例题十一例11 如图所示,．在平面内,是的斜线,．求与平面所成的角．分析:求与平面所成角,关键是确定在平面上射影的位置．由,可考虑通过构造直角三角形,通过全等三角形来确定位置,构造直角三角形则需用三垂线定理．解:如图所示,过作于．连结,则为在面上的射影,为与平面所成的角．作,由三重线定理可得．作,同理可得．由,,,可得≌,∴．∵.分别为.在内射影,∴．所以点在的平分线上．设,又,∴,,∴．在中,,∴,即与所成角为．说明:(1)本题在得出在面上的射影为的平分线后,可由公式来计算与平面所成的角,此时,,．(2)由与平面上射影为平分线还可推出下面结论:四面体中,若,,则点在面上的射影为的内心．典型例题十二例12 如图所示,在平面内有,在平面外有点,斜线,,且斜线.分别与平面所成的角相等,设点与平面的距离为,,且．求点与直线的距离．分析:由点向平面引垂线,考查垂足的位置,连.,推得,,又,故...为矩形的四个顶点．解:作平面,垂足为,连.．∵,,∴由三垂线定理的逆定理,有:,,又,∴为矩形．又∵,∴,∴为正方形,∴.互相垂直平分．设为.的交点,连结,根据三垂线定理,有,则为到的距离．在中,,,∴．因此,点到的距离为．说明:由本例可得到点到直线距离的作法:(1)若点.直线在确定平面内,可直接由点向直线引垂线,这点和垂足的距离即为所求．(2)若点在直线所在平面外,可由三垂线定理确定:由这点向平面引垂线得垂足,由垂足引直线的垂线得斜足,则这点与斜足的距离为点到直线的距离．(3)处理距离问题的基本步骤是:作.证.算,即作出符合要求的辅助线,然后证明所作距离符合定义,再通过解直角三角形进行计算．典型例题十三例13 如图,是正方形,垂直于平面,过且垂直于的平面交..分别于点..,求证:,．分析:本题考查线面垂直的判定与性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性,所以两个结论只需证一个即可．欲证,可证平面,为此须证.,进而转化证明平面.平面．证明:∵平面,平面,∴．又∵为正方形,∴．∴平面．∵平面,∴．又∵平面,∴．∴平面．又∵平面,∴,同理可证．说明:(1)证明线线垂直,常用的方法有:同一平面内线线垂直.线面垂直的性质定理,三垂线定理与它的逆定理,以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用〝线线垂直〞与〝线面垂直〞的相互联系,充分体现了数学化思想的优越性．典型例题十四例14 如图,求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．已知:在平面内,点,,,,垂足分别是..,．求证:．证明:∵,∴为在内的射影．∵,,∴．同理可证:．又∵,,,∴．说明:本题是一个较为典型的题目,与此题类似的有下面命题:从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,使斜射线和这个角两边的夹角相等,则斜射线在平面内的射影,是这个角的平分线所在的直线．由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题:已知,为平面外一点,,求与平面所成角．典型例题十五例15 判断题:正确的在括号内打〝√〞号,不正确的打〝_〞号．(1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行．( )(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直．( )(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．( )(4)过点垂直于直线的所有直线都在过点垂直于的平面内．( )(5)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．( )解:(1)直线与平面平行,则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行②异面,因此应打〝_〞号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行,则该命题应打〝_〞号;若为相交,则该命题应打〝√〞,正是因为这两种情况可能同时具备,因此,不说明面内无这数条线的位置关系,则该命题应打〝_〞号．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面,由线面垂直定义的逆用,则该直线必垂直于三角形的第三边,∴该命题应打〝√〞．(4)前面介绍了两个命题,①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,根据第一个命题知:过点垂直于直线的平面惟一,因此,过点且与直线垂直的直线都在过点且与直线垂直的平面内,∴该命题应打〝√〞号．(5)三条共点直线两两垂直,设为,,且,,共点于,∵,,,且,确定一平面,设为,则,同理可知垂直于由,确定的平面,垂直于由了确定的平面,∴该命题应打〝√〞号．说明:本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到:概念清楚.问题理解透彻.相关知识能灵活运用．典型例题十六例16 如图,已知空间四边形的边,,引,为垂足,作于,求证:．分析:若证,只须利用直线和平面垂直的判定定理,证垂直平面中两条相交直线即可．证明:取中点,连.,∵,∴．又∵,∴,∴,又,∴又,∴,,又,∴．典型例题十七例17 如果平面与外一条直线都垂直,那么．已知:直线,,．求证:．分析:若证线面平行,只须设法在平面内找到一条直线,使得,由线面平行判定定理得证．证明:(1)如图,若与相交,则由.确定平面,设．．(2)如图,若与不相交,则在上任取一点,过作,.确定平面,设．．典型例题十八例18 如图,已知在中,,线段,,为垂足．求证:不可能是的垂心．分析:根据本题所证结论,可采用反证法予以证明．证明:如图所示,假设是的垂心,则．∵,∴,∴,∴．又∵,∴,∴,∴,这与已知矛盾,∴假设不成立,故不可能是的垂心．说明:本题只要满足,此题的结论总成立．不妨给予证明．典型例题十九例19 在空间,下列哪些命题是正确的( )．①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A．仅②不正确B．仅①.④正确C．仅①正确D．四个命题都正确分析:①该命题就是平行公理,即课本中的公理4,因此该命题是正确的;②如图,直线平面,,,且,则,,即平面内两条直交直线,都垂直于同一条直线,但,的位置关系并不是平行．另外,,的位置关系也可以是异面,如果把直线平移到平面外,此时与的位置关系仍是垂直,但此时,,的位置关系是异面．③如图,在正方体中,易知,,但,因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理,因此是正确的．综上可知①.④正确．∴应选B．典型例题二十例20 设,为异面直线,为它们的公垂线(1)若,都平行于平面,则;(2)若,分别垂直于平面.,且,则．分析:依据直线和平面垂直的判定定理证明;证明线与线的平行,由于此时垂直的关系较多,因此可以考虑利用线面垂直的性质证明．图１图２证明:(1)如图1,在内任取一点,设直线与点确定的平面与平面的交线为,设直线与点确定的平面与平面的交线为∵,,∴,又∵,,∴,,∴．(2)如图2,过作,则,则又∵,∴垂直于由和确定的平面．∵,∴,,∴．∴也垂直于由和确定的平面．故．说明:由第(2)问的证明可以看出:利用线面垂直的性质证明线与线的平行,其关键是构造出平面,使所证线皆与该平面垂直．如题中,通过作出辅助线,构造出平面,即由相交直线与确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得．典型例题二十一例21 如图,在正方体中,为异面直线与的公垂线,求证:．分析:证明,构造与.都垂直的平面是关键．由于是和的公垂线,这一条件对构造线面垂直十分有用．证明:连结,由于,,∴．又,,∴．①∵,,∴．∵四边形为正方形,∴,,∴,而,∴．同理,,∴．②由①.②可知:．典型例题二十二例22 如图,已知为外一点,..两两垂直,,求点到平面的距离．分析:欲求点到平面的距离,可先过点作平面的垂线,进一步求出垂线段的长．解:过作于点,连..,∴,,∵,∴≌≌,∴,∴为的外心．∵..两两垂直,∴,为正三角形,∴,∴．因此点到平面的距离．说明:(1)求点到平面距离的基本程序是:首先找到或作出要求的距离;然后使所求距离在某一个三角形中;最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后,在三角形中求距离常常用到勾股定理.正弦定理.余弦定理及有关三角函数知识．(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容,高考命题中出现较多,应充分注意,除了上面提到方法之外,还有其他一些方法,比如以后学习的等积法,希望同学们在学习过程不断总结．典型例题二十三例23 如图,已知在长方体中,棱,,求直线和平面的距离．分析:求线面距离,其基本方法是在线上选一点,作出点面距,距离然后根据求点面距的有关方法求解．解:如图,∵,且,,∴．从而点到平面的距离即为所求．过点作于,∵,且,∴．又,∴．即线段的长即为所求,在中,,∴直线到平面的距离为．说明:本题考查长方体的性质,线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想,解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离,进而转化为点线距离,再通过解三角形求解,这种转化的思想非常重要,数学解题的过程就是将复杂转化为简单,将未知转化为已知,从而求解．典型例题二十四例24 .分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为,,,．求线段的长．分析:首先依据题意,画出图形,利用平移,将异面直线.所成的角.垂直关系转化到某一个或某几个平面内,应用平面几何有关知识计算出之长．解:如图,在平面内,过作,过作,两线交于．∵,∴就是.所成的角,．∵,∴四边形是矩形．连,∵,,且,∴．∵,∴．∵,∴．在中,得,∴．说明:解决空间问题,常常将空间关系转化一个或几个平面上来,只有将空间问题归化到平面上来,才能应用平面几何知识解题,而平移变换是转化的重要手段．。
2021年新教材高中数学必修第二册：8.6.2 直线与平面垂直(第1课时)直线与平面垂直的判定
2021年新教材高中数学必修第二册：8.6.2 直线与平面垂直第1课时 直线与平面垂直的判定本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习直线与平面垂直的判定定理及其应用。
线面垂直是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的关键。
同时，它又是学习直线和平面所成的角、平面与平面的距离等后续知识的基础。
因此，这部分内容在教材中起着承上启下的作用。
本节课的学习，可以培养学生提出猜想、验证猜想、作出数学发现的意识，增强“平面化”和“降维”的转化思想，以及发展空间想象能力。
课程目标学科素养证明．1.教学重点：直线与平面垂直的定义，用直线与平面垂直的判定定理和性质定理进行证明；2.教学难点：直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．多媒体三、达标检测1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直【答案】A【解析】若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是() A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定【答案】A【解析】因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60° B．45°C．30° D．120°【答案】A【解析】∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°. 故选A.4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.[证明]如图，连接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.四、小结让学多观察直线与平面垂直的实例，更好的理解直线与平面的定义，证明直线与平面垂直，应强调关键是在平面内找两条相交直线与该直线垂直。
高中数学必修二同步练习题库：直线、平面垂直的判定和性质(选择题：较难32,困难36)
直线、平面垂直的判定和性质（选择题：较难32，困难36）1、正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE＝120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为A． B． C． D．2、如图，三棱柱中，侧棱底面，，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点．有下列判断：①直线与直线是异面直线；②一定不垂直于；③三棱锥的体积为定值；④的最小值为．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43、如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A． B． C． D．4、平面过正方体的面对角线，且平面平面，平面平面，则的正切值为（）A． B． C． D．5、在底面是平行四边形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，，则异面直线与所成角的正切值为（）A． B． C． D．6、如图所示，已知二面角的平面角为，为垂足，且，，设到棱的距离分别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（）A． B． C． D．7、如图，在四棱锥中，平面，为线段的中点，底面为菱形，若，，则异面直线与所成角的正弦值为（）A． B． C． D．8、如图，正四面体中，、、在棱、、上，且，，分别记二面角，，的平面角为、、，在（）A． B． C． D．9、直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其表面积为A． B． C． D．10、直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其表面积为A． B．C． D．11、已知直角三角形的两条直角边，，为斜边上一点，沿将三角形折成直二面角，此时二面角的正切值为，则翻折后的长为（）A．2 B． C． D．12、在四棱锥中，平面，底面为矩形，．若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值（）A． B． C． D．13、如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面.其中恒成立的为（）A．①③ B．③④ C．①② D．②③④14、如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面.其中恒成立的为（）A．①③ B．③④ C．①② D．②③④15、如图，正四面体的顶点、、分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的是( )A．是正三棱锥B．直线与平面相交C．直线与平面所成的角的正弦值为D．异面直线和所成角是16、在棱长为1的正方体中，是的中点，是三角形内的动点，，则的轨迹长为( )A． B． C． D．17、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点O在BC上,且BO=OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于M,N两点,则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为( )A． B． C． D．18、如图，把画有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若、两点之间的空间距离为，则（）A．-2 B． C．-1 D．19、长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( )A． B． C．8 D．20、把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫做图形在这个平面上的射影，如图，在三棱锥中，，，，，，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是（）A． B． C．10 D．3021、正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．22、已知为异面直线，平面a，平面b．直线满足，则（）A．a∥b，且l∥aB．，且C．与相交，且交线垂直于D．a与b相交，且交线平行于23、如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°24、如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， BC="AC" ，AC1⊥A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1,②A1B⊥NB1 ,③平面AMC1⊥平面CBA1 ,其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．325、已知两条直线，两个平面，下面四个命题中不正确的是A．B．C．D．26、如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1//平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．327、在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（）A．对任意的，，存在点，使得B．当且仅当时，存在点，使得C．当且仅当时，存在点，使得D．当且仅当时，存在点，使得28、下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两条直线不一定平行C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D．若直线不平行于平面，则在平面内不存在与平行的直线29、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )(1) AC⊥BE.(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为.(3) 三棱锥A-B EF的体积为定值.(4) 在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.(5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条.A．0 B．1 C．2 D．330、下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线⊥平面内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”；其中正确命题的序号是A．①② B．②③ C．③④ D．②④31、已知是直线，是平面，、，则“平面”是“且”的…………………………………………………………………………（）A．充要条件． B．充分非必要条件． C．必要非充分条件． D．非充分非必要条件32、圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。
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线面垂直 ●知识点 1.直线和平面垂直定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.
●题型示例 【例1】 如图所示，已知点S是平面ABC外一点， ∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的 射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC. 【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样 SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明 AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平 面SBC的证明. 【规范解答】
【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.
例1题图 【例2】 已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB. 【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥cb⊥c;(2)a⊥α,bαa⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.
【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1 分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.
例3题图解(1) 【解前点津】 题设主要条件是AB1⊥BC，而结论是AB1⊥A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点D1，就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB中点D即可，只要证得A1D垂直于AB1，事实上DBD1A1，为平行四边形，解题路子清楚了.
【解后归纳】 证线线垂直主要途径是： （1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化. 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务. 证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法. 【例4】 空间三条线段AB,BC,CD,AB⊥BC,BC⊥CD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围是 . 【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD1中,CD1=6, AD1的长是AD的最小值,其中AH⊥CD1,AH=BC=4,HD1=3, ∴AD1=5;在直角△AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为
974)36(22222AHHD
【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.
例4题图 ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实 1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：
①MbMaba// ②baMbMa// ③baMab∥M ④baMa//b⊥M. 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )
A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF 4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行 5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( )
A.1 B.2 C.552 D.553 7.有三个命题： ①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是 ( )
第3题图 A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合 B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合 C.α与β必相交且交线m与d一定不平行 D.α与β不一定相交 9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题 ① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α， 其中真命题．．．的序号是 ( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题： ①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β. 其中正确的命题是 ( ) A.③与④ B.①与③ C.②与④ D.①与②
二、思维激活 11.如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是 .
12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件 时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可) 三、能力提高 14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高. (1)求证:VC⊥AB; (2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC 所成角的大小.
第11题图 第12题图 第13题图
第14题图 15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAD. (2)求证：MN⊥CD. (3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3. (1)求证：BD⊥平面PAD. (2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.
17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．
18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P. (1)求证：NP⊥平面ABCD. (2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角. (3)求点C到平面D′MB的距离.
第15题图 第16题图
第18题图 第4课 线面垂直习题解答 1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行. 2.C 由线面垂直的性质定理可知. 3.A 折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF. 4.D 过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行. 5.A依题意,m⊥γ且mα,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m,故选A.
6.D过P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=522BCAC，52ABBCACCD，
∴PD=55354122CDPC. 7.D 由定理及性质知三个命题均正确. 8.A 显然α与β不平行. 9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直. 10.B ∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m
11.23cm2 设正三角A′B′C′的边长为a. ∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4， 又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．
S△A′B′C′=23432acm2． 12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).
点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线
定理但答案不惟一,要求思维应灵活. 13.VC⊥VA，VC⊥AB. 由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB. 14.(1)证明:∵H为△VBC的垂心, ∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC, ∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC. (2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE, ∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC, ∴AB⊥面DEC. ∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角， ∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD, ∴VC在底面ABC上的射影为CD. ∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE, ∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,