第十章§10.4第三课时二项式定理的应用
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高考数学 第十章第三节 二项式定理课件 新A
C210(－12)2x2，C510－125，C180－128x－2.
解：若展开式中含有x的一次项， 则10－3 2r＝1， 即10－2r＝3，∴2r＝7， ∴r＝72
又∵r∈N
若保持例1条件不 变，则“这个展开 式中是否含有x的一 次项”？
∴这个展开式中不含有 x 的一次项．
求( x－3 x)9 的展开式中的有理项．
二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和为 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和为 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令 x＝1，y＝－1，得 a0－a1＋a2－…－a9＝59， 将两式相加，得
[自主解答] 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝
－1
①
令 x＝－1，则
a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37
②
(1)∵a0＝C07＝1(或令 x＝0，得 a0＝1)，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)由(①－②)÷2 得 a1＋a3＋a5＋a7＝－12－37＝－1094.
解析：由题知 a5＝C58(－a)3＝56，解得 a＝－1，所以原二 项式为(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令 x＝1，可得 a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28.
答案：C
2．(2010·全国卷Ⅰ)(1－x)4(1－ x)3 的展开式中 x2 的系数
是
()
解：若展开式中含有x的一次项， 则10－3 2r＝1， 即10－2r＝3，∴2r＝7， ∴r＝72
又∵r∈N
若保持例1条件不 变，则“这个展开 式中是否含有x的一 次项”？
∴这个展开式中不含有 x 的一次项．
求( x－3 x)9 的展开式中的有理项．
二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)各项系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和为 C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29. (2)各项系数之和为 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令 x＝1，y＝－1，得 a0－a1＋a2－…－a9＝59， 将两式相加，得
[自主解答] 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝
－1
①
令 x＝－1，则
a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37
②
(1)∵a0＝C07＝1(或令 x＝0，得 a0＝1)，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)由(①－②)÷2 得 a1＋a3＋a5＋a7＝－12－37＝－1094.
解析：由题知 a5＝C58(－a)3＝56，解得 a＝－1，所以原二 项式为(x＋1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令 x＝1，可得 a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28.
答案：C
2．(2010·全国卷Ⅰ)(1－x)4(1－ x)3 的展开式中 x2 的系数
是
()
二项式定理ppt课件
1
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
二项式定理及应用
第27页，本讲稿共44页
1．运用二项式定理一定要牢记通项 Tr＋1＝Crnan－rbr， 注意(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开 式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问 题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母) 系数是两个不同概念，前者只指 Crn，而后者是指字 母外的部分．
第17页，本讲稿共44页
二、有关二项展开式的系数问题 例 2 设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求 (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5； (4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2. 【解析】设 f(x)＝(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a5x5，则 f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243. (1)因为 a5＝25＝32， 所以 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝f(1)－32＝－31.
第20页，本讲稿共44页
(2)∵(1＋3
x)6(1＋
1 4x
)10
的展开式中的项为
Cr6x3r·Cs10(
1 4x
)s＝Cr6Cs10
rs
x3 4
，
其中 0≤r≤6,0≤s≤10，
由题意得3r－4s＝0，即 s＝43r，又 s、r 为自然数，
∴
r s
0 0
，
r s
3 4
，
r s
6 8
.
故常数项为 C06C010＋C36C410＋C66C810＝4246.
(2)增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一
n
项二项式系数Cn2 取得最大值；当 n 为奇数时，中间
1．运用二项式定理一定要牢记通项 Tr＋1＝Crnan－rbr， 注意(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开 式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问 题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母) 系数是两个不同概念，前者只指 Crn，而后者是指字 母外的部分．
第17页，本讲稿共44页
二、有关二项展开式的系数问题 例 2 设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求 (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5； (4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2. 【解析】设 f(x)＝(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a5x5，则 f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243. (1)因为 a5＝25＝32， 所以 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝f(1)－32＝－31.
第20页，本讲稿共44页
(2)∵(1＋3
x)6(1＋
1 4x
)10
的展开式中的项为
Cr6x3r·Cs10(
1 4x
)s＝Cr6Cs10
rs
x3 4
，
其中 0≤r≤6,0≤s≤10，
由题意得3r－4s＝0，即 s＝43r，又 s、r 为自然数，
∴
r s
0 0
，
r s
3 4
，
r s
6 8
.
故常数项为 C06C010＋C36C410＋C66C810＝4246.
(2)增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一
n
项二项式系数Cn2 取得最大值；当 n 为奇数时，中间
二项式定理及其应用
赋值法求解.
解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 ①
令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37
②
(1)∵a0=
C
0 7
=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.
(2)(①-②)÷2,
得a1+a3+a5+a7=
1 37 2
=-1 094.
(3)(①+②)÷2,得
点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集 项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性 和简捷性. 3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通 项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数 及项数的整数性.
4.性质1是组合数公式Crn Cnnr 的再现，性质2是从 函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是 利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的 和.
基础自测
1.二项式（a+2b）n展开式中的第二项的系数是8，则
它的第三项的二项式系数为
A.24
B.18 C.16
（ D） D.6
解析 T2= C1n an1(2b)1 C1n 2an1b,
所以2n=8，n=4,所以
C
2 n
=
C
2 4
=6.
2.（2009·浙江理，4）在二项式 (x2 1的)5展开式中， x
1
2
∴8 2n·（n2n-=11）+，81 n（n-1），
解得n=8或n=1（不合题意，舍去），
Tk1
C8k
x
8k 2
二项式定理及应用PPT教学课件
2、( 1 3 x )20展开式中，不含x的项是第____ 项 x
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
新课程2021高考数学一轮复习第十章第3讲二项式定理课件
1
PART ONE
基础知识过关
1．二项式定理
二项式定理
□ (a＋b)n＝ 01 C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn
(n∈N*)
二项展开式的 通项公式
□ □ Tr＋1＝ 02 Crnan－rbr，它表示第 03 r＋1 项
二项式系数 二项展开式中各项的二项式系数 C0n，C1n，…，Cnn
(4)已知(1＋3x)n 的展开式中含有 x2 项的系数是 54，则 n＝___4_____.
解析 (1＋3x)n 的展开式的通项为 Tr＋1＝Crn(3x)r，令 r＝2，得 T3＝9C2nx2. 由题意，得 9C2n＝54，解得 n＝4.
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 二项展开式
角度 1 求二项展开式中的特定项或系数
2.若(1＋ax)7(a≠0)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 a＝___3_____.
解析 展开式的通项为 Tr＋1＝C7r(ax)r，因为 x5 与 x6 的系数相等，所以 C57a5＝C67a6，解得 a＝3.
3.(2019·浙江高考)在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是_1_6__2____， 系数为有理数的项的个数是___5_____.
3.求形如(a＋b＋c)n 的展开式中特定项的四步骤
1.(2019·华中师范大学第一附中模拟)已知(x＋1)5＋(x－2)9＝a0＋a1(x－ 1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则 a7＝( )
A.9 B．36 C．84 D．243
答案 B 解析 令 t＝x－1，则(x＋1)5＋(x－2)9＝(t＋2)5＋(t－1)9，只有(t－1)9 的展开式中含有 t7 项，所以 a7＝C29(－1)2＝36.
高考数学第十章二项式定-教学课件
2.常以选择题、填空题的形式考查.
一、二项式定理 1．展开式
(a＋b)n＝ C0nanb0＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnna0bn 所表示的定理叫做二项式定理． 2．通项：Tk＋1＝ Cnkan－kbk为第 k＋1 项．
二、二项式系数
1．定义： 式子 Crn(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．
解析：因为二项展开式中共有12项，其通项公式Tr＋1＝C
r 11
·(3
x )11－
r·(－2 3
33r
x
)r＝C
r 11
·311－r·(－2)r·x
6
，r＝0,1，…，11，其中只有当r＝3
或r＝9时，才是有理项，故P＝122＝16.
答案：16
[冲关锦囊] 1．注意通项公式表示的是第k＋1项而不是第k项． 2．常数项是指通项中字母的指数为0的项，有理项是指通
[精析考题]
[例3] (2012·银川模拟)在x2－31xn的展开式中，只有第5项的二项式系数
最大，则展开式中常数项是
()
A．－7
B．7
C．－28
D．28
[自主解答] 由题知只有第5项的二项式系数最大，即n＝8.
∵Tr＋1＝Cr8x28－r－13 xr＝C8r(－1)r·128－r
8
x
4 3
r
，
∴x3的系数为－a3C39＝－84. ∴a3＝1，a＝1. 答案： 1
5．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4 的值为________．
解析：令x＝1，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0.① x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4＝16.② ∴①＋②得a0＋a2＋a4＝8. 答案： 8
一、二项式定理 1．展开式
(a＋b)n＝ C0nanb0＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnna0bn 所表示的定理叫做二项式定理． 2．通项：Tk＋1＝ Cnkan－kbk为第 k＋1 项．
二、二项式系数
1．定义： 式子 Crn(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．
解析：因为二项展开式中共有12项，其通项公式Tr＋1＝C
r 11
·(3
x )11－
r·(－2 3
33r
x
)r＝C
r 11
·311－r·(－2)r·x
6
，r＝0,1，…，11，其中只有当r＝3
或r＝9时，才是有理项，故P＝122＝16.
答案：16
[冲关锦囊] 1．注意通项公式表示的是第k＋1项而不是第k项． 2．常数项是指通项中字母的指数为0的项，有理项是指通
[精析考题]
[例3] (2012·银川模拟)在x2－31xn的展开式中，只有第5项的二项式系数
最大，则展开式中常数项是
()
A．－7
B．7
C．－28
D．28
[自主解答] 由题知只有第5项的二项式系数最大，即n＝8.
∵Tr＋1＝Cr8x28－r－13 xr＝C8r(－1)r·128－r
8
x
4 3
r
，
∴x3的系数为－a3C39＝－84. ∴a3＝1，a＝1. 答案： 1
5．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4 的值为________．
解析：令x＝1，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0.① x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4＝16.② ∴①＋②得a0＋a2＋a4＝8. 答案： 8
二项式说课
二项式定理的应用林秀雅我说课的内容是：数学第十章《排列、组合和概率》第四节《二项式定理》，属于高二年级数学的教学内容。
一、内容分析说明1、二项式定理是安排在高中数学排列组合后面的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，是自成体系的知识板块。
与数学的其他部分有密切的联系：（1）是初中代数有关乘法公式的推广。
（2）二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系，（3）二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。
2、高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现。
二、学校情况与学生分析（1）我校是一所自治区示范性高中，学生的基础相对较好，记忆力较好，反应速度还可以，普遍感觉学数学还是轻松、快乐的。
主观上有学好数学的愿望。
（2）授课班级学生听课积极性不高，听课率低。
注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。
课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，理解能力较强，部分学生喜欢做笔记。
三、教学目标二项式定理计划安排两个课时，本课是第二课时，主要学习二项式定理的几个应用：1、二项式定理的逆用；2、整除性问题；3、求近似值问题；4、三项式问题转化为二项式问题。
根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标：1、知识目标：（1）掌握二项式定理的本质。
（2）掌握以下四个问题：1、二项式定理的逆用；2、整除性问题；3、求近似值问题；4、三项式问题转化为二项式问题。
2、能力目标：（1）培养学生把握本质问题的能力。
（2）进一步掌握转化与化归的数学思想方法。
（3）让学生进一步懂得，事物是发展变化的，是有联系的辨证的唯物主义理论，培养学生沉稳而坚韧的学习、生活态度。
3、情感目标：让学生在体验成功中树立信心，注重学生数学学习的可持续性发展。
四、教学重、难点1、逆用二项式定理2、解决非二项式问题。
3、运用二项式定理解决整除性4、运用二项式定理解决求近似值问题。
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课前自主学习
课堂互动讲练
思维误区警示
第 十 章 排 列 、 组 合 和 二 项 式 定 理
上 页
第三课时
二项式定理的应用
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规律方法总结
随堂即时巩固
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第 十 章
课标研读
课前自主学习
1．通过学习，进一步巩固二项式定理及其简单的应
用；会用二项式定理解决某些数的近似值问题，整除 问题，以及证明一些与组合数有关的恒等式，培养发 散思维和灵活运用基础知识解决问题的能力． 2．重点是用二项式定理解决其它数学问题，难点是 整除问题的有关变形．
(3)证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不 构成影响的若干项可以去掉，或增加某些项．
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第 十 章 排 列 、 组 合 和 二 项 式 定 理
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概念模糊，变形出错
例
9911被100除所得的余数为________． 9911＝(100－1)11＝10011－C111· 10＋… 100
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第 十 章
2．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( )
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排 列 、 组 合 和 二 项 式 定 理
A．1.23 C．1.33 C62×0.052≈1.34.
B．1.24 D．1.34
解析：选D.1.056＝(1＋0.05)6≈C60＋C61×0.051＋
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第 十 章
题型三
排 列 、 组 合 和 二 项 式 定 理
用二项展开式证明不等式
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对于二项式的有关幂形式的不等式，可借助于其展 开式进行化简．
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1n 例3 求证：对一切 n∈N ，都有 2≤(1＋ ) <3. n
*
【思维流程】 → 放缩展开式
1n 展开1＋ → 观察各项特点 n
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【点评】 在求余数问题时要求0≤余数＜除数，
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若得到的数不在此范围要加上除数的整数倍，使 其符合要求．
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＝25－C51· 0.003·4＋C52· 2 0.0032·3－… 2 ≈32－0.24＋0.00072≈31.761.
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【点评】
利用二项式定理进行近似计算，关键是确
定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度．
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0 n n n
1 n1
2．二项式系数和Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝_____. 2n 3．当n为奇数时，最大的二项式系数为
________________________.
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当n为偶数时，最大的二项式系数为_______.
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1n 1 1 1 1 ∴2<(1＋ ) <2＋ ＋ ＋…＋ <2＋ ＋ n 1· 2 2！ 3！ n！ 1 1 1 1 1 1 ＋…＋ ＝2＋(1－ )＋( － )＋…＋( 2· 3 2 2 3 (n－1)n n－1 1 1 1n － )＝3－ <3，仅当 n＝1 时，(1＋ ) ＝2；当 n≥2 n n n 1n 时，2<(1＋ ) <3. n 1n ∴对一切 n∈N ，都有 2≤(1＋ ) <3. n
题型二
研究整除或求余数
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(1)解决这类问题，必须构造一个与题目有关的二项 式，如求199510除以8的余数，将1995分解为8×249＋ 3，即199510＝(8×249＋3)10.
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【错解】
－C119· 2＋C1110×100－1， 100
前11项能被100整除，故余数为－1，
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第 十 章
【错因】 余数概念模糊，不能为负数． 9911＝(10011－C111×10010＋…－
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例2 求7777－7被19除所得的余数． 【分析】 将77写成4×19＋1，出现除数19，
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即7777＝(76＋1)77利用二项式定理展开．
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第 十 知新益能 章 用二项式的展开式研究整除、近似计算 排 列 、 组 合 和 二 项 式 定 理 (1)当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式
(1＋a)n≈ 1＋na __________.
上 页
(2)对于(a＋b)n展开式通项Tr＋1＝Cnran－rbr的二项式系数 (a＋b)(a＋b) (a＋b) r的来源思想是(a＋b)n＝ 中用 Cn
*
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【思维总结】
(1)用二项式定理证明组合数不等式
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时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合 不等式证明的方法进行论证；
(2)应用时应注意巧妙地构造二项式；
＝Cn＋108n＋1＋Cn＋118n＋…＋Cn＋1n8＋Cn＋1n＋1－8n －9 ＝Cn＋108n＋1＋Cn＋118n＋…＋Cn＋1n－182＋(n＋1)· 8 ＋1－8n－9
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＝64(Cn＋108n－1＋Cn＋118n－2＋…＋Cn＋1n－1)．
又∵Cn＋108n－1＋Cn＋118n－2＋…＋Cn＋1n－1为整数， ∴32n＋2－8n－9能被64整除．
(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除 数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式， 再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一、 二项就可以了．
上 页
要注意余数的范围a＝c· r＋b(b为余数，b∈[0，r)，r
是除数)，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部 分是负数，要注意转换．
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3．(x＋2)6的展开式中x3的系数为( A．20 C．80 B．40 D．160
)
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解析：选D.由二项展开式的通项公式得Tr＋1＝C6rx6－
r2r，当6－r＝3时，r＝3，所以x3的系数为23×C 3＝ 6
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8×20＝160.故选D.
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4．在(x－1)(x－2)(x－3)的展开式中，x2项的系数为 ______________________________________________ __________________________． 解析：(－3－2－1)x2＝－6x2. 答案：－6
【证明】
3
1n 0 1 1 2 1 2 ∵(1＋ ) ＝Cn ＋Cn · ＋Cn · ) ( n n n
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1 3 1 n－1 n 1 n ＋Cn · ) ＋…＋Cn · ) ＝1＋1＋ ( ( · ( )＋ n n n 2！ 1 n－1 n－2 1 n－1 n－2 1 · ( )· ( )＋…＋ · ( )( )…( )． n n n 3！ n n！ n
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1．通过学习，进一步巩固二项式定理及其简单的应
用；会用二项式定理解决某些数的近似值问题，整除 问题，以及证明一些与组合数有关的恒等式，培养发 散思维和灵活运用基础知识解决问题的能力． 2．重点是用二项式定理解决其它数学问题，难点是 整除问题的有关变形．
(3)证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不 构成影响的若干项可以去掉，或增加某些项．
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概念模糊，变形出错
例
9911被100除所得的余数为________． 9911＝(100－1)11＝10011－C111· 10＋… 100
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2．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( )
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A．1.23 C．1.33 C62×0.052≈1.34.
B．1.24 D．1.34
解析：选D.1.056＝(1＋0.05)6≈C60＋C61×0.051＋
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＝25－C51· 0.003·4＋C52· 2 0.0032·3－… 2 ≈32－0.24＋0.00072≈31.761.
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0 n n n
1 n1
2．二项式系数和Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝_____. 2n 3．当n为奇数时，最大的二项式系数为
________________________.
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1n 1 1 1 1 ∴2<(1＋ ) <2＋ ＋ ＋…＋ <2＋ ＋ n 1· 2 2！ 3！ n！ 1 1 1 1 1 1 ＋…＋ ＝2＋(1－ )＋( － )＋…＋( 2· 3 2 2 3 (n－1)n n－1 1 1 1n － )＝3－ <3，仅当 n＝1 时，(1＋ ) ＝2；当 n≥2 n n n 1n 时，2<(1＋ ) <3. n 1n ∴对一切 n∈N ，都有 2≤(1＋ ) <3. n
题型二
研究整除或求余数
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(1)解决这类问题，必须构造一个与题目有关的二项 式，如求199510除以8的余数，将1995分解为8×249＋ 3，即199510＝(8×249＋3)10.
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－C119· 2＋C1110×100－1， 100
前11项能被100整除，故余数为－1，
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例2 求7777－7被19除所得的余数． 【分析】 将77写成4×19＋1，出现除数19，
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即7777＝(76＋1)77利用二项式定理展开．
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(1＋a)n≈ 1＋na __________.
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(2)对于(a＋b)n展开式通项Tr＋1＝Cnran－rbr的二项式系数 (a＋b)(a＋b) (a＋b) r的来源思想是(a＋b)n＝ 中用 Cn
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(1)用二项式定理证明组合数不等式
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(2)应用时应注意巧妙地构造二项式；
＝Cn＋108n＋1＋Cn＋118n＋…＋Cn＋1n8＋Cn＋1n＋1－8n －9 ＝Cn＋108n＋1＋Cn＋118n＋…＋Cn＋1n－182＋(n＋1)· 8 ＋1－8n－9
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＝64(Cn＋108n－1＋Cn＋118n－2＋…＋Cn＋1n－1)．
又∵Cn＋108n－1＋Cn＋118n－2＋…＋Cn＋1n－1为整数， ∴32n＋2－8n－9能被64整除．
(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除 数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式， 再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一、 二项就可以了．
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要注意余数的范围a＝c· r＋b(b为余数，b∈[0，r)，r
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3．(x＋2)6的展开式中x3的系数为( A．20 C．80 B．40 D．160
)
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解析：选D.由二项展开式的通项公式得Tr＋1＝C6rx6－
r2r，当6－r＝3时，r＝3，所以x3的系数为23×C 3＝ 6
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8×20＝160.故选D.
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4．在(x－1)(x－2)(x－3)的展开式中，x2项的系数为 ______________________________________________ __________________________． 解析：(－3－2－1)x2＝－6x2. 答案：－6
【证明】
3
1n 0 1 1 2 1 2 ∵(1＋ ) ＝Cn ＋Cn · ＋Cn · ) ( n n n
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1 3 1 n－1 n 1 n ＋Cn · ) ＋…＋Cn · ) ＝1＋1＋ ( ( · ( )＋ n n n 2！ 1 n－1 n－2 1 n－1 n－2 1 · ( )· ( )＋…＋ · ( )( )…( )． n n n 3！ n n！ n