初中数学勾股定理(精选课件)
1初中数学人教版八年级下册《勾股定理》PPT教学课件
注意：分类讨论是一种重要的解题方法
典题精讲
如图已知AD是直角△ABC的中线，E为BD的中点， BA=BD，问AC、AE的长度有何等量关系？并证明你的 结论．
分析：AD为直角三角形斜边上的中线，所以 AD=BD=AB，即可求得AE，AC，根据AC，AE的表达 式计算AE，AC的关系。
a2 + b2 = c2
2、勾股定理简单应用：
拓展提升
1.已知Rt△ABC的周长为14，面积为7．试求它的三边长。
分析：设出三边长分别为a、b、c，利用勾股定理、面积、 周长分别列出方程，组成方程组解得三边的长即可。
拓展提升
解析：设△ABC的三边长分别为a、b、c，其中c为斜边， 依题意得方程组：
新课学习
变式运用：
c a
b
a
c
b
确定斜边
a2+b2 = c2 a2+c2 = b2 b2+c2 = a2
灵活运用 公式
c2= a2 +b2 a2= c2 - b2 b2= c2 - a2
知识巩固
3.判断题：
(1)直角三角形三边分别为 a, b, c ，则一定满足下面的
式子： a2+b2 =c2 不正确
分析：根据勾股定理及正方形的面积公式得： A+64=100， 解得：A=36， 则正方形A的边长为6．故选A。
知识巩固
2.若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一
条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（ D）
A. 18cm B. 20cm C. 24cm D. 25cm
苏教版八年级数学上册《勾股定理》课件(共16张PPT)
You made my day!
我们，还在路上……
3.1 勾股定理
例2 [教材练习第2题变式题] 如图3－1－2，64、400分
别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面
积是33_6_______．
图3－1－2
3.1 勾股定理
[解析] 由图可以知道，分别以这三个正方形一边为三角形的 边，围成的三角形恰好是直角三角形，因此它们的三边满足 勾股定理，也就是说以直角边为边的两个正方形的面积和等
c2＝a2＋b2，a2＝c2－b2，b2＝c2－a2.
[注意] 只有在直角三角形中才能运用勾股定理，钝角和锐角 三角形中均不适用．
3.1 勾股定理
重难互动探究
探究问题一 利用勾股定理求单个正方形的面积或直角三 角形的边长
例1 [教材练习第1题变式题] 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
于以斜边为边的正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形
面积为400－64＝336. [归纳总结] 勾股定理不仅揭示了直角三角形三边之间的数量 关系，而且揭示了以直角三角形的两直角边为边的两个正方 形的面积和与以斜边为边的正方形面积之间的关系．
3.1 勾股定理
探究问题二 综合利用勾股定理求多个直角三角形的相关边长 例3 [勾股定理运用拓展题] 一个零件的形状如图3－1－3
(1)若c＝15，b＝12，求a； (2)若a＝11，b＝60，求c； (3)若a∶b＝3∶4，c＝10，求a，b.
3.1 勾股定理
解：(1)因为 a2＋b2＝c2， 所以 a2＝c2－b2＝152－122＝81， 所以 a＝9. (2)因为 a2＋b2＝c2， 所以 c2＝112＋602＝3721， 所以 c＝61. (3)因为 a∶b＝3∶4， 所以设 a＝3x，b＝4x.
《勾股定理》数学教学PPT课件(5篇)
B
系吗？
图2
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：以等腰直角三角形两条直角边上的正方
形面积之和等于斜边上的正方形的面积
探究活动二：
（1）观察右边
两幅图：
C
A
B
C A
B
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
左图 右图
A的面积
4 16
B的面积
9 9
C的面积
？ ？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
4 个单位面积．
C
正方形C的面积是
A
8 个单位面积．
B
（图中每个小方格代表一图个2 单位面积）
SA+SB=SC在图3中还成立吗？
2．观察右边两个图 并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
图3 16 9
25
即：两条直 角边上的正
C A
B
图3
方法
(1)式子SA+SB=SC能用直角三角形 的三边a、b、c来表示吗?
则 a2 b2 c2
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由： (1)在△ABC中,若a=3,b=4,则c=5 (2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,则c=5. (3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=3，b=4,则c=5.
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上 半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代 学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较 长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
C A
B
C A
B
SA SB SC
a2 b2 c2
勾股定理ppt课件
2、你是通过什么方法得出这一结论的?
通过探索、发现、归纳、证明得出
3、这节课体现了哪些数学思想方法?
数形相结合,从特殊到一般.
作业布置
必做题：课本28页复习巩固1，2两题. 选做题：作业本第七页. 欧几里得证明勾股定理.
a2 + b2= c2
正方形A、B、C 所围成的等腰直角三角形的三边 之间有什么关系？
观察发现
AB
acb
C
SA + SB = SC
a2 +b2 = c2
等腰直角三角形的三边之间的关系：
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也 有这个性质吗？
P
Q CR
PQ Biblioteka R用了“补”的方法用了“割”的方法
如图，每个小方格的面积均为1.你能求出 正方形R的面积吗？ (1)
观察所得到的这组数据，你有什么发现？
P9
a
SP + SQ = SR
16Q b
c
2R5
a2 + b2 = c2
所围正成方的形直P角、三Q角、形R 的所三围边成之的间的直关角系三：角形的三 边之间两有条什直么角关边系的？平方和等于斜边的平方.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分
别为a、b，斜边长为ｃ，那么a2 + b2 = c2.
B
a
c
C
b
A
a2 = c2－b2
c a2 b2 a c2 b2
b2 = c2－a2 b c2 a2
勾股定理ppt课件
创设情境 数学是科技发展中最重要的学科，2002年全球最顶级数学家大 会在北京召开，大会会徽是：
赵爽弦图
数学文化 赵爽，名婴，字君卿，是我国三国时期杰出的数学家， 他在注解《周髀算经》时给出的这个图.
创设情境 请你观察这个图中有哪些基本几何图形？2002年的数学家大会为 什么用这个图作为会徽呢？
继续探究
1.如图，表格中左、右各有一组图，每组图中的三个正方形的面积分 别是多少，它们之间有什么关系？（设表格中每个小正方形面积为1）
C A
B
C A
B
继续探究 2.观察图形，请完成下面表格：
两个图中正 方形C的面积 如何求呢？
项目
左图 右图 A、B、C 面积关系
A的面积 4 16
B的面积 9 9
A
8
B 6
C
应用新知
例2 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形 B，D的边长分别是16，12，SE=625，S1=400，求正方形A、C的边长. 解：依题意，得SB=162=256，SD=122=144， ∵S1=SA+SB且S1=400， ∴SA=S1-SB=400-256=144， ∴正方形A的边长为 144 12， ∵SE=S1+S2且SE=625，S1=400， ∴S2=SE-S1=625-400=225， ∵S2=SC+SD，∴SC=S2-SD=225-144=81， ∴正方形C的边长 81 9 .
证明2： 如图，四个全等直角三角形拼成
如图所示的正方形，直角边为a、
b，斜边为c. S四个直角三角形面积和= 4 1 ab 2ab，
2
S四个直角三角形面积和=(a+b)2-c2
苏教版八年级数学上册《勾股定理》课件(共34张PPT)
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b=
，c=
例5、如图，四边形ABCD中，AB＝3，
BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四 边形ABCD的面积
D
13
A
12 3┐
B4 C
变式 有一块田地的形状和尺寸 如图所示，试求它的面积。
A
4
13
5
B
3
∟
C
12
D
例6、假期中，王强和同学到某海岛上去玩 探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往 东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后 又往西走3千米，在折向北走到6千米处往 东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
练习:三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向
对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
练习：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面 半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里， 杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多 长？
1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？ 2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
勾股定理说课(完整版)PPT课件
教学目标
（1）、知识与技能： 理解勾股定理的两种 证明方法——毕达哥拉斯证法和赵爽的弦图 证法；应用勾股定理解决简单的直角三角形 三边计算问题 （2）、过程与方法：通过对直角三角形三边 关系的猜想验证，经历从特殊到一般的探索 过程，发展合情推理，体会数形结合的思想 （3）、情感态度与价值观：在勾股定理的探 索过程中感受数学文化的内涵，增进数学学 习的信心
2、直角ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b=
( 24 )。
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4， 求b和c。
c=10 b=8
ac
b
1.说一说本节课我有哪些收获? 2.本节课我还有哪些疑惑?
-
作业
必做题：课本69页第一题。 选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、交流。
图2
4
9
13
图2
C
A
B
图3
图3
9 25 34
A、B、 C面积 关系
直角三 角形三 边关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
ac
结论
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？ 这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证 明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百 种之多．下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎 样证明这个命题的．
教学重点、难点
重点：探究并理解勾股定理 难点：探索勾股定理的验证方法
教法 分析
平行线的性质是学生对图形性质的第一 次系统研究，对于研究过程和研究方法都 是陌生的，所以学生需要在老师的引导下 类比研究平行线的判定的过程来构建平行 线的性质的研究过程。
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初中数学勾股定理聚智堂学科教师辅导讲义年级：课时数：学科教师：学员姓名：辅导科目：数学辅导时间:课题勾股定理教学目的1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即：a2+b２=ｃ2)2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:ａ、b、c有关系a２+b２=ｃ２，那么这个三角形是直角三角形。
３、满足的三个正整数,称为勾股数。
教学内容一、日校回顾二、知识回顾1。
勾股定理如图所示,在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：即C的面积=B的面积+Ａ的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题,于是得到直角三角形三边之间的重要关系,即勾股定理。
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，ｂ，斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明:(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形,那么三条边之间就没有这种关系了。
（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦。
在没有特殊说明的情况下，直角三角形中,ａ,b是直角边，ｃ是斜边，但有时也要考虑特殊情况。
（3）除了利用a，ｂ,ｃ表示三边的关系外，还应会利用AＢ，BC，CA表示三边的关系,在△AＢC中,∠Ｂ＝９0°,利用勾股定理有。
2. 利用勾股定理的变式进行计算ﻩ由,可推出如下变形公式:(１）;（2）(3）（4)（5)（平方根将在下一章学到）说明：上述几个公式用哪一个,取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。
三、知识梳理１、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边（２）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边（３)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边(如c)（2）验证与是否具有相等关系（3）若=，则△ＡBC是以∠C为直角的直角三角形；若≠则△ABＣ不是直角三角形。
３、勾股数满足＝的三个正整数,称为勾股数如(1)3，4,５；(2）5，12，13；（３）6,8，１０;（4）8，15，１７（5)7，24，25 （6)9, ４０, 41四、例题讲解（一）基本知识勾股定理求边长例1、如图所示，已知Rｔ△ABC中,∠ACB=90°, CD⊥ＡＢ,若AC＝4,BＣ=3，求CD的长.例2、如图所示，一棵36米高的树被风刮断了,树顶落在离树根24米处,求折断处的高度ＡB。
例３、如图所示,在高为3米，斜坡长为５米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，每平、方米地毯需５0元，那么这块地毯需花多少元？例4、如图，在△ABＣ中，∠ACＢ=9０º, CD⊥ＡＢ，Ｄ为垂足，AC=６cm，ＢC=８cm.求①△AＢC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CＤ的长。
练习C1。
若一直角三角形两边长分别为1２和５,则第三边长的平方为（）A. １69B. １69或119C． 16９或2２5 D.2252. 直角三角形的周长为12，斜边长为5,则面积为（ )A. 1２ﻩﻩＢ. 1０ﻩC。
８D．６3。
如果一个等腰直角三角形的面积是2，则斜边长的平方为( )Ａ. ２ﻩﻩＢ. 4 Ｃ． 8 ﻩﻩD．4. 若直角三角形两条直角边长分别为5㎝，12㎝，则斜边上的高为( ）DABA．6㎝ﻩﻩ B. ㎝ﻩＣ。
8㎝Ｄ。
㎝５。
等腰三角形底边长10，腰长为13,则此三角形的面积为（）ﻩﻩ B. 50 ﻩC。
60ﻩﻩﻩＤ. ７０Ａ. 40ﻩ6.直角三角形中两条直角边之比为3:４，且斜边为20cm,求（1)两直角边的长（2)斜边上的高线长直角三角形的判定例1、满足下列条件的△AＢC，不是直角三角形的是（）A。
b2＝c2－ａ2B． a∶ｂ∶ｃ＝3∶4∶５C。
∠C＝∠A－∠BD。
∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶1５例２、三角形的三边长为,则这个三角形是（)Ａ. 等边三角形ﻩＢ。
钝角三角形ﻩC。
直角三角形 D. 锐角三角形例3、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BＤＣ都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中，由此可知（）Ａ。
∠A符合要求B。
∠BDC符合要求C。
∠Ａ和∠ BDＣ都符合要求Ｄ．∠Ａ和∠BＤC都不符合要求例4、如图己知求四边形ABＣD的面积练习1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是( )A。
2，3,4 Ｂ。
3，4,6 C．5，1２,1３D．４，６,７2．三角形的三边为a、ｂ、ｃ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )A.ａ:ｂ:c=８∶１6∶1７B. a２—b2＝c2C。
a2＝（b+c)(b-c) Ｄ. a：b:c ＝13∶5∶１23。
三角形的三边长为，则这个三角形是( )Ａ. 等边三角形 B。
钝角三角形 C. 直角三角形Ｄ．锐角三角形.4、已知：如图，四边形ABCD中，AB＝2０,BC=１5，CD=7，ＡＤ＝24,∠Ｂ=90°,求证：∠A+∠C＝180°。
简单应用例1、一根旗杆在离地面4．5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高（)A. 10。
5米ﻩB．７。
５米ﻩC。
１2米ﻩ D. 8米例2、如图，一架2５分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子将平滑( ）A. 9分米B． 15分米C。
5分米ﻩD．8分米例3.、一根旗杆在离地９米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_____＿___.（一）类型题目题型1、求最短距离.(折叠与展开)例1、如图,一只蚂蚁从点Ａ沿圆柱表面爬到点B，如果圆Ｂ柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短的路线长是（ )A。
６ｃmＢ. ８cm C． 1０ cmＤ。
10cm A例2、如图，已知长方体的三条棱AB、BC、ＢD分别为4,5,2,蚂蚁从Ａ点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方．．是。
练习1、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的Ｂ’点沿纸箱爬到D点,那么它所行的最短路线的长是_____________.２、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6,ＢC=８,现将直角边AＣ沿直线AD 折叠,使其落在斜边AB上,且与AE重合，则ＣＤ的长为。
3、如图，在矩形中，将矩形折叠,使点B与点D重合,落在处,若，则折痕AD的长为。
4、如图，CD是Rt ABＣ的斜边AB上的高，若AB=17，ＡC=15，求CD的长（）A、Ｂ、Ｃ、1７D、7第19题B’C’B′A′C′D题2图(二）主要数学思想.1、方程思想例3、如图，已知长方形ABCD中AB＝8 ｃｍ,BC=10 ｃm，在边CＤ上取一点E,将△ADＥ折叠使点D恰好落在BC边上的点Ｆ，求CＥ的长.例4、已知：如图,在△ABC中,ＡB＝１5，BC＝１4,ＡC＝13。
求△ＡBC的面积.练习1、如图，把矩形ABCD纸片折叠,使点Ｂ落在点Ｄ处，点C落在C'处,折痕EF与BＤ交于点O，已知AB=16,ＡD=１２，求折痕EF的长。
2、已知：如图，△ABＣ中,∠C=90º，AＤ是角平分线,ＣD=1５，BD=25.求AＣ的长。
2、分类讨论思想(易错题）例题5、在Rt△ＡBC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为例题６、已知在△AＢC中，AＢ＝１7,AＣ=1０，BC边上的高等于８，则△ABC的周长为．练习1、在Rt△ABC中，已知两边长为5、１2，则第三边的长为2、等腰三角形的两边长为１０和12,则周长为________,底边上的高是___＿_＿__，面积是＿＿＿_＿____。
(三）勾股定理的应用1、如图，将一根长２４cm的筷子,置于底面直径为5cm，高为12ｃm的圆形水杯中,设筷子露在外面的长度为hcm，则h的取值范围是2、如图,四边形ＡＢCD中,AB=3cm，BＣ=４cm,ＣD=12cｍ，DA=1３cm,且∠ABＣ=90°,则四边形ABCＤ的面积是cm2五、课堂小结一、知识结构六、家庭作业一．选择题1. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（ )Ａ． 25ﻩﻩ B. 1４C。
7 D． 7或２5２。
若线段a，ｂ，c组成Ｒt△，则它们的比为（）A. 2∶3∶4 ﻩＢ3∶4∶6 C。
５∶12∶1３ﻩﻩD．４∶6∶7３. Rt△一直角边的长为1１，另两边为自然数，则Ｒｔ△的周长为( ）A． 12１ﻩﻩＢ。
1２0 ﻩC。
132 ﻩＤ. 不能确定４．如果Rt△的两直角边长分别为n２—1，2n（n〉1），那么它的斜边长是( ）A． 2nﻩﻩﻩB．n+1ﻩﻩC。
n2－1ﻩD。
n2+15。
已知Rｔ△ＡBC中，∠C＝90°，若a＋b=14cm,c=１0cm，则Rt△ＡBC的面积是（）A。
2４cm2B．３６cm2ﻩC。
48cm2 D. 60cm26. 三角形的三边长为(a+b)2＝c2+2ａb,则这个三角形是（ )Ａ。
等边三角形ﻩﻩﻩＢ。
钝角三角形ﻩﻩC．直角三角形ﻩﻩＤ．锐角三角形7. 已知，如图长方形ABCＤ中，ＡB=３cm,ＡＤ=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ＡBE的面积为( )Ａ．６cm2ﻩﻩ B. ８cm2ﻩ C. 10cm2ﻩD． 12cｍ28。
已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以1２海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距( ）A. 2５海里ﻩﻩB。
30海里ﻩC．３5海里ﻩD． 4０海里定理：应用:主要用于计算直角三角形的性质:勾股定理直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足则它是一个直角三角形.勾股定理二．填空题1. 在Rt△AＢC中,∠C=90°,①若a＝5，b＝1２，则c＝__＿＿_____＿＿;②若ａ＝１５,c＝25，则b=＿_＿＿＿___＿__;③若ｃ=61，b＝６0,则a＝______＿___;④若a∶b＝3∶4,ｃ=１0,则ＳRt△ABC＝________。
2. 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为＿＿＿＿__＿＿__。
3. 在平静的湖面上，有一支红莲,高出水面1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是＿_＿___＿_m。
4。
在一棵树的10米高Ｂ处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_____＿＿______＿_＿__＿___＿_＿米。
三. 解答题1. 如图，铁路上Ａ，B两点相距25km,C,D为两村庄,ＤA⊥AB于A,ＣＢ⊥AB于B,已知DＡ＝15km，ＣB＝10km，现在要在铁路ＡＢ上建一个土特产品收购站E，使得C，Ｄ两村到Ｅ站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？2. 小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开５米后，发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。