学案7：3.1.3 概率的基本性质

3．1.3 概率的基本性质 预习案-新知导学 教材助读 1．问题导航 (1)两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还记得子集、交集、并集和补集等的含义及其符号表示吗？ (2)如何理解事件A包含事件B？事件A与事件B相等？ (3)什么叫做并事件？什么叫做交事件？ (4)什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？互斥事件与对立事件的联系与区别是什 么？ (5)概率的基本性质有哪些？ 读后验收 1．事件的关系 (1)包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A ，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作 (或A⊆B)．不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件．

类比集合，事件B包含事件A用图表示． (2)相等关系

如果事件A发生，那么事件B一定发生，反过来也对，这时我们说这两个事件相等，记作A＝B. 一般地，若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B. 2．事件的运算 (1)并事件 若某事件C发生当且仅当事件A发生 事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的 (或和事件)，记作C＝ (或A＋B)．

类比集合，事件A与事件B的并事件用图表示． (2)交事件

若某事件C发生当且仅当事件A发生 事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C＝ (或AB)． 类比集合，事件A与事件B的交事件用图表示． (3)互斥事件、对立事件 若事件A∩B为不可能事件 ，那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中 发生． 若A∩B为 事件，A∪B为 事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有 一个发生． 3．概率的几个性质 (1)范围 任何事件的概率P(A)∈ ． (2)必然事件的概率 必然事件的概率P(A)＝ ． (3)不可能事件的概率 不可能事件的概率P(A)＝ ． (4)概率加法公式 如果事件A与事件B互斥，则有P(A∪B)＝ ． (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，那么A∪B为必然事件，则有P(A∪B)＝ ＝1. 自我测评 1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”) (1)互斥事件一定对立；( ) (2)对立事件一定互斥；( ) (3)互斥事件不一定对立；( ) (4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；( ) (5)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．( ) 2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( ) A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7 3．设A、B为两个事件，且P(A)＝0.3，若P(B)＝0.7，则表示A与B关系正确的是________．(填序号) ①A与B互斥 ②A与B对立 ③A与B互斥，但不对立 ④A与B不一定互斥 4．在同一试验中，对任意两个事件A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？ 名师指津 1．在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立事件有且仅有一个发生． 2．事件A＋B或A∪B，表示事件A与事件B至少有一个发生，事件AB或A∩B，表示事件A与事件B同时发生． 3．概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B)． 4．如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1. 5．如果事件A1，A2，…，An中任何两个都互斥，那么事件(A1＋A2＋…＋An)表示事件A1，A2，…，An中至少有一个发生；P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 探究案-讲练互动 题型探究 探究点一 互斥事件、对立事件的判断 例1 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

方法归纳 判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的，二是考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对于较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析． 跟踪训练1．(1)一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6.则( ) A．A与D是互斥事件 B．C与D是对立事件 C．B与D是互斥事件 D．以上都不对 (2)某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． ①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤C与E.

探究点二 事件的运算 例2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． 问：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？

[互动探究] 在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？

方法归纳 (1)事件间的运算： (2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析． 跟踪训练2．(1)下列结论：①A、B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；②若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；③事件A、B满足P(A)＋P(B)＝1，则A、B是对立事件．其中错误结论的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

(2)设A、B是两个任意的事件，A－是A的对立事件，下面关系式正确的是( )

A．A＋B＝A B．A＋B＝B

C．A＋AB＝A D．A－＋B＝A

探究点三 概率加法公式的实际应用 例3 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：

一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值． (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)

方法归纳 (1)应用概率加法公式时要保证事件互斥，复杂事件要拆分成若干个互斥事件，以化繁为简：注意不重不漏． (2)当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果较少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即贯彻“正难则反”的思想． 跟踪训练3．(1)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 4人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.35 0.05 0.04 ①至多2个人排队的概率； ②至少2个人排队的概率．

(2)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求： ①P(A)，P(B)，P(C)； ②1张奖券的中奖概率； ③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

素养提升 数学思想 转化与化归思想在求解概率问题中的应用 例4 2014年6月19日，隆回麻塘山乡开始出现强降雨，此次洪水灾害中，麻塘山乡是全县降雨量最大的乡镇，也是全县洪水重灾区之一．某地区年降水量(单位：mm)在下列范围内的概率如下表：

年降水量 [600 800)， [800，1 000) [1 000， 1 200) [1 200， 1 400) [1 400，1 600)

概率 0.12 0.26 0.38 0.16 0.08 (1)求年降水量在[800，1 200)范围内的概率； (2)如果年降水量≥1 200 mm就可能发生涝灾，求该地区可能发生涝灾的概率．

[感悟提高] 转化与化归思想的核心是把陌生问题转化为熟悉的问题，事实上解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程．在本节中运用加法公式及对立思想把复杂概率问题转化为易求解的概率问题．当一个事件的概率较难求，而对立事件易求时，应用对立事件公式转化成求对立事件的概率，或是转化成几个易求解的互斥事件的和事件去求解． 当堂检测 1．某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( ) A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9 2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45，

那么所选3人中都是男生的概率为________． 3．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．