大学大学物理学-论角动量守恒
大学物理——动量和角动量
x
0
t
M l vdt Mm
X牵
动量守恒定律在空间技术中的应用：火箭飞行
例：火箭在远离星球引力的星际空间加速飞行，因 而不受任何外力的作用，设火箭某一时刻携带的燃 料的质量为 m，喷出的气体相对火箭的速率为 u， 且保持不变，求：火箭在任一时刻的速度。 t + dt t u 解：初态动量 P0 = mv
它受到的火箭对它的作用力:
dp dm F u dt dt
所以根据牛三律火箭获得的推力为
dm F u dt
方向向上
如何提高火 箭的速度?
1.3.4
质心
质心是质点系的质量中心 一、 质心位矢： 质心的定义: 设质点系共有N个质点组成,各质点的 r 质量分别为：m1,m2,…mN ,矢径分别为： 1 , r2 rN 则 质心的矢径定义为: N N y mj m i ri m i ri m1 1 rc i N i 1 c r1 mi m rc mi m2 N i 1
平均冲力： F
t2
Fdt
t1
t 2 t1
m v 2 m v1 t 2 t1
讨论
1）直角坐标系中的分量式( 二维 ):
I x Fx dt P2 x P1 x
t1 t2
I y Fy dt P2 y P1 y
t1
t2
2） 动量定理在碰撞问题中具有特殊重要的意义。 在碰撞过程中由于作用时间极短,作用力（冲力）却 很大. 并且随时间变化很难测定，但可借助始﹑末动 量变化和作用时间来计算平均冲力。
C
dl
dm = dl
= m / (R)
R
·d
第3章_动量与角动量
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
大学物理角动量小论文
角动量守恒及其应用————角动量守恒及其应用姓名：咫尺天涯学号：0909009 班级：12-1摘要：角动量及其规律是从牛顿定律基础上派生出来的又一重要结果．角动量定理对质点及质点系都成立。
在一些体育运动及猫的下落问题中都会用到角动量守恒来解释相关现象。
一、理论基础质点的角动量定理为：M=对其推广到质点系。
一质点系由N个质点组成。
对质点系中任一个质元J，应用角动量定理得：M是第J个质元受到的合力矩。
将每个质元受到的力矩分为外力矩和内力矩，分别记作这样，对第J个质元将它对N个质元求和得式中，为质点系所有质点受到和外力矩矢量和，为质点系所有质点受到和内力矩矢量和。
可知质点系所有质点受到和外力矩矢量和为零（读者可自行证明，在此不做赘述）。
故对质点系来说前面证明了角动量定理对质点及质点系都成立。
接下来探讨角动量守恒所应该满足的条件：（1）系统不受外力。
（2）系统所受和外力矩为零。
此两种情况下M=0，由角动量定理：M= 得系统角动量变化率为0。
即系统角动量为常量，也说明了此时角动量是守恒的。
条件：结论：常量另外：L= 此时,当I增大时减小，当I减小时增大.利用此性质可以解释一些物理现象。
二、联系实际：（1）人体作为一个一个质点系，在运动过程中也应遵循角动量定理。
人体脱离地面和运动器械后。
仅受重力作用，故人体相对质心角动量守恒。
利用人体形状可变的性质，应用角动量守恒定律就可做出千姿百态的动作出来。
(2)当物体绕定轴转动时，如果它对轴的转动惯量是可变的，则在满足角动量守恒的条件下，物体的角速度随转动惯量I的改变而变，但两者之乘积却保持不变，因而当I变大时，变小；I变小时，变大。
在花样滑冰中，运动员利用身体的伸缩改变自身的转动惯量，以改变绕自身竖直轴的角速度。
(3)猫在自由下落中的翻身与角动量守恒让一只猫四脚朝天的下落，它总能在落地前翻身180度，变成四脚着地的安全姿势着陆。
猫在自由下落过程中唯一受到的外力便是重力，而重力对猫的质心没有力矩，故猫在下落的过程中和外力矩为零。
大学物理动量与角动量(PPT课件)
写成
Fi f i
内力之和
质点系 F
外力之和
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法: 对每个质点分别使用牛顿定律，然后利 用质点系内力的特点加以化简 到 最简形式。
第1步，对 mi 使用动量定理：
fi
t2
t2 Fi dt f i dt Pi Pi 0 t1
3)碰撞或冲击过程，牛顿第二定律无法直接使
用，可用动量定理求解。如：估算平均作用力
定义平均作用（冲）力:
p2 p1 p t1 F t f t2 t1 t2 t1 方向与 p 的方向相同
t2
f
F dt
将冲量定义式 t 中的积分用平 I F dt F t 均冲力代替: t
m1 1 例如如图，则 xc m1 m2 m3 2m 2 3m3 yc zc m1 m2 m3 m1 m2 m3
3 . m3 m1 . o 1 m .2 2 y
z
质量连续分布的物体， 分成N 个小质元计算：
rc m i ri
5. 当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞） 可认为动量近似守恒。
6. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本， 在宏观和微观领域均适用。 7. 用守恒定律解题，应注意过程、选系统、 分析内外力、确定始末态。
三、火箭飞行原理——变质量问题
“神州”号飞船升空
变质量问题（低速，v << c）有两类：
N
m0 l x g l
(法二) 类似火箭飞行的方法求解
系统是：
动量定理 ( F mg)dt dm0
已提升的质量(主体) m 和将要提升的质量dm x m的动量 dm的动量 F m0 0 t x m d m t dt m g 0 0 0
第五章 角动量守恒与刚体的定轴转动
茹 科 夫 斯 基 转 椅
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大学物理学（第二版）电子教案
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
例 一质量为M ,长度为l的均匀细棒,可绕过其顶端的水平 轴O自由转动, 质量为m的子弹以水平速度 v0射入静止的细 棒下端, 穿出后速度损失3/4, 求子弹穿出后棒所获得的角速 o 度. 解法一：用动量定理和角动量定理求解. 设棒对子弹的阻力为f , 则由动量定理,
刚体定轴转动角动量定理的积分形式
t
J J0
2. 角动量守恒定律
M 0 , L 恒矢量
J J0
刚体所受合外力矩为零时, 其角动量守恒.
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大学物理学（第二版）电子教案 角动量守恒实例
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
sin
m 2 v0 k (m M )(l l0 ) 2
2
mv0l0 l m 2 v0 k (m M )(l l0 ) 2
2
试问:是否可以对全过程用机械能守恒定律计算,为什么?
o
v0
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大学物理学（第二版）电子教案
第五章·角动量守恒与刚体的定轴转动
5－2 刚体的定轴转动
质点所受合外力对任一参考点的力矩等 于质点对该点角动量随时间的变化率. 质点角动量定理的积分形式
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩
t1
t2
M dt
质点所受外力的冲量矩等于质点角动量的增量. 牛顿定律
导出 适用
惯性系
质点角动量定理
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大学物理学（第二版）电子教案
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
角动量守恒定律条件
角动量守恒定律条件
角动量守恒定律是物理学中的一个重要定律，它指出在一个孤立系统中，如果没有外力作用，则系统的总角动量保持不变。
这个定律可以
用以下条件来表述：
1. 孤立系统：这个条件意味着系统内部没有任何物质或能量的交换，
也没有外部力场的干扰。
只有这样，才能保证系统的总角动量不受外
部因素的影响。
2. 没有外力作用：这个条件意味着系统内部没有任何物体与外界之间
的相互作用。
如果存在外力作用，则会改变系统内部物体的运动状态，从而影响到总角动量。
3. 角动量守恒：这个条件指出，在满足前两个条件的情况下，系统的
总角动量是一个常数。
也就是说，无论在什么时间点观察系统，总角
动量都保持不变。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常会将孤立系统看做一个整体，并将其分解为若干个子系统。
对于每个子系统而言，它们都需要满足
以上三个条件才能保证其总角动量守恒。
总之，角动量守恒定律是一个非常重要且普适性强的定律，它能够帮助我们理解许多物理现象，并为许多实际应用提供指导。
大学物理动量角动量
三、质点的角动量定理
L=r×pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dL dr dp = × p+r × dt dt dt
r × F =r ×
dP dt
0
υ
dL M = dt
注意： 注意： 1. M, L 必须对同一点 必须对同一点 2. M —合外力矩 合外力矩 3.惯性系成立 惯性系成立
∫t
t2
1
M dt =
∫L d L = L2 L1
M外 = 0 L总 = 常 量 矢
角动量守恒定律
M i = ri × ( Fi + ∑ f ij )
i≠ j
d 注意： M = ∑ ri × Fi = ( ∑ Li ) 注意： dt i i
F外
d P总 = dt
1.内力矩不改变质点系的总 内力矩不改变质点系的总 角动量， 角动量，但可以改变各质点 的角动量。 2. M = ∑ M i 必须对同一点。 必须对同一点。
∫v dv = u ∫M
0
v
M
0
dM M
M0 v = v0 + uln M
Fdt = (v u)dm vdm
u
= udm
它给火箭的推动力 指向前进方向
F ' = F > 0
dm dM F = u <0 =u dt dt
§3 质心运动定理 一 质心
N个粒子系统，可定义质量中心 个粒子系统， 个粒子系统
z mi
rc
ri
y
rc =
∑m r
i =1 N
N
i i
∑m
i =1
=
∑m r
i =1
N
i i
x
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20XX年复习资料
大
学
复
习
资
料
专业：
班级：
科目老师：
日期：
论角动量守恒
——大物小论文小时候就有一个疑问：人们走路的时候为什么要甩手呢？为什么如果走顺拐了会感觉特别别扭呢？一个很常见的解释是，为了保持身体平衡。
然而上了大学之后，接触到了角动量，就能更加理论地解释这个问题了。
角动量
对于一个质量为m质点：先随便找一条直线作为参考轴，设被研究的质点到这条轴的距离为r，如果质点垂直于r方向的速度为v，那么这个质点（相对于参考轴）的角动量则为L=rmv。
对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
角动量守恒定律
如果合外力矩零(即M外=0),则L1=L2，即L=
常矢量。
对一固定点o,质点所受的合外力矩为零,
则此质点的角动量矢量保持不变。
例如，例如一个旋转着的陀螺，为什么它不会很容易倒下呢？原因就在于角动量守恒：就选取陀螺的转轴为参考轴，那它就是不受外力矩的，因此它的角动量守恒，因此在理想情况下它将一直转下去。
角动量守恒与能量守恒、动量守恒这三个守恒定律，是这个宇宙中最基本最牢不可破的三条定律，它们都是我们宇宙基本时空性质的反应。
根据理论力学中的一个深刻的定理——诺特尔定理：能量守恒等价于时间平移对称
性，即物理定律并不随着时间的流逝而发生改变；动量守恒等价于空间平移对称性，即物理定律并不随着空间地点的改变而改变；角动量守恒则等价于空间各向同性，即物理定律并不随着空间朝向的改变而改变。
现在，我们回到最开始的问题。
选取过人的质心与地面垂直的直线作为参考轴。
右脚踩在地上而左脚往前迈时，左脚一个相对于轴向前的速度，而右脚有一个相对轴向后的速度。
假设我们的手不甩的话，他们对身体总角动量就没有贡献，于是身体有了一个绕参考轴顺时针旋转的角动量。
而当左脚踩在地上而右脚向前迈进时，相应的，人的身体具有逆时针旋转地角动量。
根据角动量定理，角动量只要发生改变，就必须有力矩作用在系统上。
因此脚底必须给身体一个让其逆时针旋转的力矩，这是走路时身体受到外力矩的唯一方式。
但是脚底给身体的合力必须是零，否则人就没法匀速走路了，因此这个力矩得是一对等大反向而作用点不同的力产生，必须是脚底板和地面有个相对的旋转运动才能产生出来。
那也就是我们要做脚底转着搓地的动作，而这个对于我们来说是很不自在的。
所以，我们就会选择甩手来保证这种平衡。
而顺拐的问题则是因为当两腿让身体有顺时针旋转时，双手就必须让整体再有个逆时针旋转，即哪边的腿往前迈，哪边的手就必须往后甩，这样才能让整体角动量保持为零，否则就还是不平衡的。
在生活中，还有很多这样的实例。
比如，直升机的尾翼，旋转的冰上运动员，链球的旋转抛掷。
当M=0时，Iw=常量。
当I增大时，w减小；I减小时，w增大。
一般而言，当转轴不是对称轴（或惯量主轴）时，即使刚体绕定轴作匀角速转动，刚体
角动量亦不守恒。
但当外力矩在转轴（Z 轴）上的分量是0时，刚体在该轴上的分量保持不变，即有
当Mz=0,Lz=Izw=常量,当I增大时，w仍会减小；I减小时,w仍会增大。
在花样滑冰中，运动员可以通过手臂的舒展收缩来保持角动量平衡。
在跨栏运动中，运动员需使腿向前伸展，同时上身应向前倾斜，以保持身体角动量不变。
猫在自由下落中的翻身与角动量守恒。
让一只猫四脚朝天的下落，它总能在落地前翻身20XXXX0度，变成四脚着地的安全姿势着陆。
猫在自由下落过程中唯一受到的外力便是重力，而重力对猫的质心没有力矩，故猫在下落的过程中和外力矩为零。
那么它如何获得这20XXXX0度的角位移？人们很早就意识到猫此时不能当作一个刚体来其后又出现了双轴转动解释，意为猫先躬身，使前半身和后半身几乎成90角，然后其前半身与后半身分别旋转，但前后身旋转方向相反。
猫身体前后两部分角动量大小可以相同，但符号相反。
故其和角动量仍能和猫开始下降时一样，都为0。
这样，对于猫整体而言，其角动量仍能保持不变。
可以看出，人的日常生活中，很多地方都是角动量守恒，我们更应该去了解它，而不是只知道这种现象，就罢了。
以后我们也可以根据角动量守恒设计出更多有利于人类社会的产品，解决生活问题。