向量定理七个公式
平面向量的基本定理
（Ⅱ）点P的坐标为 ( x0 , y0 )
PM PN (1 x 0 ) 2 y 0 (1 x 0 ) 2 y 0
2
2
(4 2 x 0 )(4 2 x 0 )
2 4 x0
PM PN PM PN
2
∴ cos
3 x0 y0
2
∴ tan y0
对于各种类型的综合题一定要认真审题，抓住已 知条件引申分析，条件的发展必须用到P点坐标，所以 从设P点坐标为（x，y）开始，一步步地就可以解题， 抓住求什么？怎么求？现在知道什么？知、求有什么关 系？这个思路训练自己解题．
例3．
设平面内有两个向量，a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ) 且 0 < α < β < π．
XA 34, XB 2
∴ XA XB (3) 1 5 (1) 8
cosA B XA XB XA XB
8 34 2
4 17 17
本题考查平面向量数量积、向量的夹角公式及最值， 解题的关键是得到目标函数 XA XB 5( y 2) 2 8，以此
（Ⅰ）证明：（a＋b）⊥（a－b）
（Ⅱ）若两个向量Ka＋b与a－Kb的模相等，求β－α的值 （K≠0，K∈R） 分析： 欲证（a＋b）⊥（a－b）只要利用向量垂直的充要条件． (a＋b)· (a－b)＝0，即可．再利用向量a＋b与向量a－b的数 量积即可． 要求 β－α 的值，可用cos(β－α)，向量的夹角公式解决，再 根据给定的范围，来确定 β－α 的值．
因此点 P 一定通过 ΔABC 的内心． ∴ 选（B）
(完整版)平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点小结及常用解题方法一、平面向量两个定理1。
平面向量的基本定理 2.共线向量定理.二、平面向量的数量积1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ,它是一个实数，但不一定大于0.2。
a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。
三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算:1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--。
（2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。
（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
（4）平面向量数量积:1212a b x x y y ⋅=+.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+。
四、向量平行(共线）的充要条件221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=.五、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=。
六．121211222221(,),(,)cos ,.x x y y a x y b x y a b x y x +===+七、向量中一些常用的结论1.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ,33(,)C x y ，则重心坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++。
2.三角形“三心"的向量表示(1)0GA GB GC G ++=⇔为△ABC 的重心。
(2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；3. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．4. 在ABC △中若D 为BC 边中点则1()2AD AB AC =+5.与AB 共线的单位向量是||AB AB ±七．向量问题中常用的方法(一）基本结论的应用1。
向量大小计算公式
向量大小计算公式
向量的大小又称向量的模或者向量的长度，表示向量空间中一点到原点的距离。
在二维向量空间和三维向量空间中，向量的大小可以通过勾股定理计算得到。
在更高维度的向量空间中，向量的大小可以使用欧几里得范数进行计算。
1.二维向量空间的向量大小计算公式：
对于二维向量v=(x,y)，其大小可以使用勾股定理计算：
v， = sqrt(x^2 + y^2)
2.三维向量空间的向量大小计算公式：
对于三维向量v=(x,y,z)，其大小也可以使用勾股定理计算：
v， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)
3.高维向量空间的向量大小计算公式：
对于 n 维向量 v = (x1, x2, ..., xn)，其大小可以使用欧几里得范数进行计算：
v， = sqrt(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)
这里的，xi，表示 xi 的绝对值。
该公式可以扩展到任意维度的向量空间。
除了使用上述的公式计算向量大小外，还可以利用向量的内积进行计算。
向量的内积是两个向量各分量乘积的和。
对于二维向量v=(x,y)，其内积可以表示为：
v·v=x^2+y^2=，v，^2
同样地，对于三维向量v=(x,y,z)，其内积为：
v·v=x^2+y^2+z^2=，v，^2
通过向量的内积，可以直接得到向量的大小的平方。
因此，向量的大小可以表示为：
v，= sqrt(v · v)
以上是向量大小计算的基本公式，可以用来计算任意维度的向量空间中的向量大小。
平面向量基本定理垂直公式
平面向量基本定理垂直公式一、向量的“垂直”其实就是不对付说到平面向量，大家最常见的感觉就是那种又长又短的箭头嘛，不知道你有没有注意到，这些箭头之间不光有“距离”，还有“方向”。
要是你想知道两个向量是怎么“相互看不顺眼”的，记住一句话，那就是——垂直。
没错，向量垂直了，两个向量之间的夹角就是90度，像两只不相干的狗在各自的路上走，根本不会有交集。
怎么判断它们是否垂直呢？其实方法很简单，向量间的“内积”是关键。
你问什么是内积？这个不难，简单说就是把两个向量对应的坐标数值相乘，然后加起来。
要是得出来的结果是0，那恭喜你！这两个向量就真的“针尖对麦芒”，直来直去，根本不想搭理对方，垂直得不得了！二、内积为零，垂直你就懂了现在，听我给你讲讲如何操作：假设有两个向量，一个是(mathbf{a=(a_1,a_2))，另一个是(mathbf{b=(b_1,b_2))。
我们要做的就是计算它们的内积，具体步骤是把它们的每个坐标相乘，然后加在一起——也就是这么简单，(mathbf{acdotmathbf{b=a_1b_1+a_2b_2)。
如果这个结果是零，恭喜！这两条向量就是垂直的，虽然它们的形状、大小不一样，但在这个平面上，它们的走向完全不影响对方，两个“方向”根本不想搭理对方，完全不交集。
换句话说，正因为它们“内心”是零，所以它们就能做到彻底的“垂直”关系了。
要是有同学不信，你可以试着画出来，保证分分钟让你明白“内积”原来是这么直接的反映。
内积为什么为零就垂直呢？其实道理很简单，想象一下，一个向量往东走，另一个向量往北走。
它们之间夹着90度角，这样它们做内积的时候，东向和北向的分量之间完全没交集，各自都“忙自己的事”，所以结果就得是0。
嗯，简单对吧？这也是物理学里常常讲的东西——比如两个力的作用点，完全不影响对方的方向与大小，它们就是“互不干扰”的意思。
三、为什么要学这个公式呢？好吧，很多同学可能心里会想：这不就是两个向量互不干扰嘛，关我什么事？但向量的垂直关系在很多地方都能派上用场。
高一数学向量知识点
高一数学向量知识点向量是高一数学中的一个重要概念，它在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中向量的相关知识点。
一、向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
与只有大小的标量（如实数）不同，向量的这两个要素缺一不可。
我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
例如，力、速度、位移等都是向量。
二、向量的表示1、几何表示用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
向量的长度（也称为模）用线段的长度表示。
2、字母表示通常用小写字母加上箭头来表示，如$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，＄＼vec{c}＄等。
三、向量的模向量的模就是向量的长度。
若向量$＼vec{a}＄，则其模记为$｜＼vec{a}｜＄。
例如，对于向量$＼vec{a}＝（x,y)＄，其模为$｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄。
四、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作$＼vec{0}＄。
零向量的方向是任意的。
五、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
单位向量的方向不一定相同。
对于任意非零向量$＼vec{a}＄，与之同向的单位向量为$＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＄。
六、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
如果两个向量平行，我们可以表示为$＼vec{a} ＼parallel ＼vec{b}＄。
七、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量。
八、向量的加法1、三角形法则已知向量$＼vec{a}＄，＄＼vec{b}＄，在平面内任取一点 A，作$＼overrightarrow{AB}＝＼vec{a}＄，再作$＼overrightarrow{BC}＝＼vec{b}＄，则向量$＼overrightarrow{AC}＄叫做$＼vec{a}＄与$＼vec{b}＄的和，记作$＼vec{a} ＋＼vec{b}＄，即$＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼overrightarrow{AC}＄。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量知识点与公式总结篇1考点一：向量的概念、向量的基本定理了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。
注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。
考点二：向量的运算向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会推断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积推断两个平面向量的垂直关系。
命题形式重要以选择、填空题型显现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。
考点三：定比分点掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能娴熟应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。
重点考查定义和公式，重要以选择题或填空题型显现，难度一般。
由于向量应用的广泛性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若显现在解答题中，难度以中档题为主，偶然也以难度略高的题目。
考点四：向量与三角函数的综合问题向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，实现了高考中试题的掩盖面的要求。
命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。
考点五：平面向量与函数问题的.交汇平面向量与函数交汇的问题，重要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
命题多以解答题为主，属中档题。
考点六：平面向量在平面几何中的应用向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，很多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟识的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，给予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。
两个向量垂直相乘等于零的公式(两个向量垂直相乘等于零的公式推导)
两个向量垂直相乘等于零的公式(两个向量垂直相乘等于零的公式推导)两个向量垂直，有什么公式一、两个向量垂直，有垂直定理：若设a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0 。
二、向量其他定理1、向量共线定理若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，，使，若设a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则有，与平行概念相同。
平行于任何向量。
2、分解定理平面向量分解定理：如果和是同一个平面上的两个非平行向量，那么这个平面上的任何向量都只有一对实数，所以我们称非平行向量为这个平面上所有向量的基。
3、三点共线定理已知O是AB所在直线外一点，若,且则A、B、C三点共线。
扩展资料：向量的运算：设，。
1、加法向量加法向量加法满足平行四边形法则和三角形法则。
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2).c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
加减变换律：a+(-b)=a-b3、数乘实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。
当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
4、数量积若a、b不共线，则；若a、b共线，则。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
平面向量方法总结(带例题)【大全】
平面向量应试技巧总结一。
向量有关概念:1。
向量得概念：既有大小又有方向得量，注意向量与数量得区别。
向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段，为什么?(向量可以平移)。
如:已知A（１,2),B(4,2)，则把向量按向量＝（－1,3)平移后得到得向量就是＿___＿（答:(３，0））2.零向量：长度为0得向量叫零向量，记作：,注意零向量得方向就是任意得;3。
单位向量：长度为一个单位长度得向量叫做单位向量(与共线得单位向量就是）；4.相等向量:长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;５.平行向量(也叫共线向量）：方向相同或相反得非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量与任何向量平行.提醒：①相等向量一定就是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行就是不同得两个概念:两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!（因为有);④三点共线共线;6。
相反向量：长度相等方向相反得向量叫做相反向量。
得相反向量就是-.如下列命题:（１)若,则．(２）两个向量相等得充要条件就是它们得起点相同，终点相同。
（３）若,则就是平行四边形。
(４)若就是平行四边形,则。
(５)若,则。
(6)若，则。
其中正确得就是＿____＿_(答：(4）(5)) 二。
向量得表示方法:1.几何表示法：用带箭头得有向线段表示,如，注意起点在前，终点在后；2。
符号表示法:用一个小写得英文字母来表示，如,，等;3。
坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同得两个单位向量,为基底,则平面内得任一向量可表示为，称为向量得坐标，=叫做向量得坐标表示.如果向量得起点在原点,那么向量得坐标与向量得终点坐标相同。
三.平面向量得基本定理:如果e1与ｅ2就是同一平面内得两个不共线向量，那么对该平面内得任一向量a,有且只有一对实数、，使a=e1+e2。
如(1）若,则_____＿(答:）;(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底得就是Ａ、B、C、D、(答：B）;(3）已知分别就是得边上得中线,且，则可用向量表示为＿__＿_(答:)；(4)已知中，点在边上,且,，则得值就是_＿_(答：0）四.实数与向量得积:实数与向量得积就是一个向量，记作，它得长度与方向规定如下：当〉0时,得方向与得方向相同，当<0时,得方向与得方向相反,当=０时，,注意：≠0。
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向量定理七个公式
平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。
平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
输入分数，查看能上的大学
测一测能上的大学
1向量的加法
1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
AB+BC=AC.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
2、向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
2向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
3向量的的数量积
1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.
2、向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.
3、向量的数量积的运算律
a•b=b•a(交换律);
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);
4、向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a•b=0.
|a•b|≤|a|•|b|.
5、向量的数量积与实数运算的主要不同点
（1）向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.（2）向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出b=c.
（3）|a•b|≠|a|•|b|
（4）由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b.
4数乘向量
1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.
当λ>0时,λa与a同方向;
当λ<0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意.
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.
注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.
2、数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
5向量的向量积
1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
2、向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a‖b〈=〉a×b=0.
3、向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
6向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.
7定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
8其他公式
1、三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
2、三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
3、向量共线的重要条件
若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是xy'-x'y=0.
4、零向量0平行于任何向量.
5、向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是a•b=0.
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0.
6、零向量0垂直于任何向量.。