【高中数学专项突破】专题26 对数函数(含答案)

【高中数学专项突破】

专题26 对数函数

题组1 对数函数的概念

1.给出下列函数：

①y ＝23

log x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .

其中是对数函数的有( ) A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.下列函数，是对数函数的是( ) A.y=lg10x B.y=log 3x 2 C.y=lnx

D.y=log 13

（x –1）

3.下列各函数中，表示同一函数的是（ ） A.

与y=x+1

B.y=x 与

（a ＞0且a≠1）

C.与y=x ﹣1

D.y=lgx 与

题组2 对数函数的定义域

4.函数y =1g （1-x ）+22x x -++的定义域是（ ） A.[]2,1

B.[

)1,1- C.[]1,2-

D.(]

1,2 5.已知函数y =f （x +1）的定义域为[-2，6]，则函数y =f （3-4x ）的定义域是（ ） A.[]

1,1-

B.[]

3,5-

C.35 ,44??

-

???

? D.13 ,22??

-

???

? 6.函数y=的定义域是（ ）

A.（1，2]

B.（1，2）

C.（2，+∞）

D.（﹣∞，2） 7.函数y ＝

＋lg （2－x ）的定义域是（ ）

A.（1，2）

B.[1，4]

C.（1，2]

D.[1，2）

8.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x ＋1)是偶函数，(x －1)f′(x)<0.若x 12，则f(x 1)与f(x 2)的大小关系是（ ）

A.f(x 1)

B.f(x 1)＝f(x 2)

C.f(x 1)>f(x 2)

D.不确定

9.已知全集U ＝R ，集合?U A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |x >2}，则A ∪B ＝( ) A.{x |x >2} B.{x |22} 10.函数f(x)264x -log 2(2sin x －1)的定义域是________.

11.设函数f （x ）=-x +2，则满足f （x -1）+f （2x ）＞0的x 的取值范围是______.

12.已知全集U =R ，集合A ={x |x ＜a }，B ═{x |-1＜x ＜2}，且A ∪?U B =R ，则实数a 的取值范围是______.

题组3 对数函数的实际应用

13.某种动物繁殖数量 y (只)与时间x (年)的关系为 y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只

D.600只

14.一个容器装有细沙3acm ，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出， min t 后剩余的细沙量为

()

3bt y ae cm -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min ，容器中的沙子只有

开始时的八分之一. A.8

B.16

C.24

D.32

15.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：0

10lg

I

I η=（其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度），则60dB 的声音强度1I 是50dB 的声音强度2I 的（ ） A.

76

倍 B.

76

10倍

C.10倍

D.7ln 6

倍

16.对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数，例如[]22=；[]

2.12=；则[][][][]3333log 1log 2log 3log 27+++??????+的值为（ ） A.42

B.43

C.44

D.45

17.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg ，设经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为ymg .

()1y 与x 的关系式为______；

()2当该药物在病人血液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险，要使病

人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过______小时(精确到0.1).

(参考数据：0.30.20.6≈， 2.30.80.6≈，7.20.80.2≈，9.90.80.1)≈

18.2012年9月19日凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，以“一箭双星”方式，成功将第14和第15颗北斗导航卫星发射升空并送入预定转移轨道.标志着中国北斗卫星导航系统快速组网技术已日臻成熟.若已知火箭的起飞重量M 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m 和燃料重量x 之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为：

[ln()2)]5ln 2y k m x m =+-+ (其中k≠0).当燃料重量为(1)e m 吨(e 为自然对数的底数，

2.72e ≈)时，该火箭的最大速度为5km ／s.

(1)求火箭的最大速度y(千米／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式()y f x = .

(2)已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道?

专题四 不同函数增长的差异

19.图中曲线是对数函数log a

y x =的图象，已知a 取3，

43，3

5，110

四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为( )

A.3，43，3

5，110

B.3，

43，110，3

5

C.43，3，3

5，110

D.43

，3，110，3

5

20.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212

1

52–lg E m m E =

，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1

B.10.1

C.lg10.1

D.10.110-

21.函数()1ln f x x x ??

=-

???

的图象大致是（ ） A. B.

C. D.

22.函数2

ln 2()||

x f x x x =的图象大致为（ ）

A. B.

C. D.

23.高为H 、满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数()v f h =的大致图像是（ ）

A. B.

C. D.

24.下列散点图中，估计有可能用函数lg (0)y a b x b =+>来模拟的是（ ）

A. B.

C. D.

25.已知()()1log 011a

x

f x a a x

+=>≠-，

(1)求()f x 的定义域；

(2)判断()f x 的奇偶性并予以证明； (3)求使()0f x >的x 的取值范围.

26.（1）求满足不等式()2

0.50.52log 9log 90x x ++≤的x 的范围. （2）当x 在（1）中求得的范围内变化时，求函数2

2()log log 24

x x

f x =?的最大值和最小值. 专题26 对数函数

题组1 对数函数的概念

1.给出下列函数：

①y ＝23

log x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .

其中是对数函数的有( ) A.1个 B.2个

C.3个

D.4个

【答案】A

【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x ； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数. 故选A

2.下列函数，是对数函数的是( ) A.y=lg10x

B.y=log 3x 2

C.y=lnx

D.y=log 13

（x –1）

【答案】C

【解析】由对数函数的定义，形如y=log a x （a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x =x ，

y=2

3log x =23log x 、y=()13

log 1x -都不是对数函数，只有y=lnx 是对数函数.故选C.

3.下列各函数中，表示同一函数的是（ ） A.

与y=x+1

B.y=x 与

（a ＞0且a≠1）

C.与y=x ﹣1

D.y=lgx 与

【答案】B

【解析】对于选项A ：函数的定义域不包含1，而一次函数y=x+1的定义域是R ，显然不是同一个函数.

对于选项B ：因为=xlog a a=x ，且定义域都为R ，所以为同一个函数.

对于选项C ：函数

=|x|﹣1与一次函数y=x ﹣1的对应法则不同，故不是同一个函数.

对于选项D ：函数y=lgx 的定义域为x ＞0，而函数y=lgx 2的定义域是x≠0，显然不是同一个函数. 故选B.

题组2 对数函数的定义域

4.函数y =1g （1-x ）22x x -++的定义域是（ ） A.[]2,1 B.[

)1,1- C.[]1,2-

D.(]

1,2 【答案】B

【解析】要使原函数有意义，则：2

10

,20

x x x ->??-++≥? 解得-1≤x ＜1；

∴原函数的定义域是[-1，1）. 故选B.

5.已知函数y =f （x +1）的定义域为[-2，6]，则函数y =f （3-4x ）的定义域是（ ） A.[]

1,1- B.[]

3,5-

C.35 ,44??

-

???

? D.13 ,22??

-

???

? 【答案】A

【解析】∵函数y=f（x+1）的定义域为[-2，6]，

即-2≤x≤6，得-1≤x+1≤7，

∴f（x）的定义域为[-1，7]，

由-1≤3-4x≤7，可得-1≤x≤1.

∴函数y=f（3-4x）的定义域是[-1，1].

故选：A.

6.函数y=的定义域是（）

A.（1，2]

B.（1，2）

C.（2，+∞）

D.（﹣∞，2）

【答案】B

【解析】∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1

根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2

∴函数y=的定义域是（1，2）

故选B.

7.函数y＝＋lg（2－x）的定义域是（）

A.（1，2）

B.[1，4]

C.（1，2]

D.[1，2）

【答案】D

【解析】由得，由得，两部分取交集为.

8.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，(x－1)f′(x)<0.若x12，则f(x1)与f(x2)的大小关系是（）

A.f(x1)

B.f(x1)＝f(x2)

C.f(x1)>f(x2)

D.不确定

【答案】C

【解析】由(x－1)f′(x)<0可知，当x>1时，f′(x)<0，函数递减.当x<1时，f′(x)>0，函数递增；因为函数f(x ＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，f(x)＝f(2－x)，即函数的对称轴为x＝1.所以若1f(x2).若x1<1，则x2>2－x1>1，此时由f(x2)f(x2)

9.已知全集U＝R，集合?U A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝( )

A.{x|x>2}

B.{x|2

C.R

D.{x|x<0或x>2}

【答案】D

【解析】∵?U A ＝{x |0≤x ≤4}，∴A ＝{x |x <0，或x >4}.

∴A ∪B ＝{x |x <0，或x >4}∪{x >2} ＝{x |x <0，或x >2}.选D

10.函数f(x)

log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【答案】117513,,,866666ππ

ππ

π??????

-

-?? ? ? ???????

【解析】由题意，得2640210x sinx ?-≥?

->?，①，②

由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >

12，由正弦曲线得6π＋2k π

π＋2k π(k ∈Z). 所以不等式组的解集为117513,,,86

666

6ππ

ππ

π??????

-

-?? ? ?

???????

11.设函数f （x ）=-x +2，则满足f （x -1）+f （2x ）＞0的x 的取值范围是______. 【答案】5,3?

?-∞ ???

【解析】根据题意，函数()2f x x =-+，

则(1)(2)[(1)2][(2)2]35f x f x x x x -+=--++-+=-+， 若(1)(2)0f x f x -+>，即350x -+>， 解可得：53

x <

， 即x 的取值范围为5(,)3

-∞； 故答案为：5(,)3

-∞.

12.已知全集U =R ，集合A ={x |x ＜a }，B ═{x |-1＜x ＜2}，且A ∪?U B =R ，则实数a 的取值范围是______. 【答案】a ≥2

【解析】∵全集U=R ，B={x|-1＜x ＜2}， ∴?U B={x|x≤-1或x≥2}， ∵A={x|x ＜a}，A ∪（?U B ）=R ， ∴a≥2，

则a 的取值范围为a≥2. 故答案为：a≥2

题组3 对数函数的实际应用

13.某种动物繁殖数量 y (只)与时间x (年)的关系为 y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只

【答案】A

【解析】由题意，繁殖数量y （只）与时间x （年）的关系为y=alog 2（x+1），这种动物第1年有100只 ∴100=alog 2（1+1）， ∴a=100，

∴y=100log 2（x+1），

∴当x=7时，y=100 log 2（7+1）=100×3=300. 故选A.

14.一个容器装有细沙3acm ，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出， min t 后剩余的细沙量为

()

3bt y ae cm -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min ，容器中的沙子只有

开始时的八分之一. A.8 B.16

C.24

D.32

【答案】B 【解析】依题意有8b

ae

-= 12a ，即8b e -= 12，两边取对数得ln2

81ln28ln ln228

t b b y ae

--==-∴=∴= 当容器中只有开始时的八分之一，则有ln2

ln28

811

88

t t ae

a e -

-=∴= 两边取对数得ln21

ln 3ln22488

t t -

==-∴=，所以再经过的时间为24-8=16min .故选B. 15.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：0

10lg

I

I η=（其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度），则60dB 的声音强度1I 是50dB 的声音强度2I 的（ ）

A.

76

倍 B.

76

10倍

C.10倍

D.7ln 6

倍

【答案】C

【解析】解：由题意，令106010I lg

I =，解得，61010I I =?，令2

5010I lg I =，解得，52010I I =?， 所以

1

2

10I I = 故选：C.

16.对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数，例如[]22=；[]

2.12=；则[][][][]3333log 1log 2log 3log 27+++??????+的值为（ ） A.42 B.43 C.44 D.45

【答案】D

【解析】由题意可知：3[log 1]0=，3[log 3]1=，3[log 27]3=

[]33333[log 1][log 2][log 3][log 26log 27]+++?++

00111111222223=++++++++++++?+++，(6个1，18个2) 62183=+?+

45=.

故选：D .

17.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg ，设经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为ymg .

()1y 与x 的关系式为______；

()2当该药物在病人血液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险，要使病

人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过______小时(精确到0.1).

(参考数据：0.30.20.6≈， 2.30.80.6≈，7.20.80.2≈，9.90.80.1)≈

【答案】25000.8x

y =? 7.2

【解析】()1由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减， 给某病人注射了该药物2500mg ，经过x 个小时后，

药物在病人血液中的量为()2500(120%)25000.8

x x

y mg =?-=?，

即y 与x 的关系式为25000.8x

y =?；

()2当该药物在病人血液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险，

令25000.8500x ?≥，

0.80.2x ∴≥，

7.20.80.2≈，0.8x

y =是单调减函数，

7.2x ∴≤，

所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时. 故答案为()125000.8x

y =?，()27.2.

18.2012年9月19日凌晨3时10分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，以“一箭双星”方式，成功将第14和第15颗北斗导航卫星发射升空并送入预定转移轨道.标志着中国北斗卫星导航系统快速组网技术已日臻成熟.若已知火箭的起飞重量M 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m 和燃料重量x 之和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为：

[ln())]5ln 2y k m x =+-+ (其中k≠0).

当燃料重量为1)m 吨(e 为自然对数的底数，

2.72e ≈)时，该火箭的最大速度为5km ／s.

(1)求火箭的最大速度y(千米／秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式()y f x = .

(2)已知该火箭的起飞重量是816吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米／秒，顺利地把卫星发送到预定的轨道? 【答案】(1) 10

ln(

)m x y m

+= (2) 应装载516吨 【解析】(1)

依题意，把)

1,5x m y =

=代入函数关系(

))

ln ln

5ln2y k m x ??=+-+?

?

，解得

k=10，所以所求的函数关系式为(

))

10ln ln

5ln2y m x ??=+-+=?

?10

ln m x m +?? ???

(2)设应装载x 吨燃料方能满足题意， 此时816,10m x y =-=，代入函数关系式

10

ln m x y m +??

= ?

??，得816

ln

1

816x =-，解得516x =吨，故应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.

专题四不同函数增长的差异

19.图中曲线是对数函数log a

y x

=的图象，已知a取3，4

3

，

3

5

，

1

10

四个值，则相应于

1

C，

2

C，

3

C，4

C的a值依次为()

3

4

3

，

3

5

，

1

10

3

4

3

，

1

10

，

3

5

C.

4

3

3，

3

5

，

1

10

D.

4

3

3

1

10

，

3

5

【答案】A

【解析】由已知中曲线是对数函数log a

y x

=的图象，

由对数函数的图象和性质，可得1

C，

2

C，

3

C，

4

C的a值从小到大依次为：

4

C，

3

C，

2

C，

1

C，

由a3

4

3

，

3

5

，

1

10

四个值，

故1

C，

2

C，

3

C，

4

C的a3，

4

3

，

3

5

，

1

10

，

故选：A.

20.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足21

2

1

5

2

–lg

E

m m

E

=，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )

A.1010.1

B.10.1

C.lg10.1

D.10.1

10-

【答案】A

【解析】两颗星的星等与亮度满足1

21

2

5

lg

2

E

m m

E

-=,令

21

1.45,26.7

m m

=-=-,

()10.1

11

21

22

22

lg( 1.4526.7)10.1,10

55

E E

m m

E E

=?-=-+==.

故选A.

21.函数()1ln f x x x ??

=-

???

的图象大致是（ ） A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】当2x =时，1

10x x

-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，13

02

x x -

=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1

y x x

=-单调递增，

结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ?

?=- ??

?单调递增，可排除C ；

故选B.

22.函数2

ln 2()||

x f x x x =的图象大致为（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，

又()()()2

2

22ln ()||ln x x x f x f x x x x

---===---，

所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，C ； 又因为11

()2ln 024

f =<，故排除D. 故选：B

23.高为H 、满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数()v f h =的大致图像是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】根据题意知，函数的自变量为水深h ，函数值为鱼缸中水的体积，所以当0h =时，体积0v =，所以函数图像过原点，故排除A 、C ；

再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.

24.下列散点图中，估计有可能用函数lg (0)y a b x b =+>来模拟的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】由于函数lg y x =在定义域内单调递增，且是上凸的， 又0b >，

所以当0x >时，lg (0)y a b x b =+>的图象是单调递增且上凸的. 故选：C.

25.已知()()1log 011a

x

f x a a x

+=>≠-， (1)求()f x 的定义域；

(2)判断()f x 的奇偶性并予以证明； (3)求使()0f x >的x 的取值范围.

【答案】（1）()1,1-；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】(1)由>0 ，解得x ∈(－1,1).

(2)f(－x)＝log a

＝－f(x)，且x ∈(－1,1)，∴函数y ＝f(x)是奇函数.

(3)若a>1，f(x)>0，则>1，解得00，则0<

<1，解得－1

26.（1）求满足不等式()2

0.50.52log 9log 90x x ++≤的x 的范围. （2）当x 在（1）中求得的范围内变化时，求函数22()log log 24x x

f x =?的最大值和最小值. 【答案】（1）228x ≤≤；（2）max ()2f x =.min

1()4

f x =-.

【解析】（1）令0.5log t x =，则原不等式可化为22990t t ++≤， 由二次函数图象解得332

t -≤≤-， 即0.533log 2

x -≤≤-

.

又3

0.53log 0.5--=，320.53

log 0.52

--=，

∴

332

0.5

0.5x -

-≤≤，即8x ≤≤.

（2）将()f x 变形为关于2log x 的形式：

()()2

2222()log 1log 2log 3log 2f x x x x x =-?-=-+

2

231log 24x ?

?=-- ??

?.

由（1）知

23

log 32

x ≤≤.

∴当23

log 2x =

，即x =min 1()4

f x =-； 当2lo

g 3x =，即8x =时，max ()2f x =.