大学论文经济管理中数学模型案例分析

经济管理中数学模型案例分析

摘要

在研究经济管理学的过程中，理清每个研究对象间的定性关系的同时，不仅要探明其间的相互作用外，而且还要研究现象与现象之间的数量关系，预测其发展趋势，这就需要应用数学模型。数学模型随着科技的发展和社会的进步在经济管理中的应用越来越广泛，作用与效果更是与日俱增。在此，从案例中，通过提出问题、简化问题、模型建构、模型验证、模型改进、模型应用等方法进行分析，并运用MATLAB软件、指数分布、泊松分布等数学方法进行计算。

关键词：提出问题模型建构模型求解应用定性关系MATLAB 指数分布泊松分布

Abstract

In the process of economic management research, in addition to the need to clarify each qualitative relationship between the object of study, has proven the intervening interactions, and quantitative relation between the phenomena of the research, predict the development trend, this would require the application of mathematical model. With the development of science and technology and the progress of the society, the mathematical model in economic management, the application of more and more extensive, effect is more and more big, the effect is increasingly significant. Here, from the case, through the proposed problem, simplify the problem, model construction, model validation, model improvement and application of model method is analyzed, and using MATLAB software, the exponential distribution, poisson distribution and other mathematical method to calculate..

Key words:Put forward modeling model to solve the problem The relationship between application MATLAB Exponential distribution Poisson distribution

目录

摘要................................................................ II Abstract ............................................................. III 第一章绪论. (1)

1.2 数学模型的含义 (1)

1.2 数学经济模型及其重要性 (1)

1.3 经济管理中数学建模的步骤 (1)

第二章经济管理中数学模型的案例分析 (3)

2.1 飞机起飞的排队模型 (3)

（一）问题的提出 (3)

（二）模型的建构 (3)

（三）费用矩阵C的生成 (4)

（四）模型的求解和应用 (5)

2.2 大型购物超市购物者付款排队系统优化模型 (6)

（一）问题的提出 (6)

（二）模型的建构 (6)

（三）模型的求解与应用 (8)

第三章结论 (10)

致谢 (11)

参考文献 (12)

原创性声明 (13)

论文使用授权声明 (14)

第一章绪论

1.1数学模型的含义

数学模型是在面对实际问题的时候应用相关数学思想对其进行的一种高度概括和表述。为了某个研究目的，它通常要对现实世界的某个特定的对象提出必要的条件和假设，所得到的数学结构是运用合适的数学方法和手段以及数学关系式、图表、图形等数学术语。数学结构的形式多种多样，它可以是一个算法语言，也可以是某个数学图表，或者是几种结构的混合。数学建模是把现实世界当中的具体问题简化并抽象为数学模型，其内容主要包括提出问题、模型建构、模型验证、模型改进、模型应用等几个方面。

1.2 数学经济模型及其重要性

概率型和确定型是数学经济模型按变量的性质分成的两类。由于数学分支很多，分支之间相互交叉渗透，又派生出更多分支，所以一个经济问题的给定有时能用多种数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型，不仅跟问题本身有关，而且根据解决问题的人的思路而定。

我们并不能用数学直接处理经济领域的客观情况。因此为了能够用数学解决经济领域中的问题，就必须建立数学模型。换句话说，数学经济建模就是为了经济目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而经济发展速度与数学经济建模的密切关系在现代发展史上得到了证实。

1.3 经济管理中数学建模的步骤

（一）提出问题

要使数学模型的建立能够反应经济管理现象，了解实际经济管理问题时必须的，随后明确问题所在背景，理清对象的具体特征，科学的进行调查分析，获取有关数据的内容。另外，还要确切地了解建立模型的目的，这样才能形成比较合理的问题，才能进行有效建模。

（二）模型建构

通过研究的问题分析各种对象之间的相互联系，如层次关系、因果关系等，各个变量之间通过运用数学语言构建数学结构，也就得到了对应的数学模型。

太复杂的模型不利于分析各个对象之间的关系，因此，刚开始建立模型时，一般不宜太复杂，采用循序渐进的方式是比较理想的方式，逐步推进，由易到难，不断完善所构建的模型。

（三）模型验证与改进

反复推敲成了模型出现之后必然要经历的过程，首先要分析模型是否可以说明变量之间存在的真正关系，是否真正反映现实当中的问题。还要考虑模型

解的合理性和存在性，有没有更简便的求解过程，以及有无自相矛盾之处等。此外将模型的解代入到现实问题中加以验证，看能否解决现实问题，这点非常重要，也是非常重要的环节。不断验证、检验、完善是模型所必须经历的。要重视建模过程中出现的问题，针对出现的问题加以分析，检查与判断建模时的假设和前提是否跟得到结果相同。

（四）模型的应用

一个数学模型要在现实当时应用，需要经过多次检验，符合实际问题。预测可能出现的各种结果以及预测现象的发展趋势是通过研究各种现象之间的关系。继续扩大应用与利用好的结果；对于不利结果，需要提前做好准备，做到未雨绸缪，进行控制和干预，使利益损失最小化。

第二章 经济管理中数学模型案例分析

2.1 飞机起飞的排队模型

1．问题的提出

机场在分配飞机跑道的时候通常都采用“先到先服务”的原则，即驾驶员在

飞机准备好离开登机口时电告地面控制中心，进而加入等候跑道的队伍当中。各飞机的起飞时间的先后次序，控制台的安排是根据通知的先后次序。在这其中我们要考虑的问题是怎样利用数据库系统来综合考虑肮空公司和乘客的利益并且将飞机起飞的次序合理安排妥当。

2．模型的构建

假设共有n 架飞机要求起飞，对所有这些飞机进行编号，记为1,2,

,.n 控制中

心可以从在线数据库中快速得到每架飞机的如下信息： （1）预定离开登机口的时间； （2）实际离开登机口的时间； （3）机上乘客人数；

（4）预定在下一站转机的人数和转机的时间； （5）到达下一站的预定时间。 我们先做一些必要的简化假设。

（1）假设机场所有需要起飞的飞机使用的都是同一条跑道，并且任何一架飞机在起飞的时候都是将整条跑道完全占有，并且占用跑道的时间每架飞机都是相同的。在这基础上，我们可以就可以把整个时间分割成离散的等长度的小时间段，记为△，每个小时间段的时间都超过一架飞机完成起飞操作的时间。

（2）第i 架飞机在第j 个时间段起飞时，与前面的飞机起飞过程是相互独立的，即所需费用只与时间位置j 和该飞机i 有关。

（3）i τ是第i 架飞机按时到达目的地所需起飞的最晚时限，若飞机在时限i τ之后才起飞，全程飞行过程中的速度只能按照最大安全速度进行飞行，且所有需要转机的乘客都无法赶上下班飞机。假设给每位乘客的赔偿费是相同的，记为w 。 为了描述飞机与起飞时间段的关系，引入决策变量(,1,2,,)ij x i j n =，表示第i 架飞机

是否被指定在第j 个时间段起飞：

10ij i j x ?=??

第架飞机被指定在第个时间段起飞,否则

记ij C 为第i 架飞机在第j 个时间段起飞时所需要的一切费用，从而构物费用矩阵C ：

211121212221.n n n n nn c c c c c c C c c

c ??

? ?

= ? ? ???

因此，对某一种飞机安排{}ij x ，其总费用为

11

.n n

ij ij i j z c x ===∑∑

为了让总费用z 达到最小，目的就是要求(,1,2,,)ij x i j n =。

显然每架飞机都将占用某一个时间段，因此

1

1,1,2,,.n

ij

j X

i n ===∑

而每个时间段也恰好能容纳一架飞机起飞，即

1

1,1,2,,.n

ij

j X

j n ===∑

于是问题化为如下的0－1规划模型：求(,1,2,

,)ij x i j n =，满足

11

11

min ,

..1,1,2,,,1,

1,2,

,,

01,,1,2,,n n

ij ij i j n

ij

j n ij

j ij z c x s t

x

i n x

i n x i j n

===========∑∑∑∑或 （2.1.1）

3．费用矩阵C 的生成

上述0－1规划模型中的费用系数ij c 通常与飞机的型号、运行费用、运输区

划客情况及乘客的满意程度有关。为便于计算，我们不考虑运行的基本费用，只考虑由于起飞的延误从而引起飞机的额外费用。这一费用包括因为晚点而使飞机以加快或最快速度飞行代替最经济的速度带来的燃料损失（称为燃料附加费），因耽误乘客转机而产生的赔偿费（称为乘客误机费），以及乘客因飞机误点而产生的不愉快情绪转化为航空公司的间接损失（称为乘客的不满意度）。 （1）燃料附加费

由于晚点，飞机必须以加快或最快速度飞行，故燃料的消耗随晚点的时间长短而变化。然而即使晚点，一旦超过了最大时限，飞机也只能以最大的安全速度飞行，此时燃料的消耗是恒定的。因此可设第i 架飞机的燃料附加费为

,,00(),,0,i i i i

i t F t k t t k t τττ

?≤?

=??≥?

式子当中的t 为飞机的晚点时间，

i k 为第i 架飞机每晚点单位时间由于加速引起的油耗

增加的价格。 （2）乘客误机费

记i Q 为第i 架飞机上需转机的人数，当飞机晚点超过时限i τ时，这些乘客都将赶不上下班飞机。由假设（3），航空公司给每位乘客赔偿费用w ，故乘客误机费为 ()(),i i i R t wQ H t τ=-

其中()H t 为Heaviside 函数（单位阶跃函数）

0,0,

()1,0.t H t t ≤?=?

? （2.1.2） （3）乘客的不满意度

显然，飞机晚点时间越长，乘客越不满意。如果仅晚点几分钟，顾客也许不会感到不满意；但如果晚点时间延长，乘客不满意程度将会呈非线性地增长，这里我们用指数函数来描述乘客对飞机晚点的不满意度

1()(1),t i i D t a e P α=- （2.1.3）

其中i P 表示第i 架飞机上的乘客数，α表示乘客等待时不满意程度上升快慢的因子，a 表示将不满意度转化为相应费用的比例系数。

如果飞机晚点超过最大时限，需转机的乘客将耽误下班飞机，这部分乘客会变得焦躁不安并且非常愤怒，这部分乘客的不满意度可表示为 1()(),i i i D t bQ H t τ=- （2.1.4）

其中i Q 仍表示第i 架飞机上要转机的乘客数，()H t 为由（2.1.2）式定义的Heaviside 函数，b 表示将不满意度转化为相应费用的比例系数。 12()()()(1)().t i i i i i i D t D t D t a e p bQ H t ατ=+=-+- （4）总费用系数

综合以上三个部分的费用，最终得到费用系数 ()()(),ij i i i c F t R t D t =++

其中t 为飞机的晚点时间，它与飞机i 及其起飞时间段j 有关。

4．模型的求解和应用

0-1规划模型（2.1.1）是一个指派模型，可以用匈牙利算法进行计算，也可

使用数学软件或专门的优化软件包进行计算，如LINDO 。

作为一个例子，假设早晨6:00，有三架飞机同时要求起飞，设它们的型号相同，且相同的飞行距离，预定到达终点的时间均为7:20。三架飞机的乘客人数分别为350，100，400，每一架飞机上都有100名乘客要求转机。设起飞时间段的长度为1min ?=。为了简化计算，不妨将参数,,,k a b w 和α均取为1，由此得到费用矩阵

0.0000 5.898911.89660.0000 1.6973 3.4228,0.0000 6.739213.5914C ?? ?= ? ???

于是最优解为

010()0001,100ij X x ?? ?

== ? ???

即三架飞机按3,1,2的次序起飞，最低费用min 9.3217z =，这与常识相符，由于其他条伯设定都一样，故最优的次序是让乘客多的飞机先起飞。

当第三架飞机刚起飞，第四架飞机要求紧急起飞。此时第四架飞机已经晚点18分钟，若它想在7:06按时到达终点，就必须在1分钟内起飞，第四架飞机上有200名乘客，其中150人要求转机，计算结果见表2-3-1。

由表2-3-1可知，最优起飞顺序为4,1,2，最低费用min 87.3455z =。这表明晚点时间很长的飞机应优先起飞，否则航空公司就需要支付高额的误机费了。

表2-3-1 各飞机的数据信息及计算结果

2.2 码头卸货效率分析的随机模拟模型

1．问题的提出

有一个小型卸货专用码头，只有一个停舶位，某些特定的货物（如矿产，石油等）由船舶运送并在此码头卸货。假设相邻两艘船到达的时间间隔在15~145分钟之间变化，根据船的大小、类型，每艘船的卸货时间也不同，时间在45~90分钟的范围内波动变化。

现在需分析码头的卸货效率，即想办法计算每艘船停留在该港口的平均时间和最长时间；每艘船等待卸货的时间等。

2．模型的构建

为计算的方便，假设前一艘船离开码头的时间就是在卸货结束的时候，此时后一艘船马上可以进行卸货。 引进如下记号： j

a ——第j 艘船的到达时间；

j t ——第j －1艘船与第j 艘船到达之间的时间间隔； j u ——第j 艘船的卸货时间； j l ——第j 艘船的离开时间； j w ——第j 艘船的等待时间； j s ——第j 艘船停留在港口的时间；

j d ——卸完第(j －1）艘船到开始卸第j 艘船之间的设备闲置时间； m w ——船只最长等待时间； a s ——船只平均停留时间； m s ——船只最长停留时间； a w ——船只平均等待时间； l d ——设备闲置总时间； d R ——设备闲置百分比。

为了对码头的效率进行分析，我们从一般开始考虑，即假设共有n 条船到达该码头进行卸货的情形，从原则上说，n 越大效率越高。由于每条船到达码头的时间与卸货的时间都是无法确定的。因此，我们要用随机模拟的方法来建立数学模型，而这种方法又被称为蒙特卡罗（Monte Carlo ）模拟。

首先，我们人为的进行假设，假设两船到达之间的时间间隔是一个随机变量，服从15~145分钟之间的均匀分布；各船卸货时间服从45~90分钟间均匀分布的随机变量。接下来，我们用发生均匀分布的随机数的方法，分别产生n 个[15，145]和[45，90]之间的随机数12,,n t t t 和12,,n u u u 来模拟n 艘船两两之间到达的时间间隔以及

各艘船的卸货时间。

设初始时刻为0，利用船舶到达的时间间隔，我们可以计算出各船的到达时间 111,(2,3,,).j j j a t a a t j n -==+= 拥有这些数据之后，各艘船在码头等待卸货的时间就可以计算出来，同样的，两艘船之间卸货设备的闲置时间以及离开的时间我们也都可以计算出来。

由于第一艘船到港就马上卸货，卸完货便离港，因此可以得到 11110.w l a u ==+

而在该船到达之前设备闲置，即

11.d a =

之后的各艘船到达码头的时候，若前一艘船已经离开 ，则可以马上进行卸货，否则就要进行等待，等待时间是本船到达时间与上一艘船的离港时间之差的绝对值，从而可以得到第j 艘船的等待时间为

1110,

(2,3,,),,j j j j j j j a l w j n l a a l ---≥??==?-??

或1max(0,)(2,3,,).j j j w l a j n -=-=

由此可得

.j j j j l a w u =++

如果第j 艘船需等待卸货，设备将被认定为不是闲置，但如果第j 艘船的到达时间比第j -1艘船的离开时间来得更晚，那么这期间的这段时间差将被认定为设备的闲置时间，即

111

,(2,3,,)0,

j j j j j j

j a l a l d j n a l ----≥??==?

??

或

1max(0,)(2,3,

,).j j j w a l j n -=-=

用下式可以计算船只停留在船舶的时间 (1,2,,)j j j s l a j n =-=

船只在船港的最大停留时间和平均停留时间以及最大和平均等待时间

11

11

1max ,,

1

max ,,

n

m j a j j n i n

m j a j j n i s s s s n w w w w n ≤≤=≤≤=====∑∑ 同样能够计算设备闲置总时间和闲置时间，其百分比如表2-2-1，2-2-2，2-2-3。 由于j t 和j u 都是随机产生的，进行重复计算时结果难免会有差异，所以如果仅用一次计算的结果作为分析的依据显然是靠不住的。较好的做法是对该模拟进行多次重复模拟，把得到各项数据进行平均计算，将得到的各项平均值作为分析的依据。

3．模型的求解与应用

各种计算机高级语言和数学软件都有产生随机数的子程序或命令语句，随机模拟是不难用一个简单的程序实现的。

这里以100n =为例，列出6次模拟的结果，如表2-2-1所示，表格当中的时间均以分钟为单位。

为了提高码头的卸货能力，进行设备的改善以及劳力的增加，从而使卸货时间由原来45~90分钟减少至35~75分钟之间，而两艘船到达的间隔仍保持为15~145分钟，模拟的结果如表2-2-2所示。

由表2-2-2可知，每艘船的卸货时间缩短了15-20分钟，等待时间有了很明显的减少，但设备闲置时间却增加了，百分比增加了一倍。为了提高利用效率，可以接纳的卸货船只变得更多，从而将两艘船到达的时间间隔缩短为10-120分钟。在装载时间不变的情况下（即装载时间35~75分钟）再次进行6次模拟，模拟得到的结果如下表2-2-3所示。表格中显示此时船的等待时间增加，设备闲置时间减少。

第五章结论

随着数学理论的发展，现代经济管理中越来越看重数学方法的应用，经济管理的数学化已经逐步发展成为一种趋势，数学已经演变成为经济管理的重要支柱，并发挥越来越重要的地位和作用，随着计算机技术的发展，数学理论和应用技术更佳深化，数学在经济管理中应用的广度和深度都会得到极大程度的提升。

现如今，经济学中的许多数学模型都不能直接应用于研究中国经济，不过可以对现有经济数学中的数学模型进行修正，使之适合于研究经济。

在此背景下，我们必须对未来数学在经济领域的应用实践进行思考和展望，即对应的，提升数学建模思想，就需要加强对当前我国数学教育的改革。这是社会主义市场经济发展的必然需求，也是现代经济管理发展的时代要求。近代数学与各个领域结合产生的巨大成就再一次证实了，数学建模的重要性，就经济管理领域，我国教育改革中，应该首先树立数学应用的理念和思想，其次要在相关经济管理专业设立数学应用方向，，进行专业细化，培育复合化人才，才能满足市场发展需求。

致谢

时间飞逝，一晃四年大学时光即将逝去。回想这四年大学时间，有苦有甜有笑有泪。但不管怎么说，这四年的时间让我感到很充实也很高兴。

在论文结束之前，我要感谢我的母校给了我这次宝贵的学习机会，使我在这次学习中收获颇丰。在写论文的过程中，老师在论文的修改上给予了我细致的指导，老师严谨求实的治学态度、孜孜以求的工作作风对我产生了深厚的影响。

感谢我的导师张晓丽！是她引导我走向了学术的殿堂，让我遨游在知识的海洋。在这段时间内，老师对我百般照顾，让我充满信心；感谢所有教过我的老师，没有他们教授我的知识，我也没有信心完成这篇论文，老师在生活和学习中给予了我莫大的帮助将令我终生难忘；同时感谢在背后一直默默给予我支持的家人和同学。同学在学习和生活中给了我许多的帮助，让我在这四年的大学生活里充满了快乐，同时要感谢我的父母，感谢他们将我养育成人，给了我物质上与精神上的支持，让我可以专心的投入在学习当中。在大家的身上，我也学到了很多优秀的品质，这些对我今后步入社会会有很大帮助。

谨以此我要致谢那些老师，感谢他们在百忙之中抽出时间对本文进行审阅，对你们表示衷心的感谢。

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