傅立叶变换与小波变换
傅立叶变换与小波变换
1Fourier Transform and Wavelet Transform
------ 再谈积分变换
1. 窗式傅里叶变换
1.1 Fourier Transform 局域化特性分析
傅里叶变换（FT）在平稳信号分析和处理中有着突出的贡献，
利用它可以把复杂的时间信号和空间信号转换到频率域中，然后用频
谱特性去分析和表示时域信号的特性。
频域过程
()Fω的任一频率组成部分的值： 由时域过程
()ft在
（－∞，∞）上决定的。
过程
()ft在任一时刻的状态：由
()Fω在整个频域（－∞，∞）
的量决定。
()ft和
()Fω彼此间的刻画是“全局性”的，不能反映各自局部
区域上的特征。也就是说，人们虽然从傅立叶变换能清楚地看到一个
信息包含的每一个频率的多少，但很难看出不同信号的发射时间和发
射的延续时间，缺少时间信息使得傅立叶分析变得脆弱而容易失误。
FT PAIR
()()ftFu⇔
[]
()()exp, FftjtdtRωωω+∞
−∞=−∈∫
[]1
()()exp
2ftFjtdωωω
π+∞
−∞=∫
傅立叶变换与小波变换
2伊利诺依斯大学教授Y. Meyer曾说：“若你记录1小时长的信息
而在最后5分钟出错，这一错误就会毁了整个傅立叶变换。相位的错
误是灾难性的，如果在相位上哪怕犯了一个错误，你最后就会发现你
所干的事与最初的信号无关了。”
实际上，对常见的不平稳信号，如语音信号、音乐信号、探地信
号、核探测的脉冲信号、以及核医学的图像信号等，人们需要了解某
些局部时段上所对应的主要频率特性是什么，也需要了解某些频率的
信息出现在哪些时段上，也就是需要了解时－频局部化要求。对于这
种时－频局部化要求，傅立叶变换是无能为力的。
Examples. A stationary signal
()()()()()
cos210cos225cos250cos2100xtttttππππ
=•••+•••+•••+•••
is a stationary signal, because it has frequencies of 10, 25, 50, and 100 Hz
at any given time instant.
Fig. 1 a stationary signal
And the following is its FT: 傅立叶变换与小波变换
3
Fig.2
The next figure shows A signal with four different
frequency components at four different time intervals, hence
a non-stationary signal. The interval 0 to 300 ms has a 100 Hz
sinusoid, the interval 300 to 600 ms has a 50 Hz sinusoid, the
interval 600 to 800 ms has a 25 Hz sinusoid, and finally the
interval 800 to 1000 ms has a 10 Hz sinusoid. 傅立叶变换与小波变换
4
Fig.3 And the following is its FT:
Fig. 4
傅立叶变换与小波变换
5For the “chirp signal” (唧声信号,), the frequency components change continuously.
Fig. 5 Chirp signal
The similarity between these two spectrum (in Figs. 2and 4) should
be apparent. Both of them show four spectral components at exactly the
same frequencies, i.e., at 10, 25, 50, and 100 Hz. Other than the ripples,
and the difference in amplitude (which can always be normalized), the
two spectrums are almost identical, although the corresponding
time-domain signals are not even close to each other. Both of the signals
involves the same frequency components, but the first one has these
frequencies at all times, the second one has these frequencies at different
intervals. So, how come the spectrums of two entirely different signals
look very much alike? Recall that the FT gives the spectral content of the
signal, but it gives no information regarding where in time those
spectral components appear . Therefore, FT is not a suitable technique
for non-stationary signal, with one exception: 傅立叶变换与小波变换
6 The FT gives what frequency components (spectral components)
exist in the signal. Nothing more, nothing less. When the time
localization of the spectral components are needed, a transform giving the
TIME-FREQUENCY REPRESENTATION of the signal is needed.
-R. Polikar
1.2 窗式Fourier Transform（Gabor Transform）
Gabor在1946年提出Windowed Fourier Transform。
基本思想：将一个信号的频率一部分一部分地分析。通过该方法，
人们至少可以说，无论发生了什么，它一定是发生在信
号的某个特定部分。
窗式傅立叶变换或Gabor变换的定义
思路：把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，短时性
可通过在时间上加窗实现。
在傅立叶积分中，使用空间窗口函数()gtu−
与信号)(tf
相乘，
实现在u
附近的开窗和平移，然后进行傅立叶变换。
设在线性空间有一个可测的、平方可积的函数()
2
()ftLR∈
，对
其进行窗式傅立叶变换：
()
R(,)()jt
fGuftgtuedtξ
ξ−
=−∫
其中积分核()
jt
gtueξ
−
−
： The windowed Fourier transform
family of atoms is obtained by time translations and frequency 傅立叶变换与小波变换
7modulations of the original window. This atom has a frequency center ξ
and is symmetric with respect to u
.
实际上，()
()jt
ftgtueξ
−
−
在u
点附近度量了频率为ξ
的正弦
分量的幅度。
时窗（Time Window）
时窗函数()gt
： 通常选窗口函数为能量集中在低频处的实偶函数；如选择在
0tt>迅速趋于零的所谓“钟型”函数，信号
)(tf在乘以
平滑移动的窗函数()
gtu−
后，有效地抑止了tu=
的邻域以外的信
号，所以，对()
()ftgtu−
进行傅立叶变换所得的结果，反映了
tu=
时刻附近的局域频谱信息，从而达到了时域局域化的目的。
g(t) t
g(t-u) f(t) f(t)g(t)
Fig. 6
对窗函数()gt
，可仿照力学中的重心和转动惯量来定义时窗中
心和时窗半径。 傅立叶变换与小波变换
8
设 ()2
R1gtdt=∫
，那么
()2
*
Rttgtdt=∫
， ()
()1/2
2
2
*
Rtttgtdt⎡⎤
Δ=−
⎢⎥
⎣⎦∫
得窗口为**
, tttt⎡⎤
−Δ+Δ
⎣⎦，窗口宽度为2tΔ
的时窗函数
()gt。
可按定义推导得出窗函数()gtτ
−
的
时窗中心表达式： ()()
**
tgttgtττ
−=+⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
时窗半径： ()
tgttτ
Δ−=Δ⎡⎤
⎣⎦。
频窗（Frequency Window）
时窗函数()gt
的傅立叶变换ˆ
()()Ggωω
=
为频窗函数。
频窗中心
()()22
*
RRGdGdωωωωωω
=∫∫
频窗半径 时窗中心
()()22
*
RRttgtdtgtdt=∫∫
时窗半径
()
()()1/2
2
22
*
RRtttgtdtgtdt⎡⎤
Δ=−
⎢⎥
⎣⎦∫∫
傅里叶变换、离散余弦变换与小波变换
二维离散傅里叶、余弦、小波变换
专业班级： 10 信 息 安 全
学生姓名： * * *
学生学号： _ ************** _
指导教师： * * *
完成时间：2022年4月28日
1 数字图像处理
实验三：二维离散傅里叶、余弦、小波变换
一、实验目的
1. 了解图像正变换和逆变换的原理。
2. 了解图像变换系数的特点。
3. 掌握常用图像变换的实现过程。
4. 掌握图像的频谱分析方法。
5. 了解图像变换在图像数据压缩等方面的应用。
二、实验主要仪器设备
1. 微型计算机：Intel Pentium及更高。
2. MATLAB软件。
三、实验原理
二维离散傅里叶变换、余弦变换、小波变换的正逆变换公式，MATLAB中的上述变换的实现函数以及讨论正交变换的应用。
1. 二维离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）
对于二维傅立叶变换，其离散形式如式（1）所示；逆变换公式如式（2）所示：
1010)//(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF （1）
1010)//(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf （2）
频谱公式如式（3）所示：
),(),(|),(|),(),(|),(|),(22),(vuIvuRvuFvujIvuRevuFvuFvuj （3）
由可傅立叶变换的分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，
其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x, y)按列进行傅立叶变换得到F(x,
v)，再对F(x, v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果。显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换， 再按列进行离散傅立叶变换也是可行的，这里不再一一赘述。
基于小波和傅立叶变换的纱线波谱图计算
第２５卷第３期 ２０１ ２年０６月 武汉纺织大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＷＵＨＡＮ ＴＥＸＴＩＬＥ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｖｌ０１．２５ ＮＯ．３ Ｊｕｎ． ２０１ ２
基于小波和傅立叶变换的纱线波谱图计算
邓启友 ，马俊 ，李秀花
（１武汉纺织大学数学与计算机学院，湖北武汉４３００７３；２华中科技大学图像所，湖北武汉４３００７４）
摘要：采用离散小波变换与快速傅立叶变换相结合的方法，先对纱线信号进行小波分解，再对各子带信号作快 速傅立叶变换，从而得到各子带信号的频谱。截取相应频段，并在同一图形上显示，然后将各频率成分转换成相
应的各波长分量，得到纱线波谱图。 关键词：傅立叶；小波变换；纱线；波谱图 中图分类号：ＴＳ１０１．９２２；０１７４．２２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００９—５１６０（２０１２）０３—００８６—０３
１ 引言
沿长度方向目测纱线或纱条就会发现其粗细是不均匀的，粗细不匀是普遍存在的，这就是条干不匀。 分析波谱图中长度及波幅的特征，可以了解条干不匀的性质，及时找出纺纱工艺或机件缺陷特别是周期性 变异的原因，并能估计它对织物的影响，对减少突发性纱疵起指导性作用。波谱图已成为条干不匀分析不
可缺少的工具。传统上是通过傅立叶变换的方法来计算波谱图，然而傅立叶变换只能提供信号在整个时间
轴上的频率，不能提供信号在某个时间段上的频率信息。小波分析能够提供一种时域和频域同时局部化的 分析方法，能提取局部频域信号，另外，纱线信号是不平稳的，存在大量突变和时变性特殊随机信号，小
波变换更适合于突变信号（非平稳信号）的处理，而傅立叶变换更适合周期信号的处理。利用小波变换对 纱线信号进行时频分割，再结合傅立叶频域分辨能力的优点，能对纱线不匀的状况进行更细致的观察和测 量。
２原理
２．１傅立叶变换
对满足狄里赫利条件的周期函数 ｔ），ｔ∈Ｒ（其周期为Ｔ）来说，其傅立叶级数表达式如下：
Ｉ厂（，）＝∑ ｃｏｓ（２ｘｎｃｏ）＋ｂ．ｓｉｎ（２１ｒｎｃｏ） （１）
常见傅里叶变换对照表
常见傅里叶变换对照表
常见傅里叶变换对照表
傅里叶变换是一种将信号从一个域（时间域或空间域）转换到另一个域（频率域或波数域）的方法，它在各个领域中都有广泛应用。下面是一份常见傅里叶变换对照表，供大家参考。
一、离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）
离散时间傅里叶变换是一种将离散时间域信号转换为频率域信号的方法。它在数字信号处理、通信等领域广泛应用。DFT可以通过FFT（快速傅里叶变换）算法高效地实现。
二、快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）
快速傅里叶变换是一种将信号从时间域转换到频率域的算法。它是DFT的一种优化，能够在O(n log n)的时间复杂度内完成。FFT在图像处理、语音信号处理、音频信号处理等领域都有广泛应用。
三、离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）
离散余弦变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它在数字信号压缩、音频信号处理、图像处理等领域中广泛应用。DCT与DFT相比，具有更好的压缩性能，因此在多媒体领域中更常用。
四、小波变换（Wavelet Transform）
小波变换是一种将信号分解成多个不同频率的小波形式的方法。它在信号处理、压缩、去噪、模式识别等领域中被广泛用于分析。
五、海森矩阵变换（Haar Transform）
海森矩阵变换是小波变换的一种变体，它将输入信号分解成长度为2的小块，并对每个小块进行平均和差分运算。海森矩阵变换在压缩、减少存储需求等方面有应用。
综上所述，傅里叶变换及其衍生算法在数字信号处理、音频信号处理、图像处理、通信等领域中有广泛的应用。不同的变换方法适用于不同的信号处理任务，因此了解不同的变换方法及其应用场景是十分必要的。
傅立叶变换
最早进行时频分析的工具是短时窗傅立叶变换。通过给定一个时窗长度，分析该时窗内数据的傅氏谱，以此作为时窗中心的谱，然后滑动时窗，得到随时间变化的谱，即时频谱。小波变换是短时窗傅立叶变换的发展，它克服了短时窗傅立叶变换中时窗长度固定的弊病。适用于对同时含有高频和低频信息的信号的处理。小波包时频分析技术又是在小波变换基础上发展而来的。它克服了小波变换对频带划分过于粗糙的缺点。从某种意义上说，它是小波变换的推广，是纯粹数学和应用数学的完美结合。
以上这些时频谱分析技术各有自己的技术特点，我们在此基础上对各项技术的适应性进行了研究，针对地震信号的不同特点及存在的问题进行了改进。下面分别对这些技术进行介绍。
（1） 傅立叶变换
对一个三层介质模型，上界面反射系数为mr，下界面反射系数为lr，对应的时间序列r(t)为)0,...0,,0,...,0,,0,...0(lmrr，lm。
对r(t)进行傅里叶变换得
102,)(1)(NktNtnkilmetkrNtNnR
)2cos)(2cos)([(1tNtnltlrtNtnmtmrN
)]2sin)(2sin)((tNtnltlrtNtnmtmri （1.2.4-1）
式中：mrtmr)(，t为时间采样间隔；n为离散频谱的某一频率成分；N为时间序列r(t)的离散采样点数；m和l分别对应上下界面。其功率谱为
])(2cos2[1)(222,NmlnrrrrNtNnPlmlmlm （1.2.4-2）
傅立叶变换是将一个信号序列表示成不同频率成分的简谐波正交叠合的过程，因此可以称之为正交谐波分解。
设)(ts为一时间序列，其傅立叶变换为：
tiwtdtetswS)()( (1.2.4-3)
超声中的信号处理(三)
未知驱动探索，专注成就专业
1
超声中的信号处理(三)
1. 引言
超声信号处理是指对接收到的超声信号进行预处理、滤波、去噪、增强等操作的过程。在超声医学、工业检测等领域，信号处理起着非常关键的作用。本文将介绍几种常用的超声信号处理技术，包括动态范围压缩、频谱分析、图像重建等。
2. 动态范围压缩
动态范围压缩是超声信号处理中常用的一种技术。超声信号经过接收器得到的强度十分强大，范围较宽，这对后续处理造成了一定的困难。通过动态范围压缩，我们可以将信号的动态范围缩小，使得信号的强度适合于后续的处理方法。
动态范围压缩可以通过多种方法实现，常见的有线性压缩、对数压缩等。线性压缩是将信号的强度线性减小，适用于信号动态范围较大的情况；对数压缩则是通过取对数的方式将信号的强度压缩到一个较小的范围内，适用于信号动态范围较小的情况。 未知驱动探索，专注成就专业
2
3. 频谱分析
频谱分析是对超声信号进行频域分析的方法。通过频谱分析，我们可以了解信号在不同频率上的能量分布情况，从而得到一些关于信号性质的信息。
常用的频谱分析方法有傅里叶变换、小波变换等。傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的一种方法，可以得到信号的频谱图。小波变换则是一种具有时频特性的变换方法，可以提供信号在时域和频域上的详细信息。
频谱分析可以帮助我们识别信号中的频率成分，并在超声医学中用于病变诊断、图像重建等应用中。
4. 图像重建
图像重建是超声信号处理中的重要环节之一。超声信号经过接收器得到的是一系列的强度数据，通过图像重建可以将这些数据转换为对应的图像。
常见的图像重建方法有直接法和间接法。直接法是通过将接收到的强度数据进行插值和描绘等处理，得到最终的图像；间接法则是通过在超声信号中引入一定的模型，利用数学方法进行图像重建。 未知驱动探索，专注成就专业
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图像重建的结果直接影响到后续的分析和应用。优秀的图像重建方法可以提高图像的清晰度和对比度，从而更好地展示超声图像中的细节信息。
基于傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示
基于二维傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示
一、基于二维傅里叶变换的图像稀疏表示
傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。一幅静止的数字图像可以看成是矩阵，因此，数字图像处理主要是对包含数据的矩阵进行处理。
经过对图像进行二维离散傅里叶变换可以得到它的频谱，进而得到我们所需要的特征。二维离散傅里叶变换及逆变换可以表示为：
其中u=0,1,2,...,M-1 和v=0,1,2,...,N-1。其中变量u 和v 用于确定它们的频率，频域系统是由F(u,v)所张成的坐标系，其中u 和v 用做（频率）变量。空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。
傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。下图为cameraman原图像及其频谱分布图：
cameraman原图像大小为256*256，其傅里叶变换频谱图大小为256*256。
图像从频域到时域的变换过程称为重构过程，通过峰值信噪比（PSNR）对图像进行评价，公式如下：
PSNR=10*log10((2^n-1)^2/MSE) MSE是原图像与处理后图像之间均方误差，n是每个采样值的比特数。
通过取不同的大系数个数观察图像变化，单独取第1个大系数时：
N=1 PSNR=12.2353 所取频谱系数对应图
单独取第9个系数时：
N=1 PSNR=6.3108 第9个频谱系数对应图
N=2 PSNR= 13.1553 所取频谱系数对应图
N=10 PSNR=15.4961 所取频谱系数对应图
N=50 PSNR= 17.1111 所取频谱系数对应图
N=100 PSNR= 17.9232 所取频谱系数对应图
小波变换与傅立叶变换在地震资料去噪中的对比
２００７年第７期 内蒙古石油４Ｌ：ｒ－ ２９ 小波变换与傅立叶变换在地震资料去噪中的对比 张旭东 ，詹 毅 ，马永琴 （１．成都理工大学，四川成都６１００５９ ２．东方地球物理公司国际勘探事业部，河北涿州０７２７５０） 摘 要：由于小波变换具有良好的时一频特性，从而为其在信号降噪中的应用提供了广阔的前景。 小波变换通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变化不能解决 的许多困难问题。本文通过傅立叶变换和小波变换在地震资料去噪中的对比可以看出，小波变换对奇异 信号极其敏感．使得其在非平稳信号的去噪中显出了较大的优越性。 关键词：小波变换；信号降噪；傅立叶变换；奇异信号；非平稳信号 在科学研究及实际应用中，对信号进行分析处 理时，首先要对分析的信号进行预处理，最重要的就 是要消除信号的噪声。傅立叶变换将时、频两域截然 分开是以信号的频率特性时不变和统计特性平稳为 前提条件的。然而很多信号，如生物医学信号，常呈 非平稳状态，信号在任一时刻附近的频率特征都很 重要。在这种情况下，就暴露出经典傅立叶分析的局 限性，时、频两域不能截然分开，同时在任何有限频 段上信息无法刻画任意小范围内空域信号。为了尽 可能反映频域特征随时（空）间的变化，前人做了很 多探索，将时（空）、频两域结合起来对信号予以描 述，提出了时频局部化分析方法，如短时傅立叶变 换。也称窗；：ｊ傅立叶变换，一定程度上克服了经典傅 立叶变换在分析非平稳信号时的缺陷，但由于窗口 形状大小不变导致窗口傅立叶变换只是单一分辨率 的分析。信号的频率和周期是成反比的，要获取信号 高频成分的细致分辨应该使用较窄的时（空）间窗， 要获取信号低频成分的粗疏分辨，应该使用较宽的 时（空）间窗，显然窗口傅立叶变换不具备这种“弹 性”。 ２Ｏ世纪８Ｏ年代兴起的小波分析是一种窗口面 积固定但形状可变的时频局部化方法，即具有对信 号的自适应性。在低频部分具有较高的频率分辨率 和较低的时（空）间分辨率，在信号的高频部分具有 较低的频率分辨率和较高的时（空）间分辨率。小波 分析具有以下特点： （１）具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以有 粗略到精细的逐步观察信号。 （２）选择适当的小波函数，可使小波变换在时、 频两域都具有表征信号局部特征的能力，有利于检 测信号的瞬态或奇异点。 将傅立叶变换、小波变换应用到地震资料去噪 中，利用他们的特点，针对不同的需求，往往能取得 更好的处理效果。基于此，我们将二者进行了对比， 并从中得出了一些结论。 １傅立叶变换基础 傅立叶变换是信号处理中最常用的变换，也是 小波变换的基础。 １．１连续傅立叶变换 设ｆ（ｔ）为ｔ的函数，如果ｆ（ｔ）满足狄里赫莱条件： （１）具有有限个间断点； （２）具有有限个极点； （３）绝对可积。 则函数ｆ（ｔ）的一维傅立叶变换为： ｒ Ｆ（ ）一Ｉ ｆ（ｔ）Ｐ—ｊ０ ｄｔ （１—１） Ｆ（ｕ）的傅立叶逆变换为： ｏ。 厂（￡）＝Ｉ Ｆ（ ）ｅｉ０ （１—２） Ｊ—ｏ。 正、反傅立叶变换的形式相同，唯一的区别是指 数项的符号。傅立叶变换积分定理指出： ｒｏ。 ｒｏ。 厂（￡）一Ｉ ［Ｉ ｆ（ｔ）ｅ 。￣ｄｔ］ｅｉ。 （１—３） 也就是说傅立叶变化是互逆的，由Ｆ（ｕ）可以重 构ｆ（ｔ）。函数ｆ（ｔ）和Ｆ（ｕ）被称作一个傅立叶变换对。 对于任一函数ｆ（ｔ），其傅立叶变换是唯一的，反之亦 然。但并非任一函数的傅立叶变换均存在。 若令ｔｌＪ一２ｎｕ，则（１—１）、（１—２）式可写成： 收稿日期：２００７一Ｏ２—１５ 作者简介：张旭东（１９８Ｏ一），男，成都理工大学信息工程学院应用地球物理专业硕士研究生。主要研究方向：地震数据处 理、小波变换等。
信号传输变换的原理是啥
信号传输变换的原理是啥
信号传输变换的原理是通过将原始信号进行变换，使其能够在传输过程中更加稳定、高效地传递。这种变换可以基于时域、频域或其他方面进行。
在时域中，常用的信号传输变换包括时域采样、脉冲编码调制（PCM）等。时域采样是将连续时间上的信号转换为离散时间上的信号，使其可以在离散的时间间隔内传输。PCM则是将连续信号进行采样和量化，再将量化结果以脉冲编码的方式传输，可有效减小传输的带宽。
在频域中，常用的信号传输变换包括傅里叶变换、小波变换等。傅里叶变换将信号从时域转换到频域，通过分解信号的频谱成分，可以提取信号的频域特征，如频率、幅度等。小波变换则是将信号转换为不同时间和频率上的小波函数，可以提供信号的时频特性，更适用于分析非平稳信号。
除了时域和频域之外，信号传输变换还可以基于其他领域的原理，如空域、复域等。这些变换的原理都是为了使信号能够更好地适应传输环境和传输媒介，以实现稳定、有效的信号传输。
小波变换详解
第10章 小波变换与JPEG 2000编码
之小波变换
虽然基于DCT的JPEG标准的压缩效果已经很不错，但在较高压缩比时会出现明显的马赛克现象，且不能渐进传输。为了适应网络发展的需要，JPEG于2000年底推出了采用DWT (Discrete Wavelet Transform离散小波变换)的JPEG 2000标准。
小波变换是1980年代中期发展起来的一种时频分析方法，比DCT这样的傅立叶变换的性能更优越，被广泛应用于调和分析、语音处理、图像分割、石油勘探和雷达探测等等方面，也被应用于音频、图像和视频的压缩编码。
本章先介绍小波变换的来龙去脉，然后分别介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar小波变换和整数小波变换，最后介绍JPEG 2000的编码算法和标准。
10.1 小波变换
小波变换(wavelet transform)是傅立叶变换的发展，中间经历了窗口傅立叶变换。
原始数据一般是时间或空间信号，在时空上有最大分辨率。时空信号经傅立叶变换后得到频率信号，在频域上有最大分辨率，但其本身并不包含时空定位信息。窗口傅立叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空-频谱分析，但由于其窗口的大小是固定的，不适用于频率波动大的非平稳信号。而小波变换可以根据频率的高低自动调节窗口大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析功能。
本节先讨论小波变换与（窗口）傅立叶变换的关系，然后依次介绍连续小波变换、离散小波变换、Haar小波变换和第二代小波变换（整数小波变换）。
10.1.1 傅立叶变换与小波变换
傅立叶变换(Fourier transform)是法国科学家Joseph Fourier发表于1822年的他在用无穷三角级数求解热传导偏微分方程时所提出的一种数学方法，它可将时空信号变换成频率信号。
鉴于傅立叶变换不含时空定位信息，（1971年的诺贝尔物理学奖获得者）匈牙利人Dennis Gabor于1946年提出窗口傅立叶变换（window Fourier transform）。可以用于时频分析，但是窗口大小是固定的。
小波变换知识总结
变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来。变换的本质就是在搞基。
向量空间中的每一个向量都是向量基的线性组合，即把一些常数与向量基相乘，然后计算点积。对信号的分析就包括计算这些常数（变换系数、傅里叶系数、小波系数）。合成或者说重构就是计算线性组合方程。N维空间的向量基中有N个向量。
平稳信号中的频率分量一直保持不变。区别于非平稳信号。
傅里叶变换（FT）：
傅里叶变换后的频谱图上出现毛毛刺，是因为信号中的频率突变引起的。
傅里叶变换仅仅给出了信号的频率分量，却没有给出这些频率分量出现的时间（傅里叶变换无任何时间分辨率）。因此对于非平稳信号，傅里叶变换是不合适的。当且仅当我们仅仅关心非平稳信号中的频率分量而不关心其出现的时间，傅里叶变换才可用于处理非平稳信号。
根据不确定性原理（测不准原理）：（1）在任意一个时间点，我们不能确定哪个频率分量存在；我们能做到的是在一个给定的时间段内确定哪个频率分量存在；（2）在时频分析中，要想取得高的时间分辨率就必须牺牲频率分辨率，反之亦然。
高频信号在时间域内更易处理，而低频信号在频率域内更易处理。
傅里叶变换：公式中的指数项还可写成：
所以我们实际要做的就是用一些复数表达式叠加出原始信号，这些复数表达式包含了频率的正弦和余弦部分。然后对乘积积分。如果积分结果值很大，说明信号在该频率处有一个大的频谱分量。
傅里叶变换是二维的，如果再加上幅度就是三维的。
图中以“尺度”为标签的轴代表频率，尺度越大频率越低，因此，图中的小尖峰反映了信号中的高频分量；大尖峰则反映了信号中的低频分量。高频信号的尺度分辨率很高，高尺度分辨率对应低频率分辨率。
这是一个无限循环的函数。1，cosx, sinx,