二次函数知识点总结

二次函数的定义

（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 .

①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2

+4x ； ④y=－3x ；

⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2

+nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2

+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为。

3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2

+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。

4、若函数y=(m －2)x m －2

+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为。 5、已知函数y=(m －1)x m2 +1

+5x －3是二次函数，求m 的值。

二次函数的对称轴、顶点、最值

（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2

+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2

+bx+c 则最值为4ac-b

1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝，c ＝ .

3．抛物线y ＝x 2

＋3x 的顶点在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

4．若抛物线y ＝ax 2

－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )

5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴

6．已知抛物线y ＝x 2

＋(m －1)x －14

的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .

7．抛物线y=x 2

+2x －3的对称轴是。

8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝。

9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n

＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝。

函数y=ax 2

+bx+c 的图象和性质

1．抛物线y=x 2

+4x+9的对称轴是。

2．抛物线y=2x 2

－12x+25的开口方向是，顶点坐标是。 3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式。 4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=12 x 2－2x+1 ；（2）y=－3x 2

+8x －2；（3）y=－14

x 2+x －4

5．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2

－3x+5，试求b 、c 的值。

6．把抛物线y=－2x 2

+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

函数y=a(x －h)2

的图象与性质

1．填表：

2．已知函数y=2x 2

,y=2(x －4)2

（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x －4)2和y=2(x+1)2

？

3．试写出抛物线y=3x 2

经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移2

个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

4．试说明函数y=12

(x －3)2

的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

5．二次函数y=a(x －h)2

的图象如图：已知a=12

，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。

二次函数的增减性

1.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而；当x<1时，y 随x 的增大而；当x=1时，函数有最值是。

2.已知函数y=4x 2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为。

3.已知二次函数y=x 2－(m+1)x+1，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .

4.已知二次函数y=－12 x 2+3x+5

的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3

则y 1,y 2,y 3的大小关系为 .

二次函数的平移

技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2

+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减

6.抛物线y= －3

2 x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为。

7.抛物线y= 2x 2

，，可以得到y=2(x+4}2－3。

8.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。 9.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。 10.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝，b ＝，c ＝ .

11.将抛物线y ＝ax 2

向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.

函数的交点

11.抛物线y=x 2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。 12.直线y=7x+1与抛物线y=x 2+3x+5的图象有个交点。

函数的对称

13.抛物线y=2x 2－4x 关于y 轴对称的抛物线的关系式为。 14.抛物线y=ax 2+bx+c 关于x 轴对称的抛物线为y=2x 2－4x+3，则 a= b= c=

函数的图象特征与a 、b 、c 的关系

1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0

C.a>0,b<0,c=0

D.a>0,b<0,c<0

2.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象2如图所示，则下列结论正确的是（） A ．a+b+c> 0 B ．b> -2a C ．a-b+c> 0 D ．c< 0

3.抛物线y=ax 2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如图3，有以下结论：

①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2

-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（）

A ．①②

B ．①④

C ．①②③

D ．①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（）

5.已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )

6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c

的图象如图5所示，那么abc ，b 2

－4ac ， 2a ＋b ，

a ＋

b ＋

c 四个代数式中，值为正数的有( )

A.4个

B.3个

C.2

个

D.1

个

在同一坐标系中，函数

y= ax

2+c

与y=

A B C D

8.反比例函数y = k x

的图象在一、三象限，则二次函数y ＝kx 2-k 2

x-1c 的图象大致为图中的（）

A B C D

9.反比例函数y= k

中，当x> 0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2+2kx的图象大致为图中的（）

A B C D

10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：

①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a＋b＝0; ④当y＝－2时，x的值只能取0；其中正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

1.如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝（写一个即

可）

2.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为

3.抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )

A.没有交点

B.只有一个交点

C.有两个交点

D.有三个交点

4.如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ABC的面积为( )

A.6

B.4

C.3

D.1

5.已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为49

，则m的值为( )

A.－2

B.12

C.24

D.48

6.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是

7.已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

函数解析式的求法

一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2

+bx+c ，然后解三元方程组求解； 1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x －h)2

+k 求解。 3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，求二次函数的解析式。

三、已知抛物线与x 轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x －x 1)(x －x 2)。 5．二次函数的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．已知x ＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式。

7．抛物线y=2x 2

+bx+c 与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。

8．若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，3），且与y=2x 2

的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。

9．抛物线y=2x 2

+bx+c 与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b ＝，c ＝ . 10．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y 轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式。 11．根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式（1）当x=3时，y 最小值=－1，且图象过（0，7）

（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=3

（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

（4）当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3

（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）

11．当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= －3，x2=1时，且与y轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式

12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

13．知二次函数图象顶点坐标（－3，1

）且图象过点（2，

），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。

14．已知二次函数图象与x轴交点(2,0)，(－1,0)与y轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。

15．若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 1

对称，那么图象还必定经过哪一点？

16．y= －x2+2(k－1)x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。

17．抛物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= －1

x+2上，求函数解析式。

18、y=ax2+bx+c的图象是由y=4x2的图象向左平移2个单位后再向上平移5个单位得到的，求它的解析式

19、y=ax2+bx+c的图象和y=-3x2+1的形状完全相同，只是位置不同，且y=ax2+bx+c的图象经过点(1，0)和点(0，2).求a、b、c之值。

二次函数应用

(一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.

(1)试求y与x的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？

3.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。

(1)求Y与X之间的函数关系式；

(2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；

(3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？

初三.二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：

2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。总结：

3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k

总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。总结：从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

二次函数知识点大全

二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0 a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧； ③0 c ,与y 轴交于正半轴；③0