韦达定理及其应用

韦达定理及其应用

【知识要点】

1.若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。则a b x x -=+21，a c x x =•21，；补充公式a

x x ∆=-21 （1）方程说出下列方程的两根和与两根积： ①01032=--x x ②01532=++x x ③0223422=--x x

（2）已知x =1是方程x 2+bx -2=0的一个根，则方程的另一个根是

2. .已知方程的两根x 1，x 2 ，求作一个新的一元二次方程x 2 –(x 1+x 2) x+ x 1·x 2 =0

（1）于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1＝3、x 2＝1，那么这个一元二次方程 是

（2）关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝____；c ＝______

【知识应用】

一．求代数式的值

例1：.若a,b 是方程x 2+3x+1=0的两个实数根。求

b a a b +的值。

变1：a,b 满足a 2+3a+1=0, b 2+3b+1=0. 求b

a a

b +的值

变2：若a 2+3a+1=0, b 2+3b+1=0且a ≠b,求a 2+ b 2的值。

练1、已知方程01322=-+x x 的两根是21,x x ，不解方程，求下列各式的值。

（1）

2

111x x + （2）2221x x + (3)12(5)(5)x x --

2..已知关于x 的方程02)15(2

2=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。

二．研究方程根的情况

例2：已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0,求:

(1)m 为何值时,•方程的两个根一个大于0,另一个小于0;

(2)m 为何值时,方程的两个根都是正数;

(3)m 为何值时,•方程的两个根一个大于1,另一个小于1.

练：1.在关于x 的方程()()07142=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值

2.已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程4x 2+4(m-1)x+m2=0•的两个非零实数根,问x 1与x 2能

否同号?若能同号,求出相应的m 的取值范围;•若不能同号,请说明理由.

【知识拓展】

1．若关于x 的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的4倍，则k= ________

2．已知：a,b 是一元二次方程x 2+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a 2)（1+2005b+b 2

) = __________

3.0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02

=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。

4． x 1,x 2是方程3x 2-mx-2=0的两个根,且11x +2

1x =3,求3312x x +的值

5.已知:等腰三角形的两条边a,b 是方程x 2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另一条边c=1，

求:k 的值。

6.求一个一元二次方程,使它的两根分别比方程3x 2+2x-3=0的两个根的平方多1.

7．已知一元二次方程022=+-c bx ax 的两个实数根满足221=-x x ，a ，b ，c 分别是ABC ∆的A ∠，B ∠，C ∠的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若c a =，求B ∠的度数。

8.已知x 1,x 2是方程x 2-2(k-2)x+(k 2

+3k+5)=0(k 为实数)的两实根,求2212x x +的最小值.

9.设一元二次方程x 2+2ax+6-a=0的根满足下列条件，求a 的范围。

（1）两根均大于1 （2）一根大于1，另一根小于1

乘法公式补充：

1.（a+b ）(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b ）(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3

2.(a ±b)3=(a 3±3a 2b+3ab 2±b 3)

3.(a+b+c)2=

4.(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc)=a 3+b 3+c 3-3abc

5.=-+-+-222)()()(c a c b b a

十字相乘法：

1.2265y xy x -+

2. 22362xy y x x --

3.已知非零实数x,y 满足065=--y xy x ，则y x

的值是

分组分解法：

1. x y y x +--22

2. 224224c a b c b a --+

3. 2222n n m mn m -++-

4. 已知a,b,c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a +=+.试判断△ABC 的形状。

5.设19=--z y x ，19222=++z y x ，求xy zx yz --的值。

解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

= （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a•5b=30ab

解法二：由题意知

∵a2 +2000a+1=0；b2 +2000b+1=0

∴a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b

∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)

=6a•5b=30ab

∵ab=1，a+b=-200

∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

= （ab +2006a+a2)（ab +2005b+b2)

=a(b +2006+a) •b( a +2005+b)

=a(2006-2000) •b(2005-2000) =30ab

解法三：由题意知

∵a2 +2000a+1=0；b2 +2000b+1=0

∴a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b

∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)

=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)

=6a•5b=30ab

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