射频测量技术

一、射频测量技术(转摘）

2008-06-03 21:20

引言

当前，基于射频原理的无线通信产品俯拾即是，其数量的增长速度也非常惊人。从蜂窝电话和无线PDA，到支持WiFi的笔记本电脑、蓝牙耳机、射频身份标签、无线医疗设备和Zigbee传感器，射频设备的市场规模在飞速扩大。仅从今年来看，全球制造并销售的蜂窝电话将高达8.5亿多只。

要想进行全面的生产测试并提高测试产能，测试工程师们必须要理解射频基本原理，清楚测试的内容，并懂得选用最适合的仪器完成这些测试工作。问题是，大多数从事低频应用（工作频率在1MHz以下）的工程师不太熟悉高频的应用特点。

射频术语：您必须掌握的“工作语言”

忘掉电压，射频工程师常用功率

射频信号的强度千差万别。随着信号在自由空间的传播，单位功率将随着距离的平方成比例降低，功率的变化常用分贝（dB）来表示。

采用分贝进行功率测量也大大简化了计算过程。增益

和损耗都按分贝为单位进行加减。因此，乘法操作简化为加法操作。dB的形式化定义为：dB = 10 log (Pout/Pin)

分贝dB是一个相对的值。另一个相关的单位是毫瓦分贝dBm，它是相对于1mW的绝对功率。图1给出了dBm的值及其相应的瓦特数，其中还给出了移动电话的发射机发射功率参考范围，以及灵敏接收机所能检测到的最低信号功率。图2给出的等式定义了室温下射频信号的理论热噪声。由于射频信号通过空气的传输以及受到大气干扰和其它信号的干扰，到达接收机端的信号电平可能变得非常低。接收机常常需要检测低于0.1pW的信号（或者低于微伏的信号电平）。

Noise Floor：本底噪声

常见问题不再是输入阻抗，而是传输线的阻抗失配

在低频情况下，我们在电路上传输电压的目标是实现最小的衰减幅度。其中，最有效的电路是输入阻抗高而输出阻抗低的电路。对于射频应用，线缆的长度可能只有波长的四分之一，我们必须把信号传输当成波来理解。如果波受到阻断，部分波信号就会发生反射。射频传输的目标就是无损耗地将所有的功率传给负载。任何功率的反射就意味着传给负载功率的损失。因此，失配是一个关键的参数。电路元件和传输线之间的任何阻抗差异都会引起反射和功率损耗。

在射频应用中，传输线一般都采用同轴电缆，它们相对于电路板和电路板内的微带线路而言都是外部组件。这些组件具有自己的特征阻抗。传输线的特征阻抗取决于导线的几何结

构、导线的属性以及包裹或隔离导线的绝缘体。对于射频应用来说，传输线的特征阻抗以及各组件的输入和输出阻抗通常采用50欧姆或75欧姆。50欧姆的阻抗用于优化系统内的功率传输，而75欧姆的阻抗用于实现最小的衰减，例如有线电视网系统。大部分射频无线传输系统都是针对功率传输而进行设计优化的，因此特征阻抗都是50欧姆。

为了尽量减少反射，无线测试与测量应用中的射频线缆和组件都是基于50欧姆特征阻抗而设计的。相反，当阻抗匹配时，就实现了最佳的功率传输。

如果某个信号波从一种特征阻抗传输到另一种不同的特征阻抗，那么就会引起信号反射和反向传输。如果阻抗相同，就不会发生反射。当由于阻抗不连续而发生信号发射时，就会在传输线的两个方向上出现信号波的传输。在这两个波相位相同的点上，将出现最大的电压幅值Vmax；在它们相位相差180度的点上，将出现Vmin。Vmax和Vmin的比值称为电压驻波比，即VSWR。VSWR是衡量某个连接器或某条线缆的阻抗是否接近50欧姆的一个指标。图3给出了理想情况下全匹配（没有反射）、理想开路（100%反射），以及极端情况下这三个值之间的关系。

Return Loss：回波损耗

Reflected Power：反射功率

熟悉掌握新型的连接器、线缆和元件

带BNC连接器的电缆通常在500MHz以上就开始衰减。在射频领域，电缆通常配备N型连接器和SMA连接器。N型连接器常用在测试仪器上，因为它们非常耐用，可以处理高功率，能够很好地工作在高达18GHz的频率下。SMA连接器比N型连接器小得多，比N 连接器的功率更低，但是可以很好地用于18GHz以上的频率下。

所有的射频电缆都是同轴的。同轴射频电缆可以是不可弯曲的（即刚性的）、可弯曲一定程度的（即半刚性的），或者可弯曲的。对于射频而言，我们要比低频情况下更小心地对待电缆。过分的弯曲电缆以及明显的90度折弯都会损坏电缆，严重地降低传输性能。

在低频情况下，良好的连接就是指导线之间要相互接触（简单的连续性）。而在射频

情况下，阻抗失配是很严重的问题，意味着良好的连接不仅要确保导线相互接触，而且要求连接器也要正确的扭转在一起。因此，射频制造商常采用7英尺磅大小的扭矩，以确保连接器之间具有很好的接触和最小的电阻（射频术语称为插入损耗）。

在整个测试系统中保证50欧姆的传输线

射频电路中的并行连接或者多信号通路并不像低频电路中的那样简单。保证整个电路通路阻抗匹配，减小阻抗不连续和信号反射是非常关键的。射频开关的制作都采用精密加工，以确保整个开关都是50欧姆的阻抗。为了实现并行通路，人们采用所谓的分路器或分离器之类的器件将一条输入信号通路分成两条或多条输出通路，每条通路50欧姆。组合器则实现相反的作用，将多条输入通路合并成一条输出通路。如果您是首次接触射频测试，那么不要被这些复杂的情况所吓倒。射频元件比同样的直流元件成本要高得多。

您需要什么样的射频仪器以满足您的测试需求？

低频测试仪器正不断丰富普及，射频测试仪器的种类也越来越多，应用越来越广泛，包括从信号源和功率计，到频谱和网络分析仪等各种仪器。这些仪器用于产生射频信号，以及测量大量信号参数。

射频功率计——射频领域的数字万用表

功率是射频领域中最经常被测量的一个量。测量功率最简单的方法就是使用功率计，它实际上是用来

测量射频信号功率的。功率计中使用宽带检波器，按瓦特、dBm、或者dB μV显示绝对功率的大小。对于大多数功率计而言，宽带检波器（或传感器）是一个射频肖特基二极管或者二极管网络，实现射频到直流的转换处理。

功率计是所有测量功率的射频仪器中最准确的。高端功率计（通常需要一个外部功率传感器）可以实现0.1dB或更高的测量精度。功率计最低可以测量- 70dBm（100pW）的功率。传感器有各种模型，从高功率模型、高频率（40GHz）模型，到峰值功率测量的高带宽模型等。

功率计有单通道和双通道两种。每个通道都需要配置自己的传感器。两个通道的功率计就能够测量出一个器件、电路或系统的输入和输出功率，并计算出增益或损耗。

某些功率计能够达到每秒200到1500次读数的测量速度。而有些功率计能够测量多种信号的峰值功率特性，包括通信和某些应用中使用的调制信号和脉冲射频信号。双通道的功率计还能够准确测量出相对功率。功率计还可以针对便携式应用的需要设计成尺寸精巧的外形，使其更适合于现场测试的需要。

功率计的主要局限在于其幅值测量范围。频率范围是与测量量程之间进行折衷的。此外，功率计虽然能够非常准确地测量出功率，但是无法表示信号的频率分量。

射频频谱或射频信号分析仪——射频工程师的示波器

频谱或矢量信号分析仪利用窄带检测技术在频域内测量射频信号。其主要的输出显示是功率频谱与频率之间的关系，包括绝对功率和相对功率。这种分析仪还可以输出解调信号。

频谱分析仪和矢量信号分析仪没有像功率计那样的精确性，但是，射频分析仪中使用的窄带检测技术使其能够测量低达-150dBm的功率。射频分析仪的精度一般在±0.5dB以上。

频谱和矢量信号分析仪可以测量的信号频率从1kHz到40GHz（甚至以上）。频率范围越宽，分析仪的成本就越大。最常见的分析仪的频率达到3GHz。工作在5.8GHz频率范围的新通信标准就需要带宽为6GHz以上的分析仪。

矢量信号分析仪是增加了信号处理功能的频谱分析仪，它不仅能够测量信号的幅值，而且能够将信号分解成它的同相和正交分量。矢量信号分析仪可以将某些调制信号进行解调，例如一些由移动电话、无线LAN设备和基于其他一些新通信标准的设备所产生的调制信号。矢量信号分析仪可以显示星座图、码域图和调制质量（例如误差矢量幅度）的计算度量。

传统的频谱分析仪是扫描-调谐式设备，因为其中的局部振荡器要扫描一个频率范围，窄带滤波器就可以获取该频率范围内每个单位频率上的功率分量。矢量信号分析仪也扫描一部分频谱，但是它们捕捉一定宽带内的数据进行快速傅立叶变换得到单位频率上的功率分量。因此矢量信号分析仪扫描频谱的速度比频谱分析仪快得多。

评价矢量信号分析仪性能的关键指标在于它的测量带宽。一些新的高带宽通信标准，例如WLAN和WiMax，需要捕捉带宽为20MHz的信号。要想捕捉并分析这些信号，分析仪必须具有足够大的带宽才能捕捉到整个信号。如果测试高带宽、数字调制的信号，那么要确保分析仪的测量带宽能够充分捕捉到所测的信号。

频谱分析仪可以用于检验待测发射机是否产生了正确的功率频谱。如果设计工程要求测试某些失真分量，例如谐波或寄生信号，那么就需要采用频谱分析仪或矢量信号分析仪。类似的，如果设计者关注器件的噪声功率，那么也需要使用这样的射频分析仪。其他一些需要频谱分析仪或矢量信号分析仪的例子包括：测试互调失真、三阶截断、功率放大器或功率晶体管的1dB增益压缩、器件的频率响应等。

测试那些涉及数字调制信号的发射机或放大器就需要使用矢量信号分析仪，对调制信号进行解调。矢量信号分析仪能够测量出某个器件产生了多大的调制失真。解调过程是一个复杂、计算密集的过程。能够快速进行解调和测量计算操作的矢量信号分析仪就可以大大缩短测试时间，降低测试成本。

射频信号源

所有的射频信号源都能产生连续（CW）射频正弦波信号。某些信号发生器也能够产生模拟调制射频信号（如AM信号或脉冲射频信号），矢量信号发生器采用IQ调制器产生各种模拟或数字调制信号。

射频信号源进一步可以分成很多种，包括固定频率CW正弦波输出源、扫描输出一个频段非

固定频率CW正弦波的扫频源、模拟信号发生器以及增加模拟和数字调制功能的矢量信号发生器。

如果测试需要激励信号，那么就需要射频信号源。射频信号源的关键指标是频率与幅值范围、幅值精度和调制质量（对于产生调制信号的信号源而言）。频率调谐速度和幅值稳定时间对于减少测试时间也是非常关键的。

矢量信号发生器是一种高性能的信号源，通常结合任意波形发生器一起产生某些调制信号。通过任意波形发生器可以使矢量信号发生器产生任意类型的模拟或数字调制信号。这种发生器可以在内部产生多种基带波形，在某些情况下，也可以在外部产生某种基带波形然后载入到仪器中。如果测试规范要求被测的

元件、设备或系统按照待测设备最终使用中的处理调制方式进行测试，那么这种情况下通常需要使用矢量信号发生器。

如果测试规范需要进行接收器灵敏度测试、误码率测试、相邻信道抑制、双音互调抑制、或双音互调失真的测试，那么也需要使用射频信号源。双音互调测试和相邻信道抑制测试需要两个信号源，接收器灵敏度测试和/或误码率测试只需要使用一个射频信号源。

如果待测器件是用于移动电话的，那么测试者可能要根据移动电话标准的需要进行调制信号类型的测试。移动电话功率放大器需要结合调制信号源（例如矢量信号发生器）进行测试。在选择某种矢量信号发生器之前，要评估一下该信号发生器在不同调制信号之间的切换速度，以确保其能够提供最快的测试时间。

网络分析仪

除了频谱分析仪和矢量信号分析仪，第三类分析仪就是网络分析仪。网络分析仪包含一个内置的射频信号源和一个测试射频器件的宽带（或窄带）探测器。网络分析仪以x-y坐标、极坐标或史密斯圆图的形式输出显式器件的特性。

从本质上来看，网络分析仪测量的是器件的S参数。矢量网络分析仪可以提供幅值和相位信息，可以以很高的精度判断这些器件在某个宽频段上的传输损耗与增益。通过矢量网络分析仪，还可以测量出回波损耗（反射系数）和阻抗匹配，进行相位测量和群延迟测量。

网路分析仪主要用于分析诸如滤波器和放大器之类的元件。值得注意的是，网络分析采用的是未经调制的连续波，分析仪的校准十分重要。利用制造商提供的校准工具包可以实现网络分析仪的校准。

由于网络分析仪在一台仪器内集成了信号源和测量功能，而且分析仪具有较宽的频率范围，因此这类仪器的价格比较昂贵。

典型应用

需要同时使用四种主要的射频测试仪器的一个应用实例就是功率放大器（PA）的测试。

信号源可以提供输入信号，功率计或频谱分析仪可以测量输出功率。如果精度非常重要，例

如在测量最大功率时，那么就需要使用功率计进行输出测量。

PA的输入匹配对于从事射频发射器的设计者来说是一个关键参数。放大所有供给PA的功率，不因反射而损耗实际的功率，这是非常重要的。因此，PA制造商都会指明并测量PA的回波损耗（即S11），这是网络分析仪可以测量出的。另外，如果仅仅需要测量标量幅值，那么可以通过一个耦合器将一个信号源和一个频谱分析仪（或功率计）结合起来，测量反射功率的幅值。相比使用网络分析仪来看，这种方法唯一的缺点就是配置过程更加复杂，需要使用额外的无源射频元件。对于回波损耗标量的测量，功率计能够实现更精确的功率测量。

对于输入阻抗与输出阻抗（一般为50欧姆）不匹配的负载，PA向这样的负载传输功率的能力是衡量该PA在真实条件下性能的一个重要指标，因为在真实条件下负载（例如天线）不一定恰好具有50欧姆的特性输入阻抗。在这种情况下，非50欧姆的电阻负载就会切换到该PA的输出端。这种负载将迫使PA输出高达20:1的VSWR（理想匹配的情况下，50欧的负载将会得到将近1:1的VSWR）。PA必须能够正确工作，在存在大量反射功率的情况下为负载提供一些功率。

某些输出测量需要进行频谱分析。用于广播或移动电话领域（或者其他符合FCC规定的应用）的射频PA要求在PA工作频道的相邻频道内不能产生多余的功率。对相邻信道功率、互调失真和谐波失真的测量就是测量PA在真正传输信道之外所产生的功率。对于这些测量而言，动态范围、在存在大信号（例如载波信号）的情况下测量小信号的能力就成为频谱分析仪的一项重要指标。例如，如果某个PA的指标表明它的相邻信道功率（对于某类调制机制，或者对于某种特殊的移动电话标准）是60dBc（载波下分贝），那么该频谱分析仪的动态范围（在所需的测试条件下）必定比谐波功率、相邻信道功率或互调分量的最小容许功率至少大6dB。

邻信道功率必须采用调制信号进行测量，也就是说必须考虑信号源的邻信道性能。信号源的邻信道功率输出必须比功率放大器产生的最大容许邻信道功率至少小6dB。

对于谐波的测量，分析仪的频率范围必须比该PA的最大工作频率（3dB带宽频率）大三倍，以充分捕捉最大工作频率的三次谐波功率。此外，频谱分析仪的动态范围和本底噪声必须至少比待测值低6dB，才能很好的测量三次谐波分量；必须具有合理的信噪比，才能实现精确和可复现的测量。谐波测量显示的是PA产生的失真大小。过多的失真会对调制性能产生负面影响。

当不同频率的信号或不同频率的信号分量成为PA输入时，互调失真就决定了PA产生了多少失真。产生这样的测试信号需要两个信号源。而一个双输出的信号源是不够用的，因为它的两个输出信号之间没有充分的隔离。信号源会产生自身的互调失真，这会导致过高放大器失真测量，带来测量结果的错误。

针对移动电话市场和某些市场领域（例如WLAN应用）而设计的PA也经常要进行调制质量的测试，在这些应用领域中一般采用比较复杂的调

制机制。这类测试通常要测量误差矢量幅值（EVM）。

结束语

上述对主要射频理论的简要介绍旨在帮助读者回顾一下相关知识。这些对射频测试仪器的概述将为读者针对测试的需求选择合适的测试仪器提供一些总体上的指导。在大多数情况下，测试者将会用到这四种测试仪器中的一种或几种：信号源、功率计、频谱分析仪和网络分析仪。

二、

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微带线和带状线(microstrip and stripline) (zz)

2008-09-07 10:38

1.微带线是一根带状导(信号线)．与地平面之间用一种电介质隔离开。如果线的厚度、宽度以及与地平面之间的距离是可控制的，则它的特性阻抗也是可以控制的。

2.带状线是一条置于两层导电平面之间的电介质中间的铜带线。如果线的厚度和宽度、介质的介电常数以及两层导电平面间的距离是可控的，那么线的特性阻抗也是可控的.

单位长度微带线的传输延迟时间，仅仅取决于介电常数而与线的宽度或间隔无关

微带线速度块，抗干扰能力弱，带状线速度慢些，抗干扰能力强些

因为微带线一面是FR4（或者其他电介质）一面是空气（介电常数低）因此速度很快，利于走对速度要求高的信号（例如差分线，通常为高速信号，同时抗干扰比较强）

带状线两边都有电源或者地层，因此阻抗容易控制，同时屏蔽较好，但是信号速度慢些。

通常同样的介质条件微带线的损耗小（线宽），带状线的损耗大（线细，有过孔）。

当设计一个电路板时，首先要考虑的是需要多少布线层(routing layer)及电源平面（在可接受的成本价格内）。层数之决定在于功能规格、杂讯免疫力、信号分类、需布线之net、trace数目、阻抗之控制、VLSI元件密度、汇流排之布线，等等。适当使用microstrip及stripline方式以在PCB层面压制射频辐射。在PCB内之平面（Ground或VCC）是压制PCB内Common-mode RF之重要方法之一，理由是这平面会降低高频电源分布阻抗(power distribution impedance)。

Microstrip:指PCB之外层的trace,经一介电物质邻接一整平面（solid plane）. Microstrip方式提供PCB上之RF压制，同时也可容许比sctripline较快之clock及逻辑讯号。此较快之clock及逻辑讯号是因为较小之耦合电容及较低之空载传输延迟。Microstrip的缺点是此PCB 外部信号层会辐射RF能量时入环境，对非在此层之上下加入金属屏蔽。

Stripline：信号层介于两个solid planes (V oltage或Ground)之间。Stripline有达到较佳RF辐射防制，但只能用在较低之传输速度，因信号层介于两个Solid planes之间，两平面间会有电容性耦合，导致降低高速信号之边缘速率(edge rate), Stripline之电容耦合效应在边缘速率快于1ns之信号较为显著，使用Stripline的主要效应是对内部trace之RF能量之完整屏蔽，

因而对射频有较佳之抑制能力。

要注意的是辐射仍然会从其他无件产生，虽然内部之trace可不令其产生辐射，其它之内部边线(bond接线、无件脚、插座、内部连线能及其他类似者)仍会产生问题。随着系统、元件、trace之阻抗，会存在阻抗不匹配(impedande mismatch)之问题，此不匹配之阻抗会使RF能量由内部trace耦合到其他电路或是自由空间(free space)。使元件之接脚电感最小（minimizing lead impedance）可降低辐射现象。

微带线和带状线的阻抗计算:

a.微带线(microstrip) Z={87/[sqrt(Er+1.41)]}ln[5.98H/(0.8W+T)]

其中，W为线宽，T为走线的铜皮厚度，H为走线到参考平面的距离，Er是PCB板材质的介电常数(dielectricconstant)。此公式必须在0.1<(W/H)<2.0及1<(Er)<15的情况才能应用。

b.带状线(stripline) Z=[60/sqrt(Er)]ln{4H/[0.67π(T+0.8W)]}

其中，H为两参考平面的距离，并且走线位于两参考平面的中间。此公式必须在W/H<0.35及T/H<0.25的情况才能应用。

三、阻抗匹配与史密斯圆图的基本原理(zz)

2008-09-07 10:18

摘要：本文利用史密斯圆图作为RF阻抗匹配的设计指南。文中给出了反射系数、阻抗和导纳的作图范例，并用作图法设计了一个频率为60MHz的匹配网络。

实践证明：史密斯圆图仍然是计算传输线阻抗的基本工具。

在处理RF系统的实际应用问题时，总会遇到一些非常困难的工作，对各部分级联电路的不同阻抗进行匹配就是其中之一。一般情况下，需要进行匹配的电路包括天线与低噪声放大器(LNA)之间的匹配、功率放大器输出(RFOUT)与天线之间的匹配、LNA/VCO输出与混频器输入之间的匹配。匹配的目的是为了保证信号或能量有效地从“信号源”传送到“负载”。在高频端，寄生元件(比如连线上的电感、板层之间的电容和导体的电阻)对匹配网络具有明显的、不可预知的影响。频率在数十兆赫兹以上时，理论计算和仿真已经远远不能满足要求，为了得到适当的最终结果，还必须考虑在实验室中进行的RF测试、并进行适当调谐。需要用计算值确定电路的结构类型和相应的目标元件值。

有很多种阻抗匹配的方法，包括:

计算机仿真:由于这类软件是为不同功能设计的而不只是用于阻抗匹配，所以使用起来比较复杂。设计者必须熟悉用正确的格式输入众多的数据。设计人员还需要具有从大量的输出结果中找到有用数据的技能。另外，除非计算机是专门为这个用途制造的，否则电路仿真软件不可能预装在计算机上。

手工计算:这是一种极其繁琐的方法，因为需要用到较长(“几公里”)的计算公式、并且被处理的数据多为复数。

经验:只有在RF领域工作过多年的人才能使用这种方法。总之，它只适合于资深的专家。

史密斯圆图:本文要重点讨论的内容。

本文的主要目的是复习史密斯圆图的结构和背景知识，并且总结它在实际中的应用方法。讨论的主题包括参数的实际范例，比如找出匹配网络元件的数值。当然，史密斯圆图不仅能够为我们找出最大功率传输的匹配网络，还能帮助设计者优化噪声系数，确定品质因数的影响以及进行稳定性分析。

基础知识

在介绍史密斯圆图的使用之前，最好回顾一下RF环境下(大于100MHz) IC连线的电磁波传播现象。这对RS-485传输线、PA和天线之间的连接、LNA和下变频器/混频器之间的连接等应用都是有效的。

大家都知道，要使信号源传送到负载的功率最大，信号源阻抗必须等于负载的共轭阻抗，即：

Rs+ jXs= RL- jXL

图2. 表达式Rs+ jXs= RL- jXL的等效图

在这个条件下，从信号源到负载传输的能量最大。另外，为有效传输功率，满足这个条件可以避免能量从负载反射到信号源，尤其是在诸如视频传输、RF或微波网络的高频应用环境更是如此。

史密斯圆图

史密斯圆图是由很多圆周交织在一起的一个图。正确的使用它，可以在不作任何计算的前提下得到一个表面上看非常复杂的系统的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿着圆周线读取并

跟踪数据。

史密斯圆图是反射系数(伽马，以符号Γ表示)的极座标图。反射系数也可以从数学上定义为单端口散射参数，即s11。

史密斯圆图是通过验证阻抗匹配的负载产生的。这里我们不直接考虑阻抗，而是用反射系数ΓL，反射系数可以反映负载的特性(如导纳、增益、跨导)，在处理RF频率的问题时ΓL 更加有用。

我们知道反射系数定义为反射波电压与入射波电压之比:

图3. 负载阻抗

负载反射信号的强度取决于信号源阻抗与负载阻抗的失配程度。反射系数的表达式定义为：

由于阻抗是复数，反射系数也是复数。

为了减少未知参数的数量，可以固化一个经常出现并且在应用中经常使用的参数。这里Zo(特性阻抗)通常为常数并且是实数，是常用的归一化标准值，如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。于是我们可以定义归一化的负载阻抗：

据此，将反射系数的公式重新写为：

从上式我们可以看到负载阻抗与其反射系数间的直接关系。但是这个关系式是一个复数，所以并不实用。我们可以把史密斯圆图当作上述方程的图形表示。

为了建立圆图，方程必需重新整理以符合标准几何图形的形式(如圆或射线)。

首先，由方程2.3求解出；

并且

令等式 2.5的实部和虚部相等，得到两个独立的关系式：

重新整理等式2.6，经过等式2.8至2.13得到最终的方程2.14。这个方程是在复平面(Γr, Γi)上、圆的参数方程(x-a)2+ (y-b)2 = R2，它以(r/r+1, 0)为圆心，半径为1/1+r.

更多细节参见图4a。

图4a. 圆周上的点表示具有相同实部的阻抗。例如，r＝1的圆，以(0.5, 0)为圆心，半径为0.5。它包含了代表反射零点的原点(0, 0) (负载与特性阻抗相匹配）。以(0，0)为圆心、半径为1的圆代表负载短路。负载开路时，圆退化为一个点(以1，0为圆心，半径为零)。与此对应的是最大的反射系数1，即所有的入射波都被反射回来。

在作史密斯圆图时，有一些需要注意的问题。下面是最重要的几个方面：

所有的圆周只有一个相同的，唯一的交点(1, 0)。

代表0Ω、也就是没有电阻(r = 0)的圆是最大的圆。

无限大的电阻对应的圆退化为一个点(1, 0)

实际中没有负的电阻，如果出现负阻值，有可能产生振荡。

选择一个对应于新电阻值的圆周就等于选择了一个新的电阻。

作图

经过等式2.15至2.18的变换，2.7式可以推导出另一个参数方程，方程2.19。

同样，2.19也是在复平面(Γr, Γi)上的圆的参数方程(x-a)2 + (y-b)2 = R2,它的圆心为(1, 1/x)，半径1/x。

更多细节参见图4b。

图4b. 圆周上的点表示具有相同虚部x的阻抗。例如，x=1的圆以(1, 1)为圆心，半径为1。所有的圆(x为常数)都包括点(1, 0)。与实部圆周不同的是，x既可以是正数也可以是负数。这说明复平面下半部是其上半部的镜像。所有圆的圆心都在一条经过横轴上1点的垂直线上。

完成圆图

为了完成史密斯圆图，我们将两簇圆周放在一起。可以发现一簇圆周的所有圆会与另一簇

圆周的所有圆相交。若已知阻抗为r + jx，只需要找到对应于r和x的两个圆周的交点就可以得到相应的反射系数。

可互换性

上述过程是可逆的，如果已知反射系数，可以找到两个圆周的交点从而读取相应的r和x 的值。过程如下：

确定阻抗在史密斯圆图上的对应点

找到与此阻抗对应的反射系数(Γ)

已知特性阻抗和Γ，找出阻抗

将阻抗转换为导纳

找出等效的阻抗

找出与反射系数对应的元件值(尤其是匹配网络的元件，见图7)

推论

因为史密斯圆图是一种基于图形的解法，所得结果的精确度直接依赖于图形的精度。下面是一个用史密斯圆图表示的RF应用实例：

例:已知特性阻抗为50Ω，负载阻抗如下：

Z1= 100 + j50Ω Z2= 75 -j100Ω Z3= j200Ω Z4= 150Ω

Z5= ∞ (开路) Z6= 0 (短路) Z7= 50Ω Z8= 184 -j900Ω

对上面的值进行归一化并标示在圆图中(见图5)：

z1= 2 + j z2= 1.5 -j2 z3= j4 z4= 3

z5= 8 z6= 0 z7= 1 z8= 3.68 -j18S

图5. 史密斯圆图上的点

现在可以通过图5的圆图直接解出反射系数Γ。画出阻抗点(等阻抗圆和等电抗圆的交点)，只要读出它们在直角坐标水平轴和垂直轴上的投影，就得到了反射系数的实部Γr和虚部Γi (见图6)。

该范例中可能存在八种情况，在图6所示史密斯圆图上可以直接得到对应的反射系数Γ：

Γ1= 0.4 + 0.2j Γ2= 0.51 - 0.4j Γ3= 0.875 + 0.48j Γ4= 0.5

Γ5= 1 Γ6= -1 Γ7= 0 Γ8= 0.96 - 0.1j

图6. 从X-Y轴直接读出反射系数Γ的实部和虚部

用导纳表示

史密斯圆图是用阻抗(电阻和电抗)建立的。一旦作出了史密斯圆图，就可以用它分析串联和并联情况下的参数。可以添加新的串联元件，确定新增元件的影响只需沿着圆周移动到它们相应的数值即可。然而，增加并联元件时分析过程就不是这么简单了，需要考虑其它的参数。通常，利用导纳更容易处理并联元件。

我们知道，根据定义Y = 1/Z，Z = 1/Y。导纳的单位是姆欧或者Γ-1(早些时候导纳的单位是西门子或S)。并且，如果Z是复数，则Y也一定是复数。

所以Y = G + jB (2.20), 其中G叫作元件的“电导”，B称“电纳”。在演算的时候应该小心谨慎，按照似乎合乎逻辑的假设，可以得出：G = 1/R及B = 1/X，然而实际情况并非如此，这样计算会导致结果错误。

用导纳表示时，第一件要做的事是归一化，y = Y/Yo，得出y = g + jb。但是如何计算反射系数呢？通过下面的式子进行推导：

结果是G的表达式符号与z相反，并有Γ(y) = -Γ(z).

如果知道z，就能通过将的符号取反找到一个与(0，0)的距离相等但在反方向的点。围绕原点旋转180°可以得到同样的结果(见图7)。

图7. 180°度旋转后的结果

当然，表面上看新的点好像是一个不同的阻抗，实际上Z和1/Z表示的是同一个元件。(在史密斯圆图上，不同的值对应不同的点并具有不同的反射系数，依次类推)出现这种情况的原因是我们的图形本身是一个阻抗图，而新的点代表的是一个导纳。因此在圆图上读出的数值单位是姆欧。

尽管用这种方法就可以进行转换，但是在解决很多并联元件电路的问题时仍不适用。

导纳圆图

在前面的讨论中，我们看到阻抗圆图上的每一个点都可以通过以Γ复平面原点为中心旋转180°后得到与之对应的导纳点。于是，将整个阻抗圆图旋转180°就得到了导纳圆图。这种方法十分方便，它使我们不用建立一个新图。所有圆周的交点(等电导圆和等电纳圆)自然出现在点(-1, 0)。使用导纳圆图，使得添加并联元件变得很容易。在数学上，导纳圆图由下面的公式构造：

解这个方程

接下来，令方程3.3的实部和虚部相等，我们得到两个新的独立的关系：

从等式3.4，我们可以推导出下面的式子：

它也是复平面(Γr, Γi)上圆的参数方程(x-a)2 + (y-b) 2 = R2 (方程3.12)，以(-g/g+1, 0)为圆心，半径为1/(1+g)。

从等式 3.5，我们可以推导出下面的式子：

同样得到(x-a)2 + (y-b)2 = R2型的参数方程(方程3.17)。

求解等效阻抗

当解决同时存在串联和并联元件的混合电路时，可以使用同一个史密斯圆图，在需要进行从z到y或从y到z的转换时将图形旋转。

考虑图8所示网络(其中的元件以Zo= 50Ω进行了归一化)。串联电抗(x)对电感元件而言为正数，对电容元件而言为负数。而电纳(b)对电容元件而言为正数，对电感元件而言为负数。

图8. 一个多元件电路

这个电路需要进行简化(见图9)。从最右边开始，有一个电阻和一个电感，数值都是1，我们可以在r＝1的圆周和I＝1的圆周的交点处得到一个串联等效点，即点A。下一个元件是并联元件，我们转到导纳圆图(将整个平面旋转180°)，此时需要将前面的那个点变成导纳，记为A'。现在我们将平面旋转180°，于是我们在导纳模式下加入并联元件，沿着电导圆逆时针方向(负值)移动距离0.3，得到点B。然后又是一个串联元件。现在我们再回到阻抗圆图。

图9. 将图8网络中的元件拆开进行分析

在返回阻抗圆图之前，还必需把刚才的点转换成阻抗(此前是导纳)，变换之后得到的点记为B'，用上述方法，将圆图旋转180°回到阻抗模式。沿着电阻圆周移动距离1.4得到点C就增加了一个串联元件，注意是逆时针移动(负值)。进行同样的操作可增加下一个元件(进行平面旋转变换到导纳)，沿着等电导圆顺时针方向(因为是正值)移动指定的距离(1.1)。这个点记为D。最后，我们回到阻抗模式增加最后一个元件(串联电感)。于是我们得到所需的值，z，位于0.2电阻圆和0.5电抗圆的交点。至此，得出z＝0.2 + j0.5。如果系统的特性阻抗是50Ω,有Z = 10 + j25Ω (见图10)。

图10. 在史密斯圆图上画出的网络元件

逐步进行阻抗匹配

史密斯圆图的另一个用处是进行阻抗匹配。这和找出一个已知网络的等效阻抗是相反的过程。此时，两端(通常是信号源和负载)阻抗是固定的，如图12所示。我们的目标是在两者之间插入一个设计好的网络已达到合适的阻抗匹配。

图11. 阻抗已知而元件未知的典型电路

初看起来好像并不比找到等效阻抗复杂。但是问题在于有无限种元件的组合都可以使匹配网络具有类似的效果，而且还需考虑其它因素(比如滤波器的结构类型、品质因数和有限的可选元件)。