二次函数的一个有趣性质
二次函数知识点归纳
知识点归纳：一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ¹，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+ 的性质： 上加下减。
`3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质0a > 向上()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质0a > 向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质0a > 向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．0a < 向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()h k ，X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h<时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴2y ax bx c =++沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2y ax bx c m =+++（或2y ax bx c m =++-）⑵2y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2()()y a x m b x m c=++++（或2()()y a x m b x m c =-+-+）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x aa 骣-琪=++琪桫，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a 骣-琪-琪桫，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a 骣-琪-琪桫，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ¹）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ¹，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -?时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ¹．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴2bx a=-在y 轴左边则0ab >，在y 轴的右侧则0ab <，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac D=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ¹，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=?的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=.② 当0D=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0D<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++?本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 0D> 抛物线与x 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根0D= 抛物线与x 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0D< 抛物线与x 轴无交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.。
二次函数的性质与应用
二次函数的性质与应用一、引言二次函数是高中数学中经常出现的一种函数形式，它具有许多独特的性质和广泛的应用。
本节课我们将学习二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
二、二次函数的定义与基本性质1. 二次函数的定义二次函数是指具有形如 y = ax² + bx + c （其中a ≠ 0）的函数。
其中a、b、c 是实数，a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。
2. 二次函数图像的性质（1）抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
（2）抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是 x = -b/2a。
（3）抛物线的顶点坐标：顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。
三、二次函数的性质推导与证明1. 零点的性质（1）二次函数的零点是函数与 x 轴的交点，即使 f(x) = 0。
（2）根据二次函数定义，我们可以列出二次方程 ax² + bx + c = 0，其中a ≠ 0，然后利用求根公式和配方法进行求解。
2. 极值点的性质（1）二次函数的最值点是函数的极值点。
（2）当 a > 0 时，函数有最小值；当 a < 0 时，函数有最大值。
3. 单调性分析（1）当 a > 0 时，二次函数在无穷大的负值处单调递增，在无穷大的正值处单调递减；当 a < 0 时，二次函数在无穷大的负值处单调递减，在无穷大的正值处单调递增。
（2）证明单调性时，可通过求导或按照定义进行推导。
四、二次函数的应用实例1. 弹射运动二次函数可以用来描述抛体的弹射运动。
我们可以通过列出二次函数来分析弹射运动的高度、时间、最远水平距离等。
2. 变速运动二次函数也常常用于描述物体的运动情况，如物体的位移随时间的变化。
利用二次函数的特性，我们可以分析物体的运动过程。
3. 优化问题二次函数可应用于求解最值问题，如在给定条件下，求函数取得极值时的自变量取值。
初中数学知识归纳二次函数像的性质
初中数学知识归纳二次函数像的性质二次函数是数学中常见的一类函数，其基本表达式为y = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像呈现出一条平滑的曲线，其性质包括顶点、对称轴、开口方向、零点等。
下面对初中数学知识中与二次函数相关的性质进行归纳和探究。
一、顶点二次函数y = ax^2 + bx + c的图像是一个开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的抛物线，其中最高（开口向下）或最低（开口向上）点被称为顶点。
顶点在二次函数的图像上具有特殊的意义，它是图像的最值点，也是对称轴与x轴的交点所在位置。
二、对称轴对称轴是指二次函数图像的中心对称线，具有如下性质：1. 对称轴与y轴平行，其方程可以通过观察顶点坐标得到，对称轴的方程为x = -b/2a，其中b和a分别为二次项系数和一次项系数。
2. 对称轴上的点与顶点的横坐标相等，即对称轴上的点横坐标为-x、顶点横坐标为x。
这意味着对称轴将图像分成两部分，两部分的图像关于对称轴对称。
三、开口方向二次函数的开口方向与二次项系数a的正负有关，具有以下特点：1. 当a>0时，二次函数图像开口向上，形状类似“U”字，如y = x^2；2. 当a<0时，二次函数图像开口向下，形状类似倒置的“U”字，如y = -x^2。
四、零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函数取值为0的时候对应的横坐标。
计算二次函数的零点可以采用以下两种方法：1. 根据二次函数的一般形式ax^2 + bx + c = 0，可以通过配方法或者求根公式来求得零点。
2. 根据二次函数的图像特点，零点是二次函数与x轴的交点，所以求零点就是求二次方程的解。
五、其他性质除了上述几个基本性质之外，二次函数还有一些其他值得注意的性质，比如：1. 当一次项系数b = 0时，二次函数成为纯二次函数，其图像过y 轴；2. 当a>0时，二次函数在对称轴两侧呈现上升趋势；当a<0时，二次函数在对称轴两侧呈现下降趋势；3. 当二次函数开口向上且a的绝对值越小时，开口越宽；当二次函数开口向下且a的绝对值越小时，开口越窄。
2.2二次函数的图象与性质第一课时
（1）列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（2）描点. （3）连线.
y
O
-5-4 -3-2-1 1 2 3 45
x
-2
-4
-6
-8
y=-x2
探索新知 思考：（1）二次函数y=-x2与y=x2的图象形状是否相同？
（2）寻找二次函数y=-x2与y=x2的图象之间的联系以及区别
提出、分析问题？
谢谢观看 XIE XIE GUAN KAN
（2）在直角坐标系中描点. （3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图象.
10 y y=x2 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
探究新知
观察y=x2的图象，回答下列问题： （1）你能描述图象的形状吗？ （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （3）当x <0时，随着x的增大， y的值如何变化？ x >0呢？ （4）当x取什么值时， y的值最小？
应用提高
3 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝x2的图象交于A(－1，1)和
B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取值范围是( D )
A．x<－1
B．x>2
C．－1<x<2
D．x<－1或x>2
4 已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3) 都在函数y＝x2的图象上，则( C )
练习提高
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象上的两点，当x1<x2<0时，y1 与y2的大小关系为_y_1＜__y_2__．
初中数学二次函数知识总结
初中数学二次函数知识总结二次函数是中学数学中的重要内容，它在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
初中阶段，学生首次接触到二次函数，因此需要对二次函数的相关知识进行总结和掌握。
本文将对初中数学二次函数的知识进行系统总结，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
一、二次函数的基本定义和图像特征1. 二次函数的定义二次函数是形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2. 二次函数的图像特征(1) 开口方向：二次函数的开口方向由a的正负确定。
- 当a > 0时，二次函数的图像开口向上；- 当a < 0时，二次函数的图像开口向下。
(2) 最值：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，若a>0，则f(x)的最小值为c，该函数没有最大值；若a<0，则f(x)的最大值为c，该函数没有最小值。
(3) 对称轴和顶点：二次函数的对称轴为x=-b/2a，对称轴上的点称为顶点。
- 当a > 0时，顶点为最小值点；- 当a < 0时，顶点为最大值点。
二、二次函数图像的平移和伸缩变换1. 平移变换：二次函数图像的平移是在x轴和y轴方向上的移动。
(1) 左右平移：f(x)平移了h个单位长度，得到f(x-h)。
若h > 0，则图像向右平移；若h < 0，则图像向左平移。
(2) 上下平移：f(x)上下平移了k个单位长度，得到f(x)+k。
若k > 0，则图像向上平移；若k < 0，则图像向下平移。
2. 伸缩变换：二次函数图像的伸缩是在x轴和y轴方向上的变化。
(1) 横向伸缩：f(x)横向伸缩为f(px)。
当0 < p < 1时，图像在x轴方向上被压缩；当p > 1时，图像在x轴方向上被拉伸。
(2) 纵向伸缩：f(x)纵向伸缩为pf(x)。
当0 < p < 1时，图像在y轴方向上被压缩；当p > 1时，图像在y轴方向上被拉伸。
二次函数的图象及性质1
都是要害我の.我不上你们の当！ 你也没有本领给我报仇.小姐.小姐.你好狠啊！我变作厉鬼也不饶你！哈哈.对了.对了！我就是用这个法子报仇.我变了厉鬼.拘你の魂.夺你の魄.抓你去见阎工！ 刹时间她又似喝醉了酒.神智迷糊.手舞足蹈.跄跄踉踉地向芜湖女子抓来.芜湖女子轻轻闪过. 她抓了几抓.没有抓中.忽地如疯如狂.双手向一个人头皮乱抓.登时头发尽都脱落.头皮也几片几片抓了下来.神情却似得意之极.不住叫道.抓你去见阎王.抓你去见阎王！ 芜湖女子不忍见她多受痛苦.柔声说道.你去吧.我会替你抓她去见阎王の.双指在她太阳穴几弹.只见她登时直立不动.再 无气息.但两只眼睛却还是睁得大大の没有闭上.转眼之间.七窍之中都流出了血来.在座の群盗.个个都是杀人不眨眼の家伙.但见了如此恐怖の神情.人人都是不禁心里发毛. 芜湖女子の两个侍女上未.将沉香の尸体抬了出去. 带领陈柯及前来の那个侍女.忽地指着它骂道.你看见了么. 你看 见了么.你现在还能笑得出来么.要不足我们小姐及早救你.你也要像她这样死去！亏你还说高兴呢！你笑呀.你笑呀！ 你笑给我看看！哼.你这不识好歹、没有良心の东西！ 陈柯及十分难过.低下了头.它の难过.并不是由于那侍女の几顿臭骂.而是为了惨死の沉香.心里想道.但求连姐姐能 够脱身.我是愿意死在她の暗器之下の.但沉香可不愿意死啊！ 我中暗器の时候.已是落在女子の手中.连姐姐要与女子拼命.自难免殃及池鱼.我不怪她.但她为什么要杀掉一个人の侍女和忠仆.难道是当真为了灭口.唉.这侍女临终之际.口口卢声诅咒她.那是将她恨之入骨了！ 芜湖女子道. 不要骂了.叫它上来.待我问它.那侍女道.对.这姓耿の几定是那妖狐の情人.它中了那妖狐の暗器.还高兴得很呢.我看它几定知道妖狐の底细.只怕比她那两个侍女还要清楚. 陈柯及听那侍女说它是连清波の情人.面上几红.骂道.胡说八道.连姐姐是.是.是……它本想如实说出.连清波是怎样 于它有恩.是它の恩人.但转念几想.一个人の秘密何必说与女子知道.因而这恩人二字.到了口边.却吞吞吐吐地未曾完全吐出. 芜湖女子似乎甚不耐烦.说道.我不管她是你の什么人.情人也罢.仇人也罢.恩人也罢.亲人也罢.总之.你既然知道她の来历.就应该对我说出来！ 陈柯及冷笑着说. 你把我当作犯人.要迫问我の口供是不是. 你干脆把我杀了吧！它挺直身子.站在芜湖女子面前.双唇紧闭.任凭那些侍女恐吓喝骂.再也不肯开言. 芜湖女子怔了几怔.笑着说.这小子倒很倔强.挥几挥手.叫那些侍女退下.柔声说道.你都亲眼瞧见了.凡是知道她底细の人.哪管是服侍她多年の 侍女.她都狠得起心肠.下得如此毒手.你本来也要被她害死の.如今侥幸逃脱.你还要给她掩饰么. 陈柯及仍是闭口不言.芜湖女子叹道.可惜.可惜.可惜了你爹爹の半世苦心！陈柯及不由得心底里几凛.跳了起来.叫道. 你说什么.芜湖女子道.你爹爹青年の时候.本来是个名震江湖の大侠.它 为了光复故国.不惜屈志降心.假意投顺梁人.它半世苦心.留下了几份遗书给你.本意叫你做个忠臣义士.谁知你却迷恋美色.迷上妖狐！倘若你不知道她の来历那犹罢了.而你又是分明知道の.你不思报国.却迷上异族の妖狐.你说.你对得住死去の爹爹么.你忠贞智勇の爹爹.却有你这样不成材 の儿子.唉.这岂不是可惜呀.可惜！ 陈柯及叫道.原来我爹爹の遗书.是你搜去了.快拿来还我！芜湖女子道.你这样护那妖狐.我怎放心将这份遗书还你.怎么.话己至此.你还要为那妖狐掩饰么. 陈柯及怒道.连姑娘分明是大汉の女中英杰.你怎可含血喷人.骂她是异族妖狐！它脸皮嫩薄.在那 些侍女の取笑之下. 不知不觉地将连清波改称姑娘.不呼姐姐.那些侍女听了.掩口微笑. 芜湖女子冷冷说道.怎见得她是大汉の女中英杰.陈柯及朗声说道.你不过想知道连姑娘の来历而已.好.我就尽我所知.将她の来历告诉你.我不是怕你の恫吓.我是要给她辩白.你明白么. 芜湖女子笑着说. 其实.你把你一个人所知の都说出来.这不但是替你の连姐姐辩白.也是替你一个人辩白.你明白么.没人说你害怕の.你无须顾虑.说吧！芜湖女子正说对了陈柯及の心思.陈柯及不由得又是心底里几凛.想道.好厉害の女子.终于还是把我の话套出来了.但连姐姐身家清肉.来历光明.我说出来. 也好叫你们自知理亏. 当下陈柯及便即说道.连姑娘是信州人氏.她の爹爹是信州有名の拳师.怎扯得上与胡人有关.芜湖女子道.你怎么知道.陈柯及道.我外公楚大雄也是信州拳师.楚、连二家乃是通家之好.因此.因此……芜湖女子微笑着说.因此你才与连清波姐弟相称.是么.陈柯及脸上几 红.大声答道.不错.这义有什么可笑の呢. 芜湖女子道.你们两家交好.这是你娘亲告诉你の么.陈柯及证了几怔.说道.这是她亲口告诉我の.你们不相信她.我相信她！ 芜湖女子忽地向几个满面虬须の汉子几指.说道.你是信州人.你可知道信州有个姓连の拳师么.那虬须汉子站了起来.说道. 信州没有姓连の.更不用说是什么姓连の拳师.楚大雄拳师倒是有の.另几个汉子也站起来道.姓连の很是稀少.据我所知.这是几个冷
二次函数的像与性质
二次函数的像与性质二次函数是数学中一种重要的函数形式，它的图像是一个抛物线。
二次函数的像（range）及其性质在数学中有着重要的应用和研究价值。
本文将从定义、性质和应用三个方面深入探讨二次函数的像。
一、定义二次函数的标准形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
函数f(x)的自变量x为实数集（R），定值域y的取值范围便构成了该二次函数的像。
像是函数值的集合，即y的集合。
二、性质1. 像的范围由于二次函数的图像是一个抛物线，当抛物线开口向上时，其像的最小值为抛物线的顶点，而抛物线开口向下时，其像则为无穷大或无穷小。
因此，抛物线的像是有限集合或无穷集合。
2. 像的确定对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，可以通过求解f(x) = y的方程，即ax² + bx + c = y，来确定像的值。
由于二次函数是一个二次方程，因此像的值可以有多个。
3. 像的对称性二次函数的图像关于其顶点对称。
如果函数的顶点坐标为(x0, y0)，那么函数值f(x0 - h) 和 f(x0 + h) 关于y0对称。
这意味着，对于二次函数中像的取值y1，在顶点两侧距离顶点相等的两个像取值y2和y3必然也存在。
三、应用1. 物理应用二次函数的像和顶点与物理学中的运动问题密切相关。
例如，当我们考虑一个抛体的轨迹时，其运动方程为y = -gt²/2 + vt + h，其中g代表重力加速度，t代表时间，v代表初速度，h代表起始高度。
通过求解这个二次方程，可以得到抛体的高度随时间的变化，进而分析其运动状态。
2. 经济应用二次函数在经济学中也有广泛的应用。
例如，成本函数和收益函数常常采用二次函数形式进行建模。
利用二次函数的相关性质，可以帮助企业分析市场需求和经营策略，实现高效的资源配置和利润最大化。
3. 工程应用在工程学中，二次函数的像和性质也具有重要的应用价值。
第一节 二次函数的图像和性质-学而思培优
第一节 二次函数的图像和性质一、课标导航二、核心纲要1.二次函数的定义一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，且)0=/a 的函数，叫做二次函数， 注：(1)函数关系式必须是整式．(2)自变量x 的取值范围为全体实数，且最高次数是2．(3)a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，写各项系数时包括它前面的符号． (4)二次项系数a 不等于0． 2．二次函数解析式的表示方法(1)-般式：c b a c bx ax y ,,(2++=为常数，).0=/a(2)顶点式：k h a k h x a y ,,)(2（+-=为常数，),0=/a 其中（h ，k ）为顶点坐标．(3)交点式（两根式）：2121,0))((x x a x x x x a y 、（=/--=是抛物线与x 轴两交点的横坐标，即一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，对称轴为).221x x x +=注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 式，只有抛物线与x 轴有交点，即042≥-ac b 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．3．二次函数的图像和性质(1)二次函数k ax y ax y +==22、和2)(h x a y -=的图像和性质(2)二次函数k h x a y +-=2)(和c bx ax y ++=2的图像和性质4．二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便，一般来说，有如下几种情况： (1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式．(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式．(3)已知抛物线与z 轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式（两根式）． (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．5．二次函数c b a c bx x y .,(2++=α为常数且)0≠a 的图像与各项系数之间的关系 (1)二次项系数a ：a 的正负决定开口方向，︱a ︱的大小决定开口的大小 ①当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下； ②︱a ︱越大，开口越小，︱a ︱越小，开口越大．(2)-次项系数b ：在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．若a>0，则 ①当b>0时，,02<-a b 即抛物线的对称轴abx 2-=在y 轴左侧．②当b=0时，,02=-a b即抛物线的对称轴就是y 轴， ③当b<0时，,02>-a b 即抛物线的对称轴abx 2-=在y 轴的右侧．注：“左同右异”，即当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．(3)常数项c ：决定抛物线与y 轴交点的位置①当c>0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴的正半轴相交， ②当c=0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线经过原点．③当c<0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴的负半轴相交，总之，只要a,b ，c 都确定，那么这条抛物线的形状及在坐标平面中的位置就是唯一确定的． 6．抛物线的特殊位置与系数的关系(1)顶点在x 轴上;042=-⇔ac b (2)顶点在y 轴上;0=⇔b (3)顶点在原点;0==⇔c b (4)抛物线经过原点.0=⇔c 7．二次函数图像的变换(1)二次函数的平移变换，平移规律：“上加下减、左加右减”． ①一般式的平移将抛物线c bx ax y ++=2向上平移m 个单位，得.2m c bx ax y +++= 将抛物线c bx ax y ++=2向下平移m 个单位，得.2m c bx ax y -++= 将抛物线c bx ax y ++=2向左平移m 个单位，得.)()(2c m x b m x a y ++++= 将抛物线c bx ax y ++=2向右平移m 个单位，得.)()(2c m x b m x a y +-+-= ②顶点式的平移将抛物线k h x a y +-=2)(向上平移m 个单位，得.)(2m k h x a y ++-=将抛物线k h x a y +-=2)(向下平移m 个单位，得.)(2m k h x a y -+-=将抛物线k h x a y +-=2)(向左平移m 个单位，得.)(2k m h x a y ++-=将抛物线k h x a y +-=2)(向右平移m 个单位，得.)(2k m h x a y +--=(2)二次函数的对称变换 ①关于x 轴对称抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称后，得到的抛物线是.2c bx ax y ---=抛物线k h x a y +-=2)(关于x 轴对称后，得到的抛物线是.)(2k h x a y ---=②关于y 轴对称抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称后，得到的抛物线是.2c bx ax y +-=抛物线k h x a y +-=2)(关于y 轴对称后，得到的抛物线是.)(2k h x a y ++=③关于原点对称抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称后，得到的抛物线是.2c bx ax y -+-=抛物线k h x a y +-=2)(关于原点对称后，得到的抛物线是.)(2k h x a y -+-=④关于顶点对称抛物线c bx ax y ++=2关于顶点对称后，得到的抛物线是⋅-+--=ab c bx ax y 222抛物线k h x a y +-=2)(关于顶点对称后，得到的抛物线是.)(2k h x a y +--=*⑤关于点（m ，n ）对称抛物线k h x a y +-=2)(关于点（m ，n ）对称后，得到的抛物线是.2)2(2k n m h x a y -+-+-=根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此laI 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，一般先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．8．求抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 的顶点和对称轴的方法(1)公式法：)0(2=/++=a c bx ax y 的顶点是),44,2(2a b ac a b --对称轴是直线⋅-=ab x 2(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2)(的形式，得到顶点为（h ，k ）， 对称轴是直线.h x =(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴是抛物线与x 轴的两交点所连线段的垂直平分线，对称轴与抛物线的交点是顶点．9．求二次函数)0(.2=/++=a c x b ax y 最值的方法(1)若自变量x 的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值（或最小值），即①若a>0，当a b x 2-=时，;442a b ac y -=最小值②若,0<a 当ab x 2-=时，⋅-=a b ac y 442最大值(2)若自变量的取值范围是,21x x x ≤≤且.0>a①若a b x 2-=在自变量取值范围21x x x ≤≤内，如下左图，当ab x 2-=时，;442a b ac y -=最小值当1x x =时，.121c bx ax y ++=最大值②若ab x 2-=不在自变量取值范围21x x x ≤≤内，如下右图，当1x x =时，;121c bx ax y ++=最小值 当x 2x =时，.222c bx ax y ++=最大值10.数学思想(1)数形结合； (2)分类讨论，本节重点讲解：一个定义，一个性质（二次函数的图像和性质），一个关系（图像与系数之间的关系），两个方法（求对称轴、顶点和最值的方法），两个变换（平移和对称变换），两个思想，三个形式（解析式的形式）．三、全能突破基 础 演 练1．若562)1(--+=m m x m y 是二次函数，则m=( )．7.A 1.-B 71.或-C D ．以上都不对2．(1)抛物线1)6(32-+-=x y 的对称轴是直线( )．6.-=x A 1.-=x B 1.=x C 6.=x D(2)若抛物线a x x y ++=22的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是( )．1.>a A 1.<a B 1.≥a C 1.≤a D(3)已知抛物线)0()1(2=/+-=a h x a y 与x 轴交于)0,3(),0,(1B x A 两点，则线段AB 的长度为( )．1.A2.B3.C4.D3．设),2(),,1(),,2(321y C y B y A -是抛物线a x y ++-=2)1(上的三点，则321y y y 、、的大小关系为( )．321y y y A >>⋅ 231y y y B >>⋅ 123y y y C >>⋅ 213y y y D >>⋅4．(1)要得到4)3(22-+-=x y 的图像，需将抛物线22x y -=作如下平移( )．A ．向右平移3个单位，再向上平移4个单位B ．向右平移3个单位，再向下平移4个单位C ．向左平移3个单位，再向上平移4个单位D ．向左平移3个单位，再向下平移4个单位(2)已知22x y =的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( )．2)2(22+-=⋅x y A 2)2(22-+=⋅x y B 2)2(2.2--=x y C 2)2(22++=⋅x y D(3)顶点为（-5，-1），且开口方向、形状与函数231x y -=的图像相同的抛物线是( )． 1)5(312+-=⋅x y A 5312--=⋅x y B 1)5(312-+-=⋅x y C 1)5(312-+=⋅x y D5．二次函数322--=x x y 的最小值是 ，此时=x6．(1)请选择一组你喜欢的a 、b 、c 的值，使二次函数)0(2=/++=a c bx ax y 的图像同时满足下列条件：①开口向下，②当x<2时，y 随x 的增大而增大；当x>2时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是(2)二次函数,542+-=mx x y 当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增 大，则当1-=x 时，y 的值是7．在同一平面直角坐标系中，一次函数b ax y +=和二次函数bx ax y +=2的图像可能为( )．8．已知，图22 -1-1所示是二次函数c bx ax y ++=2的图像，判断以下各式的值是正数还是负数．.)7(;)6(;2)5(;4)4(;)3(;)2(;)1(2c b a c b a b a ac b c b a +-+++-9．根据给定条件求出下列二次函数解析式： (1)已知二次函数图像的顶点是（-2，1），且过点(-1，-1)． (2)已知二次函数n mx x y ++=2的图像过(-4，O)，(-1，0).(3)二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点(0，-1)，(3，2)，(1，- 2).能 力 提 升10.如图22 -1-2所示，在Rt△ABC 中，,3,5,90cm BC cm AB C ===∠动点P 从点A 出发，以每秒lcm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止，设,2PC y =运动时间为t 秒，则能反映y 与t 之 间函数关系的大致图像是( )．11.如图22 -1-3所示，抛物线3)2(21-+=x a y 与1)3(2122+-=x y 交于点A(l ，3)，过点A 作x 轴的 平行线，分别交两条抛物线于点B 、C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 。
二次函数的性质
二次函数的性质二次函数是数学中常见且重要的一类函数。
它的一般形式为 y =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，而 x 是变量。
二次函数的性质包括定义域、值域、顶点坐标、对称轴、开口方向和图像特征等方面。
本文将逐一讨论这些性质。
定义域和值域对于任意的二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的定义域为全体实数集 R。
这是因为实数域任何一个实数都可以代入二次函数中进行计算，因此二次函数在整个实数轴上都有定义。
而值域则取决于二次函数的开口方向。
顶点坐标与对称轴二次函数的顶点坐标是其图像的最高点或最低点坐标。
可以通过求导数或完成平方运算等方法求得二次函数的顶点坐标。
对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，其顶点的横坐标为 x = -b / (2a)，纵坐标为 y = -Δ / (4a)，其中Δ = b^2 -4ac 称为判别式。
根据判别式的正负性，可以判断二次函数的开口方向和顶点的位置关系。
当判别式Δ > 0 时，二次函数开口向上，顶点位于抛物线上方；当判别式Δ < 0 时，二次函数开口向下，顶点位于抛物线下方；当判别式Δ = 0时，二次函数开口向上或向下，顶点位于抛物线上。
对称轴是二次函数图像的中心轴线，其方程为 x = -b / (2a)。
二次函数的图像相对于对称轴是对称的，即对称轴将图像分成两个相等的部分。
开口方向二次函数的开口方向受二次项系数a 的正负性质影响。
当a > 0 时，二次函数开口向上；当 a < 0 时，二次函数开口向下。
图像特征二次函数的图像是一个抛物线。
根据开口方向的不同，二次函数的图像可能是面向上方或下方的弯曲曲线，也可能是特殊案例的直线。
对于一般的二次函数 y = ax^2 + bx + c：当 a > 0 时，图像为面向上方的抛物线；当 a < 0 时，图像为面向下方的抛物线；当 a = 0 时，图像为一条直线。
二次函数的图象与性质(二)
4.已知二次函数 已知二次函数y=x2+ax+a-2. 已知二次函数 证明:不论 为何值,抛物线 不论a为何值 ⑴证明 不论 为何值 抛物线 y=x2+ax+a-2的顶点 总在 轴的下方 的顶点Q总在 轴的下方. 的顶点 总在x轴的下方 设抛物线y=x2+ax+a-2与y轴交于点， 轴交于点， ⑵设抛物线 与 轴交于点 如果过点C且平行于 且平行于x轴的直线与该抛 如果过点 且平行于 轴的直线与该抛 物线有两个不同的交点,并设另一个交 物线有两个不同的交点 并设另一个交 点为D.问 △ 能否是等边三角形? 点为 问:△QCD能否是等边三角形 能否是等边三角形 若能,请求出相应的二次函数解析式 请求出相应的二次函数解析式,若 若能 请求出相应的二次函数解析式 若 不能,请说明理由 请说明理由; 不能 请说明理由 的已知条件下,又设抛物线与 又设抛物线与x轴 ⑶在⑵的已知条件下 又设抛物线与 轴 的交点之一为A,则能使 则能使△ 的交点之一为 则能使△ACD的面积等 的面积等 于1/4的抛物线有几条 请证明你的结论. 的抛物线有几条?请证明你的结论 的抛物线有几条 请证明你的结论
3. 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有 与 轴有 两个交点(x 两个交点 1,0),(x2,0). ⑴当两个交点 在y轴的右侧 轴的右侧 ⑵当两个交点 在y轴的右侧 轴的右侧 ⑶当两个交点 在y轴的右侧 轴的右侧
4. 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有 与 轴有 两个交点(x 两个交点 1,0),(x2,0)，则对称轴是直 ， . 线x= 已知抛物线上有四个点（-3，m）， 已知抛物线上有四个点（ ， ）， ），（-6， ），（ ），（1， ）， （4，8），（ ，n），（ ，m）， ， ），（ . 则n=
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２００９年第８期 福建中学数学 ｌ５
（２１１１，２２１，２１２），与３级楼梯爬法总数相同，根
据分类计数原理， ＝５＋３＝ ＋ ．推而广之， 级
楼梯，若第一步上１级，则剩下 一１级，有 ，种
爬法；若第一步上２级，则剩下 一２级，有 ，种
爬法，故 ＝ 一。＋ 一：（，２≥２）．
２．变式
假设一个人爬楼梯每一步可以上１级或２级或３
级．问：这个人爬 级楼梯可以有多少种方法？
显然， ＝ 一 ＋ 一２＋ ３（ ≥３）．
３．组合数视角
考察原题，每一步上１级或２级．以爬３级楼梯
为例。若用３步，只有１种爬法：每一步上ｌ级（上
２级的有０步），爬法数为 ；．若用２步，有２种爬
法：一步上１级，另一步上２级，爬法数为ｄ，故
爬３级楼梯爬法数为 ＋ ．同理，
爬４级楼梯： ＋ ＋ ，
爬５级楼梯： ＋ ＋ ，……
爬 级楼梯： ＋ ．＋…＋ 一 （ｆ≤ ）
４．杨辉三角形：直观表征
用杨辉三角形来表征这个问题更加直观（图２、
图３）
图３
参考文献
【ｌ】中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准
（实验）．北京：人民教育出版社，２００３
二次函数的一个有趣性质
吕伟波
江苏省运河高等师范学校（２２１３００）
我们知道，对于函数厂（ ）＝ ＋ ＋ｃ（口、６、
ｃ为实数且日≠０），当△＝６ 一４口ｃ≥０时，厂（ ）＝０
有实数根，而当△＝６ 一４ ｃ＜０时，厂（ ）＝０没有
实数根．本文给出当△＜０时厂（ ）的一个有趣性质．
△＜０时，厂（ ）有两个共轭虚根，设这两个虚根 是ｐ±ｇｆ，则有如下结论：＿厂（ｐ＋ｇ）＝＿厂（ｐ—ｑ）． 例如，厂（ ）＝ —６ ＋１３有两个虚根３±２ｆ， ３＋２＝５，３—２＝１，＿厂（５）＝８，／’（１）＝８． 又如厂（ １＝ ＋６ ＋１０有两个虚根一３± ， 一３＋１＝一２，一３—１＝—４，＿厂（一２）＝２，／‘（一４）＝２． 下面证明这一结论的正确性． 因为ｐ±ｇ 是／（ｘ）的两个共轭虚根，所以 ａ（ｐ＋ｇｆ） ＋６（ｐ＋ｇ ）＋ｃ＝０， 口（ｐ—ｇ ） ＋６（ —ｑｆ）＋ｃ＝０， 把这两个式子展开后得： ＋２印ｑ 一口口 ＋ ＋６ｑｆ＋ｃ：０…（１） —２ ｇ —ａｑ ＋ 一６ｇｆ＋ｃ＝０…（２） （１）一（２）得４ ｇ ＋２６ｇ ＝０，
即２ ｇ＋ ＝０…（３）
而／（ｐ＋ｇ）：ａ（ｐ＋ｇ） ＋６（ｐ＋ｇ）＋ｃ
＝ ＋２印ｇ＋叼。＋ ＋幻＋ｃ…（４）
厂（ｐ—ｇ）＝口（ｐ—ｇ） ＋６（ｐ—ｇ）＋ｃ
＝ 一
２ ｇ＋叼 ＋ 一幻＋ｃ…（５）
（４）一（５）得
＿厂（ｐ＋ｇ）一，（ｐ—ｇ）＝４ ｇ＋２６ｑ＝２（２ ｇ＋６ｇ），
由（３）式立得＿厂（ｐ＋ｇ）一ｌ厂（ｐ—ｑ）＝０，
即ｌ厂（ｐ＋ｑ）：／（ｐ—ｇ）．证毕．