浅谈类比思想在高等数学中的应用

, ,
识 结构为基础 口 由浅人深 使学 生主 动构 建新矢 识
可 获得 以 学 生原有 的认 以 学 生 为 主 体 的 探索 实 践 为核 心 由此 及 彼
, ,
,
特 殊 的 若使用 类 比 思想 方法 进行 建构 那 么 就无 需遵 从 以 上 步 骤 这时 可 以 直接根据所 给 对 象 的某 些 显 著特 征来 确
。
可 类 比构 建
1
+
例
。
比如 说 2
,
4
=
8
:
16
,
人们 称 之 为 2 比 4 与 8 比 1 6 可
,
1
+
1
+ … +
1 7
作类 比 后 来 通过 引 申 和泛 化 们 常 说的 类 比
的比 值
,
把 意思 演化为类 型 相 似
,
简
单来 说 在 某 些方 面 形 式 相 似 的 两种对 象之 间的 比较 就是 我
知 识文 库
第
20
期
浅 谈 类 比 思 想 在 高等数 学 中 的应 用
施
l
静
,
李巧 仪
,
2
引言
。
似 特 征 的另一对 象 物
;
:
。
依据 它 们 之 间的相 似性
合 理 选择类 比
人们 在 学 习 数 学 知 识 和 传 授 数 学知 识 时都 必须经 历 探
索 感知 和 发 现的过 程 研 究 数 学 的过 程是我们 不 断经历 再 发 现 的 过程 著名 的 法 国数 学 家拉 普 拉 斯 曾说过 这 样 的一句
x 【 ] 时 y
,
,
可通过三 维 向量 空 间 中 的 “ b 的 数 量 积 “
,
b 类
比 得到 以 下 性质
这 里 他们有类似 的定 义
,
都是对应 分 量 相
程为
:
乘再 相 加
:
。
步骤 一
由被 研 究对 象 的某 些 特 征联 想 到 具 有 相 同或 相
知 识文 库
第
,
在 线性 空 间 中 直线是一维 空 间 平 面是二维 空 间 体 是 三 维 空 间 依次类推 我们 有 n 线性 空 间
, , , ,
,
立
。
物 的属 性
A
B
C
,
所 以 类 比 的 一般 模 式 为
a
、 、
:
在 研 究某 个 维 数 较高 的 问题 时
,
我们 可 以 先考虑 是 否存
。
若 事 物具 有性质 ’b 事物 具 有性质 ’a
,
激发 学 生 的学 习 热情
, ,
,
增
定类 比 的 方 向
1
+
,
从 而 进 行 与 之相 似 的建 构
t
。
口 女
一
强 他们 的 学 习 目 的 和学 习 效 果 ; 利 用 类 比 思想 过 对 旧 知识体 系 与待解 决 问 题之 间的联 系
可使 学 生通
I
,
1
+
1
+
以 旧 知识 体 系 作
为基 础
,
。
步骤 二 明确类 比 物与 研 究对 象之 间 的相 似性 ; : 步 骤三 根据 上 一 步 明 确 的 相 似性规律 对结 论 进 行 合 理
的 假设 和 猜 想
, ,
话
:
类 比 和 归纳一 样 是 探索数 学真 理 发 现数 学真 理 的主要
,
。
工 具之 一
。
在 数 学 中利 用 类 比 思想
,
一方 面 的属性 ( 结构
关 系 特 征 内容等 ) 的相 似 比 或者 相 同 之处 较 多 从 而 猜 测 他们 在 其 他方 面 的属 性也 可
,
,
直接找到解 决 方法
问 题的 类 比问 题
这 时就 可 以 用 类 比 思想 方法
先 寻 找该
。
该类 比 问 题 最 好 是 已 知知识 或者 比 原 问 题
同时 ’a
,
’b
、
C
,
、
’d
之 间也 存 在 与
相 似 的 关系 R ’
。
l x (
,
x Z
n ) … x
,
y
二
l (y
,
y
… y n )
,
,
的
由于 类 比 推 理 的结 论具 有或然性 若 两 个 对 象 的 已 知共 同属 性 越 多 那 么 推 理 所得 的结 论 就 越可 靠 进 行 类 比 的过
“
,
来 发 现和 探 究 新 问题
。
,
— — —
K
二
1
+
Z
2
K
3
3K 4
从而 激发 学 生 的思 维
“
提高
=
l
义
学 生的 数 学思 维能力 类比,来自(l 一n 一 1
—
(n
一
=
1一 二 + 二 一 二 + 二
l 二
十
n
l )n
一
I
n
”
一 词 来 源 于 希 腊文
:
n a
l a
g i o ’ a
’
,
愿 意之 一 为 比
, , ,
横 向类 比
,
横 向类 比 是 以 两种 数 学对 象 在 一 些方 面 具 有 相 似 的某 些构 造 和 性质为前 提 推断这两种 数 学对 象 的 构 造 和 性质 在
规律
,
得到新 知识
。
其 他一些方 面 也 相 似 3 1 1 降 维类 比
. .
。
2
类 比 的 一 般 模式与 过 程 由于 类 比 往往 是 从一 个 已 知事物 的属 性 推 测 另 一 个 事
能有 相 似或者 相 同 的推 理方 法
,
。
即 类 比 思想 就是 从 当前 的 问
,
容易求解
3 1
.
,
从 而通过 类 比 问 题 的 解法类 比 出原 问题 的解法
题 情 形出 发 通过 分析 找 出 类 比 情 形 中 的相 似点 并 以 之 为根 据 使新 知识 和 旧 知识之 间形 成合 理 的联 系 将 已 知对 象 的相 关 知识 和 经验迁移 到未 知对 象 中 将原 本熟悉 的 性质 迁移 到 陌 生的相 似对 象 当 中 通过 这一方法 可 以 帮助我们 发 现新
不
又
“
十 n 不了
是他们 之 间的相似 性 类比 的
。
我们 把 相 似 的两 种对 象认 为是 可 以 做 所谓 的类 比就是 通 过两 个研 究对 象某 地位
, , ,
类 比 思想 在 高等数 学 中 的应 用 有 时候会 因为 问题 比 较复杂
, ,
而现 代 认 为
,
在 数 学中
导 致一 时无法
、
b
,
、
C
、
d
且 它 们 之 间的 关 系 为
a
、
R
、
,
C
,
此 时如 果
B
b
、
C
与
’a
、
’ b
在 一 个 与 之 相 似 的 且较为熟 悉 的 问题
如我们 在 研 究 n 维线
性
d
。
空
二
间
,
中
了
,
两
个
Z
,
向
了
量 内 积
·
相似
,
,
那 么 我们就 可 以 推 想
、
也 具 有性质 ’d
R
,
且 ’d
与
x
相似
。
依次类 比 构 建 得
— — —
l
义
3
3
义
5
5
义
如 上 面 提 及 的两 个 比 例一 样
,
它们 具 有 相 同
一
—
(
n
=
n
一
2)
1 一 1 , 一 义 `且 一 Z
ù
、
人们就 认 为他们是 可 以 做 类 比 的
。
而相 同 的 比 值 就
艺
3
a [
+
仓 l t ( ) ] a
, ,
一
+
t )
写卜 土 )