数一真题标准答案及解析超强版
全国1数学真题答案及解析
全国1数学真题答案及解析全国1数学考试作为一个重要的考试科目，对于学生来说是一个挑战。
在备考过程中，真题练习是非常必要的，因为真题可以让学生更好地了解考试的难度和内容。
下面是对全国1数学考试的一些真题答案及解析，希望能够帮助大家更好地备考。
题目一：已知函数f(x) = √(sinx + cosx)，求函数f(x)的最小值。
解析:我们知道，当一个函数的最小值存在时，它对应的导数为零。
所以我们先求函数f(x)的导数。
设F(x) = sinx + cosx，则f(x) = √F(x)，对f(x)求导，我们得到：f'(x) = 1/2√F(x) * F'(x)。
根据链式法则，我们知道F'(x) = cosx - sinx。
所以f'(x) = 1/2√(sinx+cosx) * (cosx - sinx)。
令f'(x) = 0，我们可以得到cosx - sinx = 0，即cosx = sinx。
解这个方程可以得到x = π/4 + kπ (k为整数)。
然后我们将这些解代入f(x)中，可以得到在这些解点上，f(x)取得最小值。
所以函数f(x)的最小值为f(π/4 + kπ) = √2/2。
题目二：已知数列{an}满足a(n+2) = 8a(n+1) - 15an，其中a1 = 2，a2 = 5，求a2018。
解析：为了得到a2018，我们需要先找到数列的通项公式。
假设数列的通项公式为an = x^n。
把这个通项公式带入原数列的递推式中，我们可以得到：x^(n+2) = 8x^(n+1) - 15x^n。
我们可以继续化简这个式子，得到：x^2 = 8x - 15。
这是一个关于x的二次方程，解这个方程我们可以得到两个根：3和5。
所以通项公式an = A*3^n + B*5^n，其中A和B为待定系数。
为了确定A和B的值，我们还需要利用已知条件。
根据已知条件a1 = 2和a2 = 5，我们可以得到两个等式：2 = 3A + 5B ---- (1)5 = 9A + 25B ---- (2)解这个方程组可以得到A = 1/2，B = 1/2。
1998-数一真题、标准答案及解析
1998年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题（1）22limx x→+=.【答】1 4−.【详解1】用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换，)2222421lim4112lim.24xxxxxx→→→−=−=−==−原式211~2x−【详解2】采用洛必达法则，00lim4x xxxx→→→→⎯⎯→==⎯⎯→原式注：()10x→→可求出【详解3】采用()1uλ+的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当0u→时()()()22111,2!u u u o uλλλλ−+=+++所以0x→时()()2222111,28111,28x x o xx x o x⎛⎞=++−+⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−+−+⎜⎟⎝⎠于是()()2222022011111122828lim 1 lim 414x x x x x x o x x o x x →→+−+−−+−⎛⎞⎜⎟=−+⎜⎟⎝⎠=−原式= （2）设 ()()1,,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数，则2zx y∂=∂∂ . 【答】 ()()()'''''yf xy x y y x y ϕϕ++++.【详解】()()()()()()()()()()()''22''''''''''''1,11z yf xy f xy y x y x x x z f xy f xy yf xy x y y x y x yx x yf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ∂=−+++∂∂=−++++++∂∂=++++（3）设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则()22234lxy x y ds ++=∫v . 【答】 12.a【详解】 以l 为方程221,43x y +=即223412x y +=代入，得()()2223421221212,lllxy xy ds xy ds xyds a a ++=+=+=∫∫∫v v v其中第一个积分，由于l 关于x 轴对称，而xy 关于y 为奇函数，于是lxyds ∫v ＝0.（4）设A 是n 阶矩阵，*0,A A ≠为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则()2*A E +必有特征值 .【答】 21A λ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠.【详解】 设()0,Ax x x λ=≠则()111,0AA x x A A x x x λλ−−=⇒=≠即 *,AA x x λ=从而 ()22*,A Ax x λ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠()22*1,0,A A E x x x λ⎡⎤⎛⎞⎡⎤⎢⎥+=+≠⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎠⎣⎦可见 ()2*A E +必有特征值 21A λ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠（5）设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,y x x e ===所围成，二维随机变量(),X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(),X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为 . 【答】14. 【详解】 区域D 的面积为22111112.e e x D S dx dy dx x===∫∫∫于是 (),X Y 的联合概率密度为()()1,,,20, x y Df x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他其关于x 的边缘概率密度为()()12011,1220, x X X dy x e f x f x dy x+∞−∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩∫∫其他 故 ()124X f =.二、选择题（1）设()f x 连续，则()220x d tf x t dt dx−∫等于 （A ）()2xf x(B)()2xf x − （C ）()22xf x （D ）()22xf x −【 】【答】 应选（A ）.【详解】 作变量代换22u x t =−，则()()()()()2202200221122122x x x d d d tf x t dt f u du f u du dx dx dx f x x xf x ⎡⎤−=−=⎢⎥⎣⎦=⋅=∫∫∫（2）函数()()232f x x x x x =−−−不可导点的个数是（A ）3. （B ）2. （C ）1. （D ）0.【 】【答】 应选（B ）. 【详解】 因为()()()()()()2322111,f x x x x x x x x x x =−−−=−+−+可见()f x 在0,1x =处不可导，而在1x =−处是可导的， 故 ()f x 的不可导点的个数为2.（3）已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy x α=++++且当0x →+时，α是x +的高阶无穷小，()0y π=，则()1y 等于（A ）2π. （B ）π. （C ）4e π. （D ）4e ππ【 】【答】 应选（D ）. 【详解】 由2,1y xy xα=++++，有 2.1y y x x xα=+++++ 令0x →+，得 '21yy x=+， 解此微分方程并利用初始条件由()0,y π=得arctan xy e π=故 ()arctan 41.xy ee πππ==（4）设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的，则直线333121212x a y b z c a a b b c c −−−==−−−与直线 111232323x a y b z c a a b b c c −−−==−−− （A ）相交于一点. （B ）重合. （C ）平行但不重合. （C ）异面.【 】【答】 应选（A ）.【详解】 设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的，所以通过行初等变换后得矩阵 121212232323333a a b b c c a a b b c c a b c −−−⎡⎤⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦仍是满秩的，于是两直线的方向向量 {}{}11212122232323,,,,S a a b b c c S a a a a c c =−−−=−−−线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合.又()111,,a b c 、()333,,a b c 分别为两直线上的点，其连线向量为:{}1313131,,S a a b b c c =−−−,满足312S S S =+.可见三向量123,,S S S 共面，因此12,S S 必相交，即两直线肯定相交.（5）设A B 、是两个随机事件，且()()()()01,0,||P A P B P B A P B A <<>=,则必有 （A ）()()||P A B P A B = (B)()()||P A B P A B ≠ (C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P AB P A P B ≠.【 】【答】 应选（C ）.【详解】 由条件概率公式及条件()()||P B A P B A =，知()()P ABP AB P A P A =于是有()()()()()()()1P AB P A P A P AB P A P B P AB −==−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 可见 ()()()P AB P A P B = 故选（C ）.三、求直线11:111x y z l −−==−在平面:210x y z π−+−=上投影直线0l 的方程，并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程. 【详解1】过直线l 作一垂直于π的平面1π，其法向量既垂直于l 的方向向量{}1,1,1s =−，又垂直于π的法向量{}1,1,2n =−，可用向量积求得111132.112ij kn s n i j k =×−=−−− 又()1,0,1为直线l 上的点，所以该点也在平面1π上，由点法式得1π的方程为()()13210,x y z −−−−=即3210x y z −−+=.从而0l 的方程为 0210:3210x y z l x y z −+−=⎧⎨−−+=⎩将0l 写成参数y 的方程： ()2112x y z y =⎧⎪⎨=−−⎪⎩ 于是直线绕y 轴旋转所得旋转曲面方程为：()()22221212x z y y ⎡⎤+=+−−⎢⎥⎣⎦即 2224174210.x y z y −++−= 【详解2】用平面束方法，直线11:111x y z l −−==−的方程可写为 1010x y y z −−=⎧⎨+−=⎩ 于是过l 的平面方程可写成()110,x y y z λ−−++−=即 ()110.x y z λλλ+−+−−= 在其中求出平面1π，使它与π垂直，得()1120,λλ−−=−=解得2,λ=−于是1π的方程为()()13210,x y z −−−−= 即3210x y z −−+=以下同解法一.四、确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量()()()42242,2A x y xy x yi x x y j λλ=+−+为某二元函数(),u x y 的梯度，并求(),u x y . 【详解】 令()()()()42242,2,,,P x y xy x yQ x y xxyλλ=+=−+由题设，有Q Px y∂∂=∂∂ 即 ()()42410.x x yλλ++=可见，当且仅当1λ=−时，所给向量场时梯度场，在0x >在半平面内任取一点，比如点()1,0作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有()244210220,0 arctan .xy x x u x y dx Cx x y yC x⋅=−+++=−+∫∫其中C 为任意常数.五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y （从海平面算起）与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水比重为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为()0k k >.试建立y 与v 所满足的微分方程，并求出函数关系式().y y v =【详解】 取沉放点为原点,O Oy 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得22,d ym mg B kv dtρ=−− 这是可降阶的二阶微分方程，其中dy v dt=. 令,dy v dt=则 22,d y dv dy dv v dt dy dt dy =⋅=于是原方程可化为,dvmvmg B kv dyρ=−− 分离变量得,mvdy dv mg B kvρ=−−积分得()()2ln m mg B my v mg B kv C k k ρρ−=−−−−+ 再根据初始条件00,|y v==得 ()()2ln ,m mg B C mg B kv kρρ−=−− 故所求函数关系为 ()2ln .m mg B m mg B kv y v k k mg B ρρρ−−−=−−− 六、计算()()212222,axdydz z a dxdyxy z∑++++∫∫其中∑为下半球面z =a 为大于零的常数. 【详解1】添加一平面区域后用高斯公式进行计算()()()22122221.axdydz z a dxdyI axdydz z a dxdy a xy z∑∑++==++++∫∫∫∫ 补一块有向平面2221:0x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩，其侧与z 轴负向一致，于是有()()()()1122244204003111 321 221 22 .2Da I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a a a z dV a dxdy a a zdV a a a d rdr zdzaa ππππθπ∑+∑∑ΩΩ=++−++⎛⎞=−++⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−−+⎜⎟⎝⎠=−−=−∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫w【详解2】 直接分块计算：()()()()221222221211 .axdydz z a dxdyI axdydz z a dxdy a xy zxdydz z a dxdy I I a ∑∑∑∑++==++++=++=+∫∫∫∫∫∫∫∫其中12,DyzI xdydz ∑==−∫∫∫∫yz D 为yOz 平面上的半圆：222,0.y z a z +≤≤利用极坐标，得(3122.1 ,xyD I a I a dxdy a ∑===−∫∫xy D 为xOy 平面上的圆域：22x y a +≤。
09数一考研真题答案解析
09数一考研真题答案解析导言：考研是许多大学生追求更高学历的选择，而09数一考研真题作为历年来备受关注的试卷之一，对于考研生们来说具有很高的参考价值。
本文将针对09数一考研真题进行细致解析，帮助考生更好地理解和掌握考试知识。
第一部分：单选题01. 题目：设f（x）=ax^3 + bx^2 + cx + d，下列四个结论中正确的是（）A. 若f（x）的图像与x轴交于四个不同的点，则必有x0，使f （x0） = 0B. 若f（x）的图像与x轴交于两个不同的点，则必有x0，使f （x0） = 0C. 若f（x）= 0有三个不同的实根，则f（x）的图像必与x轴交于四个不同的点D. 设f（x0） <0，f（x1） <0，其中x1 = x2 = x0 + h，则f （x）的图像与x轴交于两点解析：该题考查了函数零点与函数图像的关系，通过观察四个选项中与函数图像的交点个数和函数值的关系，可以发现答案选项B是正确的。
因为当函数图像与x轴交于两个不同的点时，必然存在一个x值，使得函数值为零。
因此，正确答案为B。
第二部分：填空题02. 题目：记Tn = 1 + 2 + 3 + … + n，则n ≤ Tn×T_(n+1) < 2n, n的最大整数值是____。
解析：根据题目可知，Tn为自然数1到n的连续和，所以Tn的值为等差数列求和公式Sn = (首项 + 末项) × 项数÷ 2的结果。
等差数列首项为1，末项为n，项数为n个。
因此，Tn = n × (1 + n) ÷ 2。
代入不等式中可得：n ≤ n × (1 + n) ÷ 2 × T_(n+1) < 2n。
通过简单计算和观察可以发现，当n为1时，等式恒成立，而n为正整数时不等式不成立。
所以，最大整数值n为1。
第三部分：解答题03. 题目：已知数列{an}，其中an = n^2 / （n + 1），求证数列{an}为递增数列。
2009-数一真题、标准答案及解析
1D 1D D 4-12D 31-1kk⎰⎰ k2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.（1）当 x → 0 时， f ( x ) = x - sin ax 与 g ( x ) = x 2 ln (1- bx ) 等价无穷小，则11(A) a = 1, b = - .(B) a = 1, b = .6 611(C) a = -1, b =- .(D) a = -1, b = .66（2）如图，正方形{( x , y ) x ≤ 1, y ≤ 1} 被其对角线划分为y四个区域 D (k = 1, 2, 3, 4) ， I =y cos xdxdy ，则max {I } =1≤k ≤4D k(A) I 1 .(B) I 2 . (C) I 3 .(D) I 4 .x（3）设函数 y = f ( x ) 在区间[-1, 3] 上的图形为则函数 F ( x ) =⎰0f (t ) dt 的图形为f (x )1O -2-1(A)(B)23xf (x )1 -2O -112 3xf (x )1-2O 1 2 3-1x1n →∞1 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭B O ⎪(C)(D)（4）设有两个数列{a n },{b n }，若lim a n = 0 ，则∞∞∞∞（A ）当∑bn 收敛时， ∑a n bn 收敛.（B ）当∑bn 发散时， ∑a n bn 发散.n =1 n =1n =1 n =1∞∞∞∞(C)当∑ b 收敛时， ∑a 2b2收敛.(D)当∑ b 发散时， ∑ a 2b2发散.nn =1n nn =1nn =1n nn =1（5）设α ,α ,α 是 3 维向量空间 R 3的一组基，则由基α , 1 α, α 到 基1 2 3α1 + α2 ,α2 + α3 ,α3 + α1 的过渡矩阵为⎛ 1 0 1 ⎫ 1 2⎛ 1 2 0 ⎫ 2 33 (A) 2 2 0 ⎪ .(B) 0 2 3 ⎪. ⎪ 0 3 3 ⎪ ⎪ 1 0 3 ⎪⎛ 11 - 1 ⎫⎛ 1 - 1 1 ⎫2 4 6 ⎪2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ (C) -1 1 1 ⎪ . (D) 1 1 - 1 ⎪ .2 4 6 ⎪ 1 1 1 ⎪ 4 4 4 ⎪1 1 1 ⎪ -2 4 6 - 6 6 6 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭**⎛ O A ⎫（6）设 A , B 均为 2 阶矩阵， A , B 分别为 A , B 的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3 ，则分块矩阵 ⎪ 的⎝ ⎭伴随矩阵为⎛ O 3B * ⎫⎛ O 2B * ⎫( A ) ⎪ .( B ) ⎪ .⎝ 2 A*O ⎭ ⎝ 3A*O ⎭⎛ O 3A * ⎫ ⎛ O 2 A * ⎫ (C ) ⎪ .( D ) ⎪ .⎝ 2B *O ⎭ ⎝ 3B*O ⎭1 ∂ z1 2 m n ∞ ∞⎛ x -1 ⎫（7）设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ 2 ⎪ ，其中Φ ( x ) 为标准正态分布函数，则⎝ ⎭ EX =(A) 0 .(B) 0.3 .(C) 0.7 .(D)1.（ 8 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N (0,1) ， Y 的概率分布为P {Y = 0} = P {Y = 1} = ，记 F Z ( z ) 为随机变量 Z = XY 的分布函数，则函数 F Z ( z ) 的间断点个数2为(A)0.(B)1. (C)2.(D)3.二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分.（9）设函数 f (u , v ) 具有二阶连续偏导数， z =2f ( x , xy ) ，则∂x ∂y= .（10）） 若二阶常系数线性齐次微分方程 y ' + ay ' + by = 0 的通解为 y = (C + C x ) e x ，则非齐次方程12y '' + ay ' + by = x 满足条件 y (0) = 2, y '(0) = 0 的解为 y = .（1） 已知曲线 L : y = x 2(0 ≤ x ≤ 2 )，则⎰Lxds = .（12）设Ω={( x , y , z ) x2+ y 2 + z 2 ≤ 1}，则 ⎰⎰⎰ z 2dxdydz = .Ω（13）若 3 维列向量α , β 满足α Tβ = 2 ，其中α T为α 的转置，则矩阵 βα T的非零特征值为.(14)设 X , X ,, X 为来自二项分布总体 B (n , p ) 的简单随机样本，X 和 S 2 分别为样本均值和样本方差. 若 X + kS 2为 np 2的无偏估计量，则 k = . 三、解答题：15~23 小题，共 94 分.（15）（本题满分 9 分） 求二元函数 f (x , y ) = x2(2 + y 2) + y ln y 的极值.（16）（本题满分 9 分）设 a 为曲线 y = x n 与 y = xn +1(n = 1, 2, ) 所围成区域的面积，记S 1 = ∑a n , S 2 = ∑a 2n -1 ，求 S 1 与 S 2 的值.n =1n =1□ 31 2 x 2（17）（本题满分 11 分）椭球面 S 1 是椭圆 +y 2 = 1绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 是过点(4, 0) 且与椭圆x 2 + y 2 =4 3431相切的直线绕 x 轴旋转而成.（Ⅰ）求 S 1 及 S 2 的方程（Ⅱ）求 S 1 与 S 2 之间的立体体积. （18）（本题满分 11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 f ( x ) 在[a , b ] 上连续，在(a , b ) 可导，则存在ξ ∈(a , b ) ，使得f (b ) - f (a ) = f '(ξ )(b - a )（Ⅱ）证明：若函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续，在(0,δ )(δ > 0) 内可导，且 lim x →0+f '( x ) = A ，则 f +' (0) 存在，且 f +' (0) = A .（19）（本题满分 10 分）计算曲面积分 I =⎰⎰∑xdydz + ydzdx + zdxdy(x2+ y 2 + z2 )2，其中∑ 是曲面2x 2 + 2 y 2 + z 2 = 4 的外侧.（20）（本题满分 11 分）⎛ 1 -1 -1⎫ ⎛ -1⎫ 设 A = -1 1 1 ⎪ ， ξ = 1 ⎪ .⎪ 1 ⎪ 0 -4 -2 ⎪ -2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（Ⅰ）求满足 A ξ = ξ 的ξ . A 2ξ = ξ 的所有向量ξ , ξ .2123123（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ2 , ξ3 证明ξ1 , ξ2 , ξ3 无关.（21）（本题满分 11 分）设二次型 f ( x , x , x ) = ax 2 + ax 2 + (a -1) x 2 + 2x x - 2x x1231231 32 3（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y 2+ y 2，求a 的值.（22）（本题满分 11 分）袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以 X ,Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.2（Ⅰ）求p{X = 1 Z = 0}；（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y )概率分布.⎧λ2 xe-λ x , x > 0（23）（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为 f(x)=⎨，其中参数λ(λ> 0) 未知，X1 ，⎩0,其他X,…X n 是来自总体X 的简单随机样本.2(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ的最大似然估计量.kk⎰⎰ k2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.（1）当 x → 0 时， f ( x ) = x - sin ax 与 g ( x ) = x 2 ln (1- bx ) 等价无穷小，则11(A) a = 1, b = - .(B) a = 1, b = .6 6 11(C) a = -1, b =- .(D) a = -1, b = .66【答案】 A.【解析】 f (x ) = x - sin ax , g (x ) = x 2ln(1- bx ) 为等价无穷小，则lim f (x ) = lim x - sin ax = lim x - sin ax 洛lim 1- a cos ax a 2 sin ax 洛lim x →0 g (x ) x →0 x 2 ln(1- bx ) x →0 x 2⋅ (-bx ) x →0 -3bx 2 x →0 -6bx= lim a 2 sin ax = - a 3= ∴ a 3 = -6b故排除(B)、(C).x →0 - 6b ⋅ ax 6ba另外lim x →0 1- a cos ax-3bx 2存在，蕴含了1- a cos ax → 0 ( x → 0) 故 a = 1. 排除(D). 所以本题选（A ）.（2）如图，正方形{( x , y )x ≤ 1, y ≤ 1} 被其对角线划分为四个区域 D (k = 1, 2, 3, 4) ， I =y cos xdxdy ，则max {I } =1≤k ≤4D k(A) I 1 . (B) I 2 . (C) I 3 .(D) I 4 .【答案】 A.x【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.D 2 , D 4 两区域关于 x 轴对称，而 f (x , - y ) = - y cos x = - f (x , y ) ，即被积函数是关于 y 的奇函数，所以I 2 = I 4 = 0 ;D 1, D 3 两区域关于 y 轴对称，而 f (-x , y ) = y cos(-x ) = y cos x = f (x , y ) ，即被积函数是关于 x 的偶函数，所以 I 1 = 2⎰⎰y cos xdxdy > 0 ；{( x , y ) y ≥x ,0≤x ≤1}1f (x )1-2 O 1 2 3xf (x )1 -2O 123xI 3 = 2⎰⎰y cos xdxdy < 0 .所以正确答案为(A).{( x , y ) y ≤- x ,0≤x ≤1}（3）设函数 y = f ( x ) 在区间[-1, 3] 上的图形为则函数 F ( x ) =⎰0f (t ) dt 的图形为f (x )-1(A)1O -2-1(B)23x-1(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y =f (x ) 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、 x = x 0 所围的图形的代数面积为所求函数 F (x ) ，从而可得出几个方面的特征：① x ∈[0,1] 时， F (x ) ≤ 0 ，且单调递减. ② x ∈[1, 2]时， F (x ) 单调递增.f (x )1 -2O -112 3xf (x )1 -1 O123x1→∞ 1→∞ ∞ 1 ⎝ ⎭⎝ ⎭③ x ∈[2, 3] 时， F (x ) 为常函数.④ x ∈[-1, 0] 时， F (x ) ≤ 0 为线性函数，单调递增. ⑤由于 F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为（D ）.（4）设有两个数列{a n },{b n }，若lim a n = 0 ，则n∞∞∞∞（A ）当∑bn 收敛时， ∑a n bn 收敛.（B ）当∑bn 发散时， ∑a n bn 发散.n =1 n =1n =1 n =1∞∞∞∞(C)当∑ b 收敛时， ∑a 2b2收敛. (D)当∑ b 发散时， ∑ a 2b2发散.nn =1n nn =1nn =1n nn =1【答案】C.【解析】方法一：举反例：（A ）取 a = b = (-1)n1nn1（B ）取a n = b n = n（D ）取 a n = b n = n故答案为（C ）.方法二：因为lim a n = 0, 则由定义可知∃N 1, 使得 n > N 1 时，有 a n < 1n又因为∑ bnn =1收敛，可得lim b n →∞= 0, 则由定义可知∃N 2 , 使得 n > N 2 时，有 b n < 1从而，当 n > N + N 时，有 a 2b 2< b ，则由正项级数的比较判别法可知∑ a 2b2 收敛.12n nnn nn =1（5）设α ,α ,α 是 3 维向量空间 R 3的一组基，则由基α ,1 α, α 到 基 123α1 + α2 ,α2 + α3 ,α3 + α1 的过渡矩阵为⎛ 1 0 1 ⎫ 1 2⎛ 1 2 0 ⎫ 2 33 (A) 2 2 0 ⎪.(B) 0 2 3 ⎪ . ⎪ 0 3 3 ⎪ ⎪ 1 0 3 ⎪ ∞ nnCB A1 1⎝ ⎭B O ⎝ ⎭ ⎪ ⎛ 11 - 1 ⎫⎛ 1 - 1 1 ⎫2 4 6 ⎪2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ (C) -1 1 1 ⎪ . (D) 1 1 - 1 ⎪ .2 4 6 ⎪ 1 1 1 ⎪ 4 4 4 ⎪1 1 1 ⎪ -2 4 6 - 6 6 6 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭【答案】A. 【解析】因为(η1,η2 ,,ηn ) = (α1,α2 ,,αn ) A ，则 A 称为基α1,α2 ,,αn 到η1,η2 ,,ηn 的过渡矩阵.则由基α1,2 α2 , 3α3 到α1 + α2 ,α2 + α3 ,α3 + α1 的过渡矩阵 M 满足 (α + α ,α + α ,α + α ) = ⎛α , 1α , 1 α ⎫ M1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ⎪⎝ ⎭⎛ 1 0 1 ⎫ = ⎛α , 1 α , 1 α ⎫ 2 2 0 ⎪ 1 2 2 3 3⎪ ⎪所以此题选(A).⎝ ⎭0 3 3 ⎪**⎛ O A ⎫（6）设 A , B 均为 2 阶矩阵， A , B 分别为 A , B 的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3 ，则分块矩阵 ⎪ 的⎝ ⎭伴随矩阵为⎛ O 3B * ⎫⎛ O 2B * ⎫( A ) ⎪ .( B ) ⎪ .⎝ 2 A*O ⎭ ⎝ 3A*O ⎭⎛ O 3A * ⎫ ⎛ O 2 A * ⎫ (C ) ⎪ .( D ) ⎪ .⎝ 2B*O ⎭ 【答案】B.⎝ 3B*O ⎭【解析】根据CC * = C E ，若C * = C C -1,C -1=1 C *⎛ O A ⎫ O A 2⨯2分块矩阵 B O ⎪的行列式 B O =（-1） A B = 2 ⨯ 3 = 6 ，即分块矩阵可逆⎛ O 1B * ⎫ ⎛ O A ⎫*O A ⎛ O A ⎫-1⎛ O B-1 ⎫ ⎪ ⎪ = ⎪ = 6 -1 ⎪ = 6⎪⎝ B O ⎭ B 0 ⎝ B O ⎭ ⎝ AO ⎭ 1 A *O ⎪ ⎪⎝ ⎭1 ⎛ O 1 B * ⎫= 3 ⎪ ⎛ O 2B * ⎫61 ⎪ = 3A * O ⎪A *⎝ 2O ⎪ ⎝ ⎭ ⎭故答案为（B ）.⎛ x -1 ⎫（7）设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ 2 ⎪ ，其中Φ ( x ) 为标准正态分布函数，则⎝ ⎭ EX =(A) 0 .(B) 0.3 .(C) 0.7 .(D)1.【答案】C.⎛ x -1 ⎫【解析】因为 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ 2 ⎪ ，⎝ ⎭所以 F '( x ) = 0.3Φ'( x ) + 0.7 Φ'⎛ x -1 ⎫， 2 2 ⎪ ⎝ ⎭所以 EX = +∞ xF '( x )dx = +∞ ⎡ Φ'( x ) + 0.35Φ'⎛ x -1 ⎫⎤⎰-∞ ⎰-∞ x ⎢0.32 ⎪⎥dx= 0.3+∞ x Φ'( x ) d x + 0.35 ⎣+∞ x Φ'⎛ x -1 ⎫ dx ⎝ ⎭⎦ ⎰-∞ ⎰-∞ 2 ⎪而 +∞ x Φ'( x ) d x = 0 ， ⎝ ⎭+∞ x Φ'⎛ x -1 ⎫ dxx -1 = u 2+∞ (2u +1)Φ'(u ) du = 2⎰-∞ ⎰-∞ 2 ⎪ 2 ⎰-∞⎝ ⎭所以 EX = 0 + 0.35⨯ 2 = 0.7 .（ 8 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N (0,1) ， Y 的概率分布为P {Y = 0} = P {Y = 1} = ，记 F Z ( z ) 为随机变量 Z = XY 的分布函数，则函数 F Z ( z ) 的间断点个数 2为(A)0.(B)1. (C)2. (D)3.【答案】 B.【解析】1112 2 22F Z (z ) = P ( XY ≤ z ) = P ( XY ≤ z Y = 0)P (Y = 0) + P ( XY ≤ z Y = 1)P (Y = 1) = 1[P ( XY ≤ z Y = 0) + P ( X Y ≤ z Y = 1)] 2 = 1[P ( X ⋅ 0 ≤ z Y = 0) + P ( X ≤ z Y = 1)] 2X ,Y 独立∴ F Z (z ) = 1[P ( X ⋅ 0 ≤ z ) + P ( X ≤ z )]2（1）若 z < 0 ，则 F Z (z ) = 2 Φ(z )（2）当 z ≥ 0 ，则 F Z (z ) = 2 (1+ Φ(z ))∴ z = 0 为间断点，故选（B ）.二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.∂2 z（9）设函数 f (u , v ) 具有二阶连续偏导数， z = f ( x , xy ) ，则∂x ∂y= .【答案】 xf "+ f '+ xyf ".∂z' '∂2 z " ' " " ' "【解析】∂x= f 1 + f 2 ⋅ y ， ∂x ∂y= xf 12 + f 2 + yx ⋅ f 22 = xf 12 + f 2 + xyf 22 .（10）） 若二阶常系数线性齐次微分方程 y ' + ay ' + by = 0 的通解为 y = (C + C x ) e x ，则非齐次方程12y '' + ay ' + by = x 满足条件 y (0) = 2, y '(0) = 0 的解为 y = .【答案】 y = -xe x+ x + 2 .【解析】由 y = (c + c x )e x，得λ = λ = 1，故 a = -2,b = 11212微分方程为 y ''- 2 y '+ y = x设特解 y *= Ax + B 代入， y ' = A , A = 1-2 A + Ax + B = x-2 + B = 0, B = 2∴ 特 解 y * = x + 2∴ y = (c + c x )e x + x + 2122 024 把 y (0) = 2， y '(0) = 0 代入，得c 1 = 0, c 2 = -1∴ 所求 y = -xe x + x + 2（1）已知曲线 L : y = x2(0 ≤ x ≤ 132 ) ，则⎰Lxds = .【答案】6【解析】由题意可知， x = x , y = x 2, 0 ≤ x ≤ ，则ds =(x ')2+ ( y ')2dx =1+ 4x 2 dx ，所以⎰ xds = ⎰x 1+ 4x 2 dx =1⎰21+ 4x 2 d (1+ 4x 2 )L= 1 ⋅ 2 8 3 0(1+ 4x 2 )3 08 0= 136 （12）设Ω= {( x , y , z ) x2+ y 2 + z 2 ≤ 1}，则 ⎰⎰⎰ z 2dxdydz = .Ω【答案】 π .15【解析】方法一：⎰⎰⎰ z 2 dxdydz = ⎰2π d θ ⎰π d ϕ ⎰1ρ 2 sin ϕρ 2 cos 2 ϕd ρ = ⎰2π d θ ⎰π cos 2ϕd (-cos ϕ )⎰1ρ 4 d ρ= 2π ⋅ - cos 3 ϕ ⎰π ⋅ 1d ϕ = 4π 3 05 15方法二：由轮换对称性可知 ⎰⎰⎰ z 2dxdydz = ⎰⎰⎰ x 2dxdydz = ⎰⎰⎰ y 2dxdydzΩΩΩ所以，⎰⎰⎰ z 2dxdydz = 1⎰⎰⎰(x2+ y 2 + z 2 )dxdydz =1⎰πd ϕ ⎰2π d θ ⎰1r 4 sin ϕdrΩ3 Ω3 02π ⎰πsin ϕd ϕ ⎰1r 4 dr =2π ⋅ 1 ⋅ ⎰π sin ϕd ϕ = 4π 33 5 0 15（13）若 3 维列向量α , β 满足α Tβ = 2 ，其中α T为α 的转置，则矩阵 βα T的非零特征值为 .【答案】2.【解析】α T β = 221 2mx y xx xy xx yy∴ βα T β = β (α T β ) = 2 ⋅ β ,∴ βα T 的非零特征值为 2.(14)设 X , X ,, X 为来自二项分布总体 B (n , p ) 的简单随机样本， X 和 S 2 分别为样本均值和样本方差. 若 X + kS 2为 np 2的无偏估计量，则 k = . 【答案】 -1.-【解析】X + kS 2 为 np 2 的无偏估计-∴ E ( X + kX 2 ) = np 2 ∴ np + knp (1- p ) = np 2∴1+ k (1- p ) = p ∴ k (1- p ) = p -1 ∴ k = -1三、解答题：15~23 小题，共 94 分.（15）（本题满分 9 分） 求二元函数 f (x , y ) = x 2(2 + y 2) + y ln y 的极值.【解析】f '(x , y ) = 2x (2 + y 2 ) = 0f '(x , y ) = 2x 2 y + ln y +1 = 01故 x = 0, y =ef '' = 2(2 + y 2 ), f ' = 2x 2 + 1, f '' = 4xy xx yyy xy则 f ''1= 2(2 +1) ， f '= 0 ， f '= e .xx (0, )ee 2xy 1 (0,) eyy (0, ) ef '' > 0 而( f '' )2 - f '' f '' < 0∴二元函数存在极小值 f (0, 1) =- 1 .e e（16）（本题满分 9 分）设 a n 为曲线 y = x n 与 y = x n +1 (n = 1, 2,..... ) 所围成区域的面积，记1∞∞2 2 22n -1（ ）（ x 2⎪S 1 = ∑ a n , S 2 = ∑ a 2n -1 ，求 S 1 与 S 2 的值.n =1n =1【解析】由题意， y = x n 与 y=xn+1在点 x = 0 和 x = 1处相交，1n n +11 n +1 1n +21 1 1 所以a n =⎰ 0 (x - x)dx = ( x n + 1 - xn + 2 ) = - 0 n + 1 ， n + 2∞N1 1111 1 1从而S 1 = ∑ a n = lim ∑ a n = lim ( - ++ - ) = lim ( - ) = n =1N →∞ n =1 N →∞ 2 3 N +1 N + 2 N →∞ 2 N +2 2S = ∑ a= ∑ 1 - 1 = 1 - 1 + + 1 - 1 ) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 n =1n =1 2n2n +1 2 3 2N 2N+1 2 3 4 5 61 2(n -1)x n 由ln(1+x)=x- x 2++ (-1)n+取 x = 1 得ln(2) = 1- ( 1 - 1 +12 3 4) = 1- S 2 ⇒ S 2 = 1- ln 2 . x 2（17）（本题满分 11 分）椭球面 S 1 是椭圆 + y 2 = 1绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 是过点(4, 0) 且与椭圆x 2 + y 2 =4 34 31相切的直线绕 x 轴旋转而成.（Ⅰ）求 S 1 及 S 2 的方程（Ⅱ）求 S 1 与 S 2 之间的立体体积.2 【解析】（I ） S 1 的方程为 4 +y 2 + z 23= 1 ，x 2y 2⎛ 1 ⎫过点(4, 0) 与 + 4 3 = 1的切线为 y = ± x - 2 ⎪ ，⎝ ⎭所以 S 的方程为 y 2+ z 2= ⎛ 12 x - 2 ⎫ . ⎝ ⎭3 9（II ）S 1 与 S 2 之间的体积等于一个底面半径为 2 、高为 3 的锥体体积 4π 与部分椭球体体积V 之差，其中V =3π⎰2(4 - x 2 )dx =5π .故所求体积为9π - 5π = π .4 1444（18）（本题满分 11 分）∞ ∞ 20 □ 3□ ) = x+ y + z ) (x + y + z ) x 0（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 f ( x ) 在[a , b ] 上连续，在(a , b ) 可导，则存在ξ ∈(a , b ) ，使得f (b ) - f (a ) = f '(ξ )(b - a )（Ⅱ）证明：若函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续，在(0,δ )(δ > 0) 内可导，且 lim x →0+f '( x ) = A ，则 f +' (0) 存在，且 f +' (0) = A .【解析】（Ⅰ）作辅助函数ϕ(x ) =f (x ) - f (a ) -f (b ) - f (a )b - a(x - a ) ，易验证ϕ(x ) 满足：ϕ(a ) = ϕ(b ) ； ϕ(x ) 在闭区间[a , b ] 上连续，在开区间(a , b ) 内可导，且ϕ '(x ) = 根据罗尔定理，可得在(a , b ) 内至少有一点ξ ，使ϕ ' (ξ ) = 0 ，即f '(x ) -f (b ) - f (a ) .b - af '(ξ ) -f (b ) - f (a ) = 0,∴ f (b ) - f (a ) = b - af ' (ξ )(b - a )（Ⅱ）任取 x 0 ∈(0,δ ) ，则函数 f (x ) 满足：在闭区间[0, x 0 ] 上连续，开区间(0, x 0 ) 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在ξx ∈(0, x 0 ) ⊂ (0,δ ) ，使得f ' (ξ) = f (x 0) - f (0) …… (*)x 0- 0又由于 lim x →0+f ' ( x ) = A ，对上式（*式）两边取 x → 0+时的极限可得： f ' (0) = lim f (x 0 ) - f (0) =lim f ' (ξ ) = lim f ' (ξ) = Ax 0 →0+ x 0 - 0x 0 →0+ x 0x 0 →0+x 0故 f +' (0) 存在，且 f +'(0) = A .（19）（本题满分 10 分）计算曲面积分 I =⎰⎰∑xdydz + ydzdx + zdxdy(x2+ y 2 + z2 )2，其中∑ 是曲面2x 2 + 2 y 2 + z 2= 4 的外侧.xdydz + ydxdz + z dxdy22 2【解析】 I =⎰⎰∑(x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2，其中2x + 2 y + z = 4∂ x y 2 + z 2 - 2x 2∂ ( 2 2 2 3/ 2 2 2 2 5 / 2 , ①∂ yx 2 + z 2 - 2 y 2( ) = , ②∂y (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 (x 2 + y 2 + z 2 )5 / 2(x + ξ1 ⎪ = 12 1 = k -1 + 0 ⎝ ⎭1∂ zx 2 + y 2 - 2z 2( ) = , ③∂z (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 (x 2 + y 2 + z 2 )5 / 2∴①+②+③= ∂( x ) + ∂x (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 ∂ ( y ) + ∂y (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2∂ ( z ∂z (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 ) = 0由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）∑ : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .0 < R < 1有 16□⎰= □⎰ xdydz + ydxdz + zdxdy = (x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 □⎰ xdydz + ydxdz + zdxdy = R 3 R 3 ⎰⎰⎰3dV = 3 ⋅ 4π R 3= 4π R 3 3 ∑∑1∑1Ω（20）（本题满分 11 分）⎛ 1 -1 -1⎫ ⎛ -1⎫设 A = -1 1 1 ⎪ ⎪ 1 ⎪ 0 -4 -2 ⎪-2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭（Ⅰ）求满足 A ξ = ξ 的ξ . A 2ξ = ξ 的所有向量ξ , ξ . 2123123（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ2 , ξ3 证明ξ1 , ξ2 , ξ3 无关. 【解析】（Ⅰ）解方程 A ξ2 = ξ1⎛ 1 -1 -1 -1 ⎫ ⎛ 1 -1 -1 -1⎫ ⎛ 1 -1 -1 -1⎫ ( A ,ξ ) = -1 1 1 1 ⎪ →0 0 0 0 ⎪ → 0 2 1 1 ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ 0 -4 -2 - 2 ⎪ 0 2 1 1 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ r ( A ) = 2 故有一个自由变量，令 x 3 = 2 ，由 Ax = 0 解得， x 2 = -1, x 1 = 1求特解，令 x 1 = x 2 = 0 ，得 x 3 = 1⎛ 1 ⎫ ⎛ 0 ⎫ ⎪ ⎪2 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝⎭ ，其中 k 1 为任意常数.解方程 A 2ξ 3 = ξ1⎛ 2 2 0 ⎫ A 2=-2 -2 0 ⎪⎪ 4 4 0 ⎪ ξ故ξ⎝ ⎭ 2 2 ⎝ ⎭ 1 2 1⎛ 2 2 0-1⎫ ⎛1 1 0 -1 ⎫2 ⎪ ( A 2,ξ ) = -2 -2 0 1 ⎪ → 0 0 0 0 ⎪1 ⎪⎪ 4 4 0 2 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ ⎪⎝ ⎭故有两个自由变量，令 x = -1 ，由 A 2x = 0 得 x= 1, x = 0⎛ 1 ⎫ ⎪ ⎪ 2⎛ 1 ⎫ ⎪ 13⎛ 1 ⎫ ⎪ ⎪求特解η2 = 0 ⎪ 0 ⎪⎪⎝ ⎭故 ξ3 = k 2 -1⎪ + 0 ⎪ 0 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ，其中k 2 为任意常数.（Ⅱ）证明：-1k 1k 2 + 21 1由于 1 -k 1 -k 2 = 2k 1k 2 + (2k 1 +1)(k 2 + 2) - 2k 1(k 2 + 2) - k 2 (2k 1 +1)-2 2k 1 + 1 0= 1 ≠ 0 2故ξ1,ξ2 ,ξ3线性无关.（21）（本题满分 11 分）设二次型 f ( x , x , x ) = ax 2 + ax 2 + (a -1) x 2 + 2x x - 2x x1231231 32 3（Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y 2 + y 2，求a 的值.⎛ a 0 1 ⎫ 【解析】（Ⅰ） A = 0 a -1 ⎪⎪ 1 -1 a -1⎪ ⎝ ⎭| λE - A |= λ - a0 0λ - a -1 1= (λ - a ) λ - a 1 -λ - a -11λ - a +11 λ - a +1 -1 1= (λ - a )[(λ - a )(λ - a +1) -1] -[0 + (λ - a )] = (λ - a )[(λ - a )(λ - a +1) - 2] = (λ - a )[λ 2 - 2a λ + λ + a 2 - a - 2]= (λ - a ){[a λ + 1 (1- 2a )]2 - 9}2 4= (λ - a )(λ - a + 2)(λ - a -1)1 2 3 3 6 6 C ⋅ C 6 6C ⋅ C ∴λ1 = a , λ2 = a - 2, λ3 = a +1（Ⅱ） 若规范形为 y 2 + y 2，说明有两个特征值为正，一个为 0.则1) 若λ1 = a = 0 ，则λ2 = -2 < 0 ， λ3 = 1 ，不符题意2) 若λ2 = 0 ，即a = 2 ，则λ1 = 2 > 0 ， λ3 = 3 > 0 ，符合3) 若λ3 = 0 ，即a = -1 ，则λ1 = -1 < 0 ， λ2 = -3 < 0 ，不符题意综上所述，故 a = 2 .（22）（本题满分 11 分）袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以 X ,Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求 p {X = 1 Z = 0}；（Ⅱ）求二维随机变量( X ,Y ) 概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球C 1⨯ 2 4 ∴ P ( X = 1 Z = 0) = 2 = . C 1 ⋅ C 19（Ⅱ）X ，Y 取值范围为 0，1，2，故P ( X = 0,Y = 0) = 3 3 , P ( X = 2,Y = 0) = 6 6 6 6 6 6 6 6 1 1 P ( X = 1,Y = 1) = 2 2= C 1 ⋅ C 11 , P ( X = 2,Y = 1) = 09 1 1P ( X = 0,Y = 2) = 2 2 = C 1 ⋅ C 1 9 P ( X = 1,Y = 2) = 0, P ( X = 2,Y = 2) = 01 C 1 ⋅ C 1 = 1 C 1 ⋅ C 11 P ( X = 1,Y = 0) =23 = C 1 ⋅ C 14 C 1 ⋅ C 1 61 = 1 C 1 ⋅ C 1 ⋅ C 1, P ( X = 0,Y = 1) = 2 2 3 = 1C 1 ⋅ C 136 C 1 ⋅ C 13n1nii1 n n⎧λ 2 xe -λ x , x > 0（23）（本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为 f (x ) = ⎨ ⎩0,其他 ，其中参数 λ(λ > 0) 未知，X 1 , X 2 ,…, X n 是来自总体 X 的简单随机样本. (Ⅰ)求参数λ 的矩估计量；（Ⅱ）求参数λ 的最大似然估计量【解析】（1） 由 EX = X 而 EX = ⎰+∞ λ 2 x 2e -λ x dx = 2 = X ⇒ λˆ = 2为总体的矩估计量λX（2） 构造似然函数L ( x ,....., x ; λ ) = ∏ f ( x ; λ ) = λ 2n⋅∏ x ⋅ e-λ∑ x ii =1i =1i =1取对数ln L = 2n ln λ + ∑ln x i - λ∑ x ii =1i =1令 d ln L d λ = 0 ⇒- ∑ x i = 0 ⇒ λ = i =1 2n ∑ x i i =1= 2 ∑ x ii =1 故其最大似然估计量为λ'' = 2.Xn n n n n 2n λ n。
2004—数一真题、标准答案及解析
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为(2)已知f(e x) xxe ，且f(1)=0,则f(x)=(3)设L为正向圆周x22在第一象限中的部分，则曲线积分L xdy 2ydx的值为(4)欧拉方程x2d2ydx24x d^ 2y 0(x 0)的通解为•dx(5)2 1 设矩阵A 1 2矩阵，则(6)矩阵B满足ABA*2BA E ,其中A为A的伴随矩阵，E是单位设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{X DX} =二、选择题(本题共8小题，每小题把所选项前的字母填在题后的括号内)4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,(7)把x 0时的无穷小量X cost2dt,0 '2xtanX 30 si nt dt ,使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) (B) (C) (D)(8)设函数f(x)连续，且f (0)0,则存在0，使得(A) f(x)在(0,)内单调增加.(B) f(x)在( ,0)内单调减少•(C) 对任意的x(0,)有f(x)>f(0).(D) 对任意的x(,0)有f(x)>f(0).(9)设a n为正项级数，下列结论中正确的是n 1(A) 若lim na n=0，则级数na n收敛•n 1(B)若存在非零常数，使得lim na nn ，则级数a n发散•n 1阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?t t(10) 设f(x)为连续函数，F(t) 1 dy y f(x)dx ，则F ⑵等于 (A)2f(2).(B) f(2).(C) -(2).(D) 0.[](11) 设A 是3阶方阵，将 A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C,贝U 满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) A 的列向量组线性相关, (B) A 的列向量组线性相关, (C) A 的行向量组线性相关, (D) A 的行向量组线性相关,(A) Cov( X 1,Y)2n(B) Cov(X 1,Y)2.(C)D(X 1 Y)n 2 2 (D)D(X 1Y) n 1nn(15) (本题满分 12分)设ea b e 2 ,证明ln 2 bIn 2a —2(b a)e(16) (本题满分 11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 (C) 若级数2a n 收敛，则lim nn0.(D)若级数a n 发散，则存在非零常数n 1，使得 lim na nn0 1 00 1 00 1 0 0 1 1 (A)1 0 0 . (B)1 0 1 . (C) 1 0 0 .(D)1 0 0 1 0 1 0 0 10 1 10 0 1的任意两个非零矩阵，则必有(12)设A,B 为满足AB=OB 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关 B 的列向量组线性相关1)，数u 满足P{X u } ，若P{X x}，则x 等于(A) U_.2(B) U .1I(C) u 」. ~2-(D) U 1(14)设随机变量X 1,X 2, 0.令Y 丄 X i ,则n i 1(13)设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的(0,X n ( n 1)独立同分布，且其方差为飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?1F(x, )1x0, x 1,x 1,注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. (17)(本题满分12分) 计算曲面积分I2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,数 x n 收敛.n 1(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组(1 a)X 1X 2X n 0, 2x 1 (2 a)X 2 2x n 0, (n 2)n% nx 2(n a)X n0,并求出其通解9分)试问a 取何值时，该方程组有非零解, (21)(本题满分33的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论5(22)(本题满分9 分)求：(I )二维随机变量(X,Y)的概率分布;(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为其中是曲面z 1(z 0)的上侧.(18)(本题满分 11 分)设有方程x nnx 10，其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根X n ,并证明当 1时，级(19)(本题满分 12 分)设z=z(x,y)是由x 2 6xy 10y 22yzz 2 18 0确定的函数，求zz(x, y)的极值点和极值.设矩阵A 11A 是否可相似对角化.设A,B 为随机事件，且P(A) 右P(BA) 3‘P (AB)-，令XA发生, 0, A 不发生;Y 1, B 发生,0, B 不发生.(II ) X 和Y 的相关系数 XY -其中未知参数1,X!,X2, ,X n为来自总体X的简单随机样本，求: （I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量.3 022004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx 上与直线x y 1垂直的切线方程为 y x 1 .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.1【详解】由y (Inx)1，得x=1,可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为xy 0 1 (x 1)，即 y x 1.1【评注】本题也可先设切点为 (x 0,|n x 0)，曲线y=lnx 过此切点的导数为 y— 1，得x 0 1，x x 0x 0由此可知所求切线方程为 y0 1(x1)，即yx1.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到xx1 2(2) 已知 f (e ) xe ，且 f(1)=0,则 f(x) = (In x).2【分析】 先求出f (X )的表达式，再积分即可.【详解】令e x t ，则x lnt ，于是有ln tr, ln xf (t)，即f (x)t x 积分得f(x)In x, 1 2dx (ln x) C .利用初始条件 f(1)=0,得C=0，故所求函数为 f(x)x 2丄仲x)2. 2【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分223 (3)设L 为正向圆周x y 2在第一象限中的部分，则曲线积分 L xdy 2ydx 的值为 -【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分 2 2【详解】 正向圆周x y2在第一象限中的部分，可表示为x 、 2 cos , 小y -2sin ,：0222si n 2【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参于是Lxdy 2ydx o 2 [一 2 cos 2 cos2 2sin ■- 2 sin ]d9数法化为定积分计算即可【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x e t 化为常系数线性齐次微分方程即可【详解】令xe t ，则 dy dy dt e 电1 dydx dt dxdt x dtd 2y 1 dy 1 d 2y dt 1[d 2 x 2[dt y dy F dt ]dx 2x 2 dt x dt 2dx 代入原方程，整理得d 2y c dy2y 0，.2 3 - dtdt解此方程，得通解为y tqe c 2e2tC1C22・2x x【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x e t ，则欧拉方程【详解】 已知等式两边同时右乘 A ，得ABA *A 2BA *A A ，而 A 3，于是有3AB 6B A ，即(3A 6E)B A ，再两边取行列式，有3A 6E||B A 3，1而3A 6E 27,故所求行列式为 B(4)欧拉方程2d 2y x dx 24x2y 0(x 0)的通解为y 纟乌dx x x可化为2 axd 2y dx 2cy f (x)，2眷貉哼cy 讪.(5)设矩阵A2 1 01 2 0，矩阵B 满足ABA * 2BA * E ,其中A *为A 的伴随矩阵, 0 0 1E 是单位矩阵，则B【分析】可先用公式A *AA E 进行化简【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A ，一般均应先利用公式A A AA * AE 进行化简.(6)设随机变量X 服从参数为 的指数分布，则P{X , DX } = 1 .e【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可1【详解】 由题设，知DX 冷，于是一1XP{X DX} = P{X -}ie X dx【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算 二、选择题(本题共8小题，每小题 把所选项前的字母填在题后的括号内)一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,(7 )把x0时的无穷小量Xcost 2dt,2xtan 、tdt,0 ':X 30 si nt dt ,使排在后面的是前(A)(B)(C)(D)【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可【详解】 lim — x 0 tan 一tdt lim 卫厂 x 0cost 2dt 0limtanx 2x 2cosx0，可排除 (C),(D)选项,【评注】 limx 0limx 0=-lim 4 x 0x3sint dt_0 ___________X 2 tan )t dt3 2sin x 2 ，可见 lim2x tanx是比低阶的无穷小量，故应选 (B).本题是无穷小量的比较问题，也可先将 ,,分别与x n 进行比较，再确定相互的高低次序(8)设函数f(x)连续，且f (0) 0,则存在0，使得 (A) f(x)在(0，)内单调增加. (B) f(x)在(，0)内单调减少.(C) 对任意的 x (0,)有 f(x)>f(0)(D)对任意的 x ( ,0)有 f(x)>f(0)【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除 (A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可•【详解】 由导数的定义，知f(0) lim f(x) f(0)0，x 0 x根据保号性，知存在 0，当x (,0) (0,)时，有f(x) f(0)x即当 x (,0)时，f(x)<f(0);而当 x (0,)时，有 f(x)>f(0).故应选(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论 (9) 设 a n 为正项级数，下列结论中正确的是n 12(C)若级数a n 收敛，则limn a “0.nn 1(E)若级数n1a n 发散，则存在非零常数，使得^m na n* "]【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项1 2又取a n ----------------- ，则级数a n 收敛，但lim n a “nUnn1 n【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式,a1 lim na n lim n0，而级数发散，因此级数a n 也发散，故应选(B).n n1n 1nn 1n【分析】 先求导，再代入t=2求F (2)即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有(A)若lim na n =0，则级数na n 收敛.n 1(B )若存在非零常数，使得lim na nn，则级数a n 发散•n 1【详解】 取a n1 nln n，则 lim na n =0，但na nn 111n ln n发散，排除(A)，(D)；，排除(C),故应选(B).(10) 设f(x)为连续函数，F(t) (A)2f(2). (B) f(2).t t1 dy y f(x)dx ，贝U F (2)等于(C) -(2).(D)0.变量 t.【详解 】 交换积分次序，得t t t x tF(t) 1dy y f(x)dx = 1[1 f(x)dy]dx 1 f(x)(x 1)dx于是，F (t) f(t)(t 1)，从而有 F (2)f(2)，故应选(B).评注】 在应用变限的积分对变量 x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量 x: b(x)[ a(x) f(t)dt] f [b(x)]b (x) f[a(x)]a(x)a(x)否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上 .( 11) 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B, 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 (A)1 0 0. (B)1 0 1. (C) 1 0 0. (D) 10 0 1 0 10 0 11 10 0 1[ D ]分析 】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等 矩阵， 而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积 详解 】由题设，有0 1 01 0 0A 1 0 0B ， B 0 1 1C ，0010 0 10 1 0 10 00 1 1 于是，A 1 0 0 0 1 1A 1 0 0 C.0 0 1 0 0 10 0 1可见， 应选 (D). 评注 】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系12) 设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (D) A 的列向量组线性相关， (E) A 的列向量组线性相关， (F)A 的行向量组线性相关， (D) A 的行向量组线性相关，【详解1】 设A 为m n 矩阵，B 为n s 矩阵，则由AB=O 知,r(A) r(B) n .又 A,B 为非零矩阵，必有 r(A)>0,r(B)>0. 可见 r(A)<n, r(B)<n, 即 A 的列向量组线性相关， B 的行向量组线 性相关，故应选 (A).【详解 2】 由 AB=O 知， B 的每一列均为 Ax=0 的解，而 B 为非零矩阵，即 Ax=0 存在非零解，可见 A 的列向量组线性相关 .B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关【分析 】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 零解进行分析讨论 .A,B 是否行(或列)满秩或 Ax=0 (Bx=0 )是否有非同理，由AB=O知，B T A T O,于是有B T的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1) AB=O r(A) r(B) n；2) AB=O B的每列均为Ax=0的解.(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(0 1)，数u满足P{X u } ，若P{X x} ，则x等于(A) u_2(B) u1 -2(C) u L~2(D) u1(A) Cov(X n Y) (B) Cov(X「Y)Cov(X1, X i) 1Cov(X1,X1) 1 Cov(X1,X i)n i 1 n n i 2【分析】此类问题的求解，可通过u的定义进行分析, 也可通过画出草图, 直观地得到结论【详解】由标准正态分布概率密度函数的对称性知,P{XP{X x} P{X x} P{X x} P{X x} 2P{X x}即有P{X x}1，可见根据定义有x2本题【评注】A，故应选(C).u相当于分位数，直观地有2(14)设随机变量X1,X2, ,X n( n 1)独立同分布，且其方差为nX i，则n i 1(C) D(X1 Y) (D)【分析】本题用n方差和协方差D(X1 Y)-n的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有:Cov(X1,X i) 0,i 2,3, n.【详解】Cov( X1,Y)(x) (e 2)= -DX 11 2.n n本题(C),(D)两个选项的方差也可直接计算得到：如2n 3n2 nn 2 2n 22n(15) (本题满分12分)$ (b a). e【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明In 2 b In 2 a24In x ，则e【证法1】 对函数2In x 在［a,b ］上应用拉格朗日中值定理,设(t)平，则(t)，当t>e 时,0, 所以(t)单调减少，从而2 (e )，即In In e~2e2~~2，e故 In 2 b In 2 a 4(b a).所以当 即当e(x) (x) x>e 时, 2 .x e 时,In x 2 -xJ In x 2 2x(x)0,4_2 ， e (x)单调减少，从而当(x)单调增加.e 2时,【评注】 D(X iY) D(^X 1n-X 2 n^X n ) n(1 n)2 n 2n 1 22nD(X in 1 Y) D( X 1n 1 X n )n(n 1)2 2nn 1 22~n2o2设 e a b e ,证明 In b In ab.【证法2】(x)因此当e x e 2时，(b)(a),v 0解得C v 0，两端积分得通解 v Cek —tm，代入初始条件v即 ln 2beln 2a4 ~~2a，故In 2 b ln 2 af (b e a).【评注】 本题也可设辅助函数为(x) 2 2 42In x In a 2 (x a),e a x e 或 e(x) ln 2 b ln 2 x$(b x),e x b2e ，再用单调性进行证明即可.e(16) (本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使 飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k 6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可 【详解1】 由题设，飞机的质量 m=9000kg ，着陆时的水平速度 v 0 700km/h .从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得dvm kv . dt dv dx dx dt所以，飞机滑行的最长距离为 1.05km.dvvdx ，又史dt由以上两式得dx 积分得x(t) x(t)m .dv ，k mv k m (v0 kC. 由于v(0)V 0, x(0)0，故得C — v °，从而k当 v(t)0时, v(t)). x(t)mv °k9000 700 66.0 101.05(km).【详解2】 根据牛顿第二定律，得 dv m — dtkv ,所以dv±dt. m【详解】取1为xoy 平面上被圆x 2 y 2 1所围部分的下侧，记 为由 与1围成的空间闭区域,(17) (本题满分12分) 计算曲面积分2x 3dydz 2y 3dzdx 3(z 2 1)dxdy,其中是曲面z 1 x 2 y 2(z 0)的上侧.【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直 接投影法求解即可.jkt故 v(t)v 0e m .飞机滑行的最长距离为v(t)dtmv ° ekmv ° k1.05( km).或由dr上t v °e m,知x(t)t0v 0e上tmdtItm1)，故最长距离为当t时，kv ox(t)m1.05(km).【详解3】 根据牛顿第二定律，d 2x m —亏dt 2dx k , dtd 2x dt 2k dx dt其特征方程为解之得m0, 2C 2edxx0,v --t 01 t 0dtkC 2 emV 0，得C 1C 2x(t) mv 0Atm).所以, 时，x(t)mv 0 1.05(km).k飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】本题求飞机滑行的最长距离， 可理解为t 或v(t)0的极限值，这种条件应引起注意•由 mv 0t 0C 1 Jkt m3 3 2I 2x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy13 3 22x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy.1由高斯公式知3 3 22x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy122 1 1 r 2 2=6 d dr (z r )rdz3322x dydz 2y dzdx 3(z1 )dxdy 3dxdy 3x 2 y 2 1故123【评注】 本题选择 1时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧(或内侧)，再就是在 1上直接投影积分时，应注意符号(1取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号).(18) (本题满分11分) 设有方程x nnx 1 0，其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根 x n ，并证明当 1时，级数x n 收敛.n 1【分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性 .而正项级数的敛散性可用比较法判定 .【证】记 f n (x)x n nx 1.由f n (O) 1 0， f n (1) n 0，及连续函数的介值定理知，方程x n nx 10存在正实数根x n (0,1).当x>0时，f n (x) n x n 1 n 0,可见f n (x)在［0,)上单调增加，故方程x n nx 1 0存在惟一正实数根 X n ・由x n nx1 0与 X n0知1 X ：11 0 X n，故当1 时，0 X n(-).n nn 而正项级数1丄收敛, 所以当1时，级数x n 收敛n 1nn 1【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度并不大，只要2 26( x y z)dxdydz=121[1r(1 r 2) 22、2 r 3(1 r 2)]dr1(9, 3, 3)i ，C2z2x2z2z(9, 3, 3)(9, 3, 3)基本概念清楚，应该可以轻松求证 (19) (本题满分12分)设z=z(x,y)是由x 2 6xy 10y 2 2yz z 218 0确定的函数，求z z(x, y)的极值点和极值【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然 后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值2 2 2因为 x 6xy 10y 2yz z 18 0，所以2x 6y 2^z 2z^0，x x6x 20 y 2z 2y-^ 2z —z 0. y y故 x 3y ， z y.x 9, x 9, y 3, 或 y 3, z 3z3.类似地，由【详解】—0, x —0 yx 3y 0, 3x 10y z 0,将上式代入x 26xy 10y 2 2yz z 218 0，可得由于22 2— 2(上)2x x2z2z2x2z2yx y2z2z0,202— 2二 y y2y- 2z 2y2(二)2 y22z z y 0，2所以 A—z x1 B2 z1，C2z5 (9,3,3)6，x y(9,3,3)2y(9,3,3)3，21 1 故 AC B 236，又A6z(9,3)=3.6xxx y0 ,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为21 1 可知AC B 0，又A0 ,从而点(-9,-3)是z(x,y)的极大值点，极大值为366z(-9, -3)= -3.【评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程•(20) (本题满分9分) 设有齐次线性方程组(1 a)x 1 X 2 X n 0, 2捲 (2 a)X 2 2x n 0, (n 2)n% nx 2(n a)X n0,试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解【分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组， 可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n ,进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可.【详解1】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有1 a 1 1 1 1 a 1 11A2 2 a 2 2 2a aBnnnn ana 0 0 a当a=0时，r(A)=1<n ，故方程组有非零解，其同解方程组为X i X 2x n 0,由此得基础解系为1( 1,1,0,,0)T,2( 1,0,1, ,0)Tj , n 1 (1,0,0,,1)T ,于是方程组的通解为x k 1 1 k n 1 n 1,其中k 1, ,k n1为任意常数.当a 0时，对矩阵B作初等行变换, 有1 a 11 1a n(n 1)0 0 0 B2 1 0 022 1n 00 1n0 01可知an(n 2 1)时，r(A) n 1 n ，故方程组也有非零解，其同解方程组为2%X20, 3%X3,n^X n0 ,由此得基础解系为(1,2, ,n)T,于是方程组的通解为x k ，其中k为任意常数. 【详解2】方程组的系数行列式为1 a 1 12 2 a 2An n n当A 0，即a=0或a n(n 1)时，方程组有非零解2当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有1 1 11 1 1112 2 220 000An n n n0 00 00故方程组的同解方程组为x1x2X n 0,由此得基础解系为1 ( 1,1,0, ,0)T,2 ( 1,0,1,,0)T,,n 1(1,0,0, ,1)T于是方程组的通解为x k1 1 k n 1 n 1 ,其中k1, , k n 1为任意常数a2卫时，对系数矩阵A作初等行变换，有1 a111 1 a 1112 A 2 a222a a00n n n n a na 00a(a 3)a n112 3E A1 4 31a 511 0 =(2) 14 31a52 (2) 0 14 3 1a522 16 18 3a 0,解得 a= -2.1 a 1 1 1 0 0 0 02 1 0 0 2 1 0 0 n 01n 01故方程组的同解方程组为2% x 2 0,3x 1 X 30,n% x 0,由此得基础解系为(1,2, ,n)T ,于是方程组的通解为x k ，其中k 为任意常数【评注】 矩阵A 的行列式 A 也可这样计算:1 a 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 A2 2 a 2 2 2 =aE +2 22，矩阵2 2 2 2的nnnn an n nn n n nn特征值为0,,0, n(n °，从而A 的特征值为a,a, ,a n(n 1),故行列式 A (a n(n 1))a n 1.2 2 2(21) (本题满分9分)1 23设矩阵A 1 43的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.1 a 5【分析】 先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可•【详解】 A 的特征多项式为(2)( 2 8 18 3a).2是特征方程的二重根，则有323a2时，A的特征值为2, 4，4,矩阵4E-A= 103秩为2，故4对应的线性无关32113的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(II) X和Y的相关系数XY-【分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数.【详解】(I) 由于P(AB) P(A)P(BA) 2，P(B)P(AB) 1 P(AB) 6'所以，P{X1,Y1}1 P(AB)—，12P{X1,Y0}P(AB) P(A)P(AB)1 6P{X0,Y1}P(AB) P(B)P(AB)1 12,1 当a= -2时，A的特征值为2,2,6,矩阵2E-A=12 32 3的秩为1,故2 32对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.若2不是特征方程的二重根，则18 3a为完全平方，从而18+3a=16，解得a【评注】n阶矩阵A可对角化的充要条件是: 对于A的任意k i重特征根i，恒有n r( i E A) 而单根一定只有一个线性无关的特征向量•(22) (本题满分9分)1设A,B为随机事件，且P(A) -,P(B A)43,P(AB)1, A发生，0, A不发1, B发生，P{X 0,Y 0} P(AB) 1 P(A B)=1 P(A) P(B) P(AB)(或P{X 0,Y 0}故(X,Y)的概率分布为i 1 1 丄2),12 6 12 3【评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强•通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意(23)(本题满分9分)设总体X的分布函数为1,X1,X2, ,X n为来自总体X的简单随机样本，求:(I) 的矩估计量;(II) 的最大似然估计量•【分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可【详解】X的概率密度为——X 1,X 1，40, X「(I)由于则EXX01Y013151P——P一—446611351-,EY DX DY=——,E(XY)=46163612'(II) X, Y的概率分布分别为故Cov(X,Y) E (XY) EX EY —，从而24XYCov(X,Y) 1515F(x,)x0,1,1其中未知参数f(x,)1，X i 1(i 1,2, ,n),(X 1X 2 X n )0,其他 n1) In X i ， i 1dInL()d故的最大似然估计量为 nnIn X ii 1难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性 EX Xf (X ; )dX X — 1 X T dx 令X ，解得 1 1，所以参数 的矩估计量为(II )似然函数为两边对求导，得 令dInL( ) 0，可得 d nn， In x ii 1L() f (X i ； 当x i1(i 1,2, ,n)时, L( 0,取对数得 lnL()n In In X i ，【评注】本题是基础题型,。
2000-数一真题、标准答案及解析
L
xdy − ydx 4x2 + y2 ,
其中
L
是以点
(1,
0)
为中心，R
为半径的圆周
(
R
>
1)
，
取逆时针方向.
【详解】
P
=
−y 4x2 +
y2
,Q
=
4x2
x +
y2
,
( ) 则有
∂P = ∂x
y2 − 4x2 4x2 + y2
2
=
∂Q ,( x,
∂y
y) ≠
( 0, 0)
作足够小的椭圆：
C
:
⎧⎪ ⎨
六、设对于半空间 x > 0 内任意的光滑有向封闭曲面 S, 都有
∫∫ xf ( x)dydz − xyf ( x) dzdx − e2x zdxdy = 0,
S
其中函数 f ( x) 在 (0, +∞) 内具有连续的一阶导数，且 lim f ( x) = 1, 求 f ( x) . x→0+
【详解】 由题设和高斯公式得
( ) ( ) ( ) 从而
P
AB
=P
A
P
B
=
⎡
=
1 9
,
解得 P ( A) = 2 .
3
二、选择题
（1）设 f (x),g(x) 是恒大于零得可导函数，且 f ' (x) g(x)− f (x)g' (x) < 0 ，则当
-2-
a < x < b 时，有
（A） f ( x) g (b) > f (b) g ( x)
( ) ( ) 因为 A 和 B 相互独立，所以 A 与 B ， A 与 B 也相互独立。于是由 P AB = P AB ，
考研数一真题和答案(最新整理)
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1
（A） 0 1
1
（B）
0
1
1
（C） 0
1
0
（D）
0
1
0
0 0 1
0 0 1
0 0 1
0 0 1
6.设 A, B 是 n 阶矩阵，记 r( X ) 为矩阵 X 的秩， ( X ,Y ) 表示分块矩阵，则（）
（A） r( A, AB) r( A) （B） r( A, BA) r( A)
（C） r( A, B) max{r( A), r(B)}（D） r( A, B) r( AT , BT )
2
7.设随机变量 X 的概率密度 f (x) 满足 f (1 x) f (1 x) ，且 f (x)dx 0.6 0
则 P{X 0} ()
（A）0.2（B）0.3（C）0.4（D）0.5
切平面过点 (1, 0, 0) ， (0,1, 0) ，故有
2x0 (1 x0 ) 2 y0 (0 y0 ) (0 z0 ) 0 ，（1） 2x0 (0 x0 ) 2 y0 (1 y0 ) (0 z0 ) 0 ，（2） 又 (x0 , y0 , z0 ) 是曲面上的点，故 z0 x02 y02 ，（3） 解方程（1）（2）（3），可得切点坐标 (0, 0, 0) 或 (1,1, 2) 。因此，切平面有两个
7.【答案】（ A ）
【解析】由 f (1 x) f (1 x) 可知概率密度函数 f (x) 关于 x 1对称，
2
结合概率密度函数的性质 f (x)dx 1及已知条件 f (x)dx 0.6 ，容易得出
0
P{X 0}
0
f (x)dx 1 [
2018年数一真题解析与答案
2018年数一真题是考察考生对数学基础知识和解题能力的一次考试。
下面将对2018年数一真题进行解析，并给出最佳答案。
一、选择题解析1. 设函数，则的导数为（ ）A. B. C. D. 解析：根据函数的定义，可以得到。
根据积分的线性性质，可以得到，其中C 为常数。
所以。
因此，答案为A 。
2. 已知函数在区间[0,1]上的最小值为，则的值为（ ）A. B. C. D. 解析：根据函数的最小值定理，当函数在区间[0,1]上取得最小值时，函数的导数必须为0。
所以，解得。
将x 的值代入函数中，可以得到。
整理方程，可以得到。
由此可以得到。
所以答案为C 。
二、计算题解析1. 设函数由方程和确定，则的值为（ ）解析：根据已知条件，可以得到和。
将第二个方程解得，将其代入第一个方程，可以得到，整理方程可以得到。
解这个四次方程，可以得到。
所以的值为。
对于，可以先求导得到。
求导得到。
所以。
同理，对于，可以得到。
所以的值为。
答案为D 。
三、解答题解析1. 已知函数，求的值。
解析：根据函数的定义，可以得到。
对这个函数求导，可以得到。
根据除法的导数公式，可以得到。
对求导，可以得到。
将这个值代入的表达式中，可以得到。
所以的值为。
f (x )=dt ∫0x 1+t 4t 2f (x )1+x 4x 21+x 41−1+x 4x 21+x 41x −21+x 41f (x )=dt =∫0x 1+t 4t 2dt 21∫0x 1+t 42t f (x )=ln(1+21x )+4C f (x )=′⋅21=1+x 44x 31+x 42x 3f (x )=x +2ax +b 41a +b 41434547f (x )=′2x +a =0x =−2a f (x )f (−)=2a (−)+2a 2a (−)+2a b =41a −24b =1a +b =45y =f (x )x +2y =21xy =1dx dy x +2y =21xy =1x =y 1()+y 12y =21y −4y +21=0y =±±2123dx dy =dx dy (±)dx dy ±2123=dx dy ()dx dy +2123dxd (+2123)+⋅21(2123)−21=23+263=dx dy +263=dx dy(−)dx dy+2123=dx dy −+263dx dy ±+263f (x )=x1−x 2f (x )′f (x )=x 1−x 2f (x )=′dx d (x1−x 2)f (x )=′x 2()⋅x −()⋅1dx d 1−x 21−x 21−x 2()=dx d 1−x 2(−2x )⋅=21−x 21−1−x 2x f (x )′f (x )=′=x 2−⋅x −()⋅11−x 2x1−x 2x 2−x −21−x 2f (x )′x 2−x −21−x 2。
12年数一真题答案解析
12年数一真题答案解析近年来，数学竞赛在中国备受关注，被认为是培养学生数学思维和解决问题的能力的重要途径。
在这里，我们将对12年数一真题进行答案解析，希望为广大竞赛爱好者提供参考和引导。
第一题：设正整数序列{a_n}满足a_1=1，a_2=2，a_3=12，当n>3时，a_n=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3})，求a_{2012}的末四位是多少？解析：通过观察题目中的递推关系，我们可以发现，每一个数a_n都是由前面三个数a_{n-1}、a_{n-2}和a_{n-3}的和与n-1的乘积所得。
因此，我们可以利用递推关系，从a_4开始计算，直到a_{2012}。
由于题目要求我们只需要求a_{2012}的末四位，所以我们在计算过程中可以利用取模运算来控制结果的范围。
代码解法如下：```a = [0, 1, 2, 12] # 前三个数已知for n in range(4, 2013):an = (n-1) * (a[n-1] + a[n-2] + a[n-3]) % 10000 # 取模运算a.append(an)print(a[2012])```运行结果为7432。
第二题：在三角形ABC中，∠C=90°，D、E分别在AB、BC上，且CD=2DE，F为CE的中点，过D作BF的垂线交BF的延长线于G，若∠GBE=∠ACB，则记∠GBC=α，求tanα的值。
解析：我们可以利用两个三角形的相似性来解决这个问题。
观察题目中的图形，我们可以发现三角形BFG与三角形ABC相似，因为∠GBC=α=∠CAB，且∠GBF=∠CBA。
由于F是CE的中点，所以BF和CF 相等。
又因为CD=2DE，所以BF=2AD。
利用这些信息，我们可以得到两个等式：```tanα = BF / FGtan(90°-α) = CF / FG```将BF=2AD和CF=AD代入，可以得到：```tanα = 2AD / FGtan(90°-α) = AD / FG```两个等式相除，可以得到：```tanα / tan(90°-α) = 2AD / AD = 2```由于tan(90°-α) = cotα，所以原等式可以变为：```tanα / cotα = 2tan^2α = 2```因此，tanα的值为√2。
93年数一真题答案解析
93年数一真题答案解析学一真题答案解析在备考高考的过程中，历年真题的复习是非常重要的一环。
通过分析历年真题，可以了解题目类型，题目难度以及出题的思路，为应对高考做好充分准备。
本文将对学一的真题进行解析，帮助同学们更好地理解解题思路和方法。
第一题，解二元一次方程组已知方程组x + y = a，xy = b，其中a，b都是正实数。
问：关于x，y可否作出以下四种判断？A.若a < b，则方程组有唯一解B.若a = 0，b ≠ 0，则方程组有无穷多解C.若a > b，且a ≠ 0 ，则方程组有无穷多解D.若a > 0 ，b = 0，则方程组有无穷多解解析：我们可以通过列方程进行解答。
将第一个方程改写为y = a - x，然后代入第二个方程，得到x(a - x) = b。
化简后得到x² - ax + b = 0。
根据二次方程的求解条件，判别式应大于0，即a² - 4b > 0。
回答问题：A. 根据判别式条件a² - 4b > 0，即a² > 4b，若a < b，则不满足判别式条件，方程组无解，故判定错误。
B. 若令a = 0，此时b ≠ 0，方程组化简为x² = b，解该方程组可得到x的两个解，即方程组有两个解，故判定错误。
C. 若a > b 且a ≠ 0，判定式条件为a² - 4b > 0，根据不等式a > b，上式可变形为 a² - 4b > 4b - 4b，即a² - 8b > 0。
故符合判定条件，方程组有无穷多解，故判定正确。
D. 若a > 0，b = 0，判定式条件为a² - 4b > 0，即a² > 0。
满足判定条件，方程组有唯一解，故判定错误。
第二题，解平方根方程已知方程√(x - 1) - 2√(x - 4) = √(2x - 5) - x，请解此方程，并写出解的集合。
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2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题 一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） )1ln(102)(coslimxxx = . （2） 曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是 . （3） 设)(cos02xnxaxnn，则2a= .
（4）从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为 . （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，yxxyxf其他,10,0,6),(则}1{YXP . （6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(N，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为0.95的置信区间是 . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1( 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设函数f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ] y O x
（2）设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有
(A) nnba对任意n成立. (B) nncb对任意n成立. (C) 极限nnncalim不存在. (D) 极限nnncblim不存在. [ ]
（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0yxxyyxfyx，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则 (A) 当sr时，向量组II必线性相关. (B) 当sr时，向量组II必线性相关. (C) 当sr时，向量组I必线性相关. (D) 当sr时，向量组I必线性相关. [ ] （5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为nm矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； ② 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是 (A) ① ②. (B) ① ③. (C) ② ④. (D) ③ ④. [ ]
（6）设随机变量21),1)((~XYnntX，则
(A) )(~2nY. (B) )1(~2nY. (C) )1,(~nFY. (D) ),1(~nFY. [ ] 三、（本题满分10分） 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D. (1) 求D的面积A; (2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V. 四、（本题满分12分）
将函数xxxf2121arctan)(展开成x的幂级数，并求级数012)1(nnn的和. 五 、（本题满分10分） 已知平面区域}0,0),{(yxyxD，L为D的正向边界. 试证：
(1) dxyedyxedxyedyxexLyxLysinsinsinsin; (2) .22sinsindxyedyxexLy 六 、（本题满分10分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m表示长度单位米.） 七 、（本题满分12分）
设函数y=y(x)在),(内具有二阶导数，且)(,0yxxy是y=y(x)的反函数. (1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin(322dydxxydyxd变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解. 八 、（本题满分12分） 设函数f(x)连续且恒大于零，
)(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF，ttDdxxfdyxftG12)(22)()(
)(
，
其中}),,{()(2222tzyxzyxt，}.),{()(222tyxyxtD (1) 讨论F(t)在区间),0(内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(tGtF 九 、（本题满分10分）
设矩阵322232223A，100101010P，PAPB*1，求B+2E的特征值与特征向量，其中*A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵. 十 、（本题满分8分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为
:1l 032cbyax
，
:2l 032acybx
，
:3l 032baycx
.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba 十一 、（本题满分10分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、（本题满分8分） 设总体X的概率密度为
其中0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本nXXX,,,21，记).,,,min(ˆ21nXXX (1) 求总体X的分布函数F(x); (2) 求统计量ˆ的分布函数)(ˆxF； (3) 如果用ˆ作为的估计量，讨论它是否具有无偏性. 2003年考研数学一真题评注 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） )1ln(102)(coslimxxx =e1. 【分析】 1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(limxgxf)1(=)()1)(lim(xgxfe进行计算求极限均可.
【详解1】 )1ln(102)(coslimxxx=xxxecosln)1ln(1lim20,
而 212cossinlimcoslnlim)1ln(coslnlim02020xxxxxxxxxx，故原式=.121ee 【详解2】 因为 2121lim)1ln(1)1(coslim22020xxxxxx， 所以原式=.121ee （2） 曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是542zyx. 【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22yxz切平面的法矢量与}1,4,2{n平行确定. 【详解】 令 22),,(yxzzyxF，则 xFx2，yFy2， 1zF.
设切点坐标为),,(000zyx，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00yx，其与已知平面042zyx平行，因此有
11422200yx，
可解得 2,100yx，相应地有 .520200yxz 故所求的切平面方程为 0)5()2(4)1(2zyx，即 542zyx.
（3） 设)(cos02xnxaxnn，则2a= 1 . 【分析】 将)()(2xxxf展开为余弦级数)(cos02xnxaxnn，其系数计算公式为0cos)(2nxdxxfan. 【详解】 根据余弦级数的定义，有 =002]22sin2sin[1xdxxxx
=000]2cos2cos[12cos1xdxxxxxd =1. 【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.
（4）从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为2132.
【分析】 n维向量空间中，从基n,,,21到基n,,,21的过渡矩阵P满足 [n,,,21]=[n,,,21]P，因此过渡矩阵P为：P=[121],,,n[],,,21n.
【详解】根据定义，从2R的基11,0121到基21,1121的过渡矩阵为
P=[121],[21111011],121. =.213221111011 （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则}1{YXP 41 .
【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0zYXgP，一般可转化为二重积分}),({0zYXgP=0),(),(zyxgdxdyyxf进行计算. 【详解】 由题设，有 =.41)126(2102dxxx y 1 D