向量的综合应用
高三数学平面向量的综合应用复习教案全国通用
平面向量的综合应用（2）基本训练： 1、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A:B:C=1:2:3，则a:b:c=( ) A. 1:2:3 B. 2:3:4 C. 3:4:5 D. 1:3:2 2、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2220,a b c +-<则△ABC （ ）A. 一定是锐角三角形；B. 一定是直角三角形；C. 一定是钝角三角形；D. 是锐角或直角三角形；3、 △ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是 （ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形或等腰三角形.4、三角形的两条边长分别为3cm 、5cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －６＝0的根，则此三角形的面积是 .5、在△ABC 中已知sinA:sinB:sinC=(3+1):2;6，求三角形的最小角是 .6．（安徽卷）如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形7．（湖南卷）已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( ) A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 8．（辽宁卷）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π9．(陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形三、例题分析：例1、 在△ABC 中，已知a=3，b=2，B=450，求角A 、C 及边c.例2、 在△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，sin 2A=sin 2B+sin 2C ，试判断△ABC 的形状.例3、 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：cb a 222-=C B A sin )sin(-例4、 在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AD ⊥BC ，垂足为D ，且AD=BC=a ，求cb +bc 的最大值。
向量与圆锥曲线的综合应用
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【 析】 ’ １ ） 解 ． ，， ‘ Ｏ
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由抛物线焦半径公式可得：Ｉ Ｉ Ｂ Ｉ ＋ｌ ＋ Ｆ
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【 解析 】
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＜ｅ ＜ 即ｅ 为锐 角． 【 析 】 （） 解 １设 Ｄ ｌ ） ， ， ， Ａ ＝ａ ， ￣ Ｄ ｔＢ －
【 ６ 设抛物线Ｃ ｉ 例 】 的焦点为 Ｆ 动 点Ｐ ， 在 直线ｈ — 一 ＝ 上运动 ， Ｐ作抛物线 ｃ的两条切 Ｙ ２０ 过 线 Ｐ Ｐ 且与抛 物线 ｃ分别相切于 Ａ、 Ａ、 Ｂ， Ｂ两点．
高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册《平面向量的数量积与平面向量的综合应用》综合复习课件
1．平面向量数量积运算的常用公式
常
用
结
论
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，
反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，
反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
3 ，
AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，
﹣1
则 · ＝________.
➢ 求非零向量a，b的数量积的3种方法
方
法
总
结
方法
适用范围
定义法 已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的
基底法
一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一
些实际问题.
考向预测
1.平面向量数量积的运算
命题
2.平面向量数量积的性质
角度
3.平面向量数量积的应用
核心
素养
数学运算、直观想象
基础梳理
一、平面向量的数量积
1．数量积定义
|a||b|cos θ
• 已知两个非零向量a与b，我们把数量__________
叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·
垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解；
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其
他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用正弦、
余弦函数在定义域内的有界性求值域等．
2．平面向量在几何中的应用主要体现在：
三角函数与向量的基本概念及综合应用
向量和三角函数的基本概念与应用一、 向量的基本概念：1、 向量、平行向量（共线向量）、零向量、单位向量、相等向量：2、 向量的表示：→AB 、→a 、区别于|→AB|、|→a |3、 向量的加法、减法：平行四边形法则和三角形法则★ 例题1、一艘船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速为2km/h ；求船实际航行的速度大小和方向。
（答案：4km/h ，方向与水流方向成60°角）★【※题2】①设O 为平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足→OP=→OA+λ(→AB+→AC),λ∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( D )A 外心B 垂心C 内心D 重心 ②将上题中的条件改为→OP=→OA+λ( →AB |→AB| + →AC|→AC|)则应选( C )★ 例题3：（1）、化简下列各式：①→MN+→NM ；②→FD+→DE-→EF ；③→AB+→BC+→CA ；④（→AB-→DC ）+（→DA-→CB ）其中结果为0的有①③④（ 2）、在平行四边形ABCD 中，→AB=→a ,DB=→b ,则有:→AD=→a -→b ,→AC=→a +→a -→b4、 实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示：① 注意点的坐标和向量的坐标的差别：②向量的平等行和垂直坐标公式：5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角：★例1、已知平行四边形OADB 中，→OA=→a ,→OB=→b ,AB 与OD 相交于点C ，且|BM|=13|BC|，|CN|=13|CD|，用→a 、→b 表示→OM 、→ON 、和→MN 。
★ 例2、求证；G 为△ABC 的重心的充要条件是：→GA+→GB+→GC=0★例3、已知AD 、BE 分别是△ABC 的边BC 、AC 上的中线，→AD=→a ,→BE=→b ，则→BC=____★ 例4、①已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若M,N,,P 三点共线，O 为坐标原点，且→ON=a 31→OM+a 2→OP(直线MP 不过点O ），则S 32等于多少？②（2006年江西高考）已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若→OB=a 1→OA+a 200→OC,且=A,B,C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ）A 100B 101C 200D 201★例5、①若→a 的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则|→a |=_____② 已知→a =(1,2),→b =(x,1),且→a +2→b 与2→a -→b 平行，则x 之值为____③ 已知→a =(3,4),→a ⊥→b ,且→b 的起点坐标为(1,2)，终点坐标为 (x,3x)，则→b 等于_____ ④ 已知点M （3，-2），N （-5，-1），且→MP=12→MN ，则点P 的坐标是____（答案：（-1，-32）巩固练习：（一）平面向量的坐标运算规律：①设→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),则→a +→b =_________；→a -→b =__________,λ→a =______；②|→a |=→a 2 =x 12+y 12；又→a ²→b =|→a |²|→b |²cos<→a ,→b >=x 1x 2+y 1y 2则cos<→a ,→b >= →a ²→b |→a ||→b = x 1x 2+y 1y 2 x 12+y 12 ²x 22+y 22 ; ③若→a ∥→b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0; 若→a ⊥→b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0，★例1、 ① 已知→a =(3,5) → b=(2,3),→c =(1,-2),求（→a ²→b )²→c （答案：（21，-42））②已知→a =(3,-1),→b =(-1,2),则-3→a -2→b 的坐标为_____(答案:(-7,-1)) ③已知|→a |=4,|→b |=3,(2→a -3→b )²(2→a +→b )=61,求→a 与→b 的夹角.(为120°) ④已知|→a |=2,|→b |=9, →a ²→b =-542,求→a 与→b 的夹角.(为135°)★ 例2、①已知→a =(1,2),→b =(x,1)且→a +2→b 与2→a -→b 平行，则x=_____(答案:21)②已知|→a |=2,|→b |=1, →a 与→b 的夹角为3π,求向量2→a +3→b 与3→a -→b 的夹角的余弦值.(答案:2837 ²31 )；③已知向量→a =(cos α,sin α),→b =(cos β,sin β),且→a ≠±→b ,则→a +→b 与→a -→b 的夹角大小是____(90°)④已知向量→a 与→b 的夹角为120°,且|→a |=3,|→a +→b |=13 ,则|→b |=_____★例3已知→a =(1,2),→b =(-3,2),当k 为何值时,①k →a +→b 与→a -3→b 垂直?②k →a +→b 与→a -3→b 平行,平行时它们是同向还是反向?（解:①k=19; ②k=-1/3,反向.）★例4:①若向量→a +3→b 垂直于向量7→a -5→b ,且向量→a -4→b 垂直于向量7→a -2→b ,求向量→a 与→b 的夹角大小.(答案:60°)②已知向量→a =(2,7),→b =(x,-3),当→a 与→b 的夹角为钝角时，求出x 的取值范围；若→a 与→b 的夹角为锐角时，问x 的取值范围又为多少？（答案：为钝角时x<212≠-67; 为锐角时x>212)★例5、已知→a =(cos x 2,sin x 2),→b =(sin 3x 2,cos 3x2),x ∈[0,2π]，①求→a ²→b ；②求|→a +→b |，③设函数ƒ（x)=→a ²→b+2|→a +→b |，求出ƒ(x ）的最大值和最小值。
掌握初中数学如何正确利用向量解决平面和立体几何的问题
掌握初中数学如何正确利用向量解决平面和立体几何的问题数学是一门抽象而又实用的学科，其中涉及到许多与几何相关的问题。
在初中数学中，向量是一项重要的概念，它能够帮助我们解决平面和立体几何的各种问题。
本文将就如何正确利用向量解决这些问题进行讨论与探究。
一、向量的基本概念与运算向量是带有方向和大小的物理量，可以用箭头表示。
在平面几何中，向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
在立体几何中，向量可以表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别代表向量在三个坐标轴上的分量。
向量的加法是指两个向量相加的运算，结果是一个新的向量。
两个向量相加时，只需要将它们对应的分量相加即可。
向量的减法和加法类似，只需要将对应的分量相减即可。
二、向量的应用——平面几何在平面几何中，向量可以用来求解线段的长度、判断两条线段是否平行、计算角的余弦值等问题。
1. 线段的长度当我们知道线段的两个端点的坐标时，可以利用向量求解线段的长度。
设线段的两个端点为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的长度为：AB = √((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
2. 平行线的判断如果两条线段的向量相等，那么它们是平行的。
设线段AB的向量为a(x1, y1)，线段CD的向量为b(x2, y2)，则当a = b时，可以判断AB与CD平行。
3. 角的余弦值设θ为两条线段的夹角，向量a(x1, y1)和向量b(x2, y2)的点乘公式为：a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模长。
通过改变θ的值，可以求得不同角的余弦值。
三、向量的应用——立体几何在立体几何中，向量可以用来求解三角形的面积、判断四边形是否为平行四边形等问题。
1. 三角形的面积设三角形的三个顶点为A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)，则三角形的面积可以用向量叉乘求解。
8 平面向量线性运算及综合应用问题
1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )．A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b2．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝1，则|a ＋b |＝( )．A ．1 B. 2 C. 3 D ．23．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝ ( )．A.23B.13 C ．－13 D ．－234．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )．A.π6B.π3C.2π3D.5π65．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为 ( )．A.π6B.π3C.π2D.2π36．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.7．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF→＝2，则AE →·BF →的值是________．9．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1，0)．(1)若x ＝π6，求向量a ，c 的夹角； (2)当x ∈π2，9π8时，求函数f (x )＝2a ·b ＋1的最大值．10．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．11．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2C ＝12，且c ＝3.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．。
2021高中数学一轮复习课件第五章 平面向量、复数第三节 第二课时 平面向量的综合应用
速度垂直于对岸行驶，则这艘船的航行速度的大小为________，
方向与水流方向的夹角为________．
解析：如图所示，设
―→ AB
表示水流速度，
―→ AC
表示船
垂直于对岸行驶的速度，以AB为一边，AC为一对角
―→ 线作▱ABCD，则 AD 就表示船的航行速度．
∵|
―→ AB
|＝4
3
，|
―→ AC
|＝12，∴|
心；由
―→ NA
＋
―→ NB
＋
―→ NC
＝0知，N为△ABC的重心；因为
―→ PA
―→ ·PB
＝
―→ PB
―→ ·PC
，所以(
―→ PA
－
―→ PC
―→ )·PB
＝0，所以
―→ CA
·―P→B ＝0，所以―C→A ⊥―P→B ，即CA⊥PB，同理AP⊥BC，
CP⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选C．
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[解题技法] 向量在解析几何中的2个作用
向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此 载体 类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外 作用 衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关
距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题
利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、 工具 作用 平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解
形的内心．
(6)对于△ABC，O，P为平面内的任意两点，若
―→ OP
＝
―O→A ＋λ
―→ AB ―→
＋
―→ AC ―→
(λ>0)，则直线AP过△ABC的内心．
常考问题平面向量的线性运算及综合应用
常考问题平面向量的线性运算及综合应用部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑常考问题8平面向量的线性运算及综合应用[真题感悟] 1．(2018·辽宁卷>已知点A(1,3>，B(4，－1>，则与向量A错误!同方向的单位向量为( >．b5E2RGbCAPA.错误!B.错误!p1EanqFDPwC.错误!D.错误!DXDiTa9E3d解读A错误!＝(4，－1>－(1,3>＝(3，－4>，∴与A错误!同方向的单位向量为错误!＝错误!.RTCrpUDGiT答案A 2．(2018·福建卷>在四边形ABCD中，错误!＝(1,2>，错误!＝(－4,2>，则该四边形的面积为( >5PCzVD7HxAA.错误!B．2错误!C．5D．10解读因为错误!·错误!＝0，所以错误!⊥错误!.jLBHrnAILg 故四边形ABCD的面积S＝错误!|错误!||错误!|＝错误!×错误!×2错误!＝5.xHAQX74J0X答案C 3．(2018·湖北卷>已知点A(－1,1>，B(1,2>，C(－2，－1>，D(3,4>，则向量错误!在错误!方向上的投影为( >LDAYtRyKfEA.错误!B.错误!C. －错误!D．－错误!解读错误!＝(2,1>，错误!＝(5,5>，所以错误!在错误!方向上的投Zzz6ZB2Ltk影为错误!＝错误!＝错误!＝错误!.dvzfvkwMI1答案A 4．(2018·新课标全国Ⅰ卷>已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t>b.若b·c＝0，则t＝________.rqyn14ZNXI 解读因为向量a，b为单位向量，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝错误!，由b·c＝0，得∴b·c＝ta·b＋(1－t>·b2＝错误!t＋(1－t>×12＝错误!t＋1－t＝1－错误!t＝0.∴t＝2.EmxvxOtOco答案2 5．(2018·山东卷>已知向量错误!与错误!的夹角为120°，且|错误!|＝3，|错误!|＝2.若A错误!＝λ错误!＋错误!，且错误!⊥错误!，则实数λ的值为________．SixE2yXPq5解读由错误!⊥错误!知错误!·错误!＝0，即错误!·错误!＝(λ错误!＋错误!>·(错误!－错误!>＝(λ－1>错误!·错误!－λA 错误!2＋错误!2＝(λ－1>×3×2×错误!－λ×9＋4＝0，解得λ＝错误!.6ewMyirQFL答案错误![考题分析]题型选择题、填空题难度低档考查平面向量的有关概念(如单位向量>、数量积的运算(求模与夹角等>．中档在平面几何中，求边长、夹角及数量积等．高档在平面几何中，利用数量积的计算求参数值等.1．向量的概念(1>零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2>长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±错误!.(3>方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量>．(4>如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k>是直线l的一个方向向量．(5>|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．2．两非零向量平行、垂直的充要条件设a＝(x1，y1>，b＝(x2，y2>，(1>若a∥b⇔a＝λb(λ≠0>；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2>若a⊥b⇔a·b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的性质(1>若a＝(x，y>，则|a|＝错误!＝错误!.(2>若A(x1，y1>，B(x2，y2>，则|A错误!|＝错误!.kavU42VRUs (3>若a＝(x1，y1>，b＝(x2，y2>，θ为a与b的夹角，则cosθ＝错误!＝错误!.y6v3ALoS89 4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量错误!＝错误!－错误!(其中O为我们所需要的任何一个点>，这个法则就是终点向量减去起点向量．M2ub6vSTnP 5．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．0YujCfmUCw 6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.eUts8ZQVRd热点一平面向量的线性运算【例1】(2018·江苏卷>设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝错误!AB，BE＝错误!BC.若错误!＝λ1错误!＋λ2错误!(λ1，λ2为实数>，则λ1＋λ2的值为________．sQsAEJkW5T解读如图，错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!>＝－错误!错误!＋错误!错误!，则λ1＝－错误!，λ2＝错误!，λ1＋λ2＝错误!.GMsIasNXkA答案错误![规律方法]在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1>题就是把向量错误!用TIrRGchYzg 错误!，错误!表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．7EqZcWLZNX【训练1】(2018·天津卷>在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若错误!·错误!＝1，则AB的长为________．lzq7IGf02E 解读在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!－错误!错误!，又错误!＝错误!＋错误!，zvpgeqJ1hk ∴错误!·错误!＝(错误!＋错误!>·(错误!－错误!错误!>＝错误!2－错误!错误!·错误!＋错误!·错误!－错误!错误!2＝|错误!|2＋错误!|错误!||错误!|·cos60°－错误!|错误!|2＝1＋错误!×错误!|错误!|－错误!|错误!|2＝1.NrpoJac3v1∴错误!|错误!|＝0，又|错误!|≠0，∴|错误!|＝错误!.1nowfTG4KI答案错误!热点二平面向量的数量积【例2】若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为( >．A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!fjnFLDa5Zo 解读法一由已知|a＋b|＝|a－b|，两边平方，整理可得a·b＝0.①由已知|a＋b|＝2|a|，两边平方，整理可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.②把①代入②，得b2＝3a2，即|b|＝错误!|a|.③而b·(a＋b>＝b·a＋b2＝b2，故cos〈b，a＋b〉＝错误!＝tfnNhnE6e5错误!＝错误!＝错误!.HbmVN777sL又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝错误!.法二如图，作O错误!＝a，O错误!＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则O错误!＝a＋b，B错误!＝a－b.V7l4jRB8Hs 由|a＋b|＝|a－b|，可知|O错误!|＝|B错误!|，所以平行四边形OACB是矩形．又|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，可得|O错误!|＝|B错误!|＝2|O错误!|，故在Rt△AOB中，|错误!|＝错误!83lcPA59W9＝错误!|O错误!|，故tan∠OBA＝错误!＝错误!，所以∠BOC＝∠OBA＝错误!.而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝错误!.mZkklkzaaP答案A [规律方法]求解向量的夹角，关键是正确求出两向量的数量积与模．本例中有两种解法，其一利用已知向量所满足的条件和向量的几何意义求解，其二构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．AVktR43bpw 【训练2】(2018·湖南卷>已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( >．ORjBnOwcEd A．[错误!－1，错误!＋1] B．[错误!－1，错误!＋2]2MiJTy0dTTC．[1，错误!＋1] D．[1，错误!＋2]解读由a，b为单位向量且a·b＝0，可设a＝(1,0>，b＝(0,1>，又设c＝(x，y>，代入|c－a－b|＝1得(x－1>2＋(y－1>2＝1，又|c|＝错误!，故由几何性质得错误!－1≤|c|≤错误!＋1，即错误!－1≤|c|≤错误!＋1.答案A热点三平面向量与三角函数的综合【例3】已知向量m＝(sinx，－1>，n＝(cosx,3>．(1>当m∥n时，求错误!的值；(2>已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，错误!c＝2asin(A＋B>，函数f(x>＝(m＋n>·m，求f错误!的取值范围．gIiSpiue7A解(1>由m∥n，可得3sinx＝－cosx，于是tanx＝－错误!，∴错误!＝错误!＝错误!＝－错误!.uEh0U1Yfmh(2>在△ABC中A＋B＝π－C，于是sin(A＋B>＝sinC，由正弦定理，得错误!sinC＝2sinAsinC，∵sinC≠0，∴sinA＝错误!.又△ABC为锐角三角形，∴A＝错误!，于是错误!<B<错误!.∵f(x>＝(m＋n>·m＝(sinx＋cosx,2>·(sinx，－1>＝sin2x＋sinxcosx－2＝错误!＋错误!sin2x－2＝错误!sin错误!－错误!，IAg9qLsgBX ∴f错误!＝错误!sin错误!－错误!＝错误!sin2B－错误!.由错误!<B<错误!得错误!<2B<π，∴0<sin2B≤1，－错误!<错误!sin2B－错误!≤错误!－错误!，WwghWvVhPE即f(B＋错误!>∈错误!.asfpsfpi4k [规律方法]在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．ooeyYZTjj1【训练3】(2018·江苏卷>已知向量a＝(cosα，sinα>，b＝(cosβ，sinβ>，0<β<α<π.BkeGuInkxI(1>若|a－b|＝错误!，求证：a⊥b；(2>设c＝(0,1>，若a＋b＝c，求α，β的值．(1>证明由|a－b|＝错误!，即(cosα－cosβ>2＋(sinα－sinβ>2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.PgdO0sRlMo(2>解由已知条件得错误!3cdXwckm15 cosβ＝－cosα＝cos(π－α>，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sinα＋sin (π－α>＝1，即sinα＝错误!，故α＝错误!或α＝错误!.当α＝错误!时，β＝错误!(舍去>h8c52WOngM 当α＝错误!时，β＝错误!.审题示例(四> 突破有关平面向量问题的思维障碍图1解读法一设直角三角形ABC的两腰长都为4，如图1所示，以C为原点，CA，CB所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(4,0>，B(0,4>，因为D为AB的中点，所以D(2,2>．因为P为CD的中点，所以P(1,1>．故|PC|2＝12＋12＝2，|PA|2＝(4－1>2＋(0－1>2＝10，|PB|2＝(0－1>2＋(4－1>2＝10，所以错误!＝错误!＝10.v4bdyGious图2法二如图2所示，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别作为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设|CA|＝a，|CB|＝b，则A(a,0>，B(0，b>，则D错误!，P错误!，J0bm4qMpJ9∴|PC|2＝错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!，XVauA9grYP|PB|2＝错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!，bR9C6TJscw|PA|2＝错误!2＋错误!2＝错误!＋错误!，pN9LBDdtrd 所以|PA|2＋|PB|2＝10错误!＝10|PC|2，DJ8T7nHuGT∴错误!＝10.法三如图3所示，取相互垂直的两个向量C错误!＝a，C错误!＝b 作为平面向量的基向量，显然a·b＝0.QF81D7bvUA图3则在△ABC中，B错误!＝a－b，因为D为AB的中点，所以C错误!＝错误!(a＋b>．4B7a9QFw9h 因为P为CD的中点，所以P错误!＝－错误!C错误!＝－错误!×错误!(a＋b>＝－错误!(a＋b>．在△CBP中，P错误!＝P错误!＋C 错误!＝－错误!(a＋b>＋b＝－错误!a＋错误!b，在△CAP中，P 错误!＝P错误!＋C错误!＝－错误!(a＋b>＋a＝错误!a－错误!b.所以|P错误!|2＝错误!2＝错误!(a2＋b2＋2a·b>＝错误!(|a|2＋|b|2>，|P错误!|2＝错误!2＝错误!a2＋错误!b2－错误!a·b＝错误!|a|2＋错误!|b|2，|P错误!|2＝错误!2＝错误!a2＋错误!b2－错误!a·b＝错误!|a|2＋错误!|b|2.故错误!＝错误!＝10.ix6iFA8xoX答案D 方法点评以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢地把握向量的这两个基本特征．wt6qbkCyDE [针对训练]在△ABC中，已知BC＝2，错误!·错误!＝1，则△ABC的面积S△ABC最大值是________．Kp5zH46zRk解读以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－1,0>，C(1,0>．设A(x，y>，则错误!＝(－1－x，－y>，错误!＝(1－x，－y>，于是错误!·错误!＝(－1－x>(1－x>＋(－y>(－y>＝x2－1＋y2.Yl4HdOAA61由条件错误!·错误!＝1知x2＋y2＝2，ch4PJx4BlI这表明点A在以原点为圆心，错误!为半径的圆上．当OA⊥BC时，△ABC面积最大，即S△ABC＝错误!×2×错误!＝错误!.(建议用时：60分钟>1．(2018·陕西卷>设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( >．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解读由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，则有cos〈a，b〉＝±1.即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|.qd3YfhxCzo答案C 2．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝错误!则|b|等于( >．E836L11DO5A．5B．4C．3D．1解读向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝错误!，则a·b＝|a||b|·cos120°＝－错误!|b|，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去>或|b|＝4.答案B 3．(2018·辽宁一模>△ABC中D为BC边的中点，已知A错误!＝a，A错误!＝b则在下列向量中与A错误!同向的向量是( >．S42ehLvE3MA.错误!＋错误!B.错误!－错误!501nNvZFisC.错误!D．|b|a＋|a|b解读∵A错误!＝错误!(A错误!＋A错误!>＝错误!(a＋b>，jW1viftGw9∴向量错误!与向量A错误!是同向向量．xS0DOYWHLP答案C 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为( >．LOZMkIqI0wA．30°B．60°C．120°D．150°解读因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b>．所以|c|2＝(a＋b>2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos60°＝3.所以|c|＝错误!.ZKZUQsUJed 又c·a＝－(a＋b>·a＝－a2－a·b＝－1－cos60°＝－错误!，设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝错误!＝错误!＝－错误!.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.dGY2mcoKtT答案D5．(2018·安徽卷>在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|错误!|＝|错误!|＝错误!·错误!＝2，则点集{P|错误!＝λ错误!＋μ错误!，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( >．rCYbSWRLIA A．2错误!B．2错误!C．4错误!D．4错误!FyXjoFlMWh 解读由|错误!|＝|错误!|＝错误!·错误!＝2，知cos∠AOB＝错误!，又0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝错误!，又A，B是两定点，可设A(错误!，1>，B(0,2>，P(x，y>，由错误!＝λ错误!＋μ错误!，可得错误!⇒错误!TuWrUpPObX 因为|λ|＋|μ|≤1，所以错误!＋错误!≤1，当错误!7qWAq9jPqE 由可行域可得S0＝错误!×2×错误!＝错误!，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4错误!，故选D.llVIWTNQFk答案D 6．(2018·新课标全国Ⅱ卷>已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则错误!·错误!＝________.yhUQsDgRT1解读由题意知：错误!·错误!＝(错误!＋错误!>·(错误!－错误!>＝(错误!＋错误!错误!>·(错误!－错误!>＝错误!2－错误!错误!·错误!－错误!错误!2＝4－0－2＝2.MdUZYnKS8I答案2 7．(2018·江西卷>设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为错误!，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．09T7t6eTno 解读a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝错误!.∵a·b＝(e1＋3e2>·2e1＝2e错误!＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴错误!＝错误!.答案错误! 8．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰DC上的动点，则|P错误!＋3P错误!|的最小值为______．e5TfZQIUB5解读建立如图所示的直角坐标系，设DC＝m，P(0，t>，t∈[0，m]，由题意可知，A(2,0>，B(1，m>，P错误!＝(2，－t>，P错误!＝(1，m－t>，P错误!＋3P错误!＝(5,3m－4t>，|P错误!＋3P 错误!|＝错误!≥5，当且仅当t＝错误!m时取等号，即|P错误!＋3P错误!|的最小值是5.s1SovAcVQM答案59．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为错误!，|OB|＝2，设∠AOB＝θ，θ∈错误!.GXRw1kFW5s(1>用θ表示点B的坐标及|OA|；(2>若tanθ＝－错误!，求O错误!·O错误!的值．UTREx49Xj9解(1>由题意，可得点B的坐标为(2cosθ，2sinθ>．在△ABO中，|OB|＝2，∠BAO＝错误!，∠B＝π－错误!－θ＝错误!－θ.由正弦定理，得错误!＝错误!，8PQN3NDYyP即|OA|＝2错误!sin错误!.mLPVzx7ZNw(2>由(1>，得O错误!·O错误!＝|O错误!||O错误!|cosθAHP35hB02d＝4错误!sin错误!cosθ.NDOcB141gT因为tanθ＝－错误!，θ∈错误!，1zOk7Ly2vA所以sinθ＝错误!，cosθ＝－错误!.又sin错误!＝sin错误!cosθ－cos错误!sinθ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!，fuNsDv23Kh 故O错误!·O错误!＝4错误!×错误!×错误!＝－错误!.tqMB9ew4YX 10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m ＝(a，b>，n＝(sinB，sinA>，p＝(b－2，a－2>．HmMJFY05dE(1>若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2>若m⊥p，边长c＝2，C＝错误!，求△ABC的面积．(1>证明因为m∥n，所以asinA＝bsinB，即a·错误!＝b·错误!(其中R是△ABC外接圆的半径>，所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．ViLRaIt6sk(2>解由题意，可知m·p＝0，即a(b－2>＋b(a－2>＝0，所以a＋b ＝ab，由余弦定理，知4＝c2＝a2＋b2－2abcos错误!＝(a＋b>2－3ab，即(ab>2－3ab－4＝0，所以ab＝4或ab＝－1(舍去>．9eK0GsX7H1所以S△AB C＝错误!absinC＝错误!×4×sin错误!＝错误!.naK8ccr8VI11．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π>，C点坐标为(－2,0>，平行四边形OAQP的面积为S.B6JgIVV9ao(1>求O错误!·O错误!＋S的最大值；P2IpeFpap5(2>若CB∥OP，求sin错误!的值．3YIxKpScDM解(1>由已知，得A(1,0>，B(0,1>，P(cos θ，sin θ>，因为四边形OAQP是平行四边形，所以O错误!＝O错误!＋O错误!＝(1,0>＋(cosθ，sinθ>gUHFg9mdSs＝(1＋cosθ，sinθ>．所以O错误!·O错误!＝1＋cos θ.uQHOMTQe79又平行四边形OAQP的面积为S＝|O错误!|·|O错误!|sinθ＝sinθ，IMGWiDkflP 所以O错误!·O错误!＋S＝1＋cosθ＋sinθ＝错误!sin错误!＋1.WHF4OmOgAw又0<θ<π，所以当θ＝错误!时，O错误!·O错误!＋S的最大值为错误!＋1.aDFdk6hhPd(2>由题意，知C错误!＝(2,1>，O错误!＝(cosθ，sinθ>，ozElQQLi4T因为CB∥OP，所以cosθ＝2sinθ.又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，解得sinθ＝错误!，cosθ＝错误!，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝错误!，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝错误!.CvDtmAfjiA 所以sin错误!＝sin2θcos错误!－cos2θsin错误!＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.QrDCRkJkxh申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
三角函数与向量的基本概念及综合应用
三角函数与向量的基本概念及综合应用湖南省省级示范性高中-------洞口三中方锦昌提供一.向量的基本概念:1. 向量.平行向量(共线向量).零向量.单位向量.相等向量:2. 向量的表示:..区别于.3. 向量的加法.减法:平行四边形法则和三角形法则例题1.一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的速为2km/h;求船实际航行的速度大小和方向.(答案:4km/h,方向与水流方向成60°角)【_题2】①设O为平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+l(+),l∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( D )A外心 B 垂心 C 内心 D 重心②将上题中的条件改为=+l(+)则应选( C)例题3:(1).化简下列各式:①+;②+-;③++;④(-)+(-)其中结果为0的有①③④( 2).在平行四边形ABCD中,=,DB=,则有:=-,=+-4. 实数与向量的积.平面向量基本定理.平面向量的坐标表示:①注意点的坐标和向量的坐标的差别:②向量的平等行和垂直坐标公式:5.向量的数量积的概念,以及向量平行.垂直.长度.夹角:例1.已知平行四边形OADB中,=,=,AB与OD相交于点C,且BM=BC,CN=CD,用.表示..和.例2.求证;G为△ABC的重心的充要条件是:++=0例3.已知AD.BE分别是△ABC的边BC.AC上的中线,=,=,则=____例4.①已知等差数列｛an｝的前n项之和为Sn,若M,N,,P三点共线,O为坐标原点,且=a31+a2(直线MP不过点O),则S32等于多少?②(_年江西高考)已知等差数列｛an｝的前n项之和为Sn,若=a1+a200,且=A,B,C 三点共线(该直线不过点O),则S200等于( )A 100B 101C 200D 201例5.①若的起点和终点坐标分别为(1,3),(4,7),则=_____②已知=(1,2),=(_,1),且+2与2-平行,则_之值为____③已知=(3,4),⊥,且的起点坐标为(1,2),终点坐标为 (_,3_),则等于_____④已知点M(3,-2),N(-5,-1),且=,则点P的坐标是____(答案:(-1,)巩固练习:(一)平面向量的坐标运算规律:①设=(_1,y1),=(_2,y2),则+=_________;-=__________,l=______;②==;又·=··cos_lt;,_gt;=_1_2+y1y2则cos_lt;,_gt;==; ③若∥__8660;_1y2-_2y1=0; 若⊥__8660;_1_2+y1y2=0,例1. ① 已知=(3,5) =(2,3),=(1,-2),求(·)· (答案:(21,-42))②已知=(3,-1),=(-1,2),则-3-2的坐标为_____(答案:(-7,-1))③已知=4,=3,(2-3)·(2+)=61,求与的夹角.(为120°)④已知=2,=9, ·=-54,求与的夹角.(为135°)例2.①已知=(1,2),=(_,1)且+2与2-平行,则_=_____(答案:)②已知=2,=1, 与的夹角为,求向量2+3与3-的夹角的余弦值.(答案:);③已知向量=(cosa,sina),=(cosb,sinb),且≠±,则+与-的夹角大小是____(90°)④已知向量与的夹角为120°,且=3,+=,则=_____例3已知=(1,2),=(-3,2),当k为何值时,①k+与-3垂直?②k+与-3平行,平行时它们是同向还是反向?(解:①k=19; ②k=-1/3,反向.)例4:①若向量+3垂直于向量7-5,且向量-4垂直于向量7-2,求向量与的夹角大小.(答案:60°)②已知向量=(2,7),=(_,-3),当与的夹角为钝角时,求出_的取值范围;若与的夹角为锐角时,问_的取值范围又为多少?(答案:为钝角时__lt;,_≠; 为锐角时__gt;)例5.已知=(cos,sin),=(s in,cos),_∈[0,],①求·;②求+,③设函数_brvbar;(_)=·++,求出_brvbar;(_)的最大值和最小值.解:·=sin2_; +=(sin_+cos_), _brvbar;(_)的最大值为1+2,最小值2例6.已知向量a=(sinq,1),b=(1,cosq),-_lt;q_lt;,①若a⊥b,求出q之值,②求出a+b的最大值.(答案:q=-,a+b的最大值+1)例7.①已知向量=(cosq,sinq),向量=(,-1),求2-的最大值.(答案为4)②已知向量=(3,1),向量=(_,-3),且⊥,求出_之值.(答案为1)③已知=3,=2,且与的夹角为60°,当m为何值时,两向量3+5与m-3互相垂直?(答案:m=)④已知=3,=8,向量与的夹角为120°,则+之值为多少?(答案:7)⑤已知==1,及3-2=3,求出3+之值.(答案:2)⑥已知,是非0向量,且满足-2⊥,和-2⊥,则与的夹角为多少?(答案:为60);⑦已知向量=(4,-3),=1,且·=5,则=_______(答案:(,)⑧若向量与的夹角为60°,且=4,又有(+2)·(-3)=-72,则向量的模为多少?(答案:为6);⑨已知点A(-2,0),点B(3,0),动点P(_,y)满足·=_2,则动点P的轨迹方程为____(答案:y2=_+6)⑩在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a+c=2b,A-C=,求sinB(答案:)例8.已知向量,,且=4,=3,又(2-3)·(2+)=61,则_lt;,_gt;=_____(120°)例9.已知两点M(-1,0),N(1,0),且点P使·,·,·成公差小于0的等差数列,①求点P的轨迹方程;②若点P的纵坐标为,求tan_lt;,_gt;之值.(答案:①_2+y2=3(__gt;0);②)例10.已知=(1,-2),=(1,l),①若和的夹角为锐角,求l的取值范围;②若和垂直,求l之值;③若和的夹角为钝角,求l的取值范围;④若和同向,求l的值;⑤若和反向,求l的值;⑥若和共线,求l的值.例11.已知=(-3,2),=(2,1),=(3,-1),t∈R,①若-t与共线,求实数t之值.②求出+t的最小值及相应的t之值.四.三角与与向量的综合归纳1.三角变形公式主要是:①诱导公式;②sin(a±b),cos(a±b),tan(a±b);③sin2a,cos2a,tan2a;③sin2a,cos2a;④asinq+bcosq;⑤注意常数代换(如1= sin2a+cos2a;=sin30°=cos60°等;角的配凑(如a=(a+b)-b,2a=(a+b)+(a-b),a=+等)2.变形时,要注意角与角之间的相互关系,最常用的有:切割化弦.高次降幂.异角化同角等;(化同名.化同次.化同角)3.三角函数的图象和性质,要注意定义域.值域.奇偶性.图象对称性.周期性.单调性.最值;正.余弦函数作图的〝五点法〞,以及图象的变换.4.解三角形时,要充分利用正弦定理.余弦定理,结合三角形的内角和定理,三角变形公式去处理问题;5.向量要注意选择几何.字符.坐标运算形式,力求简化运算过程;要将坐标运算与基底运算灵活加以应用;向量的数量积是解决有关平行.垂直.夹角.模.投影等问题的重要工具;利用2=·=2可以实现数量积与模的相互转化.【_题1】①已知=(1,1)与+2的方向相同,则·的取值范围是_______(答案:(-1,+∞))②已知非零向量与满足(+)·=0,且·=,则△ABC为(D )A钝角△ B Rt△ C 等腰非等边△ D 等边△③已知=(3,1),=(-1,2),若⊥,且∥,则=________(答案:(14,7))④已知向量=(1,-2),=(1,l),若与的夹角为锐角,则实数l的取值范围是_____(答案:(-∞,-2)∪(-2,))【_题2】设函数_brvbar;(_)= ·,其中向量=(2cos_,1),=(cos_,sin2_),①当_brvbar;(_)=1-,且_∈[-,],求_; ②若函数y=2sin2_的图象按向量=(m,n)(m_lt;)平移后得到函数y=_brvbar;(_)的图象,求实数m,n之值.解:①_brvba r;(_)=2sin(2_+)+1,则_=-;②m= , n=1【_题3】①已知tan(a-π)=,则(2sina+cosa)cosa的值为(A )AB C 1 D 0②已知a.b∈(,π),sin(a+b)=,sin(b-)=,则cos(a+)=__________(答案:)③已知_brvbar;(_)=2tan_-,则是_brvbar;()的值为( )A4B C 4D 8 (解._brvbar;(_)=,则所求为8)【_题4】①设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且c=2a,则cosB=(B )A B C D②已知某正弦函数y=Asin(ω_+j)的部分图象如图示,则_brvbar;(_)的解析式为________(答案:y= y=-4sin(_+)③函数y=sin(2_-)的图象是由函数y=cos2_的图象经过下列哪种平移变换而得到的( D ) A 向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位D向右平移个单位【_题5】①设点P是函数_brvbar;(_)=sinω_的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则_brvbar;(_)的最小正周期是_______(答案:π)②已知函数_brvbar;(_)=sin (r_gt;0)的图象上的一个最大值点和一个最小值点都在圆_2+y2=r2上,则_brvbar;(_)的最小正周期是______(答案:4)③已知函数y=sin(ω_+j)(ω_gt;0,0_lt;j_lt;π)是偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在[0,]上是单调函数,求ω和j的值.(答案:j=;ω=2或)【_题6】已知函数_brvbar;(_)= sinω_cosω_-cos2ω_+(ω≠0)的最小正周期是π,且图象关于直线_= 对称,①求出ω之值; ②若当_∈[0,]时,a+_brvbar;(_)_lt;4恒成立,求实数a的取值范围.解.①_brvbar;(_)= -sin(2_+)+1;②a+_brvbar;(_)_lt;4恒成立_THORN;[-4-_brvbar;(_)]ma__lt;a_lt;[4-_brvbar;(_)]min则a∈(-4,)【_题7】①把函数y=cos_-sin_的图象向左平移m个单位之后,所得图象关于y轴对称,则m的最小值是( C )A B C D②若_brvbar;(_)= asin(_+)+3sin(_-)是偶函数,则a=______(答案:-3)③把曲线C:y=sin(-_)cos(_+)向右平移a(a_gt;0)个单位,得到曲线C′,若曲线C′关于点(,0)对称,则a的最小值是_____(答案:)【_题8】受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=_brvbar;(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据:t(时)3691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经过长期观察, y=_brvbar;(t)曲线可以近似地看作函数y=Asinωt+k的图象①根据以上数据,求出函数y=_brvbar;(t)的近似表达式; ②一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5m或5m以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m,如果该船想在同一天内安全进出港口,问它至多能在港内停留多长的时间(忽略进出港口所需时间)解:①y=3sint+10;②y=3sint+10≥5+6.5,则1≤t≤5或13≤t≤17,则最多可停留16个小时.【_题9】设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,(Ⅰ)给出下列两个条件:__10122;a,b,c成等差数列; __10123;a,b,c成等比数列;(Ⅱ)给出下列三个结论:①0_lt;B≤;②a·cos2()+c·cos2()=;③1_lt;≤请你选择给定的两个条件中的一个做为条件,给定的三个结论中的两个做为结论,组建一个你认为正确的命题,并给出证明.解:(1)可组建四个正确的命题:__10122;_THORN;①②;__10122;_THORN;①③;__10122;_TH ORN;②③;__10123 ;_THORN;①③(2)y= = sin(B+)且0_lt;B≤,则1_lt;y≤一.综合巩固练习(1)例1:化简: ①··(答案:sinq)②化简:sin(a-)+cos(a+)(答案:0)③已知π_lt;a_lt;2π,cos(a-9π)=,求cot(a-)的值 (答案:原式=-tana=4/3)1.函数y= + + +的值域为(B):A｛-2,4 ｝B ｛-2,0,4｝ C ｛-2,0,2,4｝D ｛-4,-2,0,4｝2.设函数_brvba r;(_)=asin(π_+a)+bcos(π_+b),其中a,b,a,b均为非0实数,且有_brvbar;(_)=1,求_brvbar;(_)之值 (答案:-1)3.已知sina是方程5_2-7_-6=0的一个根,求之值解;sina=,则所求为-tan2a=4.①求sincosπtan(-)之值 (答案:)_②已知tan(5π+a)=m,则之值为多少?(答案)5.(_·湖南省·文科·16题·12分)已知sinq - ·cosq=1,q∈(0,π),求q之值解:化简得sinq -2sin2q=0,则sinq=0(舍去)或,则q=或6.(_·天津·文科·17题·12分)已知tana+cota=5/2,a∈(,)求cos2a和sin(2a+)之值.(答案:∵tana=2, cos2a=和sin(2a+)=)7.(_·安徽·文科·17题·12分)已知a为锐角,且sina=,求①之值;②求tan(a-)的值.(答案:①20;②)8.已知sin(kπ+q)=-2cos(kπ+q)(k∈Z),求下列各式:①5cos2q+3sinqcosq;②;③tanq(cosq-sinq)+解:①; ②10;③sinq=±二.巩固练习(2):三角变形的主要的公式有:①a±b的正弦.余弦.正切;②sin2a,cos2a,tan2a,③sin2a,cos2a,④asinq+bcosq例1.辅助角公式的应用:①sin_±cos_②sin_±cos_③ sin_± cos_④sin_±cos_⑤3sinq±3cosq例2 化简:1-sin22a-sin2(a-)-cos4a (为(sin2a-cos2a)例3 ①cos113°cos23°+sin113°cos67°②③(答案:①cos90°=0,②tan30=,③2-)题4.(_·广东·15题·14分)已知函数_brvba r;(_)=sin_+sin(_+),_∈R,①求_brvbar;(_)的最小正周期; ②求_brvbar;(_)的最大值和最小值;③若_brvbar;(a)=3/4,求sin2a之值.(答案:①2π,②±;③题5.(_·陕西·17题·12分)已知已知函数_brvbar;(_)=sin(2_-)+2sin2(_-),(_∈R),① 求_brvbar;(_)的最小正周期;②求使_brvbar;(_)取得最大值的_的集合;答案:①π;②所求_的集合为:｛_kπ+,k∈Z｝题6.(_·湖北·16题·12分)设向量=(sin_,cos_),=(cos_,cos_),_∈R,函数_brvbar;(_)=·(+),① 求函数_brvbar;(_)的的最大值和最小正周期;②求使不等式_brvbar;(_)≥成立的_的取值范围的集合答案 ;最大值为+,最小正周期为π,所求_的集合为:｛_kπ-≤_≤kπ+,k∈Z｝题7.(_·湖南·16题·12分)如图,D是直角三角形△ABC斜边BC上的一点,且AB=AD,记∠CAD=a,∠ABC=b,①证明sina+cos2b=0; ②若AC=DC,求b的值.(答案:b=)题8.(_·江西·19题·12分)在锐角三角形△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA=2/3,①求tan2()+sin2()的值;②若a=2,S△ABC=,求b的值.(答案:①,②b=)题9.(_·浙江·16题·14分)如图,函数y=2sin(π_+j),(_∈R)(其中0≤j≤)的图象与y轴交于点(0,1);①求j的值;②设P为图象上的最高点,M,N是图象与_轴的交点,求与的夹角.(答案:j=;夹角为arccos)(三)巩固练习(3):【_题1】函数_brvbar;(_)=tanω_(ω_gt;0)的图象的相邻两支截直线y=所得的线段长为,则_brvbar;()之值是( A ) A 0 B 1 C -1 D【_题2】已知=(cosa,sina),=(cosb,sinb),且与之间满足关系:k+=-k,其中k_gt;0,则·的最小值是___,此时与的夹角大小为_______解.平方得·=≥则最小值为,此时与的夹角大小为60°【_题3】函数_brvbar;1(_)=Asin(ω_+j)(A_gt;0,ω_gt;0,j_lt;)的一段图象过点(0,1),如图所示,①求函数_brvbar;1(_)的解析式;②将函数y=_brvbar;1(_)的图象按向量=(,0)平移,得到函数y=_brvbar;2(_)的图象,求函数y=_brvbar;1(_)+ _brvbar;2(_)的最大值,及此时自变量_的取值集合.解.①_brvbar;1(_)=2sin(2_+);②y=_brvbar;2(_)= -2cos(2_+) y=_brvbar;1(_)+ _brvbar;2(_)= 2sin(2_-) 当_=kπ+π(k∈Z)时,yma_=2【_题4】◆①若函数_brvbar;(_)=sin3_-cos3_在区间M上的最大值与最小值的差等于4,则区间M一定不可能是( C )A[-,] B[-π,-] C [,] D [,π]◆②设函数_brvbar;(q)=acos2q+bsin2q+2acosq,其中a≠b≠0,q∈[0,π]则关于q的方程_brvbar;(q)=0的解有( )个 A 0 B 1 C 2D 无数个解._brvbar;(q)=(a-b)cos2q+2acosq+b=(a-b)t2+2at+b (-1≤t≤1)则_brvbar;(-1)·_brvbar;(1)=-3a2_lt;0又△_gt;0从而选(B);【_题5】在三角形ABC中,若·+·+·=-6①若∠C为直角,求c边的长;②若三角形的周长等于6,试判断三角形ABC的形状解.①利用余弦定理,则有c=;②可判断出△ABC为正三角形【_题6】函数_brvbar;(_)=Asin(ω_-)(A_gt;0,ω_gt;0)的图象经过点(π,2),且其单调递增区间的最大长度是2π,求出其单调递减区间.(解.A=4,周期为4π,则有ω=,从而_brvbar;(_)=4sin(_-),则单调递减区间为[+4kπ, +4kπ](k∈z)【_题7】已知向量=(sin_,cos_),=(cos_,cos_),=(2,1),①若∥,求sin2_的值;②设函数_brvbar;(_)=·,△ABC的三边a,b,c满足b2=ac,且_brvbar;(B)=1,试判断△ABC的形状解.①∥则tan_=2,则sin2_=②_brvbar;(_)= +sin(2_+),由_brvbar;(B)=1则B=.又由余弦定理有a=c,从而为正三角形【_题8】已知=(,),=-,=+,若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则向量=_____,△AOB面积为_____解.⊥且=,则旋转90°画图知=(,)或(,),△AOB面积是1【_题9】若把函数的图象沿向量a=(-,-2)平移后,得函数y=cos_的图象,则原函数的解析式为( A )A y=cos(_-)+2 B y=cos(_+)+2 Cy=cos(_-)-2 Dy=cos(_+)-2【_题10】设向量=(cos_,sin_),=(sin_,-sin_),①求函数_brvbar;(_)=loga(·+) (a_gt;0且a ≠1)的单调递增区间; ②若·=,且_∈(0,),求满足sin(_-q)-sin(_+q)+sin2_=的最小正角q.(解._brvbar;(_)=loga(sin2_+)则①当a_gt;1时,↗为(kπ-,kπ+);②0_lt;a_lt;1时,↗为(kπ+,kπ+)③最小正角q=四.巩固练习(4)【_题1】已知A(3,0),B(0,3),C(cosa,sina), ①若· =-1,求sin2a之值②若+=,且a∈(0,π),求与的夹角解.sin2a=-5/9 与的夹角为30°【_题2】已知_brvbar;(_)=asin(π_+a)+bsin(π_-b),其中a.b.a.b均为非零实数,若_brvbar;(_)= -1,则_brvbar;(_)之值为( B):A 0 B 1 C -1 D _【_题3】已知向量=(4cosB,cos2B-2cosB),=(sin2(+),1),且_brvbar;(B)=·①若_brvbar;(B)=2,且0_lt;B_lt;π,求角B;②若对任意的角B∈(0,), _brvbar;(B)-m_gt;2恒成立,求实数m的取值范围.(解.①_brvbar;(B)= ·=2sin(2B+),B=;②m_lt;2sin(2B+)-2恒成立,则m∈(-∞,--2]【_题4】已知_brvbar;(_)=sin(_+)+sin(_-)+cos_+a(a∈R,a为常数,_∈R);①求函数_brvbar;(_)的最小正周期; ②若函数_brvbar;(_)的最大值为3,求实数a之值;③求函数_brvbar;(_)的递减区间.解.①_brvbar;(_)=2sin(_+)+a,则最小正周期T=2π;② a=1;③函数_brvbar;(_)的递减区间为[2kπ+,2kπ+] (k∈z)【_题5】已知函数_brvbar;(_)= ,①若函数_brvbar;(_)的定义域为(0,),求函数_brvbar;(_)的单调递减区间;②若_brvbar;(_)=-2,求_之值.解.①_brvbar;(_)=2sin(_+),_brvbar;(_)的单调递减区间为[,);②_=kπ-,(注意:_=kπ-时,cos2_=0,应舍去)五.巩固练习(5):1.y=sin_,y=cos_,y=tan_的图象和性质; 以及五点做图法的应用.2. y=Asin(ω_+j),y=Acos(ω_+j)的周期.奇偶性.对称轴.单调性.最值.3. 巩固练习:①如果函数y=sin2_+acos2_的图象关于直线_=-对称,则a=( D )A B - C1 D -1②求下列函数的周期:__10122;y=sin_+cos_; __10123;y=sin(2_+)cos2_;__10124;y=cos24_; __10125;y=tan_-cot_;③求函数y=cos2_-3cos_+2的最小值(答案为0)例1已知函数y=2sin(ω_+j)(j_lt;)的图象,①求出ω.j的值;②求出函数图象的对称轴方程,对称中心的坐标,最小正周期.解:①ω=2,j=;②对称轴方程为:_= +;对称中心的坐标为( - ,0),最小正周期为π;例2.函数y=3sin(2_+)的图象可以看成是把函数y=3sin2_的图象经过怎样的平移变化而得到的?例2.设函数y=sin2_+sin_cos_+a,①求_brvbar;(_)的递增区间; ②当_∈[0,]时,_brvbar;(_)的最小值为2,求出a的值,并说明此时经过怎样的变换,_brvbar;(_)的图象可变为y=sin_的图象.(答案:a=2)例3.求函数_brvbar;(_)=的最小正周期.最大值.单调递增区间例4.已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A.B.C的大小.解.A=, B =,C=例5.(_年福建·17题·12分)已知函数_brvbar;(_)=sin2_+sin_cos_+2cos2_,_∈R,① 求函数_brvbar;(_)的最小正周期和单调增区间;②函数_brvbar;(_)的图象可以由函数y=sin2_(_∈R)的图象经过怎样的变换而得到?例6.(_年山东·17题·12分)已知函数_brvbar;(_)==Asin2(ω_+j)(A_gt;0,ω_gt;0,0_lt;j_lt;),且y=_brvbar;(_)的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2);①求j;②计算_brvbar;(1)+_brvbar;(2)+…+_brvbar;(_)解.j=,_b rvbar;(1)+_brvbar;(2)+…+_brvbar;(_)=4_502=_例7.已知A,B,C是△ABC的在个内角,向量=(-1,),=(cosA,sinA),且·=1;①求角A;②若,求tanC解.A=,tanC= (注意:当tanB=-1时,cos2B-sin2B=2)六.巩固练习(6):例1.平面内有两点A(1,cos_),B(cos_,1),其中_∈[-,],①求向量OA与OB的夹角q的余弦值;②记_brvbar;(_)=cosq,求_brvbar;(_)的最小值.解:① cosq = ;② _brvbar;(_) = ,而2≤cos_+≤,则_brvbar;(_)的最小值为,(注意:最大值才是1)例2. 如图,点P是△ABC内一点,且=+,则△ABP的面积与△ABC的面积之比是_____ 解:由向量的平行四边形法则,则=,从而所求之比为3.函数_brvbar;(_)=cos(π-_)·lg_在区间[,]内的图象是4.将函数y=sinω_(ω_gt;0)的图象按向量=(,0)平移,平移后的图象如图所示,则该图象所对应的函数的解析式是( )A y=sin(_+)B y=sin(_-)C y=sin(2_+)D y=sin(2_-)5.在直角坐标系中,横坐标和纵坐标均为整数的点叫做格点,若函数y=_brvbar;(_)的图象恰好经过k个格点,则称函数y=_brvbar;(_)为k阶格点函数.给出下列四个函数:① y=sin_;② y=log2_;③ y=e_-1;④ y=_2;其中为一阶格点函数的函数个数共有( )个A 1B 2C 3D 46.已知数列｛an｝是首项为1,公差为2的等差数列,将数列｛an｝中的各项排成如图所示的一个三角形数表,记A(i,j)表示第i行从左至右的第j个数,例如A(4,3)=a9,则A(10,2)=()A 91B 93C 95D 977.定义运算a◆b为:a◆b= a (a≤b)b (a_gt;b) 则1◆2_的取值范围是______8.如果对某对象连续施加两次相同的变换,其结果还是变换前的对象,则称这种变换叫做〝回归变换〞,例如,对于一个实数a,其相反数的相反数仍是a,所以〝取实数的相反数〞是一种回归变换.那么,对于任意的实数_,线性变换y=k_+b(k.b∈R,b≠0)是回归变换的充要条件是_____9.某公司拟投资13亿元进行项目开发,现有6个项目可供选择,其投资额和利润如下表所示:项目ABCDEF投资额(亿元)526461利润(千万元)０．５５０．４０．６０．５０．９０．１设计一个投资方案,使投资13亿元所获得的利润最大,则应选的项目是______(只需写出投资方案中的项目的代号)10.设a为实常数,函数_brvbar;(_)= +sin_,若存在_0∈(,π),使得a_brvbar;(_0)=1+a成立,求出a的取值范围.11.某工厂有容量为300吨的水塔一个,每天从早上6点起到晚上10点止供应该厂生活和生产用水,已知该厂生活用水是10吨/小时,工业用水W吨与时间t(单位:小时,且定义早上6点时t=0)的函数关系式为W=100,水塔进水量有10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水就增加10吨,若某天水塔原有水量是100吨,且在供水的同时又打开进水管,请你设计进水量的级数,使得水塔既能保证该厂用水 (水塔中的水不空),又不会使水溢出.。
2021-高考-立体几何的向量方法-综合应用-含答案word
2021-高考-立体几何的向量方法-综合应用-含答案word一、解答题1. 如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.（Ⅰ）求证AC⊥BC1；（Ⅱ）求证AC1//平面CDB1；（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.2. 如图，在四棱锥(Ⅰ) 求证：当(Ⅱ) 当中，底面时，平面时，求二面角面为矩形，；的大小。
面，。
3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,AB= PA=1,AD=3，F是PB中点，E为BC上一点．（1）求证：AF⊥平面PBC；（2）当BE为何值时，二面角C－PE－D为45．o4. 已知等腰直角三角形ABC中，?BAC?90?，D为AC的中点，正方形BCC1B1与ABC所在的平面垂直，AB?2．1（1）求证AB1平行平面DBC1；（2）求DC1与平面ABC1夹角的正弦值．5. 如图, 四边形ABCD为正方形, PD⊥平面ABCD, PD∥QA, QA=AB=PD. (Ⅰ) 证明:平面PQC⊥平面DCQ; (Ⅱ) 求二面角Q-BP-C的余弦值.6. 如图所示，四面体ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B―AC―D的余弦值．7. 如图,在四棱柱P―ABCD中,底面ABCD为直角梯形,?BAD?90?,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a,PA?平面ABCD,PD与平面ABCD成30?角. (1)若AE?PD,E为垂足,求证:BE?PD; (2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.28. 如图：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=,E、F分别为线段PD和BC的中点．(I) 求证：CE//平面PAF；(II) 在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．9. 如图，三棱锥P?ABC中，PB?底面ABC，?BCA?90?，PB?BC?CA?2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF?FA. （1）求证：平面PAC?平面BEF；（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.10. 如图所示的几何体中,四边形PDCE为矩形,ABCD 为直角梯形,且?BAD = ?ADC= 90°,平面PDCE?平面ABCD,AB?AD?12,PD?2(1)若M为PA的中点,求证:AC?平面MDE;3(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.11. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD 的体积.12. 已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（I）证明：BN⊥平面C1B1N;（II）设直线C1N与CNB1所成的角为?，求cos?的值.13. 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，如图Ｅ、Ｆ分别是BB1，ＣＤ的中点，（1）求证：D1F?平面ADE；（2）cosEF,CB1．zD1A1B1EFBCyC1DAx?14. 如图,在四棱锥P?ABCD中,底面为直角梯形,AD//BC,?BAD?90,PA?底面ABCD,PA?AD?AB?2BC,M,N分别为PC,PB的中点.4(Ⅰ)求证:PB?DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值.15. 如图所示，正四棱锥P-ABCD中，异面直线PD与AE夹角的余弦值为65，点E是PB的中点. 13（1）求二面角P-AC-E的大小；（2）在侧面PAD上是否存在一点F，使EF?侧面PBC．若存在，试确定F点的位置，并加以证明；若不存在，试说明理由.16. 如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2.（1）若点E为AB的中点，求证：BD1∥平面A1DE；（2）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1?EC?D的大小为在，请说明理由. 17. 如图甲，是边长为6的等边三角形，，点G为BC边的中点，线段AG?？若存在，求出AE的长；若不存6交线段ED于点F.将ΔAED沿ED翻折，使平面AED�A平面BCDE，连结AB、AC、AG形成如图乙的几何体.(I)求证:BC�A平面ATG;(II)求二面角B―AE―D的大小.5感谢您的阅读，祝您生活愉快。