2018届高考数学二轮复习 第3部分 数学文化专项突破 3-4 统计概率类 文
2018年高考数学文二轮复习讲义：第二编 专题整合突破
专题七 概率与统计 第一讲 概率
必记公式] 1．古典概型的概率 特点：有限性，等可能性．
P(A)＝mn＝A中所含的基本事件数基本事件总数. 2．几何概型的概率 特点：无限性，等可能性．
P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验全部结果所构成的区域长度面积或体积. 重要性质及结论] 1．随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1； 必然事件的概率为1； 不可能事件的概率为0. 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)． 2．互斥事件概率公式的推广 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) 失分警示] 1．混淆互斥事件与对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件． 2．不能准确理解“至多”“至少”“不少于”等词语的含义． 3．几何概型中，线段的端点、图形的边框等是否包含在事件之内不影响所求结果． 4．在几何概型中，构成事件区域的是长度、面积，还是体积判断不明确，不能正确区分几何概型与古典概型． 考点 古典概型 典例示法 典例1 (1)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.12 B.13
C.14 D.16 解析] 从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为
2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是26＝13. 答案] B (2)2016·南昌一模]现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的． ①求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率； ②求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率． 解] 甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下：
【高考数学】2018年高考数学(文)二轮复习课件：第1部分 重点强化专题 专题3 突破点6 古典概型与几何概型
4．(2017· 全国卷Ⅰ)如图61，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方 形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(
1 A.4 1 C.2 π B.8 π D.4
)
图61
B [不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝ 4. 1 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝ 2 S圆 π S黑 2 π π ＝2，所以由几何概型知所求概率P＝ ＝ ＝ . S正方形 2×2 8 故选B.]
3 A.5 1 C.2
)
3 B．10 6 D.25
(2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上为增 函数的概率是( ) 【导学号：04024067】 9 A.16 4 C.16 7 B.16 3 D.16
(1)B (2)A [(1)设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，则先后从 中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2， a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)， (b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2， b1)，共20种． 其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2， 6 3 b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为20＝10.故选B.
5．(2016· 全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时 间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿 灯的概率为(
2018年高考数学文二轮专题复习训练专题六概率与统计复数算法 (2)
专题六概率与统计、复数、算法一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：05856093)(2018·黑河摸底考试)复数3－2i2i的共轭复数在复平面内的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(导学号：05856094)(2017·佳木斯摸底考试)一个班有50名学生，随机编为1～50号，为了解他们在课外的兴趣爱好，运用系统抽样法选出5名学生进行问卷调查，若有3名学生编号为6,26,36，则另2名学生编号分别为() A．16,48 B．18,48 C．18,46 D．16,463．(导学号：05856095)已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程y^＝＝b^x＋a^必过点()A.(2,2) B．(1,2) C4．(导学号：05856096)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13 B.12 C.23 D.565．(导学号：05856098)(2017·巴中质检)某学校从高三甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x＋y的值为() A．6 B．7 C．8 D．96．(导学号：05856099)(2017·遵义联考)在2015年全国大学生运动会中，某主办校从含A的6名大学生中选配2名学生参加比赛，则学生A不被选配参加比赛的概率为()A.16 B.13 C.12 D.237．(导学号：05856100)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均气温高于20℃的月份有5个8．(导学号：05856101)如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为()A．20 B．25 C．22.5 D．22.759．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，则函数f(x)＝x2＋2ax＋2有两个不同零点的概率为()A.13 B.12 C.23 D.5610．(导学号：05856102)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.30秒跳绳决赛的有6人，则()A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛11．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为()A.15 B.25 C.35 D.45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．已知复数z＝i＋i2＋i3＋…＋i20171＋i，则复数z在复平面内对应的点为__________．13．高三(2)班在一次数学考试中，对甲、乙两组各12名同学的成绩进行统计分析，两组成绩的茎叶图如图所示，成绩不少于90分为及格，现从两组成绩中按分层抽样抽取一个容量为6的样本，则不及格分数应抽________个．414．任意实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于79的概率是__________．15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a、b∈{0,1,2，…，9}，则|a－b|≤1的概率为__________．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．( (本小题满分10分))某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．18 (本小题满分12分))某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550(或等于550分)为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表：(1)(2)根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为推广新课改与数学成绩有关系？参考数据：k2＝(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)19.(导学号：05856109)(本小题满分12分)公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；(2)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.(导学号：05856110)(本小题满分12分)(2017·定西联考)已知直线l1：3x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}．(1)求直线l1∩l2≠∅的概率；(2)求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率．21.(导学号：05856111)(本小题满分12分)为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b^＝∑i ＝1n (x 1－x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1n(x i y i )－n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b^x22. (本小题满分12分))高三理科某班有男同学30名，女同学15名，老师按照分层抽样的方法组建一个6人的课外兴趣小组．(1)求课外兴趣小组中男、女同学各应抽取的人数；(2)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为1.6、2、1.9、2.5、2，第二次做实验的同学得到的实验数据是2.1、1.8、1.9、2、2.2，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．专题六 概率与统计、复数、算法1．B 3－2i 2i ＝(3－2i )×(－i )2i ×(－i )＝－2－3i 2＝－1－32i.其共轭复数为－1＋32i ，对应点在第二象限．2．D 系统抽样抽取过程被抽的样本间隔是一样的． 3．C 回归方程必过点(x ，y )，∵x ＝0＋1＋2＋34＝32，y ＝1＋2＋4＋54＝3，∴回归方程过点(1.5,3)．4．C 将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，故选C.5．C 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S ＞0.01； 运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S ＞0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.0625，n ＝3，S ＞0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.0625＝0.0625，m ＝0.03125，n ＝4，S ＞0.01； 运行第五次：S ＝0.03125，m ＝0.015625，n ＝5，S ＞0.01； 运行第六次：S ＝0.015625，m ＝0.0078125，n ＝6，S ＞0.01； 运行第七次：S ＝0.0078125，m ＝0.00390625，n ＝7，S ＜0.01. 输出n ＝7.故选C. 6．D7．D 设6名学生分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，则选配2名的不同选法为(AB )，(AC )，(AD )，(AE )，(AF )，(BC )，(BD )，(BE )，(BF )，(CD )，(CE )，(CF )，(DE )，(DF )，(EF )共计15种，而某学生A 不被选配参加比赛的共10种，所以某学生A 不被选配参加比赛的概率1015＝23.8．D 由图可知0℃均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5℃，而一月的平均温差小于7.5℃，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5℃，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个，所以不正确．故选D.9．C 中位数的两侧频率相等，第一组的频率是0.1，第二组的频率是0.2，第三组的频率是0.4，所以设中位数是20＋x,0.08x ＝0.2，解得x ＝2.5，所以中位数是22.5故选C.10．D 抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2有两个不同零点，得Δ＝4a 2－8＞0，解得a ＜－2或a ＞ 2.又a 为正整数，故a 的取值有2,3,4,5,6，共5种结果，所以函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2有两个不同零点的概率为56，故选D.11．B 将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺序排，分别是3,6,7,10，(1,5并列)，4，其中3,6,7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，此时确定的30秒跳绳比赛的名单为3,6,7,10,9，还需3个编号为1－8的同学进决赛，而(1,5)与4的成绩仅相隔1，故只能1,5,4进30秒跳绳的决赛，故选B.12．B 1个红球，2个白球和3个黑球记为a 1，b 1，b 2，c 1，c 2，c 3，从袋中任取两球有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，结果共15种，其中满足两球颜色为一白一黑有6种，所以一黑一白的概率等于615＝25.13.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 ∵i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝1＋i －1－i ＝0， ∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20171＋i＝i1＋i＝i (1－i )2 ＝1＋i 2＝12＋12i ，对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，所以答案应填⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.14．3 从茎叶图可知及格分数与不及格分数各占一半，所以不及格分数应抽3个．15.34 由程序框图可知，当n ＝1时，满足执行循环的条件，x ＝2x ＋1；n ＝2；满足执行循环的条件，x ＝2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3；n ＝3；满足执行循环的条件，x ＝2(4x ＋3)＋1＝8x ＋7；n ＝4，不满足循环的条件，所以输出8x ＋7，令8x ＋7≥79可得x ≥9，又因为输入x ∈[2,30]，所以输出的x 不小于79的概率为P ＝30－930－2＝34. 16．0.28 当a 为0时，b 只能取0,1两个数；当a 为9时，b 只能取8,9两个数；当a 取其他数时，b 都可以取3个数，故共有28种情形．又总事件数为100，所以所求的概率为P ＝28100＝0.28.17．(1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间 [0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15. 所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w 至少定为3.5分(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)10分 18．(1)6分(2)根据列联表中的数据，得到k ＝90×(35×25－13×17)248×42×52×38≈9.66＞7.879，则说明在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为新课改与数学成绩有关系．19．(1)当x ≤19，y ＝3800；当x ＞19时，y ＝3800＋500(x －19)＝500x －5700， ∴y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧3800， x ≤19，500x －5700， x ＞19，(x ∈N ).4分(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46， 不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.8分 (3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800， 20台的费用为4300,10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为： 1100(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4000×90＋4500×10)＝4050比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.12分 20．(1)直线l 1的斜率k 1＝32，直线l 2的斜率k 2＝ab .设事件A 为“直线l 1∩l 2≠∅”．a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}的总事件数为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)共36种．若l 1∩l 2＝∅，则l 1∥l 2，即k 1＝k 2，即2a ＝3b ，满足条件的实数对(a ，b )有(3,2)，(6,4)共两种情形．∴P (A )＝1－236＝1718，则直线l 1∩l 2≠∅的概率为1718.6分(2)设事件B 为“直线l 1与l 2的交点位于第一象限”，由于直线l 1与l 2有交点，则2a ≠3b .联立方程组⎩⎨⎧3x －2y －1＝0，ax －by ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b ＋23b －2a ，y ＝a ＋33b －2a .∵直线l 1与l 2的交点位于第一象限，则⎩⎨⎧x ＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b ＋23b －2a ＞0，y ＝a ＋33b －2a ＞0，解得2a ＜3b .10分a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}的总事件数为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)共36种， 满足条件的实数对(a ，b )有24种， ∴P (B )＝2436＝23，∴直线l 1与l 2的交点位于第一象限的概率为23.12分21．(1)x ＝3，y ＝5，∑i ＝15x i ＝15，∑i ＝15y i ＝25，∑i ＝15x i y i ＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝55，解得：b ^＝－1.23，a ^＝8.69，∴y ^＝8.69－1.23x.6分 (2)年利润z ＝x(8.69－1.23x)－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ∴x ＝2.72时，年利润最大.12分22．(1)男生：3045×6＝4人；女生：1545×6＝2人.4分 (2)设“第1次选出男生，第2次选出女生为事件A ”， “第1次选出女生，第2次选出男生为事件B ”，则列举P(A)＝415，P(B)＝415， ∴P ＝415＋415＝815.答：恰有一名女生的概率是815.9分 (3)X 1＝1.6＋2＋1.9＋2.5＋25＝2；X 2＝2.1＋1.8＋1.9＋2＋2.25＝2.∵S 21＝0.084，S 22＝0.02，∴S 21＞S 22，∴第二次做实验的同学更稳定.12分。
高考数学二轮复习专题三概率与统计第2讲概率学案理20181
第2讲 概 率[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．热点一 古典概型和几何概型 1．古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.2．几何概型的概率P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).例1 (1)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展．现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教．将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为( ) A.425 B.25 C.1425 D.45 答案 C解析 由题意，将这六名毕业生全部进行安排，每所学校至少2名毕业生，基本事件的总数为N ＝⎝⎛⎭⎪⎫C 26＋C 36C 33A 22×A 22＝50，每所学校男女毕业生至少安排一名共有2种情况．一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校有一女三男，有C 12C 14A 22＝16(种)， 二是其中一个学校安排一女二男，另一个学校有一女两男，有C 12C 24＝12(种)， 共有16＋12＝28(种)．所以概率为P ＝2850＝1425.(2)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是( )A.16B.13C.12D.23答案 D解析 以M 为原点，BA 所在直线为y 轴，BA 的垂线为x 轴，建立平面直角坐标系，则过C ，M ，D 的抛物线方程为y 2＝12x ，则图中阴影部分面积为2ʃ212x d x ＝2×2332x |20＝83，所以落在阴影部分的概率为P ＝834＝23，故选D.思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．跟踪演练1 (1)(2017·山东)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.518 B.49 C.59 D.79 答案 C解析 方法一 ∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取， ∴P (第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝518，P (第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝518，∴P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59.方法二 依题意，得P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4C 29＝59.(2)(2018·咸阳模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机选取一个实数x ，则事件“sin x ≥32”发生的概率为( ) A ．1 B.14 C.13 D.16答案 D解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，sin x ≥32，所以π3≤x ≤π2， 所以由几何概型的概率公式得事件“sin x ≥32”发生的概率为π2－π3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝16.热点二 条件概率与相互独立事件 1．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率P (B |A )＝P (AB )P (A ).2．相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )．例2 (1)(2018·衡水调研)电路从A 到B 上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是( )A.1027B.448729C.100243D.4081 答案 B解析 由题图可知，AC 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，连通的概率是1－19＝89.EF 之间连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，未连通的概率是1－49＝59，故CB 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝2581，故CB 之间连通的概率是1－2581＝5681，故AB 之间连通的概率是89×5681＝448729.(2)(2018·新余模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A ＝“第一次取到的是奇数”，B ＝“第二次取到的是奇数”，则P (B |A )等于( ) A.12 B.25 C.310 D.15答案 A解析 由题意得P (A )＝C 15C 18A 29＝59，P (AB )＝C 15C 14A 29＝518，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝51859＝12.思维升华 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解． (2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．跟踪演练2 (1)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.110 B.15 C.25 D.12 答案 C解析 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，由题意得P (A )＝12，P (AB )＝15.由条件概率的定义可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1512＝25.(2)如图，ABCD 是以O 为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH 是正方形ABCD 的内接正方形，且E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．将一枚针随机掷到圆O 内，用M 表示事件“针落在正方形ABCD 内”，用N 表示事件“针落在正方形EFGH 内”，则P (N |M )等于()A.1πB.22C.12D.14 答案 C解析 由题意得，圆O 的半径为2， 所以内接正方形ABCD 的边长为AB ＝22， 则正方形ABCD 的面积为S 1＝(22)2＝8，因为E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 所以EF ＝12×2R ＝2，所以正方形EFGH 的面积为S 2＝22＝4， 所以P (N |M )＝48＝12，故选C.热点三 离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列的两个性质(1)p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. 2．独立重复试验、二项分布如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为C k n p k(1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k qn －k，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )，且E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．3．期望公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .4．期望的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . 5．方差公式D (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差为D (X ).6．方差的性质 (1)D (aX ＋b )＝a 2D (X )；(2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．例3 (2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的期望达到最大值？解 (1)由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500， 由表格数据知，P (X ＝200)＝2＋1630×3＝0.2， P (X ＝300)＝3630×3＝0.4， P (X ＝500)＝25＋7＋430×3＝0.4.则X 的分布列为(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ， 因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1 200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . 当200≤n <300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ， 因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n . 所以当n ＝300时，Y 的期望达到最大值，最大值为520元． 思维升华 求解随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量的期望与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．跟踪演练3 (2018·永州模拟)某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000,6 000,2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)：已知A ，B ，C 三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值； (2)现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给发生意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元； 方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支． 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．解 (1)设工种A ，B ，C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X ，Y ，Z ，则X ，Y ，Z 的分布列为保险公司的期望收益为E (X )＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1105＋(25－100×104)×1105＝15； E (Y )＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2105＋(25－100×104)×2105＝5； E (Z )＝40⎝⎛⎭⎪⎫1－1104＋(40－50×104)×1104＝－10. 保险公司的利润的期望值为12 000×E (X )＋6 000×E (Y )＋2 000×E (Z )－100 000＝90 000，故保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为 12 000×100×104×1105＋6 000×100×104×2105＋2 000×50×104×1104＋12×104＝46×104(元)，方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为 (12 000×25＋6 000×25＋2 000×40)×0.7＝37.1×104(元)， 46×104>37.1×104，故建议企业选择方案2.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______． 答案 25解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10， ∴所求概率P ＝1025＝25.2．(2017·浙江改编)已知随机变量ξi满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则E (ξ1)________E (ξ2)，D (ξ1)________D (ξ2)．(填>，<或＝)答案 < <解析 由题意可知ξi (i ＝1,2)服从两点分布， ∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)，又∵0<p 1<p 2<12，∴E (ξ1)<E (ξ2)，把方差看作函数y ＝x (1－x )， 当0<x <12时，y ′＝1－2x >0，根据0<p 1<p 2<12知，D (ξ1)<D (ξ2)．3．(2018·全国Ⅲ改编)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝________. 答案 0.6解析 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以D (X )＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.4或0.6. 又因为P (X ＝4)<P (X ＝6)，所以C 410p 4(1－p )6<C 610p 6(1－p )4，所以p >0.5， 所以p ＝0.6. 押题预测1．某校在2016年的中学数学挑战赛中有 1 000人参加考试，数学考试成绩ξ～N (90，σ2)(σ>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的考生人数约为( )A ．200B ．400C ．600D ．800押题依据 正态分布多以实际问题为背景，有很强的应用价值，应引起考生关注． 答案 A解析 依题意得P (70≤ξ≤110)＝0.6，P (ξ≤110)＝0.3＋0.5＝0.8，P (ξ≥110)＝0.2，于是此次数学考试成绩不低于110分的考生约有 0．2×1 000＝200(人)．2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是____．押题依据 二项分布模型和独立重复试验是生活中常见概率问题的抽象和提炼，也是高考的热点． 答案516解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516.3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租的时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望E (ξ)． 押题依据 利用随机变量求解概率问题是高考的必考点，一般以解答题形式出现，考查离散型随机变量的期望．解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ的可能取值为0,2,4,6,8.P (ξ＝0)＝14×12＝18，P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516， P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516， P (ξ＝6)＝14×14＋12×14＝316， P (ξ＝8)＝14×14＝116，故ξ的分布列为E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.A 组 专题通关1．(2018·邯郸模拟)某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6，只有通过前一关才能进入下一关，且每关通过与否相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为( )A ．0.56B ．0.336C ．0.32D ．0.224 答案 D解析 该选手只闯过前两关的概率为0.8×0.7×(1－0.6)＝0.224.2．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.3．(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A.112 B.114 C.115 D.118 答案 C解析 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45(种)情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，∴所求概率为345＝115.故选C.4．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( ) A.35 B.59 C.25 D.110答案 B解析 设“第一次摸出新球”为事件A ，“第二次摸出新球”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59.5.某游戏中一个珠子从图中的通道(图中实线表示通道)由上至下滑下，从最下面的六个出口(如图所示1,2,3,4,5,6)出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从3号出口出来，那么你取胜的概率为( )A.516B.532C.16 D ．以上都不对答案 A解析 我们把从A 到3的路线图(图略)单独画出来：分析可得，从A 到3共有C 25＝10(种)走法，每一种走法的概率都是⎝ ⎛⎭⎪⎫125，所以珠子从出口3出来的概率是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516.6．(2018·上海黄浦区模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是________．(结果用数值表示) 答案516解析 一枚硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率P ＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝516.7．(2018·日照模拟)在⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋2y ≤7，x ≥0的可行域内任取一点(x ，y )，则满足2x －3y ≥0的概率是_____． 答案 29解析 绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即A (3,2)，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72，C (0，－1)，故S △ABC ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫72＋1×3＝274.作出直线2x －3y ＝0，则2x －3y ≥0表示的区域为△OAC ，即不等式2x －3y ≥0所表示的区域为△OAC ，面积为S △AOC ＝12×1×3＝32，所以满足2x －3y ≥0的概率是P ＝S △AOC S △ABC ＝32274＝29.8．(2018·洛阳联考)已知随机变量X ～B ()2，p ，Y ～N ()2，σ2，若P ()X ≥1＝0.64，P (0<Y <2)＝p ，则P (Y >4)＝________. 答案 0.1解析 ∵随机变量服从X ～B ()2，p ，∴P ()X ≥1＝1－C 02()1－p 2＝0.64，解得p ＝0.4.又Y ～N ()2，σ2，∴P ()Y >4＝P ()Y <0＝0.5－P ()0<Y <2＝0.1.9．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一个被选中的概率是________． 答案 35解析 “男生甲被选中”记作事件A ，“男生乙和女生丙至少有一个被选中”记作事件B ， 则P (A )＝C 26C 37＝15C 37，P (AB )＝C 14＋C 14＋1C 37＝9C 37， 由条件概率公式可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35. 10．(2018·衡水金卷信息卷)2018年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过400元均可参加1次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图)，转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，则顾客可直接获得该区域对应面额(单位：元)的现金优惠，且允许顾客转动3次． 方案二：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图)，转盘停止转动时指针若指向阴影部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得40元现金，且允许顾客转动3次． (1)若两位顾客均获得1次抽奖机会，且都选择抽奖方案一，试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；(2)若某顾客恰好获得1次抽奖机会．①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的期望； ②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？解 (1)若要享受到180元的现金优惠，则必须每次旋转转盘都指向60元对应的区域，由题图可知，每一次转盘指向60元对应区域的概率为p ＝412＝13. 设“每位顾客获得180元现金奖励”为事件A ， 则P (A )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.所以两位顾客均获得180元现金奖励的概率为P ＝P (A )·P (A )＝127×127＝1729.(2)①若选择抽奖方案一，则每一次转盘指向60元对应区域的概率为13，每一次转盘指向20元对应区域的概率为23.设获得现金奖励金额为X 元， 则X 可能的取值为60,100,140,180. 则P ()X ＝60＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827；P ()X ＝100＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49；P ()X ＝140＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29；P ()X ＝180＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.所以选择抽奖方案一，该顾客获得现金奖励金额的期望为E ()X ＝60×827＋100×49＋140×29＋180×127＝100.若选择抽奖方案二，设三次转动转盘的过程中，指针指向白色区域的次数为Y ，最终获得现金奖励金额为Z 元，则Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，故E ()Y ＝3×13＝1， 所以选择抽奖方案二，该顾客获得现金奖励金额的期望为E ()Z ＝E ()40Y ＝40. ②由①知E ()X >E ()Z ，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算．B 组 能力提高11．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y ＝ln x 与直线x ＝e ，y ＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0,1]上的均匀随机数y i (i ∈N *,1≤i ≤10)，其数据如下表的前两行.由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是( ) A.35(e －1) B.25(e －1) C.35(e ＋1) D.25(e ＋1) 答案 A解析 由表可知，向矩形区域⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤e，0≤y ≤1内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为610＝35.∵矩形区域的面积为e －1，∴曲边三角形面积的近似值为35(e －1)．12．记“点M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a (a >0)”为事件A ，记“M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，5x －2y －4≤0，2x ＋y ＋2≥0”为事件B ，若P (B |A )＝1，则实数a 的最大值为( )A.12B.45 C ．1 D.13答案 A解析 要使得P (B |A )＝1，则不等式x 2＋y 2≤a 所表示的区域在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，5x －2y －4≤0，2x ＋y ＋2≥0所表示的平面区域内，又圆x 2＋y 2＝a 的圆心为(0,0)，半径为a ， 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d 1＝12≥a ⇒a ≤12；圆心(0,0)到直线5x －2y －4＝0的距离为d 2＝429≥a ⇒a ≤1629；圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋2＝0的距离为d 3＝25≥a ⇒a ≤45.因为d 1<d 2<d 3，所以a ≤12，所以实数a 的最大值为12.13．赌博有陷阱，某种赌博游戏每局的规则是参与者从标有5,6,7,8,9的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)，若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E (ξ)－E (η)＝________. 答案 3解析 赌金ξ的分布列为E (ξ)＝15(5＋6＋7＋8＋9)＝7，奖金的情况：两卡片数字之差的绝对值为1，共有4种，奖金为2元；两卡片数字之差的绝对值为2，共有3种，奖金为4元；两卡片数字之差的绝对值为3，共有2种，奖金为6元；两卡片数字之差的绝对值为4，共有1种，奖金为8元． 则P (η＝2)＝4C 25＝25，P (η＝4)＝3C 25＝310，P (η＝6)＝2C 25＝15，P (η＝8)＝110.奖金η的分布列为∴E (η)＝2×25＋4×310＋6×15＋8×110＝4，∴E (ξ)－E (η)＝7－4＝3.14.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决定谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X .(1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；(2)求X 的分布列和期望．解 (1)易知对于每次划拳比赛基本事件共有3×3＝9(个)，其中小华赢(或输)包含三个基本事件，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第i (i ∈N *)次划拳小华赢”为A i ；事件“第i 次划拳小华平”为B i ；事件“第i 次划拳小华输”为C i ，所以P (A i )＝P (B i )＝P (C i )＝39＝13.因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为P 1＝A 22P (B 1)P (C 2)P (B 3)＋P (C 1)P (A 2)P (C 3)P (B 4)＝781，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为P 2＝P (B 1)P (B 2)P (C 3)＋A 33P (A 1)P (B 2)·P (C 3)P (C 4)＋P (A 1)P (C 2)P (A 3)P (C 4)P (C 5)＋P (C 1)P (A 2)P (C 3)P (A 4)P (C 5)＝29243. 所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为P ＝P 1＋P 2＝781＋29243＝50243.(2)依题可知X 的可能取值为2,3,4,5，P (X ＝5)＝2P (A 1)P (C 2)P (A 3)P (C 4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝281，P (X ＝2)＝2P (A 1)P (A 2)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (X ＝3)＝2P (A 1)P (B 2)P (A 3)＋2P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (B 1)P (B 2)P (B 3)＋2P (A 1)P (B 2)P (B 3)＋2P (B 1)·P (A 2)P (B 3)＋2P (B 1)P (B 2)P (A 3)＋2P (C 1)P (A 2)·P (A 3)＝1327，P (X ＝4)＝1－P (X ＝5)－P (X ＝2)－P (X ＝3)＝2281.所以X 的分布列为所以X 的期望为E (X )＝2×29＋3×1327＋4×2281＋5×281＝25181.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2018年高考数学二轮总复习高考小题集训(四)文
A．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B．在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C．有 99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D．有 99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 解析：K ≈9.616>6.635， ∴有 99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选 C.
x－y≥0 9． 若变量 x， y 满足约束条件x＋y－3≥0 x≤3
＝( ) A．－2 B．2 1 1 C．－ D. 2 2
， 设 z＝x＋3y 的最小值为 M， 则 log
3
M
3
解析：通解：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线 x＋3y＝ 0 可得，直线过点 A(3,0)时目标函数 z＝x＋3y 取得最小值 3，故 log
高考小题集训(四)
1．已知集合 A＝{x|x≥0}，B＝{y|y －4≤0，y∈Z}，则下列结论正确的是( A．A∩B＝∅ B．(∁RA)∪B＝(－∞，0) C．A∪B＝[0，＋∞) D．(∁RA)∩B＝{－2，－1} 解析：通解：因为 y －4≤0，所以－2≤y≤2，又 y∈Z，所以 B＝{－2，－1,0,1,2}， (∁RA)∩B＝{－2，－1}，故选 D. 优解：由题意知 2∈A,2∈B，－2∈B，直接排除 A、B、C 选项，故选 D. 答案：D 2．(2017·安徽宣城二模)一支田径队共有运动员 98 人，其中女运动员 42 人，用分层 2 抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是 ，则男运动员应抽取( 7 A．18 人 B．16 人 C．14 人 D．12 人 解析：∵田径队共有运动员 98 人，其中女运动员有 42 人，∴男运动员有 56 人， 2 ∵每名运动员被抽到的概率都是 ， 7 2 ∴男运动员应抽取 56× ＝16(人)，故选 B. 7 答案：B 3．定义新的运算 ＝( ) A．1－3i B．1＋3i C．3＋i D．3－i )
2018年高考数学文二轮复习习题：第1部分 重点强化专题 专题3 概率与统计 专题限时集训6 含答案 精品
专题限时集训(六)古典概型与几何概型[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．(2017·衡阳二模)同学聚会上，某同学从A、B、C、D四首歌中选出两首歌进行表演，则歌曲A未被选取的概率为()A.13B．12C.23D．56B[从这四首歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个，其中A未被选取的结果有3个，所以所求概率P＝36＝12.故选B.]2．(2016·福州模拟)在某次全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()A.310 B.58C.710 D.25D[由题意得从5人中选出2人，有10种不同的选法，其中满足2人编号相连的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种不同的选法，所以所求概率为410＝25，故选D.]3．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sin x≤12”发生的概率为()【导学号：04024069】A.34 B.23C.12 D.13D [由正弦函数的图象与性质知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π时，sin x ≤12，所以所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π－5π6π＝13，故选D.]4．(2017·莆田一模)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( ) A.π8 B.π4 C.12D.34B [任取的两个数记为x ，y ，所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 位于阴影区域内(不包括x ，y 轴)，故所求概率P ＝14π×121×1＝π4.]5．(2017·武汉二模)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：y ＝x ，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为( ) A.34 B.23 C.12D.13D [如图所示，设与y ＝x 平行的两直线AD ，BF 交圆C 于点A ，D ，B ，F ，且它们到直线y ＝x 的距离相等，过点A 作AE 垂直于直线y ＝x ，垂足为E ，当点A 到直线y ＝x 的距离为1时，AE ＝1，又CA ＝2，则∠ACE ＝π6，所以∠ACB ＝∠FCD ＝π3，所以所求概率P ＝2π32π＝13，故选D.]二、填空题6．(2017·乌鲁木齐三模)不透明盒子里装有大小质量完全相同的2个黑球，3个红球，从盒子中随机摸取2个球，颜色相同的概率为________．25[设黑球编号为A 1，A 2，红球编号为B 1，B 2，B 3，则从盒子中随机摸取2个球的情况有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10种，其中颜色相同的有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共4种，所以所求概率为P ＝410＝25.]7．(2016·河南市联考)已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{}4，6，8，b ∈{3,5,7}，则该函数有两个零点的概率为__________.【导学号：04024070】23[要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2>0.又a ∈{4,6,8}，b ∈{3,5,7}，即a >b ，而a ，b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a >b 的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为69＝23.]8．(2017·郴州三模)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为________．29[(a ，b )所有可能的结果为(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种．由ax －y ＋b ＝0得y ＝ax ＋b ，当⎩⎨⎧a ≥0，b ≥0时，直线不经过第四象限，符合条件的(a ，b )的结果为(2,1)，(2,3)，共2种，∴直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率P＝2 9.]三、解答题9．(2017·枣庄模拟)根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市某年12月中旬的空气质量指数情况：(2)一外地游客在12月中旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率.【导学号：04024071】[解](1)该试验的基本事件空间Ω＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}，基本事件总数n＝10.设“市民不适合进行户外活动”为事件A，则A＝{13,14,19,20}，包含的基本事件数m＝4，所以P(A)＝410＝25，即12月中旬市民不适合进行户外活动的概率为2 5.(2)该试验的基本事件空间Ω＝{(11,12)，(12,13)，(13,14)，(14,15)，(15,16)，(16,17)，(17,18)，(18,19)，(19,20)}，基本事件总数n＝9，设“适合连续旅游两天的日期”为事件B，则B＝{(11,12)，(15,16)，(16,17)，(17,18)}，包含的基本事件数m＝4，所以P(B)＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49.10．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，y)．(1)若x，y∈R，且1≤x≤6,1≤y≤6，求满足a·b>0的概率；(2)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率．[解](1)用B 表示事件“a·b >0”，即x －2y >0．1分 试验的全部结果所构成的区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}， 2分 构成事件B 的区域为{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x －2y >0}， 3分如图所示．所以所求的概率为P (B )＝12×4×25×5＝425．6分(2)设(x ，y )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个.9分用A 表示事件“a·b ＝－1”，即x －2y ＝－1. 则A 包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个． 11分 ∴P (A )＝336＝112．12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2017·太原一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( ) A.13 B.23 C.12D.34C [记两道题分别为A ，B ，所以抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种．其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.故选C.] 2．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )【导学号：04024072】A.14B.13C.12D.23C [如图所示，取边BC 上的中点D ，由PB →＋PC →＋2P A →＝0，得PB →＋PC →＝2AP →.又PB →＋PC →＝2PD →，故AP →＝PD →，即P 为AD 的中点，则S △ABC ＝2S △PBC ，根据几何概率的概率公式知，所求概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.]3．已知函数f (x )＝13ax 3－12bx 2＋x ，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数f ′(x )在x ＝1处取得最值的概率是( ) A.136 B.118 C.112D.16C [由题意得f ′(x )＝ax 2－bx ＋1，因为f ′(x )在x ＝1处取得最值，所以b2a ＝1，符合的点数(a ，b )有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3种情况．又因为抛掷两颗骰子得到的点数(a ，b )共有36种情况，所以所求概率为336＝112，故选C.]4．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34D.78C [如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x ，y ，x ，y相互独立，由题意可知⎩⎨⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，|x －y |≤2，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S 三角形S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.]二、填空题5．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A 为“方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝__________. 512[试验中所含基本事件个数为36.若表示焦点在x 轴上的椭圆，则m >n ，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝1536＝512.] 6．(2017·合肥一模)从[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x －a ·2x ＋1＋1有零点的概率是________．14[函数f (x )有零点，即f (x )＝4x －2a ·2x ＋1＝0有解，则2a ＝2x＋12x ≥2，a ≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立．故所求概率为2－12＋2＝14.] 三、解答题7．现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率.【导学号：04024073】[解] (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A1，B1，C1}，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18个基本事件组成．4分由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“C1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}．6分事件M由9个基本事件组成，因而P(M)＝918＝12．8分(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“A1，B1全被选中”这一事件．由于N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，事件N由2个基本事件组成，所以P(N)＝218＝19. 11分由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－19＝89．12分8．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.(1)若直线l：x＋y－5＝0，求点P(b，c)恰好在直线l上的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率． [解](1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，4分当b ＋c ＝5时，(b ，c )的所有取值为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，5分 所以所求概率为P 1＝416＝14．6分(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立.7分 ②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎨⎧ b ＝1，c ＝2.8分③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎨⎧b ＝2，c ＝3.9分④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎨⎧b ＝3，c ＝4.10分 由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)， 11分 所以方程为“漂亮方程”的概率为P 2＝316．12分。
2018年江苏高考数学二轮复习：专题限时集训8概率与统计、算法、推理与证明、复数有答案
专题限时集训(八)概率与统计、算法、推理与证明、复数(对应学生用书第98页) (限时：120分钟)1．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．0.17 [∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1－0.48－0.35＝0.17.] 2．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为________． 300 [∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本， 其中高一年级抽20人，高三年级抽10人， ∴高二年级要抽取45－20－10＝15人， ∵高级中学共有900名学生， ∴每个个体被抽到的概率是45900＝120，∴该校高二年级学生人数为15120＝300.] 3．(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)如图8－11是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5，则输出的y 的值为________．图8－11－15 [执行算法流程图，可得该程序的作用是计算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＜05－4x ，x ≥0的值，x ＝5，不满足条件x ＜0，有y ＝5－4×5＝－15.输出y 的值为－15.]4．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ＝________.－1－i [∵z (1－i)＝2i ，∴z ＝2i1－i＝＋－＋＝－2＋2i2＝－1＋i ， ∴z ＝－1－i.]5．(湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考)在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，在CD 上任取一点P ，△ABP 的最大边是AB 的概率是________．图8－123－1 [设AD ＝a ，当AB ＝AP 时，(2a )2＝a 2＋(2a －PC )2⇒PC ＝(2－3)a 或PC ＝(2＋3)a (舍)，所以所求概率为1－－3a2a＝3－1.]6．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)如下是给出的一种算法，则该算法输出的结果是________．24 [当i ＝2时，满足循环条件，执行循环，t ＝1×2＝2，i ＝3；当i ＝3时，满足循环条件，执行循环，t ＝2×3＝6，i ＝4；当i ＝4时，满足循环条件，执行循环，t ＝6×4＝24，i ＝5；当i ＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t ＝24.]7．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若复数z 满足z ＋i ＝2＋ii，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.10 [由z ＋i ＝2＋i i ，得z ＝2＋i i －i ＝－＋－i2－i ＝1－2i －i ＝1－3i ，则|z |＝1＋－2＝10.]8．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)100张卡片上分别写有1,2,3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________.【导学号：56394058】425[在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从中任取一张共有100种取法，其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是：6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96共16个， ∴所得卡片上的数字为6的倍数的数共有16个． ∴所得卡片上的数字为6的倍数的概率P ＝16100＝425.]9．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位：分)，结果如下：则成绩较为稳定20 [根据题意，对于甲，其平均数x 甲＝65＋80＋70＋85＋755＝75，其方差s 2甲＝15[(65－75)2＋(80－75)2＋(70－75)2＋(85－75)2＋(75－75)2]＝50；对于乙，其平均数x 乙＝80＋70＋75＋80＋705＝75，其方差s 2乙＝15[(80－75)2＋(70－75)2＋(75－75)2＋(80－75)2＋(70－75)2]＝20；比较可得：s 2甲＞s 2乙，则乙的成绩较为稳定．]10．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))复数z 在复平面内的对应点是(1，－1)，则z ＝________.1＋i [z ＝1－i ，∴z ＝1＋i.]11．(河北省唐山市2017届高三年级期末)执行如图8－13所示的程序框图，则输出的a ＝________.图8－13－4 [第一次循环，得b ＝－1，a ＝－1，i ＝2； 第二次循环，得b ＝－52，a ＝－52，i ＝3；第三次循环，得b ＝－4，a ＝－4，i ＝4，…，以此类推，知该程序框图的周期为3，又知当i ＝40退出循环，此时共循环了39次，所以输出的a ＝－4.]12．(广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考)给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M 在直线________上．y ＝3x [f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ＝0,4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．]13．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)．如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和．如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，……，按此规律，8 128可表示为________．26＋27＋…＋212[因为8 128＝26×127，又由1－2n1－2＝127，解得n ＝7.所以8 128＝26×(1＋2＋…＋26)＝26＋27＋…＋212.]14．(湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考)执行如图8－14所示程序框图，若输出的S 值为－20，则条件框内应填写________.【导学号：56394059】图8－14i <5 [第一次循环：S ＝10－2＝8，i ＝2；第二次循环：S ＝4，i ＝3； 第三次循环：S ＝－4，i ＝4； 第四次循环：S ＝－20，i ＝5； 结束循环，所以可填写i <5.]。
2018届高考数学二轮复习 热点专题突破六 概率与统计的综合问题
热点专题突破六概率与统计的综合问题1，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25(单位：小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)【解析】(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×820=40.(2)设事件A i为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i=1，2， (5)事件C j为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j=1，2， (8)由题意可知，P(A i)=15，i=1，2，…，5；P(C j)=18，j=1，2， (8)P(A i C j)=P(A i)P(C j)=15×18=140，i=1，2，...，5，j=1，2， (8)设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×140=38.(3)μ1<μ0.2关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表(平均每天锻炼的时间单位：分钟)：将学生日均课外体育运动时间在[40，60)上的学生评价为“课外体育达标”. (1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?(2)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差.参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.参考数据：【解析】(1)列联表如下：K 2=200(60×20-30×90)2150×50×90×110=20033≈6.061<6.635，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. (2)由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率， ∴X~B 3，14 ，∴EX=3×14=34，DX=3×14×34=916.3年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国以26金18银26铜的成绩名列金牌榜第三、奖牌榜第二.某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种)，从被调查班的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如下表：(1)在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；(2)若从一班和二班的调查对象中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望.【解析】(1)在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人， 持满意态度的频率为3650=1825，据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为1825. (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P (ξ=0)=C 42C 52·C 72C 92=610×2136=720，P (ξ=1)=C 41C 52·C 72C 92+C 42C 52·C 71C 21C 92=410×2136+610×1436=715，P (ξ=2)=C 41C 52·C 71C 21C 92+C 42C 52·C 22C 92=410×1436+610×136=31180，P (ξ=3)=C 41C 52·C 22C 92=410×136=190，所以ξ的分布列为所以E ξ=0×720+1×715+2×31180+3×190=3845.4“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E 的学生有8人.(1)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A 的人数；(2)若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望. 【解析】(1)因为“铅球”科目中成绩等级为E 的考生有8人，所以该班有8÷0.2=40人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A 的人数为 40×(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=40×0.075=3.(2)设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20，P (ξ=16)=C 62C 102=13，P (ξ=17)=C 61C 21C 102=415，P (ξ=18)=C 61C 21C 102+C 22C 102=1345，P (ξ=19)=C 21C 21C 102=445，P (ξ=20)=C 22C 102=145，所以ξ的分布列为X 16 17 18 19 20P 134151345445145所以Eξ=16×13+17×415+18×1345+19×445+20×145=865.5莫属》，若甲应聘成功的概率为12，乙、丙应聘成功的概率均为t2(0<t<2)，且三个人是否应聘成功是相互独立的.(1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；(2)记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ为2时概率最大，求Eξ的取值范围.【解析】(1)由题意得2×t2×1-t2=12，解得t=1.(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=1-121-t21-t2=(2-t)28，P(ξ=1)=12×1-t2×1-t2+2×1-12×t2×1-t2=4-t28，P(ξ=2)=2×12×t2×1-t2+1-12×t2×t2=4t-t28，P(ξ=3)=12×t2×t2=t28.故ξ的分布列为所以Eξ=0×(2-t)28+1×4-t28+2×4t-t28+3×t28=t+12.由题意得P(ξ=2)-P(ξ=1)=t-12>0，P(ξ=2)-P(ξ=0)=-t 2+4t-24>0，P(ξ=2)-P(ξ=3)=2t-t 24>0，又因为0<t<2，综上解得1<t<2，所以Eξ的取值范围是32，52.6A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车B型车(1)从出租天数为3天的汽车(仅限A，B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.【解析】(1)这辆汽车是A型车的概率约为出租天数为3天的A型车辆数出租天数为3天的A，B型车辆总数和=3030+20=0.6，所以这辆汽车是A型车的概率为0.6.(2)设“事件A i表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件B j表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j=1，2，3， (7)则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P(A1B3+A2B2+A3B1)=P(A1B3)+P(A2B2)+P(A3B1)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=5 100×20100+10100×20100+30100×14100=9125，所以该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9.125 (3)设X为A型车出租的天数，则X的分布列为设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为EX=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62，EY=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48.一辆A型车一个星期出租天数的均值为3.62天，一辆B型车一个星期出租天数的均值为3.48天，3.62>3.48，所以建议购买A型车.。
2018年高考数学文二轮复习习题：第1部分 重点强化专题 专题3 概率与统计 专题限时集训7 含答案 精品
专题限时集训(七)用样本估计总体[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率分布折线图(如图7-9所示)，据此估计此次考试成绩的众数是()图7-9A．100B．110C．115D．120C[分析频率分布折线图可知众数为115，故选C.]2．(2017·黄冈一模)已知数据x1，x2，x3，…，x n是某市n(n≥3，n∈N*)个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n＋1，则这(n＋1)个数据中，下列说法正确的是() A．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B[∵数据x1，x2，x3，…，x n是某市n(n≥3，n∈N*)个普通职工的年收入，x n＋1为世界首富的年收入，则x n＋1远大于x1，x2，x3，…，x n，故这(n＋1)个数据中，年收入平均数大大增大；中位数可能不变，也可能稍微变大；由于数据的集中程度受到x n＋1的影响比较大，更加离散，则方差变大．]3．(2016·沈阳模拟)从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图7-10)．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为()【导学号：04024076】图7-10A．2 B．3C.4 D．5B[依题意可得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)＝1，解得a＝0.030，故身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生比例为3∶2∶1，所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为3.]4．(2017·淮北二模)为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月5天11时的气温数据(单位：℃)制成如图7-11所示的茎叶图，已知甲地该月11时的平均气温比乙地该月11时的平均气温高1 ℃，则甲地该月11时的平均气温的标准差为()图7-11A．2 B. 2C．10 D.10B[甲地该月11时的气温数据(单位：℃)为28,29,30,30＋m,32；乙地该月11时的气温数据(单位：℃)为26,28,29,31,31，则乙地该月11时的平均气温为(26＋28＋29＋31＋31)÷5＝29(℃)，所以甲地该月11时的平均气温为30 ℃，故(28＋29＋30＋30＋m ＋32)÷5＝30，解得m ＝1，则甲地该月11时的平均气温的标准差为 15×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2] ＝2，故选B.5．(2016·郑州模拟)某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图7-12所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为( )图7-12A.815B.49C.35D.19 C [依题意，平均数x ＝20＋60＋30＋(7＋9＋1＋5)6＝22，故优秀工人只有2人，用a ，b 表示优秀工人，用c ，d ，e ，f 表示非优秀工人，故任取2人的情况如下：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15种，其中至少有1名优秀工人只有9种情况，故所求概率P ＝915＝35.]二、填空题6．某中学共有女生2 000人，为了了解学生体质健康状况，随机抽取100名女生进行体质监测，将她们的体重(单位：kg)数据加以统计，得到如图7-13所示的频率分布直方图，则直方图中x 的值为________；试估计该校体重在[55,70)的女生有________人．图7-130.024 1 000 [由5×(0.06＋0.05＋0.04＋x ＋0.016＋0.01)＝1，得x ＝0.024.在样本中，体重在[55,70)的女生的频率为5×(0.01＋0.04＋0.05)＝0.5，所以该校体重在[55,70)的女生估计有2 000×0.5＝1 000人．]7．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图7-14.根据茎叶图，树苗的平均高度较高的是__________种树苗，树苗长得整齐的是__________种树苗．【导学号：04024077】图7-14乙 甲 [根据茎叶图可知，甲种树苗中的高度比较集中，则甲种树苗比乙种树苗长得整齐；而通过计算可得，x 甲＝27，x 乙＝30，即乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．]8.某校开展“ 爱我海西、爱我家乡” 摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图7-15所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是________．图7-151 [当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x<4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x＋907＝91，∴x＝1.]三、解答题9．(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．[解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6．6分(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；6分若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的所有可能值为900,300，－100．10分Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8．12分10．(2016·郑州一模)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将先取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少.【导学号：04024078】[解] (1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A，则P(A)＝40200＝15．6分所以当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低1 5．(2)由题可知A类市民和B类市民各有40人，故分别从A类市民和B类市民中各抽出2人，设从A类市民中抽出的2人分别为A1，A2，从B类市民中抽出的2人分别为B1，B2.设“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，8分则事件M中首先抽出A1的事件有：(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种．同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种．故事件M共有24种．10分设“抽取4人中前两位均为B类市民”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)．∴P(N)＝424＝16．12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图7-16所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值m n ＝( )图7-16A ．1B ．13 C.38D.29 C [由茎叶图可知乙的中位数是32＋342＝33，根据甲、乙两组数据的中位数相同，可得m ＝3，所以甲的平均数为27＋33＋393＝33，又由甲、乙两组数据的平均数相同，可得20＋n ＋32＋34＋384＝33，解得n ＝8，所以m n ＝38，故选C.]2．(2017·长沙模拟)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图7-17所示．图7-17若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [从35人中用系统抽样方法抽取7人，则可将这35人分成7组，每组5人，从每一组中抽取1人，而成绩在[139,151]上的有4组，所以抽取4人，故选B.]3．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图7-18)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是()图7-18A．240 B．280C．320 D．480D[由频率分布直方图知：学生的体重在65～75 kg的频率为(0.012 5＋0.037 5)× 5＝0.25，则学生的体重在50～65 kg的频率为1－0.25＝0.75.从左到右第2个小组的频率为0.75×26＝0.25.所以抽取的学生人数是120÷0.25＝480,故选D.]4．3个老师对某学校高三三个班级各85人的数学成绩进行分析，已知甲班平均分为116.3分，乙班平均分为114.8分，丙班平均分为115.5分，成绩分布直方图如图7-19，据此推断高考中考生发挥差异较小的班级是()图7-19A．甲B．乙C．丙D．无法判断C[由于平均分相差不大，由直方图知丙班中，学生成绩主要集中在110～120区间上且平均分较高，其次是乙，分数相对甲来说比较集中，相对丙而言相对分散．数据最分散的是甲班，虽然平均分较高，但学生两极分化，彼此差距较大，根据标准差的计算公式和性质知甲的方差大于乙的方差大于丙的方差，所以丙班的学生发挥差异较小．故选C.]二、填空题5．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．图7-20(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图7-20所示，则该样本的方差为________．(1)2,10,18,26,34 (2)62 [(1)分段间隔为405＝8，则所有被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)x ＝15(59＋62＋70＋73＋81)＝69.s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.]6．如图7-21是某个样本的频率分布直方图，分组为[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)，已知a ，b ，c 成等差数列，且区间[130,140)与[140,150)上的数据个数相差10，则区间[110,120)上的数据个数为__________．图7-2120 [由频率分布直方图得[130,140)上的频率为0.025×10＝0.25，[140,150)上的频率为0.015×10＝0.15.设样本容量为x ，则由题意知0.25x －0.15x ＝0.1x ＝10，解得x ＝100.因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c .又10a ＋10b ＋10c ＝1－0.25－0.15＝0.6⇒a ＋b ＋c ＝0.06⇒3b ＝0.06，解得b ＝0.02.故区间[110,120)上的数据个数为10×0.020×100＝20.]三、解答题7．(2017·贵阳二模) 为监测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天的PM2.5日平均浓度(单位：微克/立方米)的监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度的频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表：甲地20天PM2.5日平均浓度频率分布直方图图7-22乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)通过调查，该市居民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：2天中至少有1天居民对空气质量满意度为“非常满意”的概率.【导学号：04024079】[解] (1)乙地20天PM2.5日平均浓度频率分布直方图如图所示．由图可知，甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值，而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散．6分(2)由题意，可设乙地这20天中PM2.5的日平均浓度不超过40的5天分别为a，b，c，d，e，其中a，b表示居民对空气质量的满意度为“非常满意”的2天，则从5天中任取2天共有以下10种情况：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，9分其中至少有1天为“非常满意”的有以下7种情况：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，所以所求概率P＝710．12分8．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图7-23所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．图7-23(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为A的概率．[解] (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25＝40(人)，2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3．6分(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]÷40＝2.9．8分(3)由题图可知，“数学与逻辑”科目的成绩为A的有3人，“阅读与表达”科目的成绩为A的有3人，因为恰有2人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A.设这4人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P(B)＝16．12分。
2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练一专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想附答案
专题对点练3 分类讨论思想、转化与化归思想 专题对点练第3页 一、选择题 1.设函数f(x)=错误!未找到引用源。若f(a)>1,则实数a的取值范围是( )
A.(0,2) B.(0,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 答案 B 解析 若2a-3>1,解得a>2,与a<0矛盾,若错误!未找到引用源。>1,解得a>0,故a的范围是(0,+∞). 2.函数y=5错误!未找到引用源。的最大值为( ) A.9 B.12 C.错误!未找到引用源。 D.3错误!未找到引用源。 答案 D 解析 设a=(5,1),b=(错误!未找到引用源。), ∵a·b≤|a|·|b|,
∴y=5错误!未找到引用源。=3错误!未找到引用源。. 当且仅当5错误!未找到引用源。,即x=错误!未找到引用源。时等号成立. 3.在等比数列{an}中,a3=7,前3项的和S3=21,则公比q的值是 ( ) A.1 B.-错误!未找到引用源。 C.1或-错误!未找到引用源。 D.-1或错误!未找到引用源。 答案 C 解析 当公比q=1时,则a1=a2=a3=7,S3=3a1=21,符合要求. 当公比q≠1时,则a1q2=7,错误!未找到引用源。=21, 解得q=-错误!未找到引用源。(q=1舍去). 综上可知,q=1或q=-错误!未找到引用源。. 4.若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+错误!未找到引用源。=1的离心率是 ( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 答案 D 解析 因为m是2和8的等比中项,所以m2=2×8=16, 所以m=±4.当m=4时,圆锥曲线错误!未找到引用源。+x2=1是椭圆,其离心率e=错误!未找到引用源。; 当m=-4时,圆锥曲线x2-错误!未找到引用源。=1是双曲线,其离心率e=错误!未找到引用源。. 综上知,选项D正确. 5.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±错误!未找到引用源。x,则该双曲线的离心率为( )