中考数学复习练习 第四章 第五节 解直角三角形
中考数学试题分类汇总《解直角三角形及其应用》练习题
中考数学试题分类汇总《解直角三角形及其应用》练习题（含答案）1．比较大小：sin60°＞tan30°（用“＞”或“＜”填空）．2．Rt△ABC中∠C＝90°，sin A＝，则tan A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C＝90°，sin A＝，∴∠A＝30°，∴tan30°＝．3．如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，利用面积法可求出CE的长，在Rt△BCE中，利用勾股定理可求出BE的长，再结合正切的定义可求出tan∠ABC的值．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．∵S△ABC＝AC•3＝AB•CE，即×2×3＝×3•CE，∴CE＝．在Rt△BCE中，BC＝，CE＝，∴BE＝＝2，∴tan∠ABC＝＝．4．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（）A．B．C．D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，作等腰三角形ABD，使AB＝AD，∠BAD＝∠BAC，且点C不在射线AD上，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BDE的值为（）A．B．C．D．【分析】先在Rt△BCA中求出AB，再利用“AAS”说明△ADE≌△ABC，求出BE、BD的长，最后在Rt △BDE中求出∠BDE的正弦．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°．∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10．在△ADE和△ABC中∵AB＝AD＝10，∠BAD＝∠BAC，∠DEA＝∠C＝90°，∴△ADE≌△ABC（AAS），∴AC＝AE＝6，BC＝DE＝8．∴BE＝AB﹣AE＝4．∴BD＝＝4．∴sin∠BDE＝＝＝．故选：C．6．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A正切值是（）A．B．C．2D．【分析】取格点D，E，连接BD，可得∠ADB＝90°，再由勾股定理求得线段AD、AB的长，然后由锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：取格点D，E，连接BD，如图，∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠ADB＝90°，由勾股定理得：AD＝＝2，BD＝＝，∴tan A＝＝＝，7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，使点C恰好落在A′B上，则tan∠A′AC的值为（）A．B．C．D．【分析】先利用勾股定理求出AC，再根据旋转的性质得出AB＝A′B＝5，从而求出A′C，然后在Rt △ACA′中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，∴AC＝＝＝3，由旋转得：AB＝A′B＝5，∴A′C＝A′B﹣BC＝5﹣4＝1，∵∠ACB＝90°，∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝90°，在Rt△ACA′中，tan∠A′AC＝＝，8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα＝，则小车上升的高度是（）A．5m B．6m C．6.5m D．12m【分析】根据正弦的定义列式计算，得到答案．【解答】解：设小车上升的高度是xm，∵sinα＝，∴＝，解得，x＝5，9．在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOD的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点C作CE∥AB，则∠AOD＝∠DCE，过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFC＝90°，由图可得：CD＝＝，CE＝＝，＝4，∵，即4＝，∴EF＝，在Rt△CEF中，sin∠DCE＝＝＝，∴sin∠AOD＝．10．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tan B的值为．【解答】解：如图，连接格点A、D．在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝4，∴tan B＝；11．如图是一种平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，右图是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝20cm，支撑板长CD＝DE＝16cm，支撑板顶端C点恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．当∠BCD＝75°，∠CDE＝60°，则点A到直线DE 的距离是（）cm（结果保留根号）A．B．C．D．【解答】解：过点A作AH⊥DE延长线于H，过点C作CF⊥DE于F，CG⊥AH于G，∵CG∥EH，∴∠GCD＝∠CDE＝60°，∴∠ACG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，在Rt△ACG中，AC＝10（cm），sin∠ACG＝＝＝，∴AG＝5（cm），在Rt△CDF中，CD＝16cm，∠CDE＝60°，∴CF＝CD•sin60°＝8m，∴GH＝CF＝8cm，∴AH＝（5+8）cm．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，点E是AC边上一点且CE＝2AE，将△BAE沿BE 翻折得△BFE，若EF∥AD，则tan∠CBE＝．【解答】解：延长EF交BC于H，如图：∵AB＝AC，D是BC边的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF∥AD，∴EH⊥BC，＝，∵CE＝2AE，∴CH＝2DH，设DH＝x，则CH＝2x，∴CD＝BD＝3x，∴BH＝BD+DH＝4x，设AE＝EF＝y，FH＝a，则CE＝2y，AC＝AB＝3y＝BF，在Rt△BFH中，BH2+FH2＝BF2，∴（4x）2+a2＝（3y）2①，在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，∴（y+a）2+（2x）2＝（2y）2②，由①②联立方程组，解得x＝a，y＝3a，∴BH＝4x＝4a，EH＝EF+FH＝y+a＝4a，∴tan∠CBE＝＝＝，13．如图，直角△ABC中，∠C＝90°，根据作图痕迹，若CA＝3cm，tan B＝，则DE＝cm．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，∴tan B＝＝，∴CB＝4（cm），∴AB＝＝＝5（cm），∵DE垂直平分线段AB，∴BE＝AE＝（cm），∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠C＝90°，∴△CED∽△BCA，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），14．（2022·深圳坪山区一模）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin B的值是．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴sin B＝＝，解直角三角形的应用15．春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为60°，再沿着坡面AB向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为45°，坡面AB的坡度i＝1：，AB＝50m，AE＝75m（假设A、B、C、D、E在同一平面内）．（1）求点B的高度BF；（2）求“新”字的高度CD．（CD长保留一位小数，参考数据≈1.732）【分析】（1）由坡度的概念求出BF即可；（2）由勾股定理求出AF，再由锐角三角函数定义求出DE和CG，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过B作BG⊥CE于G，∵坡面AB的坡度1：，∴tan∠BAF＝1：＝，∴∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝25（m）；（2）由勾股定理得，AF＝＝＝25（m），∴BG＝FE＝AF+AE＝（25+75）（m），在Rt△DAE中，tan∠DAE＝＝tan60°＝，∴DE＝AE＝75（m），∵∠CBG＝45°，∴△CBG是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（25+75）m，∵GE＝BF＝25m，∴CD＝CG+GE﹣DE＝25+75+25﹣75＝100﹣50≈13.4（m），答：“新”字的高度CD约为13.4m．16．小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为11米．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）【分析】过点D作DE⊥AB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出AE，进而求出AB即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8米，∠ADE＝52°，BE＝CD ＝1米，在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24（米），∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）17．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC 为（）A．（1.5+150tanα）米B．（1.5+）米C．（1.5+150sinα）米D．（1.5+）米【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC＝CE+BE即可得出结论．【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：则四边形ADCE为矩形，AE＝150米，∴CE＝AD＝1.5米，在△ABE中，∵tanα＝＝，∴BE＝150tanα，∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（米），18．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是米．（结果保留根号）19．在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门高ME＝7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高BD＝1.5米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30°，站在点A处测得摄像头M的仰角为60°，求体温监测有效识别区域AB的长度．【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．【解答】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，设FC＝x，在Rt△MFC中，∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，∵ME＝MF+EF，∴x+1.5＝7.5，解得x＝2，∴MC＝2x＝4（米），答：体温监测有效识别区域AB的长为4米．20．某地为了让山顶通电，需要从山脚点B开始接驳电线，经过中转站D，再连通到山顶点A处，测得山顶A的高度AC为300米，从山脚B到山顶A的水平距离BC是500米，斜面BD的坡度i＝1：2（指DF与BF的比），从点D看向点A的仰角为45°．（1）斜面AD的坡度i＝1：1；（2）求电线AD+BD的长度（结果保留根号）．【分析】（1）根据题意可得∠AED＝90°，∠ADE＝45°，然后在在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）设AE＝DE＝x米，则DE＝CF＝x米，从而表示出DF，BF的长，再利用斜面BD的坡度i＝1：2，列出关于x的方程，进行计算即可求出x的值，然后分别在Rt△BDF和Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD，BD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠AED＝90°，∠ADE＝45°，在Rt△ADE中，tan45°＝＝1，∴斜面AD的坡度i＝1：1，（2）由（1）得：AE＝DE，设AE＝DE＝x米，则DE＝CF＝x米，∵AC＝300米，BC＝500米，∴EC＝AC﹣AE＝（300﹣x）米，BF＝BC﹣CF＝（500﹣x）米，∴DF＝EC＝（300﹣x）米，∵斜面BD的坡度i＝1：2，∴＝，∴BF＝2DF，∴500﹣x＝2（300﹣x），解得：x＝100，∴BF＝400米，DF＝200米，AE＝DE＝100米，在Rt△BDF中，BD＝＝＝200（米），在Rt△ADE中，AD＝＝＝100（米），∴AD+BD＝（100+200）米，∴电线AD+BD的长度为（100+200）米．21．学校玩转数学小组利用无人机测量大树BC的高．当无人机在A处时，恰好测得大树顶端C的俯角为45°，大树底端B的俯角为60°，此时无人机距离地面的高度AD＝30米，求大树BC的高．（结果保留小数点后一位．≈1.414，≈1.732）【分析】延长BC，交过点A的水平线于点E，根据题意可得BE⊥AE，AD＝BE＝30米，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC的长，然后进行计算即可解答．【解答】解：如图：延长BC，交过点A的水平线于点E，则BE⊥AE，AD＝BE＝30米，在Rt△ABE中，∠EAB＝60°，∴AE＝＝＝10（米），在Rt△AEC中，∠EAC＝45°，∴EC＝AE•tan45°＝10（米），∴BC＝BE﹣EC＝30﹣10≈12.7（米），∴大树BC的高约为12.7米．22．如图，广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m，从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°，测得树底D点俯角β为45°，则木棉树的高度CD是24米．（精确到个位，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）【解答】解：如图：延长DC，交过点A的水平线于点E，则BD＝AE＝600米，在Rt△AED中，∠EAD＝45°，∴DE＝AE•tan45°＝600×1＝600（米），在Rt△AEC中，∠EAC＝44°，∴EC＝AE•tan44°≈600×0.96＝576（米），∴CD＝DE﹣CE＝600﹣576＝24（米），∴木棉树的高度CD是24米，23．“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一，摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，有28个进口轿厢，每个轿厢可容纳25人．小亮在轿厢B处看摩天轮的圆心O处的仰角为30°，看地面A处的俯角为45°（如图所示，OA垂直于地面），若摩天轮的半径为54米，则此时小亮到地面的距离BC为27米．（结果保留根号）【分析】过点B作BD⊥OA，垂足为D，根据题意可得AD＝BC，然后在Rt△DOB中，利用锐角三角函数的定义求出DO，DB的长，最后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出BC的长，即可解答．【解答】解：过点B作BD⊥OA，垂足为D，则AD＝BC，在Rt△ODB中，∠OBD＝30°，OB＝54米，∴OD＝OB＝27（米），DB＝OD＝27（米），在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴AD＝DB•tan45°＝27（米），∴AD＝BC＝27米，∴小亮到地面的距离BC为27米，24．如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．（1）求∠C的度数；（2）求B处船与小岛C的距离．（结果保留根号）【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC与点E．由题意得，∠ABC＝105°，∠CAB＝45°，∴∠C＝180°﹣105°﹣45°＝30°；（2）由题意得，AB＝40×＝20（海里），在Rt△ABE中，BE＝AB•sin45°＝10（海里），在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，∴BC＝2BE＝20（海里），答：B处船与小岛C的距离为20海里．25．如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在A处．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知射线从肿瘤右侧10cm的B处进入身体，且射线与皮肤所成的夹角为∠CBA＝32.7°，则肿瘤在皮下的深度AC约为 6.4cm．[参考数据：sin32.7°≈0.54，cos32.7°≈0.84，tan32.7°≈0.64]【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝32.7°，BC＝10cm，∴AC＝BC•tan32.7°≈10×0.64＝6.4（cm），∴肿瘤在皮下的深度AC约为6.4cm，26．某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度BC为8米．【分析】根据坡度定义直接解答即可．【解答】解：∵坡度为i＝1：2，AC＝4米，∴BC＝4×2＝8（米），27．（2022·深圳坪山区二模）如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图．其中AB段是助滑坡，倾斜角∠1＝37°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆坡，倾斜角∠2＝30°，sin37°≈0.6，cos37°＝0.8．若整个赛道长度（包括AB、BC、CD段）为270m，平台BC的长度是60m，整个赛道的垂直落差AN是114m．则AB段的长度大约是（）A．80m B．85m C．90m D．95m【解答】解：过点C作CH⊥DN于H，设AB＝xm，则CD＝270﹣60﹣x＝（210﹣x）m，在Rt△CDH中，∠2＝30°，则CH＝CD＝（210﹣x）m，在Rt△ABM中，sin∠1＝，则AM＝AB•sin∠1≈0.6xm，由题意得：（210﹣x）+0.6x＝114，解得：x＝90，即AB＝90m，28．如图为某学校门口“测温箱”截面示意图，当身高1.7米的小聪在地面M处时开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°，当他在地面N处时，此时在额头C处测得A的仰角为58°，如果测温箱顶部A处距地面的高度AD为3.3米，求B、C两点的距离．（结果保留一位小数，sin58°≈0.8，cos58°≈0.5，tan58°≈1.6）【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，∵BM＝CN＝1.7米，且BM⊥DM，CN⊥DM，∴BM∥CN，∴四边形BCNM是平行四边形，∵∠CNM＝∠BMN＝90°，∴平行四边形BCNM是矩形，同理，四边形CEDN是矩形，∴ED＝CN＝1.7米，∴AE＝AD﹣ED＝3.3﹣1.7＝1.6（米），在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝58°，∵，∴CE＝≈＝1（米），在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝45°，∵＝1，∴BE＝AE＝1.6（米），∴BC＝BE﹣CE≈1.6﹣1＝0.6（米），答：B、C两点的距离约为0.6米．29．如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×＝5（m），∴CE＝CD+DE＝（5+1.5）（m）．。
中考总复习解直角三角形
解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；●掌握互为余角和同角三角函数间关系；●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．复习策略：●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．二、学习与应用知识点一：锐角三角函数“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。
（一）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C是直角，如图（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（二）同角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系sinA=cos（），cosA=sin（）．（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．要点诠释：∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，tanA＞知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．（一）三边之间的关系：a2+b2= （勾股定理）（二）锐角之间的关系：∠A+∠B= °（三）边角之间的关系：sinA= ，cosA= ，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素．知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方的是俯角．（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．（三）株距：相邻两树间的．（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
中考数学专题练习 解直角三角形(含解析)
解直角三角形一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（）A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=2．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣103．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．a=c•sinA D．a=b•cotB5．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③C．①②④D．②③④6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）7．如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（）A．B．C．D．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanA=（）A．B．C．D．9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．10．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m11．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（）A．B．C．D．12．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A． m B．100m C．150m D． m13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）14．化简= ．15．如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为m．16．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡度设计为i=1：4.5，则AC的长为cm．17．身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为m．（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高）18．如图，在正方形网格中，∠ABO的正切值是．19．若△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3：4，那么sinA= ．20．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52．①a，b的值可以是（提示：答案不惟一）（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：．21．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB= ．22．比较大小：sin33°+cos33°1．（可用计算器辅助）23．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA= ．三、解答题24．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．25．计算：．26．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）27．计算：．28．为测量大楼CD的高度，某人站在A处测得楼顶的仰角为45°，前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°，求大楼CD的高度．29．如图，为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度（≈1.7）．30．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，那么∠α的度数是；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）31．如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高2.5米的自行车场，第二层起为宿舍．已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此时太阳光线AB的入射角∠ABD=55°，为使第二层起能照到阳光，两楼间距EF至少是多少米（精确到0.1米）．（参考数据：tan55°=1.4281，tan35°=0.7002）．32．如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60度．已知C地比A地高200米，电缆BC至少长多少米？（精确到0.1米）33．如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使得点C与AB的延长线上的点D重合，已知BC=6．（1）三角尺旋转了多少度？连接CD，试判断△BCD的形状；（2）求AD的长；（3）连接CE，试猜想线段AC与CE的大小关系，并证明你的结论．34．计算：35．计算：（﹣2）3+（）﹣1×cos60°﹣（1﹣）0．36．计算：﹣22+（）0+2sin30°．37．又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；甲：我们的身高都是1.5m；乙：我们相距20m．请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．（精确到1米）38．如图，有两棵树，一棵高14m，另一棵高10m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？39．如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD，坝顶AD=4m，坝高AE=6 m，斜坡AB的坡比i=1：2，∠C=60°，求斜坡AB、CD的长．40．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆25米的D处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α=22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040，cot22°=2.4751．41．兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD=14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）42．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．43．如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6cm，微风吹来，假设铅垂P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面齐平，（即PA=PC）水平l与OC 的夹角α为8°（点A在OC上），求铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈，cos8°≈，tan8°≈）解直角三角形参考答案与试题解析一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（）A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先判定此三角形为直角三角形，再根据锐角三角函数的定义，分别求得sinA、cosB、tanA、tanB的值，即可判断．【解答】解：在△ABC中，∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC是直角三角形，其中∠C是直角．∴sinA=，cosB=，tanA=，tanB=，故选A．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．2．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣10【考点】等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．【解答】解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．【点评】本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x 的值是解题的关键．3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．2【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．∴cos∠AOB===．故选：A．【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．a=c•sinA D．a=b•cotB【考点】锐角三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则cosA=，sinA=，tanB=，cosB=，tanA=，cotA=；因而b=ccosA=atanB，a=csinA=ccosB=btanA=，错误的是b=c•cosB．故选A．【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．5．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③C．①②④D．②③④【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BDE=45°，DE⊥BC∴DB=BE，BE=DE∵DE⊥BC，BF⊥CD∴∠BEH=∠DEC=90°∵∠BHE=∠DHF∴∠EBH=∠CDE∴△BEH≌△DEC∴∠BHE=∠C，BH=CD∵▱ABCD中∴∠C=∠A，AB=CD∴∠A=∠BHE，AB=BH∴正确的有①②③故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【考点】垂线段最短；坐标与图形性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，此时线段AB最短，因为直线y=x的斜率为1，所以∠AOB=45°，△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则OC=BC=．因为B在第三象限，所以点B的坐标为（﹣，﹣）．【解答】解：线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离．过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，∵直线y=x与x轴的夹角∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴，垂足为C，则BC为中垂线，则OC=BC=．作图可知B在x轴下方，y轴的左方．∴点B的横坐标为负，纵坐标为负，∴当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．故选：C．【点评】本题考查了动点坐标的确定，还考查了学生的动手操作能力，本题涉及到的知识点为：垂线段最短．7．如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】切线的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据切割线定理CA2=CD•CB可得CA=4，然后在Rt△ABC中，利用CA=4，BC=8可以求出sinB．【解答】解：如图，∵CA切⊙O于A，∴CA2=CD•CB，又CD=2，BD=6，∴CA=4．在Rt△ABC中，CA=4，BC=8，故sinB==．故选A．【点评】此题主要考查锐角三角函数的概念及切割线定理等知识．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanA=（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】由勾股定理易得AC的值，进而根据三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，由勾股定理得：AC=12．则tanA==．故选A．【点评】本题要求学生熟练掌握三角函数的定义与解直角三角形的方法．9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，tanB=和a2+b2=c2．∵sinA=，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．∴tanB=．故选A．解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．∵A、B互为余角，∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA=．又∵sin2B+cos2B=1，∴sinB==，∴tanB===．故选A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．10．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD，CB；根据BC﹣DB=CD即可求出建筑物AB的高度．【解答】解：根据题意可得：BC==AB，BD==AB．∵CD=BC﹣BD=AB（﹣1）=12，∴AB=6（+1）．故选A．【点评】本题通过考查仰角的定义，构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力．11．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值；等边三角形的性质．【分析】先根据等边三角形的性质求出α的度数，再根据cos60°=即可解答．【解答】解：∵α为等边三角形的一个内角，∴α=60°．∴cosα=cos60°=．故选A．【点评】本题考查的是等边三角形的性质及特殊角的三角函数值，比较简单．12．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A． m B．100m C．150m D． m【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】压轴题．【分析】根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．【解答】解：AD=AB•sin60°=50；BD=AB•cos60°=50，∴CD=150．∴AC==100．故选D．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2．∴cos∠ABC==．故选B．【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）14．化简= ．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】运用特殊角三角函数值计算．【解答】解：原式===．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．15．如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为18 m．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】过C作CF⊥AB，过D作CF⊥AB，根据CF的长和坡度即可求得AE、BF的值，根据AB=AE+EF+BF 即可计算AB，即可解题．【解答】解：如右图，过C作CF⊥AB，过D作DE⊥AB，DE=CF=4m坡度===，∴AE=BF=6m，∴AB=AE+EF+FB=6+6+6（m）=18m．故答案为 18．【点评】本题考查了坡度的定义，考查了坡度在直角三角形中的运用，本题中求AE、BF的长是解题的关键．16．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡度设计为i=1：4.5，则AC的长为210 cm．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比解答．【解答】解：由题可知BD=60cm，AD=60cm．∵坡度!=BD：DC=1：4.5，∴DC=270，∴AC=DC﹣AD=270﹣60=210（cm）．【点评】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．17．身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为 5.1 m．（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】树高等于CD与DE的和，利用三角函数求CD长即可．【解答】解：∵∠CAD=30°，AD=6．∴CD=2．∴树的高=1.6+2≈5.1（米）．【点评】此题主要考查三角函数定义的应用．18．如图，在正方形网格中，∠ABO的正切值是 1 ．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据三角函数的定义即可求出tan∠ABO的值．【解答】解：利用三角函数的定义可知tan∠ABO==1．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．19．若△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3：4，那么sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】由题意得，AC：BC：AC=3：4：5，即可求得sinA的值．【解答】解：设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理可得AB=5x，∴sinA=BC：AB=．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边．20．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52．①a，b的值可以是3，4 （提示：答案不惟一）（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：图中的点E可以是以BC为直径的半圆上的任意一点（点B，C除外）．BE，CE的长分别为两个小正方形的边长．【考点】勾股定理的应用．【专题】压轴题；开放型．【分析】①使得a2+b2=52．由直角三角形勾股定理的很容易联想到a、b的值是3、4；②要求设计一般性的剪裁，则先分割出来一个边长为4的正方形，再把剩下的部分分为两个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，四个四边形拼成一个边长为3的正方形．【解答】解：①要使得a2+b2=52．考虑到直角三角形的特殊情况，a，b的取值可以使3，4一组（答案不唯一）；②裁剪线及拼接方法如图所示：按照上图所示剪裁，先剪一个边长是4的正方形；剩下的剪三个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，然后将这些拼接成边长为3的正方形即可．【点评】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力．解决本题的关键是紧紧抓住a2+b2=52这个已知条件及剪拼过程面积不变的这个线索．21．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB= ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据直角三角形的性质，求得BC，再求得EC，由此可以求出CE，再利用BE=CE﹣BC即可求出EB．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=4，∠A=45°，∴BC=4×=4在Rt△EDC中，∵∠EDC=60°，DE=6，∴CE=DE•sin∠EDC=6×=3∴BE=CE﹣BC=3﹣4．故填空答案：3﹣4．【点评】本题利用了直角三角形的性质和等腰三角形的性质求解．22．比较大小：sin33°+cos33°＞1．（可用计算器辅助）【考点】计算器—三角函数．【专题】计算题．【分析】先利用计算器求出33°的正弦值和余弦值，再计算两者之和，与1比较即可．【解答】解：∵sin33°≈0.545，cos33°≈0.839，∴sin33°+cos33°≈0.545+0.839≈1.384＞1．故答案是＞．【点评】本题考查了计算器计算三角函数值，注意一般取到小数点后3位．23．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】先由勾股定理求出AB，再利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB===5．∴sinA==．【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．三、解答题24．（2009•枣庄）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）已知顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式y=a（x﹣2）2+1，把O（0，0）代入即可；（2）∵△MOB与△AOB公共底边OB，最高点A的纵坐标为1，只需要点M的纵坐标为﹣3即可，将y=﹣3，代入解析式可求M点坐标；（3）由已知△OAB为等腰三角形，点N在抛物线上，只可能OB=BN，即要求∠AOB=∠BON，A、A'要关于x轴对称，通过计算，不存在．【解答】解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，∵抛物线过原点，∴a（0﹣2）2+1=0，a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+x．（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S△MOB=3S△AOB，∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是﹣3．∴﹣3=﹣x2+x，即x2﹣4x﹣12=0．解之，得x1=6，x2=﹣2．∴满足条件的点有两个：M1（6，﹣3），M2（﹣2，﹣3）（3）不存在．由抛物线的对称性，知AO=AB，∠AOB=∠ABO．若△OBN与△OAB相似，必有∠BON=∠BOA=∠BNO，即OB平分∠AON，设ON交抛物线的对称轴于A'点，则A、A′关于x轴对称，∴A'（2，﹣1）．∴直线ON的解析式为y=﹣x．由﹣x=﹣x2+x，得x1=0，x2=6．∴N（6，﹣3）．过N作NE⊥x轴，垂足为E．在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，∴NB==．又∵OB=4，∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN与△OAB不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．所以在该抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，坐标系里的面积问题，探求相似三角形的存在性问题，具有一定的综合性．25．计算：．【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式==5．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．26．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答．【解答】解：在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20×=10又DE=AB=1.5，∴CE=CD+DE=CD+AB=10+1.5≈18.8答：此时风筝离地面的高度约是18.8米．【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用．27．计算：．【考点】实数的运算．【分析】按照实数的运算法则依次计算．【解答】解：原式==2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、乘方、绝对值等考点的运算．注意（﹣1）2010=1，|﹣|=，（π﹣2010）0=1．28．为测量大楼CD的高度，某人站在A处测得楼顶的仰角为45°，前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°，求大楼CD的高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】此题可利用两仰角的正切值及CD的高度表示AB，即AB=﹣，求得CD 即可．【解答】解：如图，依题意得∠CBD=60°，∠CAD=45°，AB=20m，设CD=xm，则AB=﹣，20=x﹣x，解得：x=（30+10）m，答：大楼CD的高为（30+10）m．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．29．如图，为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度（≈1.7）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】本题是一个直角梯形的问题．作CD⊥AB于点D，把求AB的问题转化求AD的长，从而在△ACD中利用三角函数求解．【解答】解：如图，CD=20，∠ACD=60°．在Rt△ACD中，tan∠ACD=，∴=，∴AD=20≈34．又∵BD=1.5，∴塔高AB=34+1.5=35.5（米）．【点评】解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．30．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，那么∠α的度数是72°；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）BF与BE的长度相等，则由等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和，得到∠α的度数．（2）由于竿长1米时离地面的高度为0.6米，则有AG：AH=1：0.6，可求得AH的长．（3）由题意知，△CPD∽△PHA，根据相似三角形的对应边相等可求得AH的长．【解答】解：（1）∵BF=BE．∴∠BFE=∠FEB．∴∠α=2∠EFB=72°．（2）∵竿长1米时离地面的高度为0.6米，MN∥AH．∴AG：AH=1：0.6∴AH=3米．（3）在Rt△ABH中，BH=AH÷tan72°=AH÷3=．由题意知，△CPD∽△PHA．∴DP：CP=AH：PH=AH：（PB+BH）=AH：（PB+）．即：a：b=AH：（c+）．解得：AH=．【点评】本题主要用到了等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和；平行线的性质，正切的概念，相似三角形的性质等知识点求解．31．如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高2.5米的自行车场，第二层起为宿舍．已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此。
2023 年九年级数学中考复习 解直角三角形的应用 解答专题提升训练题(含答案)
2022-2023学年九年级数学中考复习《解直角三角形的应用》解答专题提升训练题（附答案）1．生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳篷，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳篷．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳篷，且AB＝1.5m，遮阳篷与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳篷的宽度CD．2．万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行120米至点B，在此处测得楼基A的俯角为60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为30°，请计算万楼主楼AD的高度．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73）3．海绵拖把一般由长杆、U型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A、B是拖把上的两个固定点，拉杆AP一端固定在点A，点P与点B重合（如图1），拉动点P可使拉杆绕着点A转动，此时点C沿着AB所在直线上下移动（如图2）．已知AB＝10cm，连杆PC为40cm，FG＝4cm，MN＝8cm．当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合．（1）求ME的长；（2）转动AP，当∠P AC＝53°时，①求点C的上升高度；②求点D与点I之间的距离（结果精确到0.1）．（sin53°≈，cos53°≈，≈2.45，≈10.05）4．大约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测量出了金字塔的高度．如图①，他首先测量了金字塔正方形底座的边长为230米，然后他站立在沙地上的点B'处，请人不断测量他的影子B'C'．当他的影子B'C'和身高A'B'相等时，立刻测量出该金字塔塔尖P的影子A 与相应底棱中点B的距离约为22.2米．此时点A与点B的连线恰好与相应的底棱垂直，即正方形底座中心O与A和B在一条直线上．聪明的小明根据老师的讲述，迅速画出图②所示的测量金字塔高度的平面图形，请你根据这个平面图形计算出该金字塔的高度．5．如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座世界最大的水上摩天轮“苏州之眼”，其直径为120m，旋转1周用时24min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光．（1）4min后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在离地面90.5m以上的空中有多长时间？6．如图，点A、B均为格点，线段AB与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC；（2）在AC上找一点E，使∠ABE＝∠ACD；（3）在BC上取一点P，使tan∠BAP＝．7．一辆自行车竖直摆放在水平地面上如图所示，右边是它的示意图，横梁AC平行于水平面MN，现测得BC＝80cm，∠CAB＝60°，∠ACB＝50°，B到MN的距离BE＝30cm，AD为可调节高度，经研究发现，当坐垫高度为身高的0.6倍时，骑行者最舒适，现一身高170cm的同学骑车，当AD长约为多少时，可以使骑行者最舒适？（结果保留一位小数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73）8．如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE 上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）9．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，两条等长的钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量∠BAC＝100°，车位锁的底盒BC＝60cm．（1）求AB的长；（结果精确到0.1）（2）若一辆汽车的底盘高度为26cm，当车位锁上锁时，这辆汽车能否进入该车位？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan，40°≈0.84）10．图1是某校花的警示牌，可近似地看成由一个正方形和矩形拼接而成．现将其简化抽象成图2，量得正方形ABCD的边长为40cm，矩形EFGH的边FG＝AB，EF＝16cm．（1）连接BF，CG，直接写出BF与CG的关系：；（2）若点D到点G所在的水平线的垂线段为DM，点E为BC的中点，∠HGM＝50°，求点A到直线GM的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）11．图1是货物传送机械上的一种翻转装置，它可以使物体在传送带上实现翻转．图2是其截面简化示意图，已知连杆OA＝50cm，载物直角面A﹣B﹣C中∠ABC＝90°，其中点O固定，点B在水平杆OM上左右滑动，AB＝BC＝30cm．当载物面BC与水平杆OM重合时为初始位置，载物面BC与水平杆OM垂直时完成翻转．（1）直接写出点B与点O的之间距离d的取值范围是；（2）当点B由初始位置向右滑动10cm时，求载物面BC与水平杆OM的夹角∠CBM的（结果精确到0.1°，参考数据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.18．）度数．12．如图1是一种利用风力带动风车叶片旋转，再通过增速机将旋转的速度提升来促使发电机发电的装置，图2是其结构示意图，风车的三个叶片OA＝OB＝OC＝20m，每两个叶片之间的夹角为120°，点O为叶片旋转的轴心，管状塔OM垂直于山顶水平地面，OM＝60m．（1）在图2中，若∠BOM＝20°，则∠COM的度数为，点B到地面的距离可表示为；（2）在图2的基础上，风车三个叶片顺时针旋转90°后，求风车最高点到地面的距离．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，结果保留一位小数）13．如图1所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收．图2为示意图，已知DE，DC在初始位置，DE＝DC＝60cm，点B、C、G在同一直线上，AB⊥BG，∠A＝46°，∠DCG＝95°．（1）当DE，DC在初始位置时，求点D到AC的距离；（2）当双腿伸直后，如图3，点E，D分别从初始位置运动到点E'，D'，假设E'、D'、C 三点共线，求此时点E上升的竖直高度．（结果保留整数）（参考数据：sin41°≈0.66，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87，cos44°≈0.72，sin44°≈0.69，tan44°≈0.97）14．图1是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点B，C，D处可转动，支撑架AB＝BC＝CD＝28cm，面板DE＝28cm，若DE始终与AB平行．（1）直接写出∠ABC，∠BCD，∠CDE之间的数量关系；（2）若∠ABC＝∠BCD＝∠CDE，电脑显示屏宽EF＝26cm，且∠DEF＝105°，求笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73）15．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度．如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线CA上．沿教学楼向前走7.7米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼AB的高度．（点D，F，B在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：≈1.73，≈1.41）16．道闸杆，在生活中很常见．又称为八角杆，经过铝合金挤压成型．后经喷涂，贴红色反光膜而成．主要是跟道闸配套使用，广泛应用于公路收费站．停车场、小区等．用于管理车辆的出入，可单独通过无线遥控实现起落杆．也可以通过停车场管理系统实行自动管理状态．如图1，是某停车场使用的直杆型道闸杆，图2是示意图．已知道闸杆CD平行于地面且距离地面的高度BC为1米．（1）一辆长是4.20米．宽是180米高是1.80米的箱式小货车要沿宽度为3米的道路AB 的中心线进入停车场．则道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转多少度，小货车才能安全通过？请通过计算说明．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，tan37°≈0.75）（2）车辆进入该停车场时，系统会扫描车牌号码并自动起杆；而离开停车场时，需要扫码支付停车费用之后，人工遥控起杆落杆．已知车辆进入时的平均通过速度是离开时平均通过速度的2倍，20辆车组成的车队连续进入停车场比连续离开停车场所需时间少100秒，求进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数．17．图1是某种路灯的实物图．图2是该路灯的平面示意图．MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于点A．B，灯臂AC与支架BC交于点C．（1）已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°．AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm；参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）（2）某小区第一次用8000元购进一批该型号的路灯．第二次正好赶上商家搞活动．所有商品一律八折销售．该小区仍然用8000元购进第二批该型号的路灯，但所购数量比第一次多8个，求该小区两次共购进该型号的路灯多少个．18．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝°，EF与AB的位置关系；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）19．随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝＝80.6°．（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）（1）若设AC＝xm，用含x的代数式表示BC与CD的长度．（2）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．20．小聪家想在某市买一套能全年正午都有太阳照射的新房．勤于思考的小聪通过查阅资料发现：我们北半球冬至日正午太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，楼房的影子会最长，如果这一天正午有太阳照射，那么整年都不会有问题．（1）五一假期他们来到正在销售的A楼盘．该楼盘每幢楼均为17层，层高3米，南、北楼的间距为60米．小聪爸妈想在中间这幢楼购房．如果是你，你将建议父母选择第几（该市区所在纬度约是32.5°N，冬至日的正午太阳高度角为90°层以上？说明你的理由．﹣32.5°﹣23.5°＝34°，sin34°≈0.6，cos34°≈0.8，tan34°≈0.7）（2）假如每平方米单价y元与楼层n层之间满足关系y＝﹣60（n﹣15）2+16375．小聪爸妈期望每平方米单价不超过13000元，请你帮助小聪家设计一下购买商品房楼层的方案．参考答案1．解：过点D作DE⊥AC于点E，由题意，∠DBC＝60°，∠BAD＝30°，AB＝1.5m，∵∠DBC＝∠BAD+∠ADB＝60°，∴∠BDA＝∠ADB＝30°，∴AB＝BD＝1.5m，∴BE＝BD•cos60°＝0.75（m），DE＝BE＝0.75（m），∵∠BCD＝75°，∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴AD＝AC＝2DE＝1.5，∴EC＝AC﹣AE＝1.5﹣1.5﹣0.75＝1.5﹣2.25，∴CD＝＝＝．2．解：由题意可得，在Rt△ABE中，∵AB＝120米，∠ABE＝60°，∴BE＝＝＝60（米），AE＝sin60°•AB＝（米），在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，CE＝BE+CB＝60+30＝90（米），∴DE＝tan30°•CE＝＝30（米），∴AD＝AE﹣DE＝60＝30≈52（米）．答：万楼主楼AD的高度约为52米．3．解：（1）由图1可知，P A＝AB＝10（cm），图3中，PG＝PC＝40（cm），∴ME＝40+10+10﹣40＝20（cm），∴ME的长为20cm；（2）①如图2，过点P作PQ⊥AC于点Q．∵∠A＝53°，AP＝10cm，∴PQ＝PQ⋅sin53°≈10×0.8＝8cm，AQ＝AP⋅cos53°≈10×0.6＝6cm．∴．∴AC＝45.2cm，∴C上升了4.8cm．②根据题意如图：当P点转动到射线BA上时（如图3），FG落在MN上，此时点D与点E重合，点I与点H重合，根据勾股定理得：DF＝（cm），∵C上升了4.8cm，∴FS＝4.8cm，∴EF＝（cm），∵EH∥DI，∴△FES∽△FDT，∴，∴，∴DT≈7.7cm，由对称性可知：DI＝2DT+FG＝2×7.7+4＝19.4（cm），∴点D与点I之间的距离为19.4cm．4．解：∵金字塔正方形底座的边长为230米，∴0B＝＝115（米），∴OA＝0B+AB＝115+22.2＝137.2（米），根据题意可得Rt△AOP是等腰直角三角形，∴OA＝PO＝137.2米．答：该金字塔的高度为137.2米．5．解：（1）过点C作CE⊥OA，垂足为E，作CD⊥AM，垂足为D．∵旋转1周用时24min，∴4min后∠AOC的度数为：360°×＝60°，在Rt△OCE中，OC＝60m，∠AOC＝60°，∵cos∠AOC＝，∴OE＝120×cos60°＝30m．∴AE＝OA﹣OE＝60.5﹣30＝30.5（m）．∵四边形AECD是矩形，∴CD＝AE＝30.5m．即4min后小明离地面30.5m．（2）延长AO交圆上点G，过OG的中点H作PQ⊥AG，连接PO、PQ．∵OB＝60m，AB＝0.5m，OH＝30m，∴AH＝90.5m．∴PQ上的点都距离地面90.5m，弧PGQ上的点都大于90.5m．在Rt△OPH中，∵OP＝60m，OH＝30m，∴∠P＝30°．∴∠POH＝60°．同理∠QOH＝60°．∴∠POQ＝120°．∵摩天轮旋转1周用时24min，∴摩天轮旋转120°用时：24×＝8（min）．即摩天轮转动1周，小明有8min在离地面90.5m以上的空中．6．解：（1）如图，线段AC即为所求．（2）如图，点E即为所求．（3）如图，点P即为所求．7．解：过点D作DH⊥AC于点H，延长EB交AC于T，过点D作DG⊥EB于点G，在Rt△BCT中，BT＝BC•sin50°≈61.6（cm），∵EG＝170×0.6＝102cm，∴GT＝EG﹣ET＝102﹣61.6﹣30＝10.4（cm），∵四边形DHTG是矩形，∴DH＝GT＝10.4（cm），在Rt△ADH中，AD＝＝≈12.0（cm）答：AD的长约为12.0cm．8．解：根据题意，可知∠AOB＝37°，OA＝20cm，OB＝7cm．过点A作AH⊥OF，垂足为点H．在Rt△OAD中，∵sin∠AOD＝，∴AD＝AO⋅sin∠AOD＝20×sin37°≈12（cm）．同理可得OD＝16（cm）．由OB＝7，得BD＝9（cm）．在Rt△ABD中，．答：窗钩AB的长度约等于15cm．9．解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，BC＝60cm，∴BH＝HC＝BC＝30（cm），在Rt△ABH中，∠BAC＝100°，∴∠B＝40°，∴AB＝≈≈38.9（cm）；（2）在Rt△ABH中，∴AH＝AB sin B＝50sin40°≈38.9×0.64＝24.896（cm），∴24.896＜26，∴当车位锁上锁时，这辆汽车能进入该车位．10．解：（1）如图1中，结论：BF＝CG，BF∥CG．理由：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∵AB＝FG，∴FG＝BC，FG∥BC，∴四边形BCGF是平行四边形，∴BF＝CG，BF∥CG．故答案为：BF＝CG，BF∥CG．（2）如图2中，过点A作AW⊥GM于W，过点D作DQ⊥AW于Q，过点C作CT⊥DM于T，过点H作HJ⊥GM于J，交CT于K．∵BE＝EC＝20cm，BC＝EH＝40cm，∴CH＝20（cm），在Rt△HGJ中，HJ＝GH•sin50°≈12.26（cm），在Rt△CKH中，KH＝CH•cos50°≈12.86（cm），在Rt△CDT中，DT＝CD•sin50°≈30.64（cm），在Rt△AQD中，AQ＝AD•cos50°≈25.72（cm），∵四边形DQWM，四边形MTKJ都是矩形，∴QW＝DM，TM＝JK＝HJ+KH，∴QW＝DM＝DT+KH+HJ＝12.26+12.86+30.64＝55.76（cm），∴AW＝AQ+QW＝55.76+25.72≈81.5（cm）．11．解：（1）初始位置时，∠ABO＝90°，故OB＝，完成翻转时，OB＝OA+AB＝80，∴40≤d≤80，故答案为40≤d≤80；（2）由（1）知，初始位置时OB＝40cm，所以向右滑动10cm时，OB＝50cm，如图，作AH⊥OM，垂足为H，设HB＝xcm，∵OA2﹣OH2＝AB2﹣HB2＝AH2，∴502﹣（50﹣x）2＝302﹣x2，解得：x＝9，∴，∴∠ABH≈72.5°，∴∠CBM＝90°﹣72.5°＝17.5°．12．解：（1）∵∠BOC＝120°，∠BOM＝20°，∴∠COM＝∠BOC﹣∠COM＝120°﹣20°＝100°，过点B作OM的垂线，交OM于点E，在Rt△OBE中，OB＝20m，∴OE＝OB•cos∠BOE＝20cos20°，∴EM＝OM﹣OE＝60﹣20cos20°，故答案为：100°，60﹣20cos20°；（2）如图，当风车的三个叶片顺时针旋转90°后，∠AOM＝130°，∠BOM＝110°，∠COM＝10°，∴此时点A最高，过点A作AD⊥MO，交MO的延长线于点D，则∠AOD＝180°﹣∠AOM＝50°，在Rt△AOD中，，即OD＝20×cos50°≈12.86（m），∴DM＝12.86+60≈72.9（m），∴风车最高点到地面的距离约为72.9m．13．解：（1）如图2中，过点D作DH⊥AC于H．∵∠B＝90°，∠A＝46°，∴∠ACB＝44°，∴∠DCH＝180°﹣∠ACB﹣∠DCG＝41°，在Rt△DCH中，DH＝CD•sin41°＝60×0.66≈40（cm），∴点D到AC的距离为40cm．（2）如图3中，过点D作DH⊥AC于H．∵DE＝DC，DH⊥EC，∴EH＝CH＝CD•cos41°＝60×0.75≈45（cm），∵CE′＝120cm，EC＝90cm，∴时点E上升的竖直高度＝（120﹣90）•sin44°≈21（cm）．14．解：（1）如图2﹣1中，结论：∠ABC+∠BCD+∠CDE＝360°．理由：过点C作CT∥DE，∵AB∥DE，∴CT∥AB∥DE，∴∠CDE+∠DCT＝180°，∠ABC+∠BCT＝180°，∴∠ABC+∠BCD+∠CDE＝∠ABC+∠BCT+∠DCT+∠CDE＝360°．（2）如图2﹣2中，连接BD，过点C作CJ⊥BD于J，过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FT⊥HE交HE的延长线于T．∵CD＝CB，∠BCD＝120°，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∵∠CDE＝∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠BDE＝90°，∵EH⊥AB，∴∠BHE＝90°，∴四边形BDEH是矩形，∴EH＝BD＝2DJ＝2•CD•cos30°＝28≈48.44（cm），在Rt△EFT中，∠FET＝105°﹣90°＝15°，∴TE＝EF•cos15°＝26×0.97≈25.43（cm），∴TH＝TE+EH＝48.44+25.43≈73.9（cm）．∴笔记本电脑显示屏的端点F到AB的距离为73.9cm．15．解：连接CE并延长，交AB于点G，设AG＝x米，由题意可知，四边形CDFE，四边形CDBG是矩形，∴BG＝CD＝1.6米，DF＝CE＝7.7米，∠CGB＝90°，∴∠AGE＝90°，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴∠CAG＝∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝x（米），∴EG＝CG﹣CE＝x﹣7.7（米），在Rt△AEG中，∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，即EG＝，∴x﹣7.7＝，解得：x＝，∴AB＝AG+BG＝18.2+1.6＝19.8（米）．16．解：（1）如图，点E为AB的中点，则BE＝AB＝1.5米，在BE上取点F，使EF＝0.9米，则BF＝BE﹣EF＝1.5﹣0.9＝0.6（米），过点F作FP⊥AB，交DC为点H，在FP上截取FG＝1.80米，则四边形HFBC是矩形，故有HF＝BC＝1米，∴HG＝FG﹣HF＝1.8﹣1＝0.8（米），在Rt△GHC中，HC＝0.6米，HG＝0.8米，∴tan∠CGH＝，∴∠CGH＝37°，即∠GCH＝90°﹣37°＝53°，∴道闸杆CD至少需要绕点C顺时针方向旋转53°，小货车才能安全通过．（2）设离开停车场时平均每分钟连续通过的车辆数x辆，则进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为2x辆，根据题意，得：，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的根，当x＝6时，2x＝12，答：进入停车场时平均每分钟连续通过的车辆数为12辆．17．解：（1）过点C作CD⊥MN于点D，则∠CDB＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝40cm，∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，在Rt△BCD中，BC＝CD＝20≈49（cm），答：支架BC的长约为49cm；（2）设该小区第一次购进该型号的路灯x个，根据题意，得：，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴32+32+8＝72（个），答：该小区两次共购进该型号的路灯72个．18．解：（1）①∵GH＝MN，MH＝NG，∴四边形GHMN是平行四边形，∵∠NGD＝33°，∴∠M＝∠HGN＝147°，∵AH⊥AB，EF∥AH，∴EF⊥AB，故答案为：147，垂直；②过G作GP⊥EF，垂足为P，∵∠NGD＝33°，∴∠FGP＝57°，∴FP＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，∵GP⊥EF，EF⊥AB，∴GP∥AB，又∵DE∥AB，∴GP∥DE，∵EF∥AH，∴四边形GDEP为平行四边形，∴GD＝PE，∴EF＝DG+PF＝50+50+42≈142.0cm；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P．∴NP＝305﹣50﹣50﹣150＝55cm，∵NG＝GD＝100cm，∴cos∠GNP＝＝＝0.55，∴∠GNP≈57°，∴∠NGP≈33°，∴∠NGD≈123°，∴∠PGD≈123°﹣33°＝90°，故NF绕着G点顺时针旋转了90°．19．解：（1）作EH⊥AC于H，则四边形EHCD是矩形，在Rt△ABC中，∵tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan71.6°＝3.01xm，在Rt△AHE中，∵tan∠EAC＝，∴CD＝EH＝AH•tan80.6°＝6.04（x﹣6）＝（6.04x﹣36.24）m；（2）设AC＝xm，∵四边形EHCD是矩形，∴DE＝CH＝6m，∵BD＝BC+CD＝315m，BC＝3.01xm，CD＝（6.04x﹣36.24）m，∴3.01x+6.04x﹣36.24＝315，解得：x＝39，∴舰岛AC的高度为：39m．20．解：（1）过点B作BE⊥MF于点E，由题意得，∠ABE＝34°，BE＝60米，∴tan34°＝，即ME＝60×0.7＝42（米），∴BD＝EF＝17×3﹣42＝9（米），9÷3＝3（层），答：至少选择3层以上．（2）由题意得，﹣60（n﹣15）2+16375≤13000，解得n≤7.5，∵当n＝15时，y最大，∵n＞3，∴n可取4，5，6，7，∴可以购买4层到7层的楼房．。
中考数学分类(含答案)解直角三角形的应用
中考数学分类（含答案）解直角三角形应用一、选择题 1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树 的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m 二、填空题1．（2010山东济宁）如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .【答案】tan tan m n αα-⋅2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈732.13≈）【答案】82.0 3．（2010江西）如图，从点C 测得树的顶角为33º，BC ＝20米，则树高AB ＝ 米（用计算器计算，结果精确到0.1米）(第15题)13【答案】0.4．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）。
6【答案】35．（2010广东深圳）如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。
【答案】156．（2010广东佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米。
解直角三角形的实际应用训练-中考数学总复习
专题五解直角三角形的实际应用类型一母子型(2015·河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．(结果保留整数．参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73)例1题图【分析】根据所求构造直角三角形，在直角三角形中，利用锐角三角函数的性质求解问题即可．【自主解答】如解图，延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H.例1题解图∵由题意，得∠DAE＝∠BGH＝30°，DA＝6，∴GD＝DA＝6，∴GH＝AH＝DA·cos 30°＝33，∴GA＝6 3.设BC＝x米，在Rt△GBC中，GC＝BCtan∠BGC＝3x.在Rt△ABC中，AC＝BCtan∠BAC＝xtan 48°.∵GC－AC＝GA，∴3x－xtan 48°＝63，解得x≈13.即大树的高度约为13米．1．(2018·泰州)日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15 m，坡度为i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB，底部A到E点的距离为4 m.(1)求山坡EF的水平宽度FH；(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？图①图②2.(2018·商丘模拟)如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长？(参考数据：3≈1.7，结果保留一位小数)3．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB 的坡度i＝1∶3，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)4．(2018·新乡一模)如图，为探测某座山的高度AB，某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°，此时飞机的飞行高度为CH＝4千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行2千米到达D处，测得山顶A 处的俯角为50°.求此山的高度AB.(参考数据：tan 30°≈0.6，tan 50°≈1.2)5．(2018·烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时，数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l 外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C.测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 71°≈0.95，cos 71°≈0.33，tan 71°≈2.90)6．(2018·河南说明与检测)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73.结果保留一位小数．)7．(2018·河南说明与检测)某数学兴趣小组在学习《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动，他们在河边的一点A处测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为66°、塔底B的仰角为60°，已知铁塔的高度BC为20 m(如图)，你能根据以上数据求出小山的高BD吗？8．(2018·河南说明与检测)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D、F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米．(结果保留根号)9．(2018·遵义)如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5 m．(计算结果精确到0.1 m，参考数据sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05)(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时，吊臂AB的长为____________m；(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)类型二背靠背型(2018·河南)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长．(结果精确到1 cm，参考数据sin 82.4°≈0.991，cos 82.4°≈0.132，tan 82.4°≈7.500，sin 80.3°≈0.983，cos 80.3°≈0.168，tan 80.3°≈5.850)【分析】 利用锐角三角函数，在Rt△ACE 和Rt△DBF 中，分别求出AE 、BF 的长．计算出EF.通过矩形CEFH 的性质得到CH 的长． 【自主解答】 解：在Rt△ACE 中，AE ＝CE tan 82.4°＝155tan 82.4°≈20.7，在Rt△BDF 中，BF ＝DF tan 80.3°＝234tan 80.3°≈40，∵在矩形CEFH 中，CH ＝EF ，∴CH＝EF ＝AE ＋AB ＋BF ＝20.7＋90＋40≈151(cm)． 答：高低杠间的水平距离CH 的长为151 cm.1．(2018·驻马店一模)小明利用寒假进行综合实践活动，他想利用测角仪和卷尺测量自家所住楼(甲楼)与对面邮政大楼(乙楼)的高度，现小明用卷尺测得甲楼宽AE 是8 m ，用测角仪在甲楼顶E 处与A 处测得乙楼顶部D 的仰角分别为37°和42°，同时在A 处测得乙楼底部B 处的俯角为32°，请根据小明测得数据帮他计算甲、乙两个楼的高度．(精确到0.01 m)(cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)2．(2018·甘肃省卷)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA ＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)3．(2018·常州)京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160 m，CD＝40 m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽(即CH的长)．4．(2018·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C 表示)开展社会实践活动，车到达A 地后，发现C 地恰好在A 地的正北方向，且距离A 地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C 地，求B 、C 两地的距离．(参考数据：sin 53°≈45，c os 53°≈35，tan 53°≈43)5.(2018·河南说明与检测)如图，B 地在A 地的北偏东56°方向上，C 地在B 地的北偏西19°方向上，原来从A 地到C 地的路线为A→B→C，现在沿A 地北偏东26°方向新修了一条直达C 地的公路，路程比原来少了20千米．求从A 地直达C 地的路程(结果保留整数．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．6．(2018·河南说明与检测)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，从旗杆正前方23米处的点C 出发，沿斜面坡度i ＝1∶3的斜坡CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米，已知A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，求旗杆AB 的高度．(参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34.计算结果保留根号)．7．(2018·河南说明与检测)中国南海是中国固有领海，我方渔政船经常在此海域执勤巡察，一天我方渔政船停在小岛A 北偏西37°方向的B 处，观察A 岛周边海域，据测算，渔政船距A 岛的距离AB 长为10海里，此时位于A 岛正西方向C 处的我方渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号，渔政船接警后，立即沿BC 航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需要多少分钟能到达渔船所在的C 处？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，s in 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77)8．(2018·河南说明与检测)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2 km.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)9．(2018·衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2 000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？参考答案类型一 针对训练1．解：(1)∵i EF ＝1∶0.75＝43＝EHFH，设EH ＝4x ，则FH ＝3x ，EF ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ＝15， ∴x＝3，∴FH＝3x ＝9，即山坡EF 的水平宽度FH 为9 m.第1题解图(2)如解图，延长BA 、FH 交于点G ，则AG ＝EH ＝4×3＝12，GH ＝AE ＝4，∴BG＝BA ＋AG ＝22.5＋12＝34.5.设CF ＝y ，则CG ＝CF ＋FH ＋GH ＝y ＋9＋4＝y ＋13，由题知CG∶(BG－CP)≥1.25，∴y ＋1334.5－0.9≥1.25，解得y≥29，∴底部C 距F 处至少29 m 远．2．解：如解图，延长DG 交CA 于点H ，得Rt△ABE 和矩形BEHG. i ＝BE AE ＝43，第2题解图∵BE＝8，∴AE＝6，∵DG＝1.5，BG ＝1， ∴DH＝DG ＋GH ＝1.5＋8＝9.5， AH ＝AE ＋EH ＝6＋1＝7. 在Rt△CDH 中，∵∠C＝∠FDC＝30°，DH ＝9.5， ∴CH＝DHtan 30°＝9.5 3.又∵CH＝CA ＋AH ， 即9.53＝CA ＋7， ∴CA≈9.2(米)． 答：CA 的长约是9.2米．3．解：如解图，过点B 作BF⊥AE，交EA 的延长线于点F ，作BG⊥DE 于点G.∵Rt△ABF 中，i ＝tan∠BAF＝13＝33，第3题解图∴∠BAF＝30°， ∴BF＝12AB ＝5，AF ＝5 3.∴BG＝AF ＋AE ＝53＋15. ∵Rt△BGC 中，∠CBG＝45°， ∴CG＝BG ＝53＋15.Rt△ADE 中，∠DAE＝60°，AE ＝15， ∴DE＝AE·tan 60°＝3AE ＝15 3.∴CD＝CG ＋GE －DE ＝53＋15＋5－153＝20－103≈2.7 m. 答：宣传牌CD 高约2.7米．4．解：如解图，延长BA 交CD 的延长线于点E ，则BE⊥CE，CH ＝BE ＝4千米， 设AE ＝x 千米，第4题解图∵Rt△ADE 中， ∠ADE＝50°， ∴DE＝AE tan 50°＝x 1.2＝56x.∴CE＝56x ＋2.∵Rt△ACE 中，∠ACE＝31°，∴AE＝CE·tan 31°，即x ＝0.6×(56x ＋2)，解得x ＝2.4，∴AB＝BE －AE ＝4－2.4＝1.6(千米)． 答：山的高度AB 约为1.6千米．5．解：在Rt△APC 中，AC ＝PC·tan∠APC＝30·tan 71°≈30×2.90＝87米， 在Rt△BPC 中，BC ＝PCtan∠BPC＝30·tan 35°≈30×0.70＝21米， 则AB ＝AC －BC ＝87－21＝66米，该汽车的平均速度为666＝11 m/s ，∵40 km/h≈11.1 m/s，∴该车没有超速．6．解：如解图，过点A 作AH⊥CD，垂足为点H ， 由题意知，四边形ABDH 为矩形，∠CAH＝30°，第6题解图∴AB＝DH ＝1.5，BD ＝AH ＝6. 在Rt△ACH 中，CH ＝AH·tan∠CAH， ∴CH＝6·tan 30°＝23(米)． ∵DH＝1.5，∴CD＝(23＋1.5)(米)． 在Rt△CDE 中， ∵∠CED＝60°， ∴CE＝CDsin 60°＝4＋3≈5.7(米)，答：拉线CE 的长约为5.7米． 7．解：能求出小山的高， 设小山的高BD 为x m. 在Rt△ABD 中，AD ＝xtan 60°.同理，在Rt△ACD 中，AD ＝CD tan 66°＝x ＋20tan 66°.即x tan 60°＝x ＋20tan 66°.解得：x≈67.4.答：小山的高BD 约为67.4 m.8．解：如解图，过点A 作AG⊥CD，垂足为点G ， 则∠CAG＝30°，在Rt△ACG 中，第8题解图CG ＝CA·sin 30°＝50×12＝25.由题意得GD ＝50－30＝20， 则CD ＝CG ＋GD ＝25＋20＝45.连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H. 由题意得∠H＝30°.∵在Rt△CDH 中，CH ＝CDsin 30°＝2CD ＝90，∴EH＝EC ＋CH ＝AB －BE －AC ＋CH ＝300－50－50＋90＝290. 在Rt△EFH 中， EF ＝EH·tan 30°＝290×33＝29033. ∴支撑角钢CD 的长度为45 cm ，EF 的长度为29033 cm.9．解：(1)11.4 【解法提示】在Rt△ABC 中， ∵∠BAC＝64°，AC ＝5 m ， ∴AB＝ACcos 64°＝5÷0.44≈11.4 m；第9题解图(2)如解图，过点D 作DH⊥地面于H ，交水平线于点E ， 在Rt△ADE 中，∵AD＝20 m ，∠DAE＝64°，EH ＝1.5 m ，∴DE＝sin 64°×AD≈20×0.9≈18 m，即DH ＝DE ＋EH ＝18＋1.5＝19.5 m ，答：如果该吊车吊臂的最大长度AD 为20 m ，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m. 类型二1．解：如解图，过点A 作AN⊥BD 于点N ，第1题解图在Rt△DNE，tan 37°＝DN EN ≈0.75＝34，设DN ＝3x ，则EN ＝4x ，在Rt△DNA 中，有DN ＝3x ，AN ＝4x －8， ∵tan42°＝DN AN ＝3x4x －8≈0.90，解得：x ＝12，∴DN＝3×12＝36，AN ＝4×12－8＝40， 在Rt△BNA 中，由题意知∠NAB＝32°， ∵tan 32°＝BNAN ，∴BN＝tan 32°AN≈24.8，∴DB＝DN ＋BN ＝36＋24.8＝60.8，AC ＝BN ＝24.8， 答：甲楼的高为60.8 m ，乙楼的高为24.8 m. 2．解：如解图，过点C 作CD⊥AB 于点D ， 在Rt△ADC 和Rt△BCD 中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC ＝640， ∴CD＝12AC ＝320，AD ＝3203，∴BD＝CD ＝320，BC ＝3202， ∴AC＋BC ＝640＋3202≈1088， ∴AB＝AD ＋BD ＝3203＋320≈864， ∴1088－864＝224(公里)，答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将约缩短224公里．第2题解图3．解：如解图，过D 作DE⊥AB 于点E ，可得四边形CHED 为矩形， ∴HE＝CD ＝40 m ，设CH ＝DE ＝x m ，在Rt△BDE 中，∠DBA＝60°， ∴BE＝DE tan 60°＝33x m ，在Rt△ACH 中，∠BAC＝30°，∴AH＝CHtan 30°＝3x m ，由AH ＋HE ＋EB ＝AB ＝160 m ，得3x ＋40＋33x ＝160， 解得：x ＝303，即CH ＝30 3 m ， 答：该段运河的河宽为30 3 m.第3题解图4．解：如解图，过点B 作B D⊥AC于点D ，则∠BAD＝60°，∠DBC＝90°－37°＝53°，第4题解图设AD ＝x ，在Rt△ABD 中，BD ＝ADtan∠BAD＝3x ， 在Rt△BCD 中，CD ＝BDtan∠DBC＝3x×43＝433x ，由AC ＝AD ＋CD 可得x ＋433x ＝13，解得：x ＝43－3，则BC ＝BD cos∠DBC ＝3x 35＝533×(43－3)＝20－53，即BC 两地的距离为(20－53)千米．5．解：如解图，过点B作BD⊥AC，垂足为D.设BD ＝x.第5题解图在Rt△ABD 中，∵∠BAD＝56°－26°＝30°， ∴AB＝BD sin 30°＝2x ，AD ＝BDtan 30°＝3x.在Rt△BCD 中，∵∠C＝26°＋19°＝45°， ∴BC＝BD si n 45°＝2x ，CD ＝BDtan 45°＝x.∴AC＝3x ＋x.由题意得AB ＋BC －AC ＝20，∴2x＋2x －(3x ＋x)＝20，解得x≈29.4. ∴AC≈2.73×29.4＝80.262≈80(千米)． ∴从A 地直达C 地的路程约为80千米．6．解：如解图，延长ED 交BC 延长线于点F ，则∠CFD＝90°，第6题解图∵tan∠DCF＝i ＝13＝33，∴∠DCF＝30°， ∵CD＝4，∴DF＝12CD ＝2，CF ＝CD·cos∠DCF＝4×32＝2 3.∴BF＝BC ＋CF ＝23＋23＝4 3. 过点E 作EG⊥AB 于G ，则GE ＝BF ＝43，BG ＝EF ＝ED ＋DF ＝1.5＋2＝3.5，又∵∠AEG＝37°，∴AG＝GE·tan∠AEG＝43·tan37°≈3 3. ∴AB＝AG ＋BG ＝(33＋3.5)米． 答：旗杆AB 的高度约为(33＋3.5)米． 7．解：如解图，过点B 作BD⊥AC，垂足为D ，第7题解图∵在Rt△ABD 中，cos∠ABD＝BD AB. ∴BD＝AB·cos 37°≈10×0.8＝8(海里)．∵在Rt△CBD 中，cos∠CBD＝BD BC， ∴BC＝BD cos 50°≈80.64＝12.5(海里)． ∴12.5÷30＝512(小时)，512×60＝25(分钟)． ∴渔政船大约需25分钟能到达渔船所在的C 处．8．解：(1)如解图，过点P 作PD⊥AB 于点D ，设PD ＝x ，由题意得知，∠PBD＝45°，∠PAD＝30°.在Rt△BDP 中，BD ＝PD ＝x ，在Rt△PDA 中，AD ＝PD tan 30°＝3PD ＝3x ， ∵AB＝2 km ，∴x ＋3x ＝2，解得x ＝3－1，∴点P 到海岸线l 的距离为(3－1) km.(2)如解图，过点B 作BF⊥CA 于点F ，在Rt△ABF 中，BF ＝AB·sin30°＝2×12＝1 km. 在△ABC 中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－30°－45°－45°－15°＝45°，∴在Rt△BFC 中，BC ＝2BF ＝2×1＝ 2 km.∴点C 与点B 之间的距离为 2 km.第8题解图9．解：(1)如解图，过点C 作CP⊥AB 于P ，第9题解图由题意可得：∠A＝30°，AC ＝2 000米，则CP ＝12AC ＝1 000米； 答：这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离为1 000米．(2)∵在Rt△PBC 中，PC ＝1 000米，∠PBC＝∠BPP＝45°， ∴BC＝2PC ＝1 0002米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆需要的时间为1 0002100＝102＜15. ∴他在15分钟内能到达宾馆．。
中考数学总复习《解直角三角形及其应用》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《解直角三角形及其应用》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题1．已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定2．已知平面直角坐标系xOy中第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，如果cosα＝，且OP＝5，那么点P的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（3，5）D．（5，3）3．如图，△ABC在网格（小正方形的边长均为1）中则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．4．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD 的长度是（）A．B．C．D．5．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米．此时滑块上升的高度是（）（单位：米）A．B．C．D．106．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（）A．900m B．900m C．900m D．1800m7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得AB＝60cm，∠B＝50°，则点A到BC的距离为（）A．60sin50°cm B．60cos50°cmC．D．60tan50°cm8．如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF上点A处测得∠EAB＝37°，∠F AC＝60°，已知河宽18米，则B，C两点间的距离为（）（参考数据：sin37°，cos37°≈，tan37°≈）A．（18+6）米B．（24+10）米C．（24+6）米D．（24+18）米二．填空题9．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点处，则∠ABC的正弦值为．10．某人在大厦一层乘坐观光电梯，看到大厦外一棵树上的鸟巢，仰角为30°，到达大厦的第五层后，再看这个鸟巢，俯角为60°，已知大厦的层高均为4m，则这棵树与大厦的距离为m．11．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC＝8m，则坡面AB的长度是m．12．一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．13．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为米．14．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC 与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC ＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）三．解答题15．常州天宁寺始建于唐贞观年间，是佛教音乐梵呗的发源地之一，也是常州最大的寺庙．某校数学兴趣小组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度．如图所示，平地上一幢建筑物AB与宝塔CD相距56m，在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为45°、宝塔顶部的仰角为60°．求天宁寺宝塔的高度（结果保留根号）．16．如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m 高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）17．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）（1）求此时小区楼房BC的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？18．如图所示，为了知道楼房CP外墙上一广告屏的高度GH是多少，某数学活动小组利用测角仪和米尺等工具进行如下操作：在A处测得∠GDF＝30°，在B处测得∠HEF＝50°，点A、B、C共线，AC⊥CP 于点C，DF⊥CP于点F，AB为20米，BC＝30米，测角仪的高度（AD、BE）为1.3米，根据测量数据，请求出GH的值．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）19．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．20．如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向．从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．（1）求小岛A，B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发先沿正西方向前往B点去取修理的材料（将材料装配上船的时间忽略不计），再沿射线BP方向以相同的速度前往P点进行救援．救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP 方向前往P点，已知A、P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船能否在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．（参考数据： 1.41，≈1.731，≈2.45）参考答案一．选择题1．解：∵将△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC为直角三角形，即∠C＝90°∴cos A＝＝现将每条边的长度都扩大为原来的5倍，则＝∴cos A的值不变．故选：A．2．解：过点P作PB⊥x轴于点B∵cosα＝＝∴可假设OB＝4，则OP＝5∴PB＝＝3∴点P的坐标可能是（4，3）故选：B．3．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．AB＝＝＝5，BC＝2，AC＝＝∵S△ABC＝BC•3＝3，S△ABC＝AB•CD＝CD∴CD＝．在Rt△ACD中AD＝＝＝＝．∴tan∠BAC＝＝＝．故选：B．4．解：过点A作AH⊥BC于H∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°∵AH⊥BC∴∠BAH＝∠BAC＝30°∴∠BAD+∠DAH＝30°∵∠DAE＝30°∴∠BAD+∠EAC＝30°∴∠DAH＝∠EAC∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝∵BH＝AB＝3∵AH＝AB sin60°＝6×＝3∴＝∴DH＝∴BD＝BH﹣DH＝3﹣故选：A．5．解：如图，设AB＝10m，过点B作BC⊥AC于点C由i＝1：3，得tanα＝＝∴AC＝3BC在Rt△ABC中∵AC2+BC2＝AB2∴（3BC）2+BC2＝102解得BC＝∴滑块上升的高度为：h＝．故选：A．6．解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E∵∠ABC＝150°∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°又∵∠BCD＝105°∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°在R△BCE中∠CBE＝30°，BC＝1800m∴CE＝BC＝900（m）在Rt△CDE中∠DCE＝45°∴CD＝CE＝900（m）故选：B．7．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D在Rt△ABD中∵sin B＝∴AD＝sin B•AB＝60sin50°即点A到BC的距离为60sin50°cm故选：A．8．解：作AD⊥BC于点D，如图∵BC∥EF∴∠DBA＝∠EAB，∠DCA＝∠CAF∵∠EAB＝37°，∠CAF＝60°∴∠DBA＝37°，∠DCA＝60°∵AD＝18米，tan∠DBA＝，tan∠DCA＝∴＝，＝解得BD＝24米，CD＝6米∴BC＝BD+CD＝（24+6）米故选：C．二．填空题9．解：如图，取BC的中点D，连接AD由网格可得，AC＝，AB＝∴AB＝AC∴AD⊥BCRt△ABD中∵AD＝∴sin∠ABC＝．故答案为：．10．解：如图，根据题意可知：∠BAC＝30°，∠DCB＝30°，AB＝4×4＝16（m）∴∠ADC＝90°，设CD＝x m∴AD＝AD＝xm，BD＝CD＝xm∵AD+BD＝AB∴x+x＝16∴x＝4（m）．答：这棵树与大厦的距离为4m．故答案为：4．11．解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝8m∴＝＝解得AC＝8则AB＝＝16（m）．故答案为：16．12．解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH∴BH＝CH在Rt△ACH中∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝∴CH＝（12+CH）解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．13．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D由题意得：AD＝150米在Rt△ADB中∠BAD＝30°∴BD＝AD•tan30°＝150×＝50（米）在Rt△ADC中∠DAC＝60°∴CD＝AD•tan60°＝150（米）∴BC＝BD+CD＝200（米）∴这栋楼的高度为200米故答案为：200．14．解：如图2，过C作CD⊥MN于D则∠CDB＝90°∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm）∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm）∵∠ACB＝15°∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm）故答案为49．三．解答题15．解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E，则四边形AEDB是矩形依题意BD＝56，∠EAD＝45°，∠CAE＝60°∴△ADE是等腰直角三角形∴AE＝ED则四边形ABDE是正方形∴AE＝BD＝56在Rt△ACE中∴答：天宁寺宝塔的高度为（）米．16．解：过点C作CF⊥BD，垂足为F由题意得：AC＝DF＝12m，CF＝AD设AD＝CF＝xm在Rt△ABD中∠BAD＝31°∴BD＝AD•tan31°≈0.6x（m）在Rt△CFB中∠BCF＝20°∴BF＝CF•tan20°≈0.36x（m）∴BD＝BF+DF＝（0.36x+12）m∴0.6x＝0.36x+12解得：x＝50∴AD＝50m，BD＝30m∴两楼的高度约为30m，两楼之间的距离约为50m．17．解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：则四边形BCFE是矩形由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝∠FDC＝45°∵∠DCF＝∠FDC＝45°∴CF＝DF∵四边形BCFE是矩形∴BE＝CF＝DF在Rt△ADE中∠AED＝90°∴tan∠DAE＝＝＝2+∴BE＝30经检验，BE＝30是原方程的解∴EF＝DH﹣DF＝30+15﹣30＝15（米）答：此时小区楼房BC的高度为15米．（2）∵DE＝15（2+）米∴AE＝＝＝15（米）过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H在Rt△ABC中∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米∴tan∠BAC＝＝＝在Rt△AGH中GH＝DE＝15（2+）米AH＝＝＝（30+45）米∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30+30）米（30+30）÷5＝（6+6）（秒）答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．18．解：由题意得：EF＝BC＝30米，DF＝AC＝AB+BC＝50（米）在Rt△EHF中∠HEF＝50°∴HF＝EF•tan50°≈30×1.19＝35.7（米）在Rt△DFG中∠GDF＝30°∴FG＝DF•tan30°＝50×＝（米）∴HG＝FH﹣FG＝35.7﹣≈6.9（米）∴GH的值约为6.9米．19．解：（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．∵∠FDC＝30°，DF＝30∴，∵∠FCH＝45°∴CH＝FH＝15∴∵CE：CD＝1：3∴∵AB＝BC＝DE∴；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G∵∠ACG＝45°∴＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．20．解：（1）过P作PH⊥AB于H，如图：根据已知得：∠PBH＝45°，∠P AH＝30°，BP＝30海里∴∠PBH＝∠BPH＝45°∴△BPH是等腰直角三角形∴BH＝PH＝＝＝15（海里）在Rt△APH中tan∠P AH＝，即tan30°＝∴AH＝15（海里）∴AB＝BH+AH＝15+15≈57.9（海里）∴小岛A，B之间的距离约是57.9海里；（2）过P作PG⊥BC于G，如图：由（1）知AB＝57.9海里，BP＝30海里∴救援船到达P所需时间为≈1.95（小时）由已知可得∠CBP＝60°，∠BPC＝∠PBA+∠P AB＝75°∴∠GPB＝90°﹣∠CBP＝30°，∠GPC＝∠BPC﹣∠GPB＝45°在Rt△BPG中cos∠BPG＝，即cos30°＝∴PG＝15∵∠GPC＝45°＝∠C∴△GPC是等腰直角三角形∴CP＝PG＝15≈36.75（海里）∴补给船到达P所需时间为36.75÷30＝1.23（小时）∵1.95﹣1.23＝0.72（小时），0.72×60＝43.2（分）∴救援船不能在补给船到达P点后的40分钟之内赶到P点．。
中考数学专题 解直角三角形含答案
4、在 ABC 中， C 1350 ,a 2,b 2 求：①c 的长 ②sinA 的值 ③求 AB 边上的高 h
5、如图 8，在 ABC 中，已知 C 900 , AC 6 3,BAC 的平分线 AD=12，求 ABC 其余各边的长，各角的度数和 ABC 的内切圆的半径的长。
6、如图 9，要测铁塔的高 AB，从与铁塔底部在同一水平直线上的 C、D 两处，用测 角仪器测得铁塔顶 B 的仰角分别为 300 和 450 ，C、D 间距离为 14 米，测角仪器的
2
A、 ＞600
B、 ＜600
C、 ＞300
D、 ＜300
13、若 00＜ ＜1800，且 cos 3 ，则角 的度数是：
2
A、300
B、600
C、1500
D、300 或 1500
14、在 ABC 中， A 900 ，AD⊥BC，若 AB＝2AC，则 BC 与 DC 之间的关系为：
A、BC=2DC
A、12, 3 3
B、12, 3
C、 4 3, 3 3
D、 4 3, 3
11、若 , 互为补角，那么以下四个关系式中，不一定成立的是：
A、 sin sin ＞0
B、cos -cos ＞0
C、 sin sin ＝0
D、cos ＋cos ＝0
12、 是直角三角形的一个锐角， cos ＞ 1 则：
为：
A、16 和 9
B、9 和 16
C、16 和 12
D、12 和 16
三、解答题
1、已知 00＜ ＜1800，00＜θ ＜1800，且 cos 3 ,sin 1 ，
2
2
求 tg ctg 的值。
2、 RtABC 中， C ＝900，c=17，内切圆半径 r＝3，求两条直角边 a、b。
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第五节 解直角三角形
【中考过关】
1．(玉林)如图，从热气球A 看一栋楼底部C 的俯角是( D )
第1题
A ．∠BAD
B ．∠ACB
C ．∠BAC
D ．∠DAC
2．若∠A 为锐角，且sin A ＝32
，则cos A 等于( D ) A ．1
B ．32
C ．22
D ．12
3．(泸州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 的坐
标为(10，4)，四边形ABEF 是菱形，且tan ∠ABE＝43
.若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为( D )
第3题
A ．y ＝3x
B ．y ＝－34x ＋152
C ．y ＝－2x ＋11
D ．y ＝－2x ＋12
4．(十堰)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB ，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC 长为m ，则大树AB 的高为( A )
A ．m(cos α－sin α)
B ．m(sin α－cos α)
C ．m(cos α－tan α)
D ．m sin α－m cos α
5．(青海)随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据：BC ＝8，CD ＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD 的面积．(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
解：如图，过点A 作CD 的垂线，交CD 的延长线于F ，过点C 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E.∵AB∥CD，∴四边形AECF 是矩形．∵∠BCD ＝60°，∴∠BCE＝90°－60°＝30°.在Rt△BCE 中，∠BCE＝30°，BC
＝8，∴BE＝12BC ＝4，CE ＝32
BC ＝43.∵∠ADC＝135°，∴∠ADF＝180°－135°＝45°，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴DF＝AF ＝CE ＝4 3.由于FC ＝AE ，即43＋2＝AB ＋4，∴AB＝43－2，
∴S 梯形ABCD ＝12
×(2＋43－2)×43＝24，∴垂尾模型ABCD 的面积为24.
【中考突破】
6．(毕节)如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC ＝5 m ，坡面AB 的坡度为1∶3，则AB 的长度为( A )
A ．10 m
B ．10 3 m
C ．5 m
D ．5 3 m
7．(乐山)如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝5，点D 是AC 上
一点，连接BD.若tan A ＝12，tan ∠ABD ＝13
，则CD 的长为( C )
第7题
A ．2 5
B ．3
C ． 5
D ．2
第8题 8．(常州)如图，在四边形ABCD 中，∠A＝∠ABC＝90°，DB 平分∠ADC.
若AD ＝1，CD ＝3，则sin ∠ABD＝__6
__. 9．(牡丹江)先化简，再求值：(x －2x －1x )÷x －1x
，其中x ＝cos 30°. 解：原式＝x 2－2x ＋1x ·x x －1＝(x －1)2x ·x x －1
＝x －1.∵x＝cos 30°＝32
， ∴原式＝32
－1.
10．(盐城)6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB ，BC 为机械臂，OA ＝1 m ，AB ＝5 m ，BC ＝2 m ，∠ABC＝143°.机械臂端点C 到工作台的距离CD ＝6 m ．(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，5≈2.24)
(1)求A ，C 两点之间的距离；
(2)求OD 长．
解：(1)如图，过点A 作AE⊥CB，垂足为E.在Rt△ABE 中，AB ＝5 m ，
∠ABE＝37°.∵sin ∠ABE＝AE AB ，cos ∠ABE＝BE AB
， ∴AE 5 m ＝0.60，BE 5 m
≈0.80，∴AE＝3 m ，BE ＝4 m ，∴CE＝6 m.在Rt△ACE 中，由勾股定理，得AC ＝32＋62＝3 5 m≈6.72 m≈6.7 m.
(2)过点A 作AF⊥CD，垂足为F ，∴FD＝AO ＝1 m ，∴CF＝5 m ．在Rt△ACF
中，由勾股定理，得AF＝(35)2－52＝2 5 m≈4.48 m≈4.5 m，∴OD ＝4.5 m．
11．(达州)某老年活动中心欲在一房前3 m高的前墙(AB)上安装一遮阳篷BC，使正午时刻房前能有2 m宽的阴影处(AD)以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷BC与水平面的夹角为10°.如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷BC的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18；sin 63.4°≈0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00)
解：作DF⊥CE交CE于点F.∵EC∥AD，∠CDG＝63.4°，
∴∠FCD＝∠CDG＝63.4°.∵tan ∠FCD＝DF
CF
，tan 63.4°≈2.00，∴
DF
CF
＝2，∴DF＝2CF，设CF＝，BE＝(3－2，AD＝EF，∴EF＝2 m，∴EC＝(2
＋x) m．∵tan ∠BCE＝BE
CE
，tan 10°≈0.18，∴0.18＝
3－2x
2＋x
，解得x≈1.21，
∴BE＝3－2).
∵sin ∠BCE＝BE
BC
，∴BC＝
BE
sin ∠BCE
≈
0.58
0.17
≈3.4(m)，即此遮阳篷
BC的长度约为3.4 m．
12．(成都)6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．
如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长．(结果精确到 1 cm，参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08)
解：∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝180°－∠AOB＝30°.在Rt△ACO 中，AC＝10 cm，∴AO＝2AC＝20(cm)，由题意得AO＝A′O＝20 cm.∵∠A′OB＝108°，∴∠A′OD＝180°－∠A′OB＝72°.在Rt△A′DO中，A′D＝A′O·sin 72°≈20×0.95＝19(cm)，∴此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为19 cm.
【核心素养】
13．(张家界)阅读下列材料：
在△ABC 中，∠A ，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证：a sin A
＝b sin B
. 证明：如图1，过点C 作CD⊥AB 于点D ，则：
在R t△BCD 中，CD ＝a sin B ，
在Rt△ACD 中，CD ＝b sin A ，
∴a sin B＝b sin A ，
∴a sin A ＝b sin B
. 根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，
求证：b sin B ＝c sin C
； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC ＝80米，求这片区域的面积．(结果保留根号，参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)
(1)证明：如图2，过点A 作AD⊥BC 于点D ，在Rt△ABD 中，AD ＝c sin
B．在Rt△ACD中，AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C，∴b
sin B ＝
c
sin C
.
(2)解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E.
∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.在Rt△ACE中，AE＝
AC·sin 60°＝80×
3
2
＝403(m).又∵
AC
sin B
＝
BC
sin ∠BAC
，即
80
0.8
＝
BC
0.9
，
∴BC＝90 m，∴S△ABC＝1
2
×90×403＝1 8003(m2).。