九年级数学上册 1.3.2 正方形的性质与判定教案北师大版(2021-2022学年)

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1.3+正方形的性质与判定++++暑假预习++++2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.3 正方形的性质与判定暑假预习一、选择题1．在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则S1S2的整数部分是（）．A．0 B．1 C．2 D．32．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M,N．已知AH=3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（）A．4B．4.5C．4.8D．53. 用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形ABCD和正方形EFGH，每个直角三角形纸片的两条直角边长之比为1：2，若正方形EFGH的面积为5，则正方形ABCD的面积为( )A.2√3+4B. 12C. 4√5D. 94.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），点B的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）A．（﹣2，4），（1，3）B．（﹣2，4），（2，3）C．（﹣3，4），（1，4）D．（﹣3，4），（1，3）5．四边形当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）A．1 B．C．D．6．如图，正方形ABCD的边长为10，E为AD的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE 交CD于点F，垂足为G，连接AG、DG，下列结论：①BF＝CE；②AG＝CD；③∠CDG＝∠AGE；④EG＝2；⑤DG＝CG．其中正确结论有（）A．①②④B．②③⑤C．①②⑤D．①④⑤7．如图，正方形ABCD的边长为8，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E 处，折痕为GH．若BE＝EC，则线段CH的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，矩形ABOC 的边BO 、CO 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标是6,4，点D 、E 分别为AC 、OC 的中点，点P 为OB 上一动点，当PD PE +最小时，点P 的坐标为（）A ．()1,0-B ．()2,0-C ．()3,0-D ．()4,0-9.如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（）A ．0.5B ．1C ．2D ．无法确定10.如图，正方形ABCD 中，6AB =，将ADE 沿AE 对折至AEF △，延长EF 交BC 于点G ，G 刚好是BC 边的中点，则ED 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题 1.矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，4BD =．要使得矩形ABCD 是正方形，则AB 的长为．2.如图，正方形ABCD中，对角线BD长为15cm．P是线段AB上任意一点，则点P到AC，BD的距离之和等于cm．3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点D，过A、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F.若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为.4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，若对角线AC BD、的长都是20cm，则四边形EFGH的周长是cm．5.如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是．6.如图，面积为3的正方形ABCD的顶点C在数轴上，且表示的数为3，以点C为圆心，CD长为半径画弧交数轴上点C左侧于P点，则P点表示的数为．三、解答题1.小明同学从一张面积为5的正方形Ⅰ中剪出一个面积为2的小正方形Ⅱ，并按如图所示摆放，其中A，B，C三点共线，求线段AD的长．2.已知正方形ABCD，E、F分别为边BC、CD上的点，DE＝AF.求证：AF⊥DE.3.已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH ＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．(1)求证：AF＝CG；(2)连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？4.如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求证：∠EDG＝45°．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．（3）当BE：EC＝时，DE＝DG．5.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点P在线段BC上（不含点B），2ACB BPE∠=∠,PE交OB于E, 过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE= ;并结合图2证明你的猜想.。

13 正方形的性质及判定(备作业)-2021-2022学年九年级数学上(北师大版)(解析版)

1.3正方形的性质及判定一、单选题1．四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，下列能判定四边形ABCD 是正方形的是（） A ．,AB BC CD AD AC BD ====B ．,,AO CO BO DO AC BD ==⊥ C ．,AO BO CO DO AC BD ====D ．,AB BC AD CD == 【答案】A【解析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A 、∵AB BC CD AD ===，∴四边形ABCD 是菱形，又∵AC BD =∴ABCD 是正方形，故A 选项能判定；B 、∵,AO CO BO DO ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，∴ABCD 是菱形，故B 选项不能判定；只能判定为菱形；C 、∵AO BO CO DO ===，∴四边形ABCD 是矩形，故C 选项不能判定；只能判定为矩形；D 、,AB BC AD CD ==，两组邻边相等，无法判定，故D 选项不能判定．故选A ．【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．2．如图，E 是正方形ABCD 的边BC 的延长线上一点，若CE=CA ，AE 交CD 于F ，则∠FAC 的度数是（）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．67.5°【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∴∠E+∠∠FAC=∠ACB=45°，∵CE=CA，∴∠E=∠FAC，∴∠FAC=12∠ACB=22.5°．故选A．3．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】B【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意．故选B．4．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A B．C1D．1【答案】B【解析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=，∠BCD=90°，CE=CF=12，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．解：∵正方形ABCD的面积为1，∴，∠BCD=90°．∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=12BC=12，CF=12CD=12，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∴正方形EFGH的周长=4EF=4×2=故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF 的长是解决问题的关键．5．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）．A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．对角形互相垂直平分【答案】A【解析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．∵平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线互相平分∴选项A 正确；∵菱形的对角线不相等∴选项B 错误；∵矩形的对角线不相互垂直∴选项C 和D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，从而完成求解．6．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且0BAE 22.5 ＝，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为A．1 B C．4-D．4【答案】C【解析】分析：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°－∠BAE=90°－22.5°=67.5°．在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠ADE．∴AD=DE=4．∵正方形的边长为4，∴BD=∴BE=BD－DE=4．∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形．∴EF=22BE==422-．故选C．7．如图，点A（1，1），B（3，1），C（3，﹣1），D（1，﹣1）构成正方形ABCD，以AB为边做等边△ABE，则∠ADE和点E的坐标分别为（）A．15°和（2，B．75°和（2，1）C．15°和（2，75°和（21）D．15°和（2，1+75°和（2，1【答案】D【解析】分为两种情况：①当△ABE在正方形ABCD外时，过E作EM⊥AB于M，根据等边三角形性质求出AM、AE，根据勾股定理求出EM，即可得出E的坐标，求出∠EAD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE；②当等边△ABE在正方形ABCD内时，同法求出此时E的坐标，求出∠DAE，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出∠ADE．分为两种情况：①△ABE在正方形ABCD外时，如图，过E作EM⊥AB于M，∵等边三角形ABE，∴AE=AB=3﹣1=2，∴AM=1，由勾股定理得：AE2=AM2+EM2，∴22=12+EM2，∴EM∵A（1，1），∴E 的坐标是(21，，∵等边△ABE 和正方形ABCD ，∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，AD=AE ， ∴()11809060152ADE AED ∠=∠=︒-︒-︒=︒；②同理当△ABE 在正方形ABCD 内时，同法求出E 的坐标是()2,1，∵∠DAE=90°﹣60°=30°，AD=AE ， ∴()118030752ADE AED ∠=∠=︒-︒=︒；∴∠ADE 和点E 的坐标分别为15°，(21，，或75°，()2,1，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形性质、勾股定理、等腰三角形性质、正方形性质、坐标与图形性质、三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好，注意要分类讨论．8．如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】C【解析】连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长.连接AE，∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，在△AFE和△ADE中，∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.在直角△ECG中，根据勾股定理，得：(6−x)2+9=(x+3)2，解得x=2.则DE=2.【点睛】熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.9．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在线段DE 上，若AB AF =，则BFE ∠=（）A ．45°B ．30°C ．60°D ．55°【答案】A【解析】由正方形的性质再结合已知条件可证△ABF 和△ADF 是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质，四边形内角和为360°和三角形内角和定理即可解答.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90BAD ︒∠=，∵AB AF =，∴AF AD =，∴ABF ∆和ADF ∆都是等腰三角形，∴12∠=∠，34∠=∠．∵1234360BAD ︒∠+∠+∠+∠+∠=，∴2223270︒∠+∠=，∴23135︒∠+∠=，∴18013545BFE ︒︒︒∠=-=．故选A ．【点睛】此题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定理.10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，CH┴AF与点H，那么CH的长是（）A B C D【答案】D【解析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH的长.如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，==，∵CH⊥AF，∴1122AC CF AF CH⋅=⋅，12CH=⨯，∴.故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理及直角三角形的面积，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．11．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=14BC,③OD=12BF,④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EN ⊥BD 于N ，连接EF ，由全等三角形的判定定理可得△DNE ≌等腰直角△ECF ，再由平行线的性质得出OH 是△DBF 的中位线即可得出结论；②根据OH 是△BFD 的中位线，得出GH=12CF ，由GH ＜14BC ，可得出结论；③由OH 是△BFD 的中位线，BE 平分∠DBC ，由三角形全等得出BD=BF,即可得出结论．④根据四边形ABCD 是正方形，BE 是∠DBC 的平分线可求出Rt △BCE ≌Rt △DCF ，再由∠EBC=22.5°即可求出结论；作EN ⊥BD 于N ，连接EF ．①∵BE 平分∠DBC ∴EC=EN ∴等腰直角△DNE ≌等腰直角△ECF ，DE=FE ∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE= 22.5°，∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°∵DH=HF ∴OH 是△DBF的中位线∴OH ∥BF ，故①正确；②根据OH 是△BFD 的中位线，得出GH=12CF ，由GH ＜14BC ，故②错误；③由OH 是△BFD 的中位线，BE 平分∠DBC ，由三角形全等得出BD=BF,∵OD=12BD,∴OD=12BF ；④∠HCF=90°-22.5°=67.5°HFC=45°+22.5°=67.5°，∠CHF=45°故选B.【点睛】解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．12．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①ABG AFG △≌△；②BG GC =；③//AG CF ；④3FGC S =．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确；根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积,即可求证④．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，∵CD ＝3DE ，∴DE ＝2，∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，∴AF ＝AB ，∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG AG AB AF=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴①正确；∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，在Rt △ECG 中，由勾股定理得：CG 2＋CE 2＝EG 2，∵CG ＝6−x ，CE ＝4，EG ＝x ＋2∴（6−x ）2＋42＝（x ＋2）2解得：x ＝3，∴BG＝GF＝CG＝3，∴②正确；∵CG＝GF，∴∠CFG＝∠FCG，∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，∴∠AGB＝∠FCG，∴AG∥CF，∴③正确；∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，则这两个三角形的高相同．∴35CFGCEGS FGS GE==，∵S△GCE＝12×3×4＝6，∴S△CFG＝35×6＝185，∴④不正确；正确的结论有3个，故选：C．二、填空题13．在四边形ABCD 中，90A ︒∠=，AB BC CD ==，试补充一个条件__________，使四边形ABCD 是正方形．【答案】//AB CD （答案不唯一）【解析】根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．解：补充条件：//AB CD ；证明：∵在四边形ABCD 中，AB =CD ，//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB =BC ，∴ABCD 是菱形，∵90A ︒∠=∴菱形ABCD 是正方形，故答案为//AB CD .【点睛】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．14．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边DCE ，则AEC ∠的度数是__________．【答案】45︒【解析】先求出AED ∠的度数，即可求出AEC ∠.解：由题意可得，,90,60AD DC DE ADC EDC DEC ︒︒==∠=∠=∠=，,150AD DE ADE ADC EDC ︒=∠=∠+∠=180150152AED DAE ︒︒︒-∴∠=∠== 45AEC CED AED ︒∴∠=∠-∠=故答案为45︒【点睛】本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.15．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE=35°，则∠ANM 的度数是_____.【答案】55°【解析】过N 作NP BC ⊥于P ，则NP DC =，易证BEC PMN ≅，即可得MCE PNM ∠=∠，根据直角三角形内角和为180︒即可求得90ANM MCE ∠=︒-∠.过N 作NP BC ⊥于P ，则NP DC =，90MCE NMC ∠+∠=︒，90MNP NMC ∠+∠=︒，∴MCE MNP ∠=∠，在MNP △和ECB 中，MNP MCE NP CB NPM CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BEC PMN ≅，∴MCE PNM ∠=∠，∴9055ANM MCE ∠=︒-∠=︒，故答案为：55︒.【点睛】本题考查了正方形各边长、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中证明BEC PMN ≅是解题的关键.16．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，AE=AD ，∠ADE=75°，则∠AEB= _________°.,【答案】30【解析】根据等腰三角形的性质求出DAE ∠，然后求出BAE ∠的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.AE AD =，75ADE ∠=︒，∴180218027530DAE DAE ∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒，∴9030120BAE BAD DAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，AB AD =，∴AB AE =，∴()()111801*********AEB BAE ∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒. 故答案为：30.【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.17．如图，正方形ABCD 的边长为4，H 在CD 的延长线上，四边形CEFH 也为正方形，则DBF 的面积为______．【答案】8【解析】设EC=a ，利用DBF 的面积为：BEF ABD HDF ABCD HCEF S S S S S 正方形正方形+---，进而得出答案．设EC a =，则DBF 的面积为：BEF ABD HDF ABCD HCEF S S S S S 正方形正方形+---()()2221114a a 4a 4a a 48222=+-⨯⨯+-⨯-⨯⨯-=．故答案为8．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确表示出三角形面积，利用数形结合是解题关键．18．如图，正方形ABCD 中，AB=2，点E 为BC 边上的一个动点，连接AE ，作∠EAF=45°，交CD 边于点F ，连接EF.若设BE=x ，则△CEF 的周长为______.【答案】4【解析】先根据正方形的性质得AB AD =，90BAD B ==︒∠∠，把ADF 绕点A 顺时针旋转90︒可得到ABG △，接着利用“SAS ”证明EAG EAF ≅，得到EG EF BE DF ==+，然后利用三角形周长的定义得到CEF △的周长CE CF BE DF CB CD =+++=+，由此即可解决问题. 四边形ABCD 为正方形，∴AB AD =，90BAD B ==︒∠∠，∴把ADF 绕点A 顺时针旋转90︒可得到ABG △，∴AG AF =，BG DF =，90GAF ∠=︒，90ABG B ∠=∠=︒，∴点G 在CB 的延长线上，45EAF ∠=︒，∴45EAG GAF EAF ∠=∠-∠=︒，∴EAG EAF ∠=∠，在EAG △和EAF 中，AE AE EAG EAF AG AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EAG EAF ≅（SAS ），∴EG EF =，而EG BE BG BE DF =+=+，∴EF BE DF =+，∴CEF △的周长224CE CF BE DF CB CD =+++=+=+=.故答案为：4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.19．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF ；④S 正方形ABCD =2．其中正确的序号是_____（把你认为正确的都填上）．【答案】①②④分析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ．∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF ．∵在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AB=AD ，AE=AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ）．∴BE=DF ．∵BC=DC ，∴BC ﹣BE=CD ﹣DF ．∴CE=CF ．∴①说法正确．∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰直角三角形．∴∠CEF=45°．∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°．∴②说法正确．如图，连接AC ，交EF 于G 点，∴AC ⊥EF ，且AC 平分EF ．∵∠CAD≠∠DAF ，∴DF≠FG ．∴BE+DF≠EF ．∴③说法错误．∵EF=2，∴设正方形的边长为a ，在Rt △ADF 中，(22a a 4+=，解得a =，∴2a 2=．∴ABCD S 2=正方形∴④说法正确．综上所述，正确的序号是①②④．20．如图，边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形BEFG 排放在一起，O 1和O 2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为__，线段O 1O 2的长为__．【答案】14ab 如图，∵O 1和O 2分别是两个正方形的中心，正方形ABCD 的边长为a ，正方形BEFG 的边长为b ，∴BO 1=2a ，BO 2=2，∠CBO 1=∠CBO 2=45°，∴∠O1BO 2=90°，∴S 阴影=S △O1O2B =1124ab =，O 1O 2=故答案为：（1）14ab ；（2）21．四边形ABCD 、四边形AEFG 都是正方形，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°（45BAE ∠=︒）时，如图，连接DG ，BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH DG ⊥．若4AB =，AE =BH 的长是________．【答案】5【解析】如图（见解析），先根据正方形的性质可得1,3GN DN ==，再根据勾股定理可得DG =形全等的判定定理与性质可得BE DG ==最后利用等面积法求出5HE =，据此利用线段的和差即可得出答案．如图，连接GE 交AD 于点N ，连接DE ，∵正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒()45BAE ∠=︒，∴AF 与EG 互相垂直平分，且AF 在AD 上，∵四边形AEFG 是正方形，AE =，∴AG AE =，1AN GN ==，2EG =，45DAG ∠=︒，四边形ABCD 是正方形，4AB =，4AD AB ∴==，∴413DN AD AN =-=-=，在Rt DNG中，DG =，在ABE △和ADG 中，45AB AD BAE DAG AE AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABE ADG SAS ∴≅，∴BE DG == ∵1122DEG S EG DN DG HE =⋅=⋅，即112322⨯⨯=，∴HE =，∴55BH HE BE =+=+=，．【点睛】本题考查了正方形的旋转问题与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．22．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，先分别过此正方形的顶点B 、D 作BE l ⊥于点E 、DF l ⊥于点F ．然后再以正方形对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD ，CD 交于G ，H 两点．若EF =2ABE S ∆=，则线段GH 长度的最小值是___．【解析】根据正方形的性质可得AB AD =，90BAD ∠=︒，然后利用同角的余角相等求出BAE ADF ∠=∠，再利用“角角边”证明ABE ∆和DAF ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AF =，设AE x =，BE y =，然后列出方程组求出x 、y 的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长AB ，根据正方形的对角线平分一组对角可得45OAG ODH ∠=∠=︒，根据同角的余角相等求出AOG DOH ∠=∠，然后利用“角边角”证明AOG ∆和DOH ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得OG OH =，判断出OGH ∆是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰直角三角形的性质可得OH CD ⊥时GH 最短，然后求解即可．在正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒， 90BAE DAF ∴∠+∠=︒，DF l ⊥，90DAF ADF ∴∠+∠=︒，BAE ADF ∴∠=∠，在ABE ∆和DAF ∆中，90AFD BEA AB AD ⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABE DAF AAS ∴∆≅∆，BE AF ∴=，设AE x =，BE y =，2EF =2ABE S ∆=，∴122x y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消掉y并整理得，240x -+=，解得11x =，21x ，当11x =，11y ，当21x，21y ，∴由勾股定理得，AB ，在正方形ABCD 中，45OAG ODH ∠=∠=︒，OA OD =，90AOD ∠=︒，90AOG DOG ∴∠+∠=︒，OG OH ⊥，90DOH DOG ∴∠+∠=︒，AOG DOH ∴∠=∠，在AOG ∆和DOH ∆中，OA ODOAG ODH ⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOG DOH ASA ∴∆≅∆，OG OH ∴=，OGH ∴∆是等腰直角三角形，由垂线段最短可得，OH CD ⊥时OH 最短，GH 也最短，此时，GH=【点睛】考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于多次证明三角形全等并判断出GH 长度最小时的情况．三、解答题23．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数．【答案】45°【解析】延长EB 使得BG=DF ，易证△ABG ≌△ADF （SAS ）可得AF=AG ，进而求证△AEG ≌△AEF 可得∠EAG=∠EAF ，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解：如图，延长EB 到点G ，使得BG DF =，连接AG ．在正方形ABCD 中，90D ABC ∠=∠=︒，AB AD =，90ABG ADF ∴∠=∠=︒．在ABG 和ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG ADF SAS ∴≌，DAF BAG ∴∠=∠，AF AG =．又EF DF BE BG BE EG =+=+=，∴在AEG △和AEF 中，AE AE GE FE AG AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()AEG AEF SSS ∴≌，EAG EAF ∴∠=∠．90DAF EAF BAE ∠+∠+∠=︒，90BAG EAF BAE ∴∠+∠+∠=︒，90EAG EAF ∴∠+∠=︒，45EAF ∴∠=︒．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解决此题的关键． 24．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为,AD BC 边上的点，若2,4,90AG BF GEF ==∠=︒，求GF 的长．【答案】6GF =【解析】延长GE 交CB 的延长线于M ．只要证明△AEG ≌△BEM ，推出AG=CM=2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．如图，延长GE 交CB 的延长线于M ．∵四边形ABCD 是正方形，∴//AD CM ，∴∠=∠AGE M ．在AEG △和BEM △中，,,,AGE M AEG MEB AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ≌AEG BEM ， ∴,2===GE EM AG BM ．又∵EF MG ⊥，∴FG FM =．∵4BF =，∴426=+=+=MF BF BM ，∴6==GF FM ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 25．如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE ＝CE ．【答案】见解析【解析】先证明△ABE ≌△CBE ，再利用全等三角形的性质，可以得到AE ＝CE ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE ，在△ABE 和△CBE 中，AB CB ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE＝CE．【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质．26．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF．当AB 与BC满足___________条件时，四边形AEOF正方形．【答案】垂直，证明见解析．【解析】由菱形的性质得出AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF=12DC，OE=12BC，OE∥BC，可得AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．证明：：当AB⊥BC 时，四边形AEOF正方形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=DC=AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE=BE=DF=AF，OF=12DC，OE=12BC，OE∥BC，AE=OE=OF=AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴OE ⊥AB ，∴∠AEO=90°，∴四边形AEOF 是正方形．故答案：垂直．【点睛】本题考查了正方形的判定、菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．27．如图，点P 是边长为4的正方形ABCD 对角线AC 上一点(P 不同A 、C 重合)，点E 在线段BC 上，且PE PB =.(1)若1AP =，求CE 的长；(2)求证：PE PD ⊥.【答案】(1)CE=4(2)证明见解析.【解析】（1）过点P 作GF AB ∥，得出FC 、BF 的长度以及BF FE =，=CE BC BE BF FC BE =-+- （2）证明()PGD EFP SAS ≌，得出132390∠+∠=∠+∠=°，得出90DPE ∠=︒，从而证明PE PD⊥(1)【解】过点P 作GF AB ∥，分别交AD BC ，于点G F ，，如图所示.∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形， AGP 和PFC △都是等腰直角三角形又∵14AP AD ==，，∴2GP AG BF ===，42GD FC FP ===-又∵PB PE PF BE =⊥，.∴BF FE =，∴4242CE =-⨯=(2)【证明】由(1)得在△PGD 和EFP △中，∴90GD FP PGD EFP PG EF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴()PGD EFP SAS ≌，∴12∠=∠.∴132390∠+∠=∠+∠=°，∴90DPE ∠=︒，∴PE PD ⊥.【点睛】本题考察了辅助线的应用、勾股定理的运用、全等三角形的证明以及垂直的概念，运用好辅助线是解题的关键28．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥E D，理由详见解析；（2）详见解析【解析】（1）由旋转及平移的性质可得到∠DEB+∠GFE=90°，可得出结论；（2）由旋转和平移的性质可得BE=CB，CG∥BE，从而可证明四边形CBEG是矩形，再结合CB=BE可证明四边形CBEG是正方形．（1）FG⊥E D．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG ⊥ED ；（2）根据旋转和平移可得∠GEF =90°，∠CBE =90°，CG ∥EB ，CB =BE ，∵CG ∥EB ，∴∠BCG =∠CBE =90°，∴∠BCG =90°，∴四边形BCGE 是矩形，∵CB =BE ，∴四边形CBEG 是正方形．【点睛】本题主要考查旋转和平移的性质，掌握旋转和平移的性质是解题的关键，即旋转或平移前后，对应角、对应边都相等．29．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ED ⊥交DE 于点F ，交CD 于点G ．（1）证明：ADG DCE ∆∆≌；（2）连接BF ，证明：AB FB ＝．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC ，∠DAG=∠CDE ，即可得出△ADG ≌△DCE ；（2）延长DE 交AB 的延长线于H ，根据△DCE ≌△HBE ，即可得出B 是AH 的中点，进而得到AB=FB ．证明：（1）四边形ABCD 是正方形，90ADG C AD DC ︒∴∠∠＝＝，＝，又AG DE ⊥，90DAG ADF CDE ADF ︒∴∠+∠∠+∠＝＝，DAG CDE ∴∠∠＝，ADG DCE ASA ∴∆∆≌（）（2）如图所示，延长DE 交AB 的延长线于H ，E 是BC 的中点，BE CE ∴＝，又90C HBE DEC HEB ︒∠∠∠∠＝＝，＝，DCE HBE ASA ∴∆∆≌（）， BH DC AB ∴＝＝，即B 是AH 的中点，又90AFH ︒∠＝，Rt AFH ∴∆中，12BF AH AB ＝＝．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．30．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O 点E ，F 分别在AB ，BC 上（AE BE <）且90EOF ∠=︒，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN .（1）求证：OM ON =.（2）若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证△OAM ≌△OBN 即可得；（2）作OH ⊥AD ，由正方形的边长为4且E 为OM 的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2由直角三角形性质知．（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OA=OB ，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON ，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则∴．【点睛】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．31．如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗．如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．解：(1)∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA，又∵AM⊥BE，∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE∴∠MEA＝∠AFO，∴Rt△BOE≌ Rt△AOF∴OE＝OF(2)OE＝OF成立∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA又∵AM⊥BE，∴∠F＋∠MBF＝90°＝∠E＋∠OBE又∵∠MBF＝∠OBE∴∠F＝∠E∴Rt△BOE≌Rt△AOF∴OE＝OF32．在正方形ABCD中，E是CD边上一点，（1）将ADE 绕点A 按顺时针方向旋转。

《正方形的性质与判定》同步能力提升训练(附答案) 2021-2022学年北师大版九年级数学上册

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步能力提升训练（附答案）1．如图，E为正方形ABCD的对角线上一点，四边形EFCG为矩形，若正方形ABCD的边长为4，则EG+GC的长为（）A．4B．8C．16D．322．如图是一个正方形和直角三角形的组合图形，直角三角形的斜边和一条直角边的长分别为10cm，8cm，则该正方形的面积为（）A．6cm2B．36cm2C．18cm2D．2cm23．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．四边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分4．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连接CE，AE，则∠DAE的度数为（）A．22.5°B．25°C．30°D．32.5°5．如图，将平行四边形ABCD的∠ABC变成直角，则平行四边形ABCD变成（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．正方形、菱形、矩形、平行四边形共同具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线相互平分C．对角线相互垂直D．对角线相互垂直平分7．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，连接AC，CF，那么AF的长是（）A．B．2C．3D．28．下列说法错误的是（）A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线相等且垂直的四边形是正方形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形9．如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE PF的最小值为（）A．3 B．2C．2 D．110．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD的边上，且DE=1，△AFE与△ADE关于AE 所在的直线对称，将△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，连接FG，则线段FG 的长为（）A．4 B．42C．5 D．611．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（）A．当AC＝BD时，它是正方形B．当AC⊥BD时，它是矩形C．当∠ABC＝90°时，它是菱形D．当AB＝BC时，它是菱形12．下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且相等B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度C．对角线平分每一组对角D．四边相等且有一个角是直角13．如图，将正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（3，4），则点A的坐标为．14．菱形ABCD中，AD＝4，∠DAB＝60°，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD上的点，且DH＝FB，DE＝BG，当四边形EFGH为正方形时，DH＝．15．如图，正方形ABCD的边长为12，对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接BE并延长交正方形ABCD的边于点F，若OE＝3，则CF＝．16．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，5），点C在第一象限，则点C的坐标是．17．如图，正方形ABCD中，点P在边AD上，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，AC＝m，PE+PF＝n，则m，n满足的数量关系是．18．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF＝∠ABE．19．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．20．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：（1）△AHE≌△BEF；（2）四边形EFGH是正方形．21．如图，在四边形ABDE中，AD与BE相交于点O，OA＝OB＝OE＝OD，AB＝BD．（1）求证：四边形ABDE是正方形；（2）若∠ACB＝90°，连接OC，OC＝6，AC＝5，求BC的长．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，过点D分别作DE⊥BC，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）证明：四边形DECF为正方形；（2）若AC＝6cm，BC＝8cm，求四边形DECF的面积．参考答案1．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴EG＝DG，∵四边形EFCG为矩形，∴EF＝GC，∴EF+EG＝GC+DG＝DC＝4，故选：A．2．解：如图所示：∵△ABE是直角三角形，AE＝8cm，BE＝10cm，∴AB＝（cm），∵四边形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面积＝AB2＝36（cm2），故选：B．3．解：菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形．正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性，由矩形对角线相等满足条件．故选：B．4．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∵BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝×（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，故选：B．6．解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、对角线相互垂直、对角线相互垂直平分不一定成立．故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．故选：B．7．解：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠B＝∠E＝90°，∴AC＝＝，CF＝＝，∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CEFG的对角线，∴∠ACG＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，在Rt△ACF中，AF＝＝＝2．故选：D．8．解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，正确，不合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不合题意；C．对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，原说法错误，符合题意；D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意．故选：C．MN AD交AB于点M，交CD于点N，如图所示：9．解：过点P作//四边形ABCD为正方形，∴⊥，MN AB⊥时取等号），∴（当PE ABPM PE⊥时取等号），PN PF（当PF BC∴==++，MN AD PM PN PE PF正方形ABCD的面积是2，2∴AD∴+2B．PE PF10．解:如图，连接BE，∵△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，∴AF=AD，∠EAD=∠EAF，∵△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，∴AG=AE，∠GAB=∠EAD，∴∠GAB=∠EAF，∴∠GAB+∠BAF=∠EAF+∠BAF，∴∠GAF=∠EAB，∴△GAF≅△EAB（SAS），∴FG=EB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=4，∵DE=1，∴CE=3，∴在Rt△BCE中，22+，345∴FG=5故选C11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC＝BD时，它是矩形，故选项A不符合题意；当AC⊥BD时，它是菱形，故选项B不符合题意；当∠ABC＝90°时，它是矩形，故选项C不符合题意；当AB＝BC时，它是菱形，故选项D符合题意；故选：D．12．解：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，但是对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形中的对角线就有可能垂直且相等，故选项A不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度的四边形不一定是正方形，如直角梯形，故选项B不符合题意；对角线平分每一组对角的四边形不一定是正方形，如菱形，故选项C不符合题意；四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故选项D符合题意；故选：D．13．解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点D作DE⊥x轴于E，∵四边形OACD是正方形，∴OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠DOE+∠AOB＝90°，又∵∠OAB+∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠DOE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOB≌△ODE（AAS），∴AB＝OE，OB＝DE，∵点D的坐标为（3，4），点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．14．解：过点E作AB的垂线分别交AB于N、交CD延长线于M，∵四边形EFGH为正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠MEH+∠NEF＝90°，∵∠NEF+∠EFN＝90°，∴∠MEH＝∠EFN，在△EMH与△FNE中，，∴△EMH≌△FNE（AAS），∴EM＝NF，EN＝MH，设MD＝x，在菱形ABCD中，AD＝4，∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴MD＝DE，∴DE＝2x，EM＝＝x，∴AE＝4﹣2x，AN＝＝2﹣x，∴EN＝＝（2﹣x），∴NF＝x，HM＝（2﹣x），DH＝MH﹣MD＝2﹣x﹣x，∴AF＝2﹣x+x，∵AB＝CD，BF＝DH，∴AF＝CH＝2﹣x+x，∵DH+CH＝4，∴2﹣x+x+2﹣x﹣x＝4，解得：x＝﹣1，∴DH＝2﹣2．故答案为：2﹣2．15．解：∵正方形ABCD的边长为12，∴AC＝12，∴OA＝OC＝6，∵OE＝3，∴E点是OA或OC的中点，如图1，当E点是OA的中点时，过点E作NE⊥AB交AB于N，∴AE＝3，∴AN＝NE＝3，∵NE∥AF，∴AF＝4，∴DF＝8，∴CF＝4；如图2，当E为CO的中点时，过点E作EM⊥BC交BC于M，则EC＝3，∴EM＝MC＝3，∴BM＝9，∵EM∥FC，∴FC＝4；综上所述：FC的长为4或4．16．解：∵四边形OBCD是正方形，∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，5），∴OD＝5，∴OB＝BC＝CD＝5，∴C的坐标为（5，5）．故答案为：（5，5）．17．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAD＝45°，AC⊥BD，AC＝2OA，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴△APE是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，∴PE＝AE，PF＝OE，∴OA＝AE+OE＝PE+PF，∵AC＝m，PE+PF＝n，AC＝2OA，∴m＝2n．故答案为：m＝2n．18．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形；（2）由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，∴DF＝CE，∵∠FDE＝∠BCE＝90°，∴△FDE∽△BCE，∴∠DEF＝∠CEB，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CEB，∴∠ABE＝∠DEF．19．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．20．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，又∵AE＝BF＝DH＝CG，∴AH＝BE＝CF＝DG，∴△AHE≌△BEF（SAS）；（2）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝DG＝CF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD，∴四边形EFGH是菱形，∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，∴∠EHA+∠GHD＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．21．解：（1）∵OA＝OB＝OE＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AD＝BE，∴四边形ABDE是矩形，又∵AB＝BD，∴四边形ABDE是正方形．（2）如图所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△BOF中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，又∵∠ACB＝∠AMF＝∠CFM＝90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM＝CF，AC＝MF＝5，∴OF＝AM＝CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC＝6，根据勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，解得：CF＝OF＝6，∴FB＝OM＝OF﹣FM＝6﹣5＝1，∴BC＝CF+BF＝6+1＝7．22．（1）证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠DFC＝∠FCE＝∠DEC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DF∥EC，∴∠FDC＝∠ECD，∵CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠ECD，∴∠FDC＝∠FCD，∴DF＝CF，∴四边形DECF是正方形；（2）解：∵四边形DECF是正方形，∴DF＝FC＝CE＝DE，设DF＝FC＝CE＝DE＝x，∵DF∥BC，∴x＝，即DF＝FC＝CE＝DE＝，∴四边形DECF的面积是×＝．。

13 正方形的性质及判定(备作业)-2021-2022学年九年级数学上(北师大版)(原卷版)

1.3正方形的性质及判定一、单选题1．四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，下列能判定四边形ABCD 是正方形的是（） A ．,AB BC CD AD AC BD ====B ．,,AO CO BO DO AC BD ==⊥ C ．,AO BO CO DO AC BD ==== D ．,AB BC AD CD ==2．如图，E 是正方形ABCD 的边BC 的延长线上一点，若CE=CA ，AE 交CD 于F ，则∠FAC 的度数是（）A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．67.5°3．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④4．如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边正方形EFGH 的周长为（）A B ．C 1 D ．15．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）．A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．对角形互相垂直平分6．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且0BAE 22.5∠＝，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为A ．1BC ．4-D ．47．如图，点A （1，1），B （3，1），C （3，﹣1），D （1，﹣1）构成正方形ABCD ，以AB 为边做等边△ABE ，则∠ADE 和点E 的坐标分别为（）A ．15°和（2，B ．75°和（2，1）C ．15°和（2，75°和（21）D ．15°和（2，1+75°和（2，1 8．如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.59．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在线段DE 上，若AB AF =，则BFE ∠=（）A ．45°B ．30°C ．60°D ．55°10．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，CH ┴AF 与点H ，那么CH 的长是（）A ．3BC ．2D ．511．如图，点O 为正方形ABCD 的中心，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使FC=EC ，连结DF 交BE 的延长线于点H ，连结OH 交DC 于点G ，连结HC ．则以下四个结论中：①OH ∥BF ，②GH=14BC,③OD=12BF,④∠CHF=45°．正确结论的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且2CE DE =．将ADE 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①ABG AFG △≌△；②BG GC =；③//AG CF ；④3FGC S =．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 13．在四边形ABCD 中，90A ︒∠=，AB BC CD ==，试补充一个条件__________，使四边形ABCD 是正方形．14．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边DCE ，则AEC ∠的度数是__________．15．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE=35°，则∠ANM 的度数是_____.16．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，AE=AD ，∠ADE=75°，则∠AEB= _________°.,17．如图，正方形ABCD 的边长为4，H 在CD 的延长线上，四边形CEFH 也为正方形，则DBF 的面积为______．18．如图，正方形ABCD 中，AB=2，点E 为BC 边上的一个动点，连接AE ，作∠EAF=45°，交CD 边于点F ，连接EF.若设BE=x ，则△CEF 的周长为______.19．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF ；④S 正方形ABCD =2．其中正确的序号是_____（把你认为正确的都填上）．20．如图，边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形BEFG 排放在一起，O 1和O 2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为__，线段O 1O 2的长为__．21．四边形ABCD 、四边形AEFG 都是正方形，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°（45BAE ∠=︒）时，如图，连接DG ，BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH DG ⊥．若4AB =，AE =BH 的长是________．22．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，先分别过此正方形的顶点B 、D 作BE l ⊥于点E 、DF l ⊥于点F ．然后再以正方形对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD ，CD 交于G ，H 两点．若EF =2ABE S ∆=，则线段GH 长度的最小值是___．三、解答题23．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数．24．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为,AD BC 边上的点，若2,4,90AG BF GEF ==∠=︒，求GF 的长．25．如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE ＝CE ．26．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别是边AB ，AC ，AD 的中点，连接CE 、CF 、OE 、OF ．当AB 与BC 满足___________条件时，四边形AEOF 正方形．27．如图，点P 是边长为4的正方形ABCD 对角线AC 上一点(P 不同A 、C 重合)，点E 在线段BC 上，且PE PB =.(1)若1AP =，求CE 的长；(2)求证：PE PD ⊥.28．如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC =90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，再把△ABC 沿射线平移至△FEG ，DF 、FG 相交于点H ．（1）判断线段DE 、FG 的位置关系，并说明理由；（2）连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．29．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ED ⊥交DE 于点F ，交CD 于点G ．（1）证明：ADG DCE ∆∆≌；（2）连接BF ，证明：AB FB ＝．30．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O 点E ，F 分别在AB ，BC 上（AE BE <）且90EOF ∠=︒，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN .（1）求证：OM ON =.（2）若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长.31．如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ．（1）求证：OE=OF ；（2）如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗．如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．32．在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点，（1）将ADE 绕点A 按顺时针方向旋转。

《1.3正方形的性质与判定》同步优生辅导训练(附答案)2020-2021学年九年级数学北师大版上册

2021学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步优生辅导训练（附答案）1．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④2．如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，对角线BD交AE于点F，已知EF＝1，则线段AE的长度为（）A．2B．3C．4D．53．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（）A．1B．C．2D．无法确定4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（）A．B．2C．D．25．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm26．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°7．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A．B．C．D．8．在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′＝AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠ADB′＝75°；④∠CB′D＝135°．其中正确的是（）A．①②B．①②④C．③④D．①②③④9．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE ＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（）A．7B．8C．7D．710．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是（）A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°11．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10B．12C．14D．1612．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（，1）B．（﹣1，）C．（﹣，1）D．（﹣，﹣1）13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．B．C．D．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（）A．7B．3+C．8D．3+15．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的值是（）A．7B．5C．4D．316．如图，四边形OABC为正方形，点D（3，1）在AB上，把△CBD绕点C顺时针旋转90°，则点D旋转后的对应点D′的坐标是．17．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为．18．点C是线段AB上的动点，分别以AC，BC为边向上方作正方形ACDE，正方形CBGF，连接AD，AD，BF的中点M，N，若AB＝4，则MN的最小值为．19．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，H为边BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连接DH交CE于点F，交OC于点G．若OE＝OG，则HC的长为．20．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为．21．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．（1）求证：四边形AMCN是矩形；（2）△ABC满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．22．如图所示，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接BE，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：BE＝AF．23．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．（1）求证：△ADE≌△BAF；（2）求证：DE﹣BF＝EF；（3）若AB＝2，BG＝1，求线段EF的长．24．如图1，△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，分别以AB，BC为边向外作正方形ABFG，BCED，连接AD，CF，AD与CF交于点M，AB与CF交于点N．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图2，在图1基础上连接AF和FD，若AD＝6，求四边形ACDF的面积．25．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为8，E为OM的中点，求MN的长．参考答案1．解：延长PF交AB于点G，∵PF⊥CD，AB∥CD，∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形GBEP为矩形，又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，∴BE＝PE，∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．∴GB＝BE＝EP＝GP，∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，又∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS）．∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确；在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，故③正确；∵P在BD上，∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．∴正确答案有①②③，故选：B．2．解：∵正方形ABCD，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠FDE，∠BAF＝∠DEF，∵E为CD边中点，∴DE＝CD＝，∵EF＝1，∴AF＝2，∴AE＝EF+AF＝3，故选：B．3．解：过C点作CG⊥BD于G．∵CF是∠DCE的平分线．∴∠FCE＝45°．∵∠DBC＝45°．∴CF∥BD．∴CG等于△PBD的高．∵BD＝2．∴CG＝1．∴△PBD的面积等于．故选：A．4．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，∵M为DE的中点，∴ME＝MD，在△AEM和GDM中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，∴CG＝CD＝2，∵点N为AF的中点，∴MN＝FG，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝2，∴FG＝＝2，∴MN＝，故选：C．5．解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点．则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°，∵∠P AF+∠F AN＝∠F AN+∠NAE＝90°，∴∠P AF＝∠NAE，∴△P AF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选：B．6．解：如图，连接BD，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°∵∠BCM＝∠BCD＝45°，∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，∴∠AMD＝∠AMB＝60°故选：B．7．解：连接BP，过C作CM⊥BD，∵S△BCE＝S△BPE+S△BPC＝BC×PQ×+BE×PR×＝BC×（PQ+PR）×＝BE×CM×，BC＝BE，∴PQ+PR＝CM，∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝BC＝，又∵BC＝CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，∴CM＝BD＝，即PQ+PR值是．故选：D．8．解：①∵点B′与点B关于AE对称，∴△ABF与△AB′F关于AE对称，∴AB＝AB′，∵AB＝AD，∴AB′＝AD．故①正确；②如图，连接EB′．则BE＝B′E＝EC，∠FBE＝∠FB′E，∠EB′C＝∠ECB′．则∠FB′E+∠EB′C＝∠FBE+∠ECB′＝90°，即△BB′C为直角三角形．∵FE为△BCB′的中位线，∴B′C＝2FE，∴FB′＝2FE．∴B′C＝FB′．∴△FCB′为等腰直角三角形．故②正确．④设∠ABB′＝∠AB′B＝x度，∠AB′D＝∠ADB′＝y度，则在四边形ABB′D中，2x+2y+90°＝360°，即x+y＝135度．又∵∠FB′C＝90°，∴∠DB′C＝360°﹣135°﹣90°＝135°．故④正确．③假设∠ADB′＝75°成立，则∠AB′D＝75°，∠ABB′＝∠AB′B＝360°﹣135°﹣75°﹣90°＝60°，∴△ABB′为等边三角形，故B′B＝AB＝BC，与B′B＜BC矛盾，故③错误．故选：B．9．解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠BAE+∠DAG＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠ABE＝∠CDF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAG＝∠CDF，同理：∠ABE＝∠DAG＝∠CDF＝∠BCH，∴∠DAG+∠ADG＝∠CDF+∠ADG＝90°，即∠DGA＝90°，同理：∠CHB＝90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE＝DG，BE＝AG，同理：AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12，∴EG＝GF＝FH＝EF＝12﹣5＝7，∵∠GEH＝180°﹣90°＝90°，∴四边形EGFH是正方形，∴EF＝EG＝7；故选：C．10．解：∵ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠BCA＝45°，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC＝67.5°，∴∠ACP＝∠BCP﹣∠BCA＝67.5°﹣45°＝22.5°．故选：B．11．解：如图，连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△DGE＝S△GEB（同底等高的两三角形面积相等），同理S△GKE＝S△GFE．∴S阴影＝S△DGE+S△GKE，＝S△GEB+S△GEF，＝S正方形GBEF，＝4×4＝16故选：D．12．解：作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：则∠ADO＝∠OEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵点A的坐标为（1，），∴OD＝1，AD＝，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝90°，OC＝AO，∴∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，在△OCE和△AOD中，，∴△OCE≌△AOD（AAS），∴OE＝AD＝，CE＝OD＝1，∴点C的坐标为（﹣，1）；故选：C．13．解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，∴DM＝AD＝DC＝1，∴CM＝＝，∴ME＝MC＝，∵ED＝EM﹣DM＝﹣1，∵四边形EDGF是正方形，∴DG＝DE＝﹣1．故选：D．14．解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9＝6，∴空白部分的面积为9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，设BG＝a，CG＝b，则ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周长＝+3，故选：D．15．解：∵OB＝OC，∵OE⊥OF∴∠EOB+∠FOB＝90°∵四边形ABCD是正方形∴∠COF+∠BOF＝90°∴∠EOB＝∠FOC而∠OBE＝∠OCF＝45°在△OFC和△OEB中，∴△OFC≌△OEB（ASA），∴OE＝OF，CF＝BE＝3cm，则AE＝BF＝4，根据勾股定理得到EF＝＝5cm．故选：B．16．解：△CBD绕点C顺时针旋转90°得到的图形如上图所示．∵D的坐标为（3，1），∴OA＝3，AD＝1∵在正方形OABC中，OA＝AB，∴AB＝3，∴BD＝AB﹣AD＝2，∴OD'＝BD＝2，∴D'的坐标为（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）．17．解：∵ABCD是正方形∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°∵∠ABC+∠ABF＝∠BAD+∠DAE∴∠ABF＝∠DAE在△AFB和△AED中∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠AED，AB＝AD∴△AFB≌△AED∴AF＝DE＝4，BF＝AE＝3∴EF＝AF+AE＝4+3＝7．故答案为：7．18．解：当点C为线段AB中点时，MN有最小值，如图，∵AB＝4，∴AC＝CB＝2，∵四边形ACDE和四边形CBGF是正方形，∴∠ACD＝∠BCF＝90°，∵M是AD中点，N是BF中点，∴MN是△ABD的中位线，∴MN＝AB＝2，故答案为：2．19．解：设CH＝x，∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1﹣x，∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH＝1﹣x，∵∠OGD＝∠CGF，∵∠DOG＝∠GFC＝90°，∴∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC﹣∠ODG＝∠ACB﹣∠OCE，∴∠HDC＝∠ECH，∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°，∴HC＝，故答案为：．20．解：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴△AOE的面积＝△BOF的面积，∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1；故答案为：1．21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）由（1）可知，四边形AMCN为矩形，∴只需AM＝MC，则矩形AMCN为正方形，∵O为AC中点，M在BO上，∴BO⊥AC，时，AM＝MC，在△BOA与△BOC中，，∴△BOA≌△BOC（SAS），∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，故△ABC为等腰三角形时，四边形AMCN是正方形．22．证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴∠AOF＝∠BOE＝90°，OA＝OB，∵AM⊥BE，∴∠BMF＝90°，∴∠AOF＝∠BMF，又∵∠BFM＝AFO，∴∠F AO＝∠EBO，∴在△F AO和△EBO中，，∴△F AO≌△EBO（ASA）．∴BE＝AF．23．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEF＝90°，∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝∠DEA＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△DAE≌△ABF（AAS）；（2）∵△DAE≌△ABF，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF﹣AE＝EF，∴DE﹣BF＝EF；（3）∵∠ABC＝90°，∴AG2＝AB2+BG2＝12+22＝5，∴AG＝，∵S△ABG＝AG•BF，∴BF＝，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2＝22﹣＝，∴DE＝AF＝，∴EF＝DE﹣BF＝．24．（1）证明：∵四边形ABFG和四边形BCED是正方形，∴BC＝BD，AB＝BF，∠CBD＝∠ABF＝90°，∴∠CBD+∠ABC＝∠ABF+∠ABC，∴∠ABD＝∠CBF，在△ABD和△FBC中，∴△ABD≌△FBC（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△FBC，∴∠BAD＝∠BFC，AD＝FC＝6，∴∠AMF＝180°﹣（∠BAD+∠ANM）＝180°﹣（∠BFC+∠BNF）＝180°﹣（180°﹣∠ABF）＝180°﹣（180°﹣90°）＝90°，即AD⊥CF，∴四边形ACDF的面积S＝S△ACD+S△ADF＝+＝＝＝18．25．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△OAM和△OBN中，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为8，∴OH＝HA＝4，∵E为OM的中点，∴HM＝8，则OM＝＝4，∴MN＝OM＝4．。

北师大版数学九年级上册(教案)：1.2矩形的性质与判定

同时，在学生小组讨论环节，我发现有些学生在解决问题时，思路不够开阔，容易陷入思维定势。针对这个问题，我将尝试在教学中引入更多开放性的问题，激发学生的思维活力，培养他们多角度、多维度分析问题的能力。
最后，通过本次教学，我认识到教学过程中要关注学生的个体差异，充分调动他们的学习积极性。在今后的教学中，我将更加注重因材施教，针对不同学生的学习需求，设计难易适度的教学内容，让每个学生都能在课堂上得到有效的提升。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《矩形的性质与判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状为矩形的事物？”（如桌子、书本等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形的性质与判定的奥秘。
其次，在矩形判定的教学中，有些学生对于判定条件的运用不够熟练，容易忽视某些关键步骤。针对这一点，我计划在后续的教学中，设计更多具有针对性的练习题，引导学生逐步掌握矩形判定的方法，提高解题技巧。
此外，实践活动环节，学生在分组讨论和实验操作过程中表现出较高的积极性。但我注意到，部分小组在讨论时，组内成员之间的交流不够充分，导致讨论成果不够深入。为了改善这一现象，我将在今后的教学中，加强对学生讨论过程的指导，鼓励他们多发表自己的观点，学会倾听他人的意见，提高小组合作的效果。
北师大版数学九年级上册（教案）：1.2矩形的性质与判定
一、教学内容
本节课选自北师大版数学九年级上册，主要探讨1.2节“矩形的性质与判定”。教学内容包括以下两个方面：
1.矩形的性质：
（1）矩形的定义及特点；
（2）矩形的四个角为直角；
（3）矩形的对边平行且相等；

北师大版九年级数学上册1.2：矩形的性质与判定说课稿

（二）教学目标
1.知识与技能目标：通过本节课的学习，使学生掌握矩形的定义、性质及判定方法，并能够运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：培养学生运用几何直观和逻辑推理发现、证明矩形性质的能力；提高学生解决实际问题时运用矩形知识的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，增强学生的空间观念，培养学生严谨、踏实的科学态度。
3.情境教学：通过创设生活情境，让学生在实际问题中运用所学知识，提高学生的应用能力。依据情境学习理论，情境教学有助于激发学生的学习兴趣，提高学习效果。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具来辅助教学：
1.教具：直尺、量角器、三角板等，用于在黑板上展示矩形的性质和判定方法。
2.多媒体资源：PPT、几何画板等，展示矩形的相关性质、判定方法和实际应用，增强课堂的趣味性和直观性。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下可能的问题或挑战：学生对矩形判定方法的理解和应用可能存在困难；部分学生可能在学习过程中缺乏主动性和积极性；课堂时间分配可能不合理，影响教学效果。
为应对这些问题，我将采取以下措施：针对判定方法的难点，通过实例分析和反复练习，帮助学生理解；通过提问、小组合作等方式，激发学生的学习兴趣和参与度；根据课堂实际情况，灵活调整教学节奏和时间分配。
3.拓展题：布置一些拓展题，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新思维。
作业的目的是：巩固课堂所学知识，提高学生的应用能力；培养学生独立思考、解决问题的能力；激发学生的学习兴趣，拓展学生的知识视野。
五、板书设计与பைடு நூலகம்学反思
（一）板书设计
我的板书设计将遵循清晰、简洁、结构化的原则。板书的布局分为三部分：左侧为标题和定义，中间为主要性质和判定方法，右侧为实例和应用。主要内容将包括矩形的定义、性质、判定方法以及实例展示。板书风格将采用图文结合，用不同颜色粉笔突出重点，增强视觉效果。

1.2矩形的性质与判定教学设计-2023-2024学年北师大版数学九年级上册

3.引入更多的实际案例。通过分析生活中的矩形实例，帮助学生更好地理解矩形的性质和判定方法在实际中的应用，提高他们的学习兴趣。
4.鼓励学生提问和表达。在课堂上，我会更加积极地鼓励学生提问，尤其是在他们感到困惑的地方。同时，我会给予学生更多的机会来表达自己的思路和疑问，这样可以帮助他们更好地理解和吸收知识。
1.知识掌握方面：学生能够准确描述矩形的定义和性质，包括对边平行且相等、对角线相等且互相平分等。他们能够理解并运用矩形的判定定理，如一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相平分的四边形是矩形等。通过对教材内容的学习，学生在理论层面掌握了矩形的基本知识。
2.解题能力方面：学生在课堂上通过案例分析和小组讨论，学会了如何将矩形的性质应用于解决实际问题。他们在练习中能够灵活运用所学知识，解决与矩形相关的几何证明题和计算题，提高了自己的逻辑推理能力和解题技巧。
3.空间想象力方面：通过观察和分析生活中的矩形实例，学生的空间想象力得到了提升。他们能够更好地理解几何图形在空间中的位置关系，以及在二维图形中如何体现三维空间的特点。
4.合作与交流能力方面：在小组讨论中，学生学会了如何与他人合作，共同探讨问题，并在交流中表达自己的观点。这种合作学习的过程，不仅提高了他们的交流能力，也培养了团队协作精神。
例题2：在矩形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥BD于点F，且EF=5cm，BD=10cm。求矩形ABCD的面积。
解答：因为EF⊥BD，所以三角形BEF是直角三角形。由勾股定理，BE=√(EF^2 + BF^2)。因为E是AD的中点，所以AD=2BE。又因为BD=10cm，所以BF=BD/2=5cm。代入勾股定理，得到BE=√(5^2 + 5^2)=5√2 cm。因此，AD=2BE=10√2 cm。矩形ABCD的面积S=AD×AB=10√2×10=100√2 cm^2。

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1。

3.２正方形的性质与判定教学目标：1.掌握正方形的判定定理,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.2。

发现决定中点四边形形状的因素,熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断,并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力.3．经历“探索—发现—猜想—证明"的过程,掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．4。

通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力,并使学生发现数学中蕴涵的美,激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣.教学重点与难点:重点:形成判定正方形的基本思路难点：综合应用菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理探索中点四边形形状课前准备:多媒体课件.教学过程：一、创设情境导入新课活动内容:回答下列问题。

问题1:我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么请思考一下，它们之间有什么关系?你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流.问题2:如图,将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角,打开．怎样剪才能剪出一个正方形?问题3:议一议：满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?与同伴交流一下。

处理方式:问题1由学生尝试画出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系图，目的是让学生理清它们之间的联系和区别.对于问题２先让学生折纸,然后用剪刀剪出一个正方形,并引导学生思考怎样判定一个图形是正方形。

这也为新课的学习做好铺垫．ﻬ设计意图:（1)以问题串的形式引入新课,让学生明确本节课所要解决的问题。

(2）让学生回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,正方形性质和判定的探索过程及其得出的结论，目的是启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系,即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。

二、探究学习,感悟新知探索正方形的判定条件:学生活动:四人一组进行讨论研究，老师巡回其间,进行引导、质疑、解惑,通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。

（1)直接用正方形的定义判,即先判定一个四边形是平行四边形,若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形；(2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形,那么这个四边形是正方形；（3)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。

后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。

矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成:有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形;有一组邻边想的相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形。

上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用,但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化,在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。

处理方式：利用课件将学生能想到的判别方法作了总结，除定义外,其他的判别方法要求学生:选择其中一个画图,写已知、求证，并思考证明过程,老师巡视指导,然后小组间交流,中心发言人回答,通过引导学生反思本题是否还有其他解法,比较哪种解法较为简捷,进一步拓宽学生的解题思路,培养思维的灵活性。

设计意图:小组内交流,教师关注各小组中每个学生参与的积极性及小组内的合作交流情况，对于正方形的判别,大多数学生习惯于合情推理的论述方式,教师要重视学生语言表述的条理性及严谨性。

另外教师利用课件及时总结,让学生学以致用。

三、例题解析，应用新知活动内容：例２如图1—２１,在矩形ABCＤ中,ＢE 平分∠ABC,CＥ平分∠ DCＢ,ＢF∥CＥ，CＦ∥BE.求证：四边形BＥCF 是正方形．证明：∵ BF∥CＥ，ＣF∥BＥ，∴四边形BＥCF 是平行四边形.∵ 四边形ＡBCＤ是矩形，∴ ∠ ABＣ= 90°,∠ DCB ＝90°．又∵BＥ平分∠ ABC,CＥ平分∠DCＢ，∴ ∠ EBC= 12∠ ABC = 45°，∠ ＥＣB＝ 12∠ ＤCB = 45°.∴ ∠ EBC =∠ ECB．∴ EB= EC.∴ □BECF是菱形(菱形的定义）．在△EBＣ中，∵ ∠ ＥBC ＝４５°，∠ ECＢ= 45°,∴ ∠BEC= 9０°．∴菱形ＢECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形).处理方式：此环节采用合作学习的策略,鼓励学生多层面、多角度地思考正方形判定的运用,目的在于加深学生对判定本身的理解和掌握,同时也丰富了交流的内容，激发了交流的气氛,使新旧知识融会贯通,达到同学间的沟通、互补、共同提高的目的,教师应对学生的合理讲解给予肯定和鼓励.而且整个过程也使学生重新回顾了证明的步骤，为进一步发展学生的演绎推理能力奠定了基础。

设计意图:通过例2，复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理，让学生尝试综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。

四、猜想结论，分组验证活动内容1：ﻬ图1—８-1 图1-8-２图1—8－3问题：1.如图，在ΔABC中,EF为ΔABC的中位线,①若∠BＥF=３0°,则∠A=．②若ＥＦ＝８cｍ, 则AC= .2。

在ＡＣ的下方找一点D,做CD和ＡD的中点G、H,问EF和ＧH有怎样的关系?EH和FG呢？3。

四边形EFGH的形状有什么特征？处理方式：教师在提问时选择平时学习数学有困难的学生，由于是前面已经学过的知识,学生们回答得很流畅,这种低起点的问题,也增强了学生学习数学的自信心。

此外，课件的运用,直观形象,也分解了难点。

设计意图:通过问题串,复习三角形中位线性质定理和命题“依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形”。

活动内容2：问题1:依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是什么形状的四边形?问题2:做一做:我们知道,连接任意一个四边形各边的中点可以得到一个平行四边形.那么,依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．学生积极独立思考回答，教师进一步引导他们在小组内交流讨论。

然后请一位同学到黑板上板书他的证明过程,其余同学将你的思路书写在练习本上。

设计意图：让学生亲身经历独立思考、合作交流获得问题解决方法的过程,既巩固加深了学生对矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形的性质及判别的理解，同时使学生获得了把新知识转化为旧知识的这种解决数学问题的转化方法,提高了解决问题的能力，学生在探究的过程中,享受到成功的喜悦,增强了学习的信心，为下面的学习打下基础。

问题３:如果四边形ABＣD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢?处理方式：有的学生猜测还是平行四边形,有的学生猜测是正方形,有的学生猜测是矩形,有的学生猜测是菱形,甚至有的学生猜测是梯形。

经过师生的共同探讨,达成一致的结论：一定是平行四边形，而非梯形。

于是老师顺势提出问题“会不会是特殊的平行四边形呢？从结论来探索有一些困难,那么我们可以换一种角度思考:四边形ABCD可以为哪些特殊的四边形?”学生的回答多种多样,原四边形可以为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，甚至还有学生回答为梯形和直角梯形。

于是老师请学生选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，从而顺利进入下一环节。

设计意图:在一个开放的情景中,引导学生体会由一般到特殊的归纳、类比、转化的思想方法，同时培养学生的积极探索、勇于创新的精神。

活动内容３:议一议：（出示多媒体课件)(1）依次连结菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜,再证明．如果以平行四边形四各边的中点为顶点呢?（２）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？处理方式:学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形(平行四边形，矩形,菱形,正方形，等腰梯形,梯形和直角梯形）中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形,并验证结论的正确性。

最后归纳得出下面的结论．设计意图：使学生经历“探索——发现——猜想—-证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用,使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展.分小组对问题展开探究,既培养了学生的集体荣誉感，提高了学生的竞争意识，同时也提高了学习效率，几何画板的使用更充分发挥其直观、形象和快捷的作用,最大限度的使学生掌握和理解知识.五、回顾反思,提炼升华师:ﻬ同学们，竹子每生长一步,必做小结,所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习,你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家.生:畅谈自己的收获！处理方式:学生畅谈自己的收获！最后师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法,同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。

设计意图:课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈,自主发展的意识.六、达标检测，反馈提高师:通过本节课的学习,同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）A组：1.（2014•株洲)已知四边形ＡBCD是平行四边形，再从①AB=BC,②∠ABC=９0°,③AC=BD，④AC⊥BＤ四个条件中，选两个作为补充条件后,使得四边形ＡBCD是正方形，现有下列四种选法,其中错误的是（ )Ａ．选①②Ｂ．选②③Ｃ.选①③ D.选②④B组:2.(2014•扬州)如图,已知Rt△ABC中，∠ABC=９0°，先把△ABC绕点B顺时针旋转９0°至△ＤＢE后，再把△ABC沿射线平移至△FEＧ，ＤF、FG相交于点H．(1）判断线段DE、FG的位置关系,并说明理由;（2)连结CG，求证：四边形CBＥＧ是正方形．处理方式：学生做完后，教师出示答案,指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错.设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的.七、布置作业,课堂延伸必做题:课本２5页，习题1.8第2题第3题．选做题:1.课本25页,习题1.8第4题．板书设计:ﻬ。