2021-2022年高三综合练习(一)数学(文科)试卷
2021年高三综合练习（一）数学（文科）试卷本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。
第一卷（选择题共40分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A + B）= P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）= P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P(k) =
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共`40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。）
1．已知集合A = { x| x＜5 –}，B=｛1，2，3，4，｝，则AB=（）
（A）｛1｝（B）｛1，2｝（C）｛1，2，3｝（D）｛1，2，3，4｝2．设｛｝是公比q≠1的等比数列,且a2 = 9,= 18,则q等于（）
（A）2 （B）–2 （C）（D）–
3．直线x－y＋1=0的倾斜角为（）
（A）（B）（C）（D）
4．函数y =在x = 1处的导数等于（）
（A）4 （B）－4 （C）3 （D）－3
5．下面四个图形中，与函数y = 2+1og x（x≥1）的图象关于直线y = x 对称的是（）
6．设a、b、c、d∈R且a＞b，c＞d，则下列结论正确的是（）
（A）ac＞bd（B）a + b＞b + c（C）（D）a–d＞b–c
7．已知命题P：函数y=log a（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（– 1，1）；
命题q：如果函数y = f (x– 3)的图象关于原点对称，那么函数y = f (x) 的图象关于（3，0）点对称．
则（）
（A ）“p 且q ”为真 （B ）“p 或q ”为假
（C ）p 真q 假 （D ）p 假q 真
8．定义在R 上的奇函数f (x )在（0，+∞）上是增函数，又f (– 3) = 0，则不等式f (x ) < 0的解集为 ( )
（A ）（– 3，0）∪（3，+∞） （B ）（– 3，0）∪（0，3）
（C ）（–∞，–3）∪（3，+∞） （D ）（–∞，–3）∪（0，3）
第二卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）
9．现有甲种电脑56台，乙种电脑42台，如果用分层抽样的方法从中抽取一个容量为14的样本，则乙种电脑应抽样________台．
10．已知向量a 和b 的夹角为60°，| a | = 3，| b | = 4，则a ·b = _____；（2a – b ）·a = _____．
11．已知a 为实数，( x + a )7展开式的二项式系数和为__________；如果展开式中的x 4的系
数是– 35，则a = _______．
12．双曲线与椭圆9x 2 + 25y 2 = 225有相同的焦点，则双曲线的焦点坐标为______________；
若双曲线的一条准线方程为x = 2，则双曲线渐近线方程是____________________．
13．不等式组表示的区域为D ，z = x + y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为_____________；z 的最大值为______________． 14．已知函数f (x ) =，则f (lg 20 + lg 5) = _____________________； 不等式xf (x – 1) < 10的解集是__________________________．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分12分）
已知sin2．
（Ⅰ）求cos 的值；
（Ⅱ）求满足sin () – sin () + 2cos=的锐角x ．
16．（本题满分13分）
在同一时间段里，有甲、乙两个天气预报站相互独立的对天气进行预测，根据以往的统计规律，甲预报站对天气预测的准确率为0.8，乙预报站对天气预测的准确率为0.75，求在同一时间段内。
（Ⅰ）甲、乙两个天气预报站同时预报准确的概率；
（Ⅱ）至少有一个预报站预报准确的概率；
（Ⅲ）如果甲站独立预报3次，其中恰有两次预报准确的概率．
≥ ≥ ≤ ≥
17．（本题满分14分）
数列{a n}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为S n，且a10 = 1，．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求S n的最大值；
（Ⅲ）将S n表示成关于a n的函数．
18．（本题满分14分）
求函数f (x) = 2ax3– 3 (4a– 3)x2– 72x（其中a >）的单调区间．
19．（本题满分14分）
已知椭圆的右准线方程为，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆与直线l : x + y–m = 0相交于两点A、B，并且（O为坐标原点），求直线l 的方程及△AOB的面积．
20．（本题满分13分）
已知数列{a n}各项均为正数，并且a1 = a (0 < a < 1)，a n + 1 =，求证：
（Ⅰ）若0 < a n < 1，则0 < a n + 1 <；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
参考答案
一．选择题
（1）C （2）B （3）B （4）D （5）B （6）D （7）C （8）D 二．填空题
（9）6 （10）6；12 （11）128，–1
（12）（–4，0）,(4，0)；y = x(13) 5 (14) 0,｛x | –5＜x＜5｝
三．解答题（限于篇幅，每题只给出一种答案，其他答案仿此给分）
（15）解：（Ⅰ）因为＜＜, 所以＜2＜3 ………2分
所以cos2= –，………………4分
由cos2= 2 cos– 1, 所以cos= –……………………6分
（Ⅱ）因为sin (– x) – sin(+ x) + 2cos=－
所以2cos(1– sin x) = –, ……………………………8分
所以sin x =，…………………………………10分
因为x为锐角，所以x =。………………………………………12分（16）解：（Ⅰ）设A=“甲天气预报站预报准确”，B=“乙天气预报站预报准确”。
则，P (A·B) = P（A）·P (B) = 0.8 × 0.75 = 0.6 ………………………3分
（Ⅱ）所求事件的概率等于1 –P（）·P（）………………………6分
=1–（1 – 0.8）（1 – 0.75）= 0.95 …………………8分（Ⅲ）甲站独立预报3次，其中恰有两次预报准确的概率
P = ……………………………11分
== 0.384 …………………………………13分（17）解：（Ⅰ）由已知+9d=1……………①…………………………2分因为，所以= 0，即= 0,
因为d≠0, 所以= 0 ，即= 0 …………②………………4分
由①②解得．…………………………………6分
所以．………………………………………7分
（Ⅱ）解≥0 ，得n≤12，
所以，数列｛｝前11，12和最大，…………………9分
…………………………11分
（Ⅲ）由得n=12－,
又，，
所以，……………14分
（18）解：由已知y′= ，…………………………………3分
以下只需讨论函数g(x)=的值的情况。
①当a = 0时，在区间（4，+∞）上，g(x)＞0，即(x)＞0，f（x）单调递增；
在区间（–∞，4）上，g（x）＜0，即(x)＜0 ，f（x）单调递减；…5分
a≠0 时，g（x）= (ax+3) (x – 4) ……………………………………………7分
②当a＞0 时，在区间（–∞，）和（4，+∞）上，g（x）＞0 ，
即(x)＞0，在区间（+∞，）和（4，+∞）上f（x）单调递增；……9分
在区间上，g (x)＜0 ，即f′（x）＜0 ，f (x) 单调递减；…………10分
③当–＜a＜0 时，＞0 ，所以＞4 。…………………12分
在区间（4 ，）上，g（x）＞0 ，即(x)＞0 ，f (x)单调递增；………13分
在区间（–∞，4）和（，+∞）上，g (x)＜0 ，即(x)＜0 ，f (x)单调递减：
…………………………………14分（19）解：（Ⅰ）由已知，．…………………………………………2分
所以，，，所求椭圆方程为=3 ………………………4分
（Ⅱ）设A（，），B（），
由消去y得=0，
解△=－24（）＞0，得＜m＜，…（*）……………………5分
并且，，…………①……………………………6分
由·=0得=0，
又，，所以，–m（）+=0 ……②
将①代入②，得·= 0 ，…………………………………9分
解得m =±1，符合条件（*），
所以，所求直线方程为x + y±1= 0．……………………………………10分由于两条直线与椭圆的对称关系，只需求出m = 1时三角形的面积．
当m = 1时，，，
所以，| AB | =||= ……………………12分
原点O到直线l的距离为………………………………13分
所以，△AOB的面积等于．……………………………………14分
（20）解：（Ⅰ）因为，
所以，函数y =(0 < x < 1)是增函数，……………………2分 由已知a n + 1 =，0 < a n < 1
所以0 < a n +1 <．………………………………4分
（Ⅱ）因为a n + 1=(n ∈N *)，所以，
所以(n ∈N *)，…………………………6分
即数列{}是首项为，公差为1的等差数列．
所以=+（n – 1），a n =(n ∈N *)．……………………8分 （Ⅲ）由已知a n =（∵0 < a < 1），………………11分
所以)
1(13212111432321+?++?+?<+++++n n n a a a a n =．………………………………13分