6、用反证法证明根号3是无理数：

1、假设(√3)是有理数。

∵ 1＜3＜4

∴(√1)＜(√3)＜(√4)

即：1＜(√3)＜2

∴(√3)不是整数.

∵整数和分数也统称为有理数，而(√3)不是整数。

∴在假设“(√3)是有理数”的前提下，(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。此时假设(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除 1 外再无公因数)。

两边平方，得：m² / n² = 3

∴m² 是质数 3 的倍数。

我们知道，如果两个数的乘积是 3 的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3 的倍数。

∴由“m² (m 与 m 的乘积) 是质数 3 的倍数”得：正整数 m 是 3 的倍数。

此时不妨设 m = 3k(k 为正整数)

把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得：(9k²) / n² = 3

∴3k² = n²

即：n² / k² = 3

对比“m² / n² = 3“ 同理可证

正整数 n 也是 3 的倍数。

∴正整数 m 和 n 均为 3 的倍数。

这与“m、n 均为正整数且互质”相矛盾。

意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论。

∴原假设“(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除 1 外再无公因数)”是不成立的。

∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数。

而已证(√3) 不是整数。

∴(√3) 既不是整数也不是分数，即(√3) 不是有理数。

∴(√3) 是无理数。

2、假设根号3 是有理数。

有理数可以写成两个整数的比。

且经过有限次约分后成为最简分数，即分子分母互质。

设根号3=p/q

p 和 q 都是整数且互质。

两边平方

3=p^2/q^2

p^2=3q^2

则 p^2 能被 3 整除。

所以 p 也能被 3 整除。

设 P=3m

9m^2=3q^2

q^2=3m^2

所以 q^2 能被 3 整除。

所以 q 也能被 3 整除。

这和 p 和 q 互质矛盾。

所以根号 3 不是有理数，是无理数。