6、用反证法证明根号3是无理数：

1、假设(√3)是有理数。

∵ 1＜3＜4

∴(√1)＜(√3)＜(√4)

即：1＜(√3)＜2

∴(√3)不是整数.

∵整数和分数也统称为有理数，而(√3)不是整数。

∴在假设“(√3)是有理数”的前提下，(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。此时假设(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除 1 外再无公因数)。

两边平方，得：m² / n² = 3

∴m² 是质数 3 的倍数。

我们知道，如果两个数的乘积是 3 的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3 的倍数。

∴由“m² (m 与 m 的乘积) 是质数 3 的倍数”得：正整数 m 是 3 的倍数。

此时不妨设 m = 3k(k 为正整数)

把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得：(9k²) / n² = 3

∴3k² = n²

即：n² / k² = 3

对比“m² / n² = 3“ 同理可证

正整数 n 也是 3 的倍数。

∴正整数 m 和 n 均为 3 的倍数。

这与“m、n 均为正整数且互质”相矛盾。

意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论。

∴原假设“(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除 1 外再无公因数)”是不成立的。

∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数。

而已证(√3) 不是整数。

∴(√3) 既不是整数也不是分数，即(√3) 不是有理数。

∴(√3) 是无理数。

2、假设根号3 是有理数。

有理数可以写成两个整数的比。

且经过有限次约分后成为最简分数，即分子分母互质。

设根号3=p/q

p 和 q 都是整数且互质。

两边平方

3=p^2/q^2

p^2=3q^2

则 p^2 能被 3 整除。

所以 p 也能被 3 整除。

设 P=3m

9m^2=3q^2

q^2=3m^2

所以 q^2 能被 3 整除。

所以 q 也能被 3 整除。

这和 p 和 q 互质矛盾。

所以根号 3 不是有理数，是无理数。

反证法证明题(简单)

反证法证明题例1.已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ?内角. 求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o . 证明：假设ABC ?的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o ，即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o ，所以O 180A B C ∠+∠+∠<，与三角形内角和等于180o 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例2.已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a = . 假设方程ax b =至少存在两个根，不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠，则12,ax b ax b ==，所以12ax ax =，所以12()0a x x -=. 因为12x x ≠，所以120x x -≠，所以0a =，与已知0a ≠矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例3.已知332,a b +=求证2a b +≤. 证明：假设2a b +>，则有2a b >-，所以33(2)a b >-即323 8126a b b b >-+-，所以323281266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为26(1)22b -+≥ 所以332a b +>，与已知332a b +=矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 例4.设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和. 求证：{}n S 不是等比数列.

证明：假设是{}n S 等比数列，则2213S S S =?，即222111(1)(1)a q a a q q +=?++. 因为等比数列10a ≠，所以22(1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立. 例5.是无理数. 是有理数，则存在互为质数的整数m ，n m n =. 所以m = 即222m n =，所以2m 为偶数，所以m 为偶数. 所以设*2()m k k N =∈，从而有2242k n =即222n k =. 所以2n 也为偶数，所以n 为偶数. 与m ，n 互为质数矛盾. 是无理数成立. 例6.已知直线,a b 和平面，如果,a b αα??，且//a b ，求证//a α。证明：因为//a b ,所以经过直线a,b 确定一个平面β。因为a α?，而a β?，所以α与β是两个不同的平面．因为b α?，且b β?，所以b αβ=. 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线a 与b 的公共点，这与//a b 矛盾．所以//a α. 例7．已知0