证明根号2是无理数
证明根号2是无理数
证明：
根号2的近似值是1.414，它的小数部分无限不循环，因此它是一个无理数。
有关有理数与无理数的证明
有关有理数与无理数的证明 狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式 本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明 √2代表根号2 证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程 前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数 3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数 命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数 X为任意无理数 则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题1成立 命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数 则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题2成立 命题3：√2为无理数 证明：假设命题不成立 则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2=(p*p)/(q*q) 则p必须是偶数 ∵p/q是既约分数 ∴q是奇数 ∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z) ∵2*q*q=p*p ∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n ∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立 故假设不成立，命题3成立 命题4：任何有限小数都是有理数 证明：显而易见~~ 下面进入本证明的关键部分 首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function） f(x)= 1(x为有理数) 0(x为无理数) 命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数证明：设p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设p/q ＜m/n 则m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数 设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq) 则0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq) p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n 根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数 ∴命题5成立 命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数
(完整word版)证明根号2为无理数的方法
试证明2是无理数. 证明：易知2是方程022=-x 的一个根，设它有有理根,a b 即)0(2≠=a a b 先证明一个引理：若整系数方程： 0...02211=+++++--a ax x a x a x a n n n n )0(0≠?a a n 有有理根p q 0(≠pq 且q p ,互质)，则有： p a n ，q a 0. 证明：把p q x =代入原方程，得： 0...02211=++??? ? ??++???? ??+???? ??--a p q a p q a p q a p q a n n n n ，两边同乘n p ，得: .00...0122211== +++++----n n n n n n n n p p a aqp p q a p q a q a 那么，由于0≠p ，所以一定有0p ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a p +++++---- 由于n p p p ,...,,2都满足被p 整除，那么有：n n q a p ，又因1),(=q p ，所以有： .n a p 同理，由于0≠q ，所以一定有0q ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a q +++++---- 由于n q q q ,...,,2都满足被q 整除，那么有：n p a q 0，又因1),(=q p ，所以有： q a 0. 回到原命题，由于0)2(1≠-?，1)2,1(=-，所以方程022=-x 的有理根 a b 满足： 1a ，2-b .22,1±=?±=±=?a b b a 经检验，2±都不是方程022=-x 的根，那么022=-x 无有理根，即2为无理数. ...D E Q
证明根号2是无理数的八种方法
怎样证明 是一个无理数 2 2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点. a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b 其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、 a 2 b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数. a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a , b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 a a 2 b 2 b 是偶数，设 a=2 c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底. 证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2 因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾. 证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此 a 2 b 2 2 2 2 ， 存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾. 证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地 写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 1 m n
(完整word版)证明根号2是无理数的八种方法
怎样证明2是一个无理数 2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a, b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2 c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ?=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2 a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与 b ，这与(a,b )=1矛盾. 证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾. 证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地 写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a Λ2121=，n s n s s q q q b Λ2121=，其中m p p ,,1Λ与n q q ,,1Λ
反证法的应用
反证法的应用 反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立， 然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。反证法 的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证 法的应用。 一、数学中的反证法 在数学中，反证法是一种常用的证明方法。例如，我们要证明一个命 题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用 反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 二、哲学中的反证法 在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个 命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“人类存在自由意志”，可 以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论， 从而证明人类存在自由意志。
三、科学中的反证法 在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。 四、反证法的优缺点 反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。 综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析 反证法是一种证明方法，运用反证法可以达到“证明之外还证明”的效果，也就是通过证明不成立的情况来证明规律的正确性。 在初中数学中，反证法可以有效地应用于解题，以下是几个例子： 1、证明根号2是无理数。 假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p,q互质。则根号2=p/q，两边平方得到2=p*p/q*q，化简可得到p*p=2*q*q，由于2是质数，而p*p是偶数，就可以推出p也是偶数。那么p=2k，代入原式可得到2=q*k，则q也是偶数。这与p,q互质矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。 2、证明平方根小数是无限不循环小数。 假设平方根的小数部分有限、循环。设其小数部分为a.b(c)。则有 a.b(c)=x/10^t+y/(10^(t+1))+z/(10^(t+2))+…，即表示成有限的分数形式。那么可以将该分数转换为最简分数a’/b’，然后平方可得到 (a’)^2/(b’)^2=2+2y/(10^t)+(y/(10^t))^2+(2z/(10^(t+1))+(z/(10^(t+1)))^2+…… 3、证明勾股数不存在除1以外的公因数。 假设勾股数存在除1以外的公因数d，则可以表示a=dm，b=dn。那么 c^2=a^2+b^2=d^2(m^2+n^2)，即c也能被d整除，此时c/d也是一个整数，且满足c/d是勾股数a/d，b/d的最大公因数。这与a/d，b/d互质矛盾，因此假设不成立，勾股数不存在除1以外的公因数。 以上几个例子展示了反证法在初中数学解题中的应用，可以看到反证法是一种极为重要的证明方法。在解题过程中，可以运用一些技巧，如化简、分解因式、求幂、辗转相除等，帮助分析矛盾的来源，找到反证的破绽，从而得出正确的结论。
无理数的经典例题
无理数的经典例题 无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。它是实数中的一类特殊的数，不属于有理数的范畴。无理数在数学中有着 广泛的应用，其中包括几何、物理学和金融学等领域。 下面将介绍一些与无理数相关的经典例题，以及其解决方法和相关的数学概念。 1. 证明根号 2 是无理数 设根号2是有理数，即可以写成 m/n（最简分数形式），其中 m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。则有 (m/n)^2 = 2， 即 m^2 = 2n^2。由此可知，m^2 是 2 的倍数，因此 m 也是 2 的倍数。设 m = 2k，其中 k 是整数。代入方程中得到 (2k)^2 = 2n^2，即 2k^2 = n^2。同样的道理，n 也是 2 的倍数。这与最 简分数要求矛盾，因此根号 2 是无理数。 2. 求根号 3 的近似值 根号 3 是一个无理数，我们可以通过数值逼近来求得一个近似值。一种常用的方法是二分法。假设根号 3 的近似值为 x，我 们可以选择一个区间 [a, b]，使得根号 3 落在该区间内。然后 计算中点 c，即 (a + b)/2，并比较 c^2 和 3 的大小关系。如果 c^2 大于 3，则将 c 更新为新的上界 b，否则更新为新的下界 a。重复上述步骤直到满足要求。 3. 证明 e 和π 的和是无理数
假设 e 和π 的和是有理数，即e + π = m/n，其中 m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。将等式两边均乘以 n，得到 ne + nπ = m。由于 e 和π 都是无理数，因此它们的乘积ne + nπ 也 是无理数。但等式右边是一个有理数，这与无理数的定义相矛盾。所以 e 和π 的和是无理数。 4. 证明根号 2 + 根号 3 是无理数 假设根号 2 + 根号 3 是有理数，即可以写成 m/n（最简分数形式），其中 m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。通过移 项可以得到 (m/n - 根号 2)^2 = 3。展开并化简等式得到 m^2/n^2 - 2m根号 2/n + 2 = 3，继续整理得到 m^2 - 2mn根号 2 + 2n^2 = 3n^2。 左边的第一项和第三项都是整数，而根号 2 是无理数，因此左边的第二项必然是无理数。另一方面，由于等式右边是有理数，这导致了一个矛盾。所以根号 2 + 根号 3 是无理数。 通过以上经典例题的解析，我们可以了解到无理数的一些特点和性质。它们无法用有限的小数或分数来精确表示，只能通过近似值或无限不循环小数来近似表示。在数学分析、数论和代数等领域中，无理数的研究和应用是非常广泛的。 无理数的无穷性以及在数列中的应用是该内容的重点。数列中的无理数例题非常常见，除了上述例题外，还有许多其他经典的例题，涉及到数列的极限、收敛性和逼近等概念。
反证法的一般步骤例子
反证法的一般步骤例子 反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。下面将以反证法的一般步骤为题，列举一些具体的例子来说明。 一、反证法的一般步骤 反证法的一般步骤包括以下几个步骤： 1. 假设待证命题的反命题为真； 2. 利用已知条件或已证明的命题推导出与反命题相矛盾的结论； 3. 由此得出结论，待证命题为真。 二、具体例子 1. 证明根号2是一个无理数 假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。设根号2=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。由此可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。根据整除的性质可知，a^2必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。设a=2k，则可得到4k^2=2b^2，化简得到2k^2=b^2。同样地，可知b也是2的倍数。这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号2是一个无理数。 2. 证明素数有无穷多个
假设存在有限个素数，记为p1、p2、p3、…、pn。考虑数M=p1p2p3…pn+1，显然M大于任何一个已知的素数。根据素数的定义，M必然是一个合数。而根据合数的定义可知，M必然可以被某个素数pi整除。然而，pi不能整除M，因为p1p2p3…pn+1除以pi的余数必然为1。这与假设相矛盾，因此假设不成立，素数有无穷多个。 3. 证明根号3是一个无理数 假设根号3是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。设根号3=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。由此可得3=a^2/b^2，即3b^2=a^2。根据整除的性质可知，a^2必然是3的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是3的倍数。设a=3k，则可得到9k^2=3b^2，化简得到3k^2=b^2。同样地，可知b也是3的倍数。这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号3是一个无理数。 4. 证明根号5是一个无理数 假设根号5是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。设根号5=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。由此可得5=a^2/b^2，即5b^2=a^2。根据整除的性质可知，a^2必然是5的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是5的倍数。设a=5k，则可得到25k^2=5b^2，化简得到5k^2=b^2。同样地，可知b也是5的倍数。
令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数
令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数 全世界只有3.14 %的人关注了 数据与算法之美 如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？ 古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。 单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus 认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。 中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。 当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有
根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。 根号2是无理数，我们证明到了。根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是无理数。但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？一个俄国的数学历史家“猜”到了原因。 他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的。比如，要证明根号x不是有理数，于是p^2=x*q^2。我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数。一个奇数2n+1的平方应该等于4(n^2+n)+1，也即8 * n(n+1)/2 + 1，其中n(n+1)/2肯定是一个整数。如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p^2=x*q^2，有8[k(k+1)/2 – x*m(m+1)/2] = x-1。于是x-1必须是8的倍数。如果当时Theodorus是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论，如果x-1不能被8整除，那么它不可能被表示成(p/q)^2。好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数。在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数。而当x=17时这种证明方法没办法解释了，于是Theodorus就此打住。 实际上，我们上面说的这么多，在古希腊当时的数学体系中是根本不可能出现的。毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来，它们掌握的只是纯粹的几何。因此，Hippasus当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西。事实上，Hippasus当时完全运用的平面几何知识来证明他的结论。有人觉得奇怪了，既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出“所有数都可以表示
判断无理数的四个方法
判断无理数的四个方法 无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，它的小数部分无限不循环。在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数。下面将介绍四种常见的方法来判断一个数是否为无理数。 方法一：反证法 反证法是一种常用的数学证明方法，用于证明某个命题的否定。对于判断一个数是否为无理数，我们可以采用反证法。假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值。然后我们推导出一个矛盾的结论，即这个数同时也可以表示为两个互质的整数的比值。因为有理数可以化简为最简形式，所以这个假设与无理数的定义相矛盾，从而证明了这个数是无理数。 方法二：连分数展开法 连分数是一种将一个实数表示为一个无限连分数的方法。对于一个无理数来说，它的连分数展开是无限不循环的。因此，我们可以通过计算连分数展开的有限项来判断一个数是否为无理数。如果连分数的展开具有循环结构，那么这个数就是有理数；如果连分数的展开没有循环结构，那么这个数就是无理数。 方法三：代数证明法
有些无理数可以通过代数方程的解来表示，这种无理数称为代数无理数。对于一些特定的代数无理数，我们可以通过代数运算和方程的性质来判断它们是否为无理数。例如，根号2是一个代数无理数，我们可以通过假设根号2是有理数，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 方法四：几何证明法 几何证明法是通过几何图形的性质来判断一个数是否为无理数。例如，我们可以通过构造正方形的对角线长度为1的等腰直角三角形来证明根号2是无理数。假设根号2是有理数，那么我们可以构造出一个边长为1的正方形，然后根据勾股定理可以得到对角线的长度为根号2。但是根号2是无理数，所以我们得出了一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 通过以上四种方法，我们可以判断一个数是否为无理数。无理数的研究在数学中有着重要的地位，它不仅与代数、几何等数学分支密切相关，还在物理、工程等应用领域有着广泛的应用。因此，对于无理数的判断方法的研究和应用具有重要的意义。通过不断研究和探索，我们可以更深入地理解无理数的性质和特点。
无理数的发现
无理数的发现 毕达哥拉斯的学生希伯斯，他试图找出根号2的等价分数，最终他认识到根本不存在这个分数，也就是说根号2是无理数，希帕索斯对这发现，喜出望外，但是他的老师毕氏却不悦。 希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。希伯斯发现，如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)。更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。 因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。希帕索斯经洞察力获致的成果一定经过了一段时间的论和深思熟虑，毕氏本应接受这新数源。然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。后来，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。 这一发现实际上是推翻了教派原来的论断，触犯了这个学派的信条。他们不许希帕索斯泄露存在根2（即无理数）的秘密，但是天真的希帕索斯在无意中向别人谈到了他的发现。后来毕达哥拉斯教派为了维护教派的信条，以破坏教规为理由将希帕索斯装进大口袋扔进了大海。希帕索斯因为发现了根号2“无理数”的存在，为揭示了一个科学的真理而付出了生命的代价。 然而像根号2这样的“无理数”存在的事实，却不可能一扔了之，由此引发了数学史上第一次危机，也带来了数学思想一次大的飞跃。认识无理数的存在告
诉我们，矛盾的存在说明人的认识还具有某种局限性，需要有新的思想和理论来解释。我们只有突破固有思维模式的束缚，才能开辟新的领域和方向，科学才能够继续发展。 希伯斯由于违背了学派的誓言，遭受到残酷的迫害。不久，他就失踪了。毕达哥拉斯派的人说，那是海神普赛登惩罚了“叛逆”的希伯斯，海神刮起大风暴冲散了希伯斯的船队，然后就卷起海浪吞没了他........。但是，谁会相信这些骗人的鬼话呢？ 这类无理数的发现，是数学史上一个重要的发现。希伯斯为此献出了生命，但我们欣忍地看到，数学却因此又前进了一步。
(完整word版)证明根号2是无理数八种方法
如何证明 2 是一个无理数 2 是一个特别有名的无理数， 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯所以付出了生命的 代价 —— 后代的数学史家所说的 “第一次数学危机 ”盖源于此 .风暴过去后，唤醒的倒是数学家 们对数的从头认识，实数的观点开始确定，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真谛的追求、 探究致使明亮的一个极好例证 . 换一个角度来看这个数，我们能够把它看作一根 “晾衣绳 ”，上边挂着很多风趣的方法， 值得你认真玩味 .我们准备从不一样的角度来证明 2 是一个无理数，进而领会这一点 . 证法 1：尾数证明法 .假定 2 是一个有理数，即 2 能够表示为一个分数的形式 2 = a . b 此中 (a,b)=1，且 a 与 b 都是正整数 .则 a 2 2 因为完整平方数 2 的尾数只好是 、 、 、 、 2b . b 0 1 4 5 6、 9 中的一个，所以 2b 2 的尾数只好是 0、2、8 中的一个 .因为 a 2 2b 2 ，所以 a 2 与 2b 2 的尾 数都是 0，所以 b 2 的尾数只好是 0 ，所以 a 与 b 有公因数 5，与 (a,b)=1 矛盾！所以 2 是 或 5 无理数 . 这个证法能够证明被开方数的尾数是 2、 3、7、8 的平方根都是无理数 . 证法 2：奇偶剖析法 .假定 a 此中 ，且 与 都是正整数 则 a 2 2b 2 可知 2 = b . (a,b)=1 a b . . a 是偶数，设 a=2c,则 4c 2 2b 2 ，b 2 2c 2 ，可知 b 也是偶数，所以 、 都是偶数， 这与 (a,b)=1 a b 矛盾！所以 2 是无理数 . 希帕索斯就是用这类方法证了然 2 不是有理数，摇动了毕达哥拉斯学派的 “万物皆数 (任 何数都可表示成整数之比 ) ”的数学崇奉，使毕达哥拉斯学派为之大为惊慌，希帕索斯所以葬 身海底 . 证法 3：仿上，获得 a 2 2b 2 ，易见 ，不然 ，则 2 =a 是一个整数 这是不可以 的 . b>1 b=1 , a 2 2b 2 改写成 b 2 a a 因为 ，所以 b 有素因子 ，所以 p 整除 a 或 a ，总之，p 整除 a ， 2 . b>1 p 2 所以 p 同时整除 a 与 b ，这与 (a,b)=1 矛盾 . 证法 4：仿上，获得 a 2 2b 2 ，等式变形为 b 2 a 2 b 2 (a b)( a b) ，因为 ，所以 b>1 ， 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，所以 p 整除 a ，所以 p 是 a 、 存在素因子 p p 整除 a+b b 的公因数，与 (a,b)=1 矛盾 . 证法 5：利用代数基本定理，假如不考虑素因子的次序，任何一个正整数都能够独一地 写成素数幂的积的形式， 所以 a p 1 r 1 p 2 r 2 p m r m ，b q 1 s 1 q 2 s 2 q n s n ，此中 p 1 , , p m 与 q 1 , , q n
初二数学反证法练习题
初二数学反证法练习题 反证法是一种常用的数学证明方法，它通过推导出与已知条件相矛盾的结论来证明一个命题的真假。在初二数学学习中，反证法常常被用于解决一些复杂的问题。本文将介绍一些初二数学中常见的反证法练习题，帮助同学们熟悉并掌握反证法的应用。 题目一：证明“根号2是无理数”。 解析：要证明根号2是无理数，首先我们假设根号2是有理数，并将其表示为p/q，其中p和q是互质的整数（即最大公约数为1）。 那么我们可以得到等式2 = (p/q)^2，即2q^2 = p^2。由此可知，p^2一定是2的倍数，因此p也一定是2的倍数。令p = 2k（k为整数），则原等式可以写成2q^2 = (2k)^2，简化得q^2 = 2k^2。 同样地，我们可以得出q也是2的倍数。但这与我们最初假设的“p 和q是互质的整数”相矛盾。因此，假设错误，根号2不可能表示为有理数，即根号2是无理数。 题目二：证明“开方后是无理数的数的平方是无理数”。 解析：我们假设存在一个数x，它的开方后是无理数，即√x是无理数。 那么我们可以假设√x是有理数，即√x = p/q，其中p和q为整数，且p/q为最简分数。
根据已知条件，我们有x = (√x)^2 = (p/q)^2 = p^2/q^2。将x的表达 式代入上式中，得到x = p^2/q^2。 由此可知，p^2和q^2均为x的因数。根据因数的性质，我们可以 得知p也是x的因数，且q也是x的因数。 这与我们最初的假设“p和q为最简分数”相矛盾，因此假设错误， 开方后是无理数的数的平方一定是无理数。 题目三：证明“3不能表示成形如4k+1的整数的平方”。 解析：我们假设存在一个整数m，使得m^2 = 4k + 1，其中k为整数。 那么我们可以得到等式m^2 ≡ 1 (mod 4)，即m^2除以4的余数为1。 考虑整数的平方的情况，我们可以得知一个整数的平方只可能是0 或1（对4取余）。根据这个性质，我们可以考虑m的两种情况：情况一：m为偶数 假设m = 2n，其中n为整数。将m的表达式代入等式m^2 ≡ 1 (mod 4)，得到(2n)^2 ≡ 1 (mod 4)，简化得4n^2 ≡ 1 (mod 4)。 由此可知，4n^2除以4的余数也为1。这与我们已知的一个整数平 方只可能是0或1的性质相矛盾，因此假设错误。 情况二：m为奇数 假设m = 2n + 1，其中n为整数。将m的表达式代入等式m^2 ≡ 1 (mod 4)，得到(2n + 1)^2 ≡ 1 (mod 4)，简化得4n^2 + 4n ≡ 0 (mod 4)。