【数学知识点】无理数的定义和证明方法

有理数是整数和分数的集合。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e等。

无理数集相当于实数集中有理数集的补集，实数集R，有理数集Q，所以无理数集合符号为CrQ。

以√2为例。证明: √2是无理数

假设√2不是无理数

∴√2是有理

令√2=p/q (p、q互质)

两边平方得：

2=(p/q)^2

即：

2=p^2/q^2

通过移项，得：

2*q^2=p^2

∴p^2必为偶数

∴p必为偶数

令p=2m

则p^2=4m²

∴2q^2=4m^2

化简得：

q^2=2m^2

∴q^2必为偶数

∴q必为偶数

综上，q和p都是偶数

∴q、p互质，且q、p为偶数

矛盾原假设不成立

∴√2为无理数

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无理数

摘要在实数系中，无理数和有理数相比较，无理数更为抽象，但它在实数系中是不可缺少的，占着重要的枢纽地位。同时，它也是数系扩充的重要组成部分，即有理数系扩充到实数系。对于无理数证明的研究，一方面，极大地促进了数学演绎推理的发展；另一方面，也体现了数学研究的严谨性。因此，在研究无理数时，对于一些常见无理数的证明是非常重要的。文章首先归纳了方根型无理数的证明方法，然后利用幂级数展开式和定积分的知识论证了一些特殊类型的无理数，最后，验证了，e的超越性，并借助Lindemann-Weierstrass定理证明在一定条件下的代数数的三角函数值与反三角函数值的无理性。关键词：无理数，有理数，超越数

ABSTRACT In the real number system, irrational number is more abstract than rational number, but irrational number are indispensable and occupies an important key position in the real number system. Meanwhile, they are an important part when the rational number system is expanded to the real number system. The study of the proof of irrational number greatly promotes the development of mathematical rational deductive inference. At the same time, it also shows the rigorousness of mathematics. Therefore, the proofs of some common irrational numbers are extremely important. Firstly, the article generalizes the methods to prove irrational numbers with root type. Secondly, it uses the knowledge of power series expansion and definite integral to prove some irrational numbers with special types. Finally, the article demonstrates the transcendence of and e. Moreover, it uses Lindemann-Weierstrass theorem to prove the irrationality of trigonometric function value and anti-trigonometric function value under certain conditions. Key Words:irrational number, rational number, transcendental number

初中数学知识点精讲精析无理数

1 无理数学习目标 1. 理解并掌握无理数的概念。 2. 能利用概念辨别无理数。知识详解 1.无理数的概念无限不循环小数叫做无理数。 2.无理数的常见类型判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：（1）一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数。看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 0001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）是无理数。（2）圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数。（3）开方开不尽的数 π与3.141 592 7的区别：3．141 592 7属于有限小数，不是π，要注意区分。【典型例题】例1：请你写一个＞2且＜3的无理数【解析】由于无理数就是无限不循环小数．所以根据无理数的概念即可求解．本题主要比较无理数的大小只要被开方数大于4而小于9即可。例2：请你在横线上写一个负无理数【答案】例3：两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是【解析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可求解。【误区警示】易错点1：无理数定义 1. 1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有个．【答案】186 【解析】分别找出1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，有理数的个

数，然后即可得出无理数的个数．易错点2：无理数应用 2.写出两个和为1的无理数（只写一组即可）．【答案】1 【解析】由于两个和为1的无理数，相差为1，由此即可求解．【综合提升】针对训练 1.在下列实数中，无理数是（） A．1 3 B．πC D．22 7 2.写出一个大于3且小于4的无理数 3.写出一个比-4大的负无理数 1. 【答案】B 【解析】∵π是无限不循环小数，∴π是无理数，其它的数都是有理数。 2.【答案】π 【解析】根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意。 3. 【答案】【解析】∵写一个比-4大的负无理数，首先写出一个数是无理数，再写出它是负数。【中考链接】（2014年莱芜）下列四个实数中，是无理数的为（） A． 0 B．﹣3 C． D．3 11 【答案】【解析】A、0是整数，是有理数，选项错误； B、﹣3是整数，是有理数，选项错误； C D、3 11 是无限循环小数，是有理数，选项错误．

判断无理数的四个方法

判断无理数的四个方法无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，它的小数部分无限不循环。在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数。下面将介绍四种常见的方法来判断一个数是否为无理数。方法一：反证法反证法是一种常用的数学证明方法，用于证明某个命题的否定。对于判断一个数是否为无理数，我们可以采用反证法。假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值。然后我们推导出一个矛盾的结论，即这个数同时也可以表示为两个互质的整数的比值。因为有理数可以化简为最简形式，所以这个假设与无理数的定义相矛盾，从而证明了这个数是无理数。方法二：连分数展开法连分数是一种将一个实数表示为一个无限连分数的方法。对于一个无理数来说，它的连分数展开是无限不循环的。因此，我们可以通过计算连分数展开的有限项来判断一个数是否为无理数。如果连分数的展开具有循环结构，那么这个数就是有理数；如果连分数的展开没有循环结构，那么这个数就是无理数。方法三：代数证明法

有些无理数可以通过代数方程的解来表示，这种无理数称为代数无理数。对于一些特定的代数无理数，我们可以通过代数运算和方程的性质来判断它们是否为无理数。例如，根号2是一个代数无理数，我们可以通过假设根号2是有理数，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。方法四：几何证明法几何证明法是通过几何图形的性质来判断一个数是否为无理数。例如，我们可以通过构造正方形的对角线长度为1的等腰直角三角形来证明根号2是无理数。假设根号2是有理数，那么我们可以构造出一个边长为1的正方形，然后根据勾股定理可以得到对角线的长度为根号2。但是根号2是无理数，所以我们得出了一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。通过以上四种方法，我们可以判断一个数是否为无理数。无理数的研究在数学中有着重要的地位，它不仅与代数、几何等数学分支密切相关，还在物理、工程等应用领域有着广泛的应用。因此，对于无理数的判断方法的研究和应用具有重要的意义。通过不断研究和探索，我们可以更深入地理解无理数的性质和特点。

有理数和无理数的概念和运算方法

有理数和无理数的概念和运算方法有理数和无理数是数学中的两个重要概念，它们在数学中的运用广泛，特别是在几何学和代数学中。在这篇文章里，我们将从定义、种类以及运算方法三个方面介绍有理数和无理数的相关知识。一、定义有理数和无理数是数的分类，它们的定义相对简单。有理数是指可以表示为分数形式的数，即有理数的小数是有限位或者无限循环小数。例如，1/2、4、-8/3都是有理数。无理数是指不能表示为分数形式的数，即无理数的小数是无限不循环小数。例如，π 和√2 就是无理数。二、种类有理数和无理数在数学中的种类是多样化的。

有理数可以分为正有理数、负有理数和零三类，其中正有理数是指大于零的有理数，负有理数是指小于零的有理数，零就是0。无理数也有多种类型，例如代数无理数和超越无理数。代数无理数是可以表示成无理数方程的根的无理数，例如√2就是一个代数无理数。而超越无理数是不能表示成无理数方程的根的无理数，例如π就是一个超越无理数。三、运算方法有理数和无理数的运算方法也有很多不同的方法。有理数的加减法、乘除法的运算方法和整数的运算一样，在此不再赘述。要特别注意，做有理数运算时应该理解分子和分母的意义，并作必要的约分和通分处理，避免算错。无理数的加减法比较简单，只要保持确定位数，将无理数的同类项合并即可。但是，无理数和有理数的乘除法运算则需要借助于数学规律和运算技巧。

1.无理数的乘法运算：若 a、b 是任意两个无理数，且 a+b、a-b 等都是方便运算的，则： a×b = [(a+b)²-(a²+b²)]/2 2.无理数的除法运算：若 a、b 是任意两个无理数，且 a+b、a-b 等都是方便运算的，则： a/b = [(a+b)²-(a²+b²)]/[2ab-(a+b)²] 以上方程都可以通过代数变换证明，不再赘述。结论

证明π是无理数的简单方法

证明π是无理数的简单方法引言 π（pi）是一个非常著名且神秘的数，它是圆的周长与直径之比。然而，π被证明是一个无理数，这意味着它不能表示为两个整数的比值。本文将介绍一个简单的方法来证明π是无理数。什么是无理数？在开始证明π是无理数之前，我们先来了解一下什么是无理数。无理数是指不能表示为两个整数的比值的数。换句话说，无理数的小数部分是无限不循环的，例如根号2、根号3等。 π是无理数的证明方法下面我们将介绍一个简单但非常强大的证明方法，用来证明π是无理数。步骤一：假设π是有理数首先，我们假设π是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。我们可以将π 表示为一个分数，如π = a/b，其中a和b是整数，且a与b互质（即最大公约数为1）。步骤二：利用π的定义根据π的定义，它是圆的周长与直径之比。我们可以用一个正方形和一个内接圆来进行说明。假设正方形的边长为1，那么它的周长就是4。而内接圆的直径等于正方形的边长，所以内接圆的周长就是π。根据我们的假设，π可以表示为a/b。步骤三：利用内接正多边形的周长逼近π 接下来，我们使用一个非常重要的数学原理，即内接正多边形的周长可以逼近圆的周长。我们可以构造一个内接正多边形，使其边数逐渐增多。当边数趋向于无穷大时，内接正多边形的周长将无限接近于圆的周长。

步骤四：证明内接正多边形的周长为有理数我们知道，内接正多边形的周长可以表示为一个有理数，即c/d，其中c和d是整数，且c与d互质。这是因为内接正多边形的边数是有限的，所以周长可以表示为有理数。步骤五：利用内接正多边形的周长逼近π的过程现在我们来看一下，当内接正多边形的边数逐渐增多时，它的周长c/d会逼近π 的值a/b。我们可以通过计算不同边数的内接正多边形的周长，来观察它们与π 的关系。边数内接正多边形的周长 3 c1/d1 4 c2/d2 5 c3/d3 …… n cn/dn 步骤六：利用极限思想根据极限思想，当n趋向于无穷大时，内接正多边形的周长将无限接近于圆的周长π。所以我们可以得到以下结论： lim(n→∞) cn/dn = π 步骤七：矛盾的发现现在我们来观察一下这个等式。根据我们的假设，π可以表示为a/b。所以我们可以得到以下等式： lim(n→∞) cn/dn = a/b 这意味着a/b和π的值相等，但根据步骤六的结论，内接正多边形的周长将无限接近于π。这与我们的假设相矛盾，因为a/b是一个有理数，而π是一个无理数。结论通过以上的证明过程，我们可以得出结论：π是一个无理数。这个简单但强大的证明方法展示了π的无理性，为数学界提供了一个重要的结论。

无理数定义及其研究

无理数定义及其研究无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。换句话说，无理数是无限不循环的十进制小数。无理数的研究起源于古希腊数学家毕达哥拉斯的发现。在古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为一切事物都可以用有理数来表示。然而，当毕达哥拉斯学派发现了两条边长为1的直角三角形的斜边的长度不能是有理数时，他们就面临着一个问题：如何解释这个无法用有理数表示的斜边长度呢？这个发现引发了无理数的研究。受到毕达哥拉斯学派启发，古希腊数学家欧多克索斯在BC450年证明了根号2是一个无理数。他通过使用反证法证明，假设根号2是一个有理数，然后导出一个矛盾的结论。这个证明打破了古希腊人的数学框架，引起了广泛的关注和争议。欧几里得的《几何原本》中介绍了无理数。在书中，他描述了如何构造一个边长为1的正方形，并证明了正方形的对角线的长度是无理数。这个证明的基本思想是假设对角线是有理数，并导出矛盾。无理数的研究在十九世纪得到了更大的发展。德国数学家克朗克（Georg Cantor）提出了集合论，并发展了无理数的理论。他证明了存在无限多个无理数，并将无理数分为代数无理数和超越无理数两类。代数无理数是满足一些代数方程的无理数，而超越无理数则不满足任何代数方程。无理数的研究对数学的发展产生了深远的影响。它打破了人们对数的认识，扩展了数学的范畴。无理数的发现也引发了对实数系统的研究，帮助人们更好地理解实数的性质。

在现代数学中，无理数是数论、实分析、数值计算等领域的重要基础。在数论中，无理数是整数和有理数之外的另一类数，研究无理数可以帮助我们理解数的分布规律。在实分析中，无理数是实数的一个重要子集，研究无理数的性质可以帮助我们理解实数的连续性和完备性。在数值计算中，无理数会导致计算误差，需要采取一些特殊的算法来处理问题。总之，无理数是数学领域一个重要而独特的概念。它的研究起初是为了解决几何问题，后来扩展到其他领域，对数学的发展产生了深远的影响。无理数的研究不仅帮助人们更好地理解数的本质，还促进了相关领域的发展。

八年级上数学知识点无理数

八年级上数学知识点无理数在八年级上学的数学知识点中，无理数是一项重要而又复杂的内容。从定义到应用，无理数涵盖了多方面的知识，需要我们在学习的过程中，认真理解和掌握。本文将从以下五个方面来介绍无理数的知识点。一、无理数的定义无理数是不能表示为两个整数的比值的实数，一般情况下不可以化为有限小数，也不可以化为循环小数。例如，根号2就是一个无理数，它的十进制表示为1.41421356…。二、无理数的表示方法我们可以通过根式来表示无理数，即$a=\sqrt{b}$，其中b是一个正整数，而且b不是完全平方数，否则a就是有理数，例如$\sqrt{16}=4$。

另一种表示方法是用小数表示无理数，在使用计算器计算的时候，我们通常会看到一些无限不循环小数，这样的小数一般都是无理数。例如，根号2的小数表示为1.41421356…。三、无理数的运算与有理数不同，无理数并不满足加法和乘法的封闭性质，因此无理数之间的运算比较复杂。例如，两个无理数相加得到的结果有可能是有理数，也有可能是无理数，而两个无理数相乘的结果仍然是无理数。四、无理数与图形的关系在几何图形中，无理数也经常出现。例如，在勾股定理中，当直角三角形的两短边长分别为1时，直角边长的长度就是根号2，这个值正是一个无理数。此外，在圆的周长和面积计算中，无理数也经常出现。五、无理数的应用

无理数在科学和工程中有着广泛的应用。例如，在电路中，能量的单位——焦耳，就是一个涉及到$\pi$的无理数。在物理学中，爱因斯坦的相对论就涉及到速度的无限接近于光速，这种情况下，我们就需要用到无理数。总的来说，无理数是一个比较综合的数学知识点，它涵盖了数学的各个领域和应用，在学习的过程中需要认真领会和掌握。

初二数学无理数知识点总结

初二数学无理数知识点总结初二数学无理数知识点总结知识要领：无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。无理数概念无理数是无限不循环小数。如圆周率、√2(根号2)等。有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如22/7等。实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数); 也可分为正有理数(正整数、正分数)，0，负有理数(负整数、负分数)。除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。无理数与有理数的区别区别1 把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0， 4/5=0.8，1/3=0.33333……。而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。区别2 无理数不能写成两整数之比。利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。证明：假设√2。”他闻听此言，便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯门下去求学。毕达哥拉斯本来就极聪明，经泰勒一指点，许多数学难题在他的手下便迎刃而解。其中，他证明了三角形的内角和等于180度;能算出你若要用瓷砖铺地，则只有用正三角、正四角、正六角三种正多角砖才能刚好将地铺满;还证明了世界上只有五种正多面体，即：正4、6、8、12、20面体。他还发现了奇数、偶数、三角数、四角数、完全数、友数，直到毕达哥拉斯数。然而他最伟大的成就是发现了后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股弦定理)，即：直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。据说，这是当时毕达哥拉斯在寺庙里见工匠们用方砖铺地，经常要计算面积，于是便发明了此法。

2017八年级数学复习资料：无理数的定义

XX八年级数学复习资料：无理数的定义知识点总结无理数的定义无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。初一数学阶段接触到的无理数主要有无限不循环小数、开方开不尽的数、含有圆周率π的代数式。 2有理数和无理数的区别实数分为有理数和无理数。有理数和无理数主要区别有两点：）把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=40；4/=08；1/3=03而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=14142，π=3141926，根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数．2）所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数” 精选问题

【例题1】原命题：“两个无理数之积，一定是无理数”。否命题：＂至少有一个数不是无理数的两数之积，一定不是无理数＂。否定：＂两个无理数积，不一定是无理数＂。或＂至少存在两个无理数之积，不是无理数＂。否命题中＂一定不是＂能否换成＂不一定是＂？为什么？【例题2】下列语句正确的是： A有理数与数轴上的点一一对应 B两个无理数的和一定是无理数两个无理数的商不一定是无理数 D任何实数都有倒数【例题3】两个无理数的和与积都是有理数，这两个无理数可以是2如果两个不是互为相反数的无理数的和是有理数，则这两个数可以是无理数概念无理数是无限不循环小数。如圆周率、√2等。有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如22/7等。

无理数的知识点整理

无理数的知识点整理无理数是数学中的一个重要概念，指的是不能表示为两个整数的比值的数。与无理数相对的是有理数，有理数可以表示为两个整数的比值。无理数的出现，打破了数学中只有有理数的局限性，使得数学理论更加完善。一、无理数的定义无理数是指那些不能表示为两个整数的比值的数。无理数可以用无限不循环小数来表示，如圆周率π，自然对数的底数e等。无理数的特点是无限不循环，即小数点后的数字没有重复的规律。二、无理数的性质 1. 无理数的无限性：无理数的小数表示是无限不循环的，它们的小数位数是无穷的，也就是说无理数没有终止的小数位数。 2. 无理数的无重复性：无理数的小数位数没有重复的规律，不存在重复的数字序列。 3. 无理数的无限不循环性：无理数的小数位数没有循环的规律，不存在周期性的数字序列。 4. 无理数的无穷性：无理数的小数位数是无穷的，不存在终止的数字序列。三、无理数的分类无理数可以分为代数无理数和超越无理数两类。

1. 代数无理数：代数无理数是指那些满足代数方程的无理数，如平方根，立方根等。代数无理数可以用整系数的多项式方程表示。 2. 超越无理数：超越无理数是指那些不能满足任何代数方程的无理数。超越无理数不能用整系数的多项式方程表示。四、无理数的运算无理数的运算与有理数的运算类似，可以进行加、减、乘、除等运算。但需要注意的是，无理数的运算结果可能是有理数，也可能是无理数。例如，对于两个无理数的加法运算，结果可能是有理数，也可能是无理数。五、无理数的应用无理数在数学和物理学中有着广泛的应用。 1. 几何学中的无理数：无理数在几何学中被广泛应用，例如圆的周长和面积的计算中就涉及到无理数。圆周率π是一个无理数，它的值约为3.14159。 2. 物理学中的无理数：无理数在物理学中也有广泛应用，例如自然对数的底数e是一个无理数，它在指数函数和对数函数中起着重要作用。 3. 算法中的无理数：无理数的计算在算法中也有重要应用，例如在计算机中的浮点数表示中，无理数的表示和运算是必不可少的。六、无理数的发现历程

专题14-5 认识无理数(知识讲解)-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练

专题14.5 认识无理数（知识讲解）【学习目标】 1. 掌握无理数的概念，能正确区别有理数和无理数, 2. 掌握无理数的表现形式，并能确找出无理数. 【要点梳理】 1、定义：有理数：我们把能够写成分数形式 n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。无理数：无限不循环 2、有理数的分类整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数都可以看作分数，也是有理数。 3、无理数的两个前提条件：（1）无限（2）不循环 4 、区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。（2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。实数的分类实数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a ＞0表明a 是正数；a ＜0表明a 是负数；a 0表明a 是非负数；a 0表明a 是非正数。

几个易混淆概念 ⎪⎩⎪⎨⎧正数非负数0 ⎪⎩⎪⎨⎧负数非正数0 ⎪⎩⎪⎨⎧正整数非负整数0 ⎪⎩ ⎪⎨⎧负整数非正整数0 【典型例题】类型一、实数的分类 1．把下列各数填入相应的括号内：－2，100π，－153，0.9，－∣－5.2∣，0，0.1010010001…， 143⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 正有理数集合：｛ …｝整数集合：｛ …｝负分数集合：｛ …｝无理数集合：｛ …｝【分析】根据有理数和无理数的定义，以及有理数的分类分别进行判断，即可得到答案．解：根据题意，则正有理数集合：｛0.9，143⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，…｝；整数集合：｛－2，0，…｝；负分数集合：｛－153 ，－∣－5.2∣，…｝；无理数集合：｛100π，0.1010010001…，…｝；【点拨】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．【变式1】把下列各数写入相应的集合中：-12 0.1，2 π 0，0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）（1）正数集合{ }；（2）有理数集合{ }；（3）无理数集合{ }．

七年级数学上册2.2有理数与无理数一起走近无理数

一起走近无理数在前面的学习中，我们认识了负数，使数的范围扩展到有理数．现在我们又开始学习无理数，把数的范围扩展到了实数．刚开始学习无理数，认为无理数不像有理数那样直观易懂，总有一种虚幻的感觉．那么该怎样学习无理数呢？一、明确无理数的存在无理数并不是“无理”，也不是人们臆想出来的，而是实实在在的存在．如：（1）两条直角边都为1的等腰直角三角形，它的斜边为2；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为常数π．像2、π这样的数在我们的身边还有很多．二、弄清无理数的定义及常见无理数无理数是指无限不循环小数，这说明无理数可以化为具有两个特征的小数：一是小数的位数时无限的，二是不循环的．我们比较常见的无理数往往具备以下几种表现形式： 1．某些含有π的数，如：π，π3 等； 2．开方开不尽得到的数，如：3、5等； 3．依某种规律构造的无限不循环小数，如0．1010010001…(两个1之间依次多一个0)．三、了解无理数的性质 1．所有的无理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，并且右边的无理数总比左边的大； 2．在有理数中的互为相反数的定义、绝对值得定义、大小比较法则及运算法则、运算律等，对于无理数仍然适用，如52-的相反数是25-，因为052<-，所以52-的绝对值是25-．四、澄清一些模糊认识 1．无理数包括正无理数、0、负无理数 0是一个整数，故它是有理数，因此无理数只能分为正无理数和负无理数两类． 2．带根号的数就是无理数由于像4、38-这样的数通过计算可以化为2和－2，因此它们是有理数，可见带根号的不一定是无理数．特别是π，它是无理数但并不是用根号形式表示的． 3．无理数的数量比有理数少有些同学认为1、2、3、4、5这五个数，它们都是有理数，而开平方后得到的无理数只有2、3、 53233