√2是无理数的证明方法
√2是无理数的证明方法
要证明√2是无理数，需要使用反证法。即假设√2是有理数，可以表示为p/q，其中p和q都是整数，并且它们没有公共因数。
则根据等式√2=p/q，两边平方得到：2=p^2/q^2。
将等式的两边乘以q^2，得到：2q^2=p^2。
由此可知，p^2必定是2的偶数倍。因为偶数的平方仍然是偶数，奇数的平方是奇数。
所以，p必须是偶数，即p=2k（k为整数）。
代入原方程中，得到2q^2 = (2k)^2，即 q^2 = 2k^2。
同理，q^2也是2的偶数倍。这与最初的假设矛盾，因为p和q 不可能同时为2的偶数倍，否则它们就有公共因数2，与最初的前提矛盾。
因此，√2不能表示成两个整数的比值，即√2是无理数。
有关有理数与无理数的证明
有关有理数与无理数的证明 狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式 本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明 √2代表根号2 证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程 前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数 3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数 命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数 X为任意无理数 则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题1成立 命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数 则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题2成立 命题3：√2为无理数 证明：假设命题不成立 则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2=(p*p)/(q*q) 则p必须是偶数 ∵p/q是既约分数 ∴q是奇数 ∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z) ∵2*q*q=p*p ∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n ∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立 故假设不成立，命题3成立 命题4：任何有限小数都是有理数 证明：显而易见~~ 下面进入本证明的关键部分 首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function） f(x)= 1(x为有理数) 0(x为无理数) 命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数证明：设p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设p/q ＜m/n 则m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数 设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq) 则0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq) p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n 根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数 ∴命题5成立 命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数
(完整word版)证明根号2为无理数的方法
试证明2是无理数. 证明：易知2是方程022=-x 的一个根，设它有有理根,a b 即)0(2≠=a a b 先证明一个引理：若整系数方程： 0...02211=+++++--a ax x a x a x a n n n n )0(0≠?a a n 有有理根p q 0(≠pq 且q p ,互质)，则有： p a n ，q a 0. 证明：把p q x =代入原方程，得： 0...02211=++??? ? ??++???? ??+???? ??--a p q a p q a p q a p q a n n n n ，两边同乘n p ，得: .00...0122211== +++++----n n n n n n n n p p a aqp p q a p q a q a 那么，由于0≠p ，所以一定有0p ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a p +++++---- 由于n p p p ,...,,2都满足被p 整除，那么有：n n q a p ，又因1),(=q p ，所以有： .n a p 同理，由于0≠q ，所以一定有0q ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a q +++++---- 由于n q q q ,...,,2都满足被q 整除，那么有：n p a q 0，又因1),(=q p ，所以有： q a 0. 回到原命题，由于0)2(1≠-?，1)2,1(=-，所以方程022=-x 的有理根 a b 满足： 1a ，2-b .22,1±=?±=±=?a b b a 经检验，2±都不是方程022=-x 的根，那么022=-x 无有理根，即2为无理数. ...D E Q
证明根号2是无理数的八种方法
怎样证明 是一个无理数 2 2 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点. a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b 其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、 a 2 b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数. a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a , b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 a a 2 b 2 b 是偶数，设 a=2 c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底. 证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2 因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾. 证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此 a 2 b 2 2 2 2 ， 存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾. 证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地 写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 1 m n
(完整word版)证明根号2是无理数的八种方法
怎样证明2是一个无理数 2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a, b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2 c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ?=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2 a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与 b ，这与(a,b )=1矛盾. 证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾. 证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地 写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a Λ2121=，n s n s s q q q b Λ2121=，其中m p p ,,1Λ与n q q ,,1Λ
反证法的应用
反证法的应用 反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立， 然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。反证法 的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证 法的应用。 一、数学中的反证法 在数学中，反证法是一种常用的证明方法。例如，我们要证明一个命 题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用 反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 二、哲学中的反证法 在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个 命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。例如，要证明“人类存在自由意志”，可 以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论， 从而证明人类存在自由意志。
三、科学中的反证法 在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。 四、反证法的优缺点 反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。 综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析 反证法是一种证明方法，运用反证法可以达到“证明之外还证明”的效果，也就是通过证明不成立的情况来证明规律的正确性。 在初中数学中，反证法可以有效地应用于解题，以下是几个例子： 1、证明根号2是无理数。 假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p,q互质。则根号2=p/q，两边平方得到2=p*p/q*q，化简可得到p*p=2*q*q，由于2是质数，而p*p是偶数，就可以推出p也是偶数。那么p=2k，代入原式可得到2=q*k，则q也是偶数。这与p,q互质矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。 2、证明平方根小数是无限不循环小数。 假设平方根的小数部分有限、循环。设其小数部分为a.b(c)。则有 a.b(c)=x/10^t+y/(10^(t+1))+z/(10^(t+2))+…，即表示成有限的分数形式。那么可以将该分数转换为最简分数a’/b’，然后平方可得到 (a’)^2/(b’)^2=2+2y/(10^t)+(y/(10^t))^2+(2z/(10^(t+1))+(z/(10^(t+1)))^2+…… 3、证明勾股数不存在除1以外的公因数。 假设勾股数存在除1以外的公因数d，则可以表示a=dm，b=dn。那么 c^2=a^2+b^2=d^2(m^2+n^2)，即c也能被d整除，此时c/d也是一个整数，且满足c/d是勾股数a/d，b/d的最大公因数。这与a/d，b/d互质矛盾，因此假设不成立，勾股数不存在除1以外的公因数。 以上几个例子展示了反证法在初中数学解题中的应用，可以看到反证法是一种极为重要的证明方法。在解题过程中，可以运用一些技巧，如化简、分解因式、求幂、辗转相除等，帮助分析矛盾的来源，找到反证的破绽，从而得出正确的结论。
令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数
令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数 全世界只有3.14 %的人关注了 数据与算法之美 如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？ 古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。 单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus 认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。 中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。 当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有
根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。 根号2是无理数，我们证明到了。根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是无理数。但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？一个俄国的数学历史家“猜”到了原因。 他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的。比如，要证明根号x不是有理数，于是p^2=x*q^2。我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数。一个奇数2n+1的平方应该等于4(n^2+n)+1，也即8 * n(n+1)/2 + 1，其中n(n+1)/2肯定是一个整数。如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p^2=x*q^2，有8[k(k+1)/2 – x*m(m+1)/2] = x-1。于是x-1必须是8的倍数。如果当时Theodorus是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论，如果x-1不能被8整除，那么它不可能被表示成(p/q)^2。好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数。在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数。而当x=17时这种证明方法没办法解释了，于是Theodorus就此打住。 实际上，我们上面说的这么多，在古希腊当时的数学体系中是根本不可能出现的。毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来，它们掌握的只是纯粹的几何。因此，Hippasus当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西。事实上，Hippasus当时完全运用的平面几何知识来证明他的结论。有人觉得奇怪了，既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出“所有数都可以表示
判断无理数的四个方法
判断无理数的四个方法 无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，它的小数部分无限不循环。在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数。下面将介绍四种常见的方法来判断一个数是否为无理数。 方法一：反证法 反证法是一种常用的数学证明方法，用于证明某个命题的否定。对于判断一个数是否为无理数，我们可以采用反证法。假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值。然后我们推导出一个矛盾的结论，即这个数同时也可以表示为两个互质的整数的比值。因为有理数可以化简为最简形式，所以这个假设与无理数的定义相矛盾，从而证明了这个数是无理数。 方法二：连分数展开法 连分数是一种将一个实数表示为一个无限连分数的方法。对于一个无理数来说，它的连分数展开是无限不循环的。因此，我们可以通过计算连分数展开的有限项来判断一个数是否为无理数。如果连分数的展开具有循环结构，那么这个数就是有理数；如果连分数的展开没有循环结构，那么这个数就是无理数。 方法三：代数证明法
有些无理数可以通过代数方程的解来表示，这种无理数称为代数无理数。对于一些特定的代数无理数，我们可以通过代数运算和方程的性质来判断它们是否为无理数。例如，根号2是一个代数无理数，我们可以通过假设根号2是有理数，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 方法四：几何证明法 几何证明法是通过几何图形的性质来判断一个数是否为无理数。例如，我们可以通过构造正方形的对角线长度为1的等腰直角三角形来证明根号2是无理数。假设根号2是有理数，那么我们可以构造出一个边长为1的正方形，然后根据勾股定理可以得到对角线的长度为根号2。但是根号2是无理数，所以我们得出了一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 通过以上四种方法，我们可以判断一个数是否为无理数。无理数的研究在数学中有着重要的地位，它不仅与代数、几何等数学分支密切相关，还在物理、工程等应用领域有着广泛的应用。因此，对于无理数的判断方法的研究和应用具有重要的意义。通过不断研究和探索，我们可以更深入地理解无理数的性质和特点。
数学证明方法和技巧
数学证明方法和技巧 数学是一门理性而抽象的学科，其中最重要的一部分就是证明。数 学证明是通过严密的逻辑推导来验证数学命题的正确性。在数学中， 有许多不同的证明方法和技巧，本文将针对这些方法和技巧进行详细 的讨论。 一、直接证明法 直接证明法是最常见和最基本的证明方法之一。它的思路是通过一 系列推理步骤，从已知的条件出发，逐步推导出所要证明的结论。例如，对于求证一个数是偶数的命题，我们可以通过直接证明法来进行 推导。首先，我们将该数表示为2的倍数（即n=2k，其中k是任意整数），然后可以得出结论n为偶数。 二、间接证明法 间接证明法，也称为反证法，是一种常用的证明方法。它的思路是 假设所要证明的结论是错误的，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。例如，可以通过反证法来证明平方根2是 一个无理数。我们假设根号2是一个有理数，即4可以整除2的平方根。然而，通过推理可以发现这样的假设将导致矛盾，因此我们可以得出 结论根号2是一个无理数。 三、数学归纳法 数学归纳法是一种证明自然数性质的强有力的方法。它的基本思想 是通过证明当n=k时某个结论成立，然后证明当n=k+1时该结论也成
立，从而推导出对所有自然数n均成立的结论。首先我们验证当n=1 时该结论成立，接着假设n=k时该结论成立，然后通过这个假设和逻 辑推理证明n=k+1时该结论也成立。因此我们可以得出结论对所有自 然数n该结论成立。数学归纳法在证明数列、不等式和等式等方面非 常有用。 四、反证法 反证法是一种基于逻辑推理的证明方法。与间接证明法类似，反证 法也是假设所要证明的结论是错误的。但与间接证明法不同的是，反 证法通过逻辑推理证明这样的假设将导致一种矛盾的结论。这种矛盾 说明了原来的假设是错误的，因此原命题是正确的。反证法常用于证 明存在性命题和唯一性命题。 五、等价命题证明 等价命题证明是一种证明方法，它将所要证明的命题转化为与之等 价的其他命题，然后通过证明这些等价命题来推导出原命题的正确性。等价命题是指具有相同真值的命题。通过将命题进行逻辑等价的转换，我们可以得到等价命题之间相互推导的关系。这种证明方法在解题过 程中非常有效，可以将复杂的问题简化为更易解决的形式。 六、递归证明法 递归证明法是一种通过反复应用递推关系的证明方法。递归关系是 指通过已知条件推导出下一个条件的关系式。通过反复应用递推关系，我们可以逐步推导出所要证明的结论。递归证明法常用于证明数列、
从√2谈起
从√2谈起 摘自院士数学讲座专辑《从√2 谈起》第一章，张景中著，中国少年儿童出版社。 √2 是人类最早发现的无理数之一。早在公元前500年左右，人们就会证明√2是无理数了。 边长为1的正方形，它的对角线的长是多少？ 如果你已经学过勾股定理，马上就能算出它的长度是（图1-1）。 不用勾股定理，也能算出这个对角线的长。如图1-2所示，正方形ABCD边长为1，面积为1；而正方形BEFD的面积是ABCD面积的两倍，也就是说BD²=2，于是BD=√2。 显然，若正方形边长为a，则对角线长为√2a，即对角线长是边长的√2倍。
我们知道，记号√2代表这样一个正数：x的平方等于2。换句话说，√2是二次方程式x²-2=0的正根，通常把它叫做2的算术平方根。 很明显，√2不是整数。因为1的平方比2小，2的平方又比2大，所以√2应当在1和2之间。 在1和2之间，分数多的很，要多少有多少，而且是密密麻麻的挤在一起。那么，其中有没有这样一个分数，它自乘之后恰巧等于2呢？看来似乎应当有。真的有吗？那你找几个试试看，你一定找不到——不是太大，就是太小。尽管能找到平方很接近2的分数，但要想恰巧等于2，是不可能的。 也许你会说，1和2之间既然有无穷多个分数，那就不可能一个一个地试。既然不能一个一个地试，又怎能断定没有一个分数，它的平方等于2呢？ 这个问题，早在2000多年前就解决了。请看： ---------------- 【命题1】√2不是有理数。 证法一用反证法证明。先假设√2是有理数，如果从这一假设出发推出矛盾，便说明这个假设错了，即√2不是有理数。 若√2是有理数。由于有理数只包含正负整数、正负分数和0，而√2>0，故必然有两个正整数n，m，使 且n和m互质，即没有大于1的公约数。 根据√2的定义，有 也就是 这个式子右端是偶数，故左端的n² 也是偶数，因而n是偶数。于是可设n=2k，代入(2)式得4k²=2m²，即2k²=m²。这推出m是偶数，说明n和m有大于1的公约数，与假设矛盾。 这个证明还可以说得更简单些：不必假定n和m没有大于1的公约数，直接观察(2)式，它的右端所含2的因数有奇数个，而左端含2
2 为无理数的证明
√2 為無理數的證明 蔡聰明 數學最讓我欣喜的是, 事物能夠被證明。—B. Russell— √2 為無理數, 這是古希臘畢氏學派 的偉大發現, 是歸謬證法的典範。一方面, 它震垮了畢氏學派的幾何原子論以及幾何學的算術化研究綱領, 導致數學史上的第一次 危機。另一方面, 它也讓古希臘人發現到連 續統(continuum) 並且直接面對到「無 窮」(infinity), 使得往後的數學家、哲學家為了征服無窮而忙碌至今, 收獲非常豐富。 對於宇宙、人生之謎, 佛家有所謂的25 證道法門。換言之, 一個深刻的事物往往可以從各種角度與觀點來論證。對於「√2 為無理數」, 我們一共蒐集了28種證法(有些是大同小異), 其中的第十二種與第十三種是筆者自己的證法, 至少在文獻上不曾見過(也許是筆者孤漏寡聞)。在數量上, 雖然比不上畢氏定理的370種證法(見參考資料[5]), 但是28 種已夠驚人了(28是第二個完美數, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14)。這些證法牽涉到數學 各方面的概念, 弄清楚它們, 有助於加深與增廣對於數學的了解, 並且可將零散的知識統 合在一起。 一、奇偶論證法 √2 只有兩種情形: 有理數(rational number) 或者不是有理數。不是有理數就叫做無理數(irrational number)。因此, 我們 立下正、反兩個假說: H1 : √2為有理數; H2 : √2為無理數。 到底是哪一個成立呢? 如何證明? 欲證H2 成立, 我們不易直接著手, 所 以改由H1 切入。 換言之, 我們假設「√2 為有理數」, 先 投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。 第一種證法: 假設√2 為有理數, 故√2 可以寫成 √2 = a b (1) 其中a 與b 為兩個自然數並且互質。將上式
反证法 反证法是数学中常用的一种方法
反证法反证法是数学中常用的一种方法，而且有些命题只能用它去证明。这里作一简单介绍。用反证法证明一个命题常采用以下步骤： 1）假定命题的结论不成立， 2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾， 3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的。 4）肯定原来命题的结论是正确的。 证明√2是无理数 证：反证法 假设√2是有理数，则√2必可表成：√2=p/q,p、q为不可约的有理整数 故两边平方得 2=p^2/q^2,即有 p^2=2*q^2为一偶数 由只有偶数的平方才能为一偶数可知，p也为偶数 不妨令p=2n,n也为一整数 则 4*n^2=2*q^2 即有：2*n^2=q^2 同样由只有偶数的平方才能为一偶数可知，q也为偶数 这样p、q均为偶数，故它们有公约数2，因此p、q可约 这与p、q不可约矛盾 因此假设不成立。 故有√2是有理数 求证：如果一条直线与两条平行线中的一条相交，那么这条直线必定与两条平行线中的另一条相交 假设相平行的直线为 a b 另外一条直线为c 与a相交 假设该直线c不与b 相交则c平行与b 又因为b平行a 则a平行c 与已知矛盾 所以假设不成立 所以c平行与b 反证法练习班级姓名 1、“a
角也不相等”时，应假设______ _____． 4、用反证法证明“若│a│<2，则a2<4”时，应假设__________． 5、请说出下列结论的反面: （1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5． 6、如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点． 证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两 点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾， 所以假设不成立，则_____ 7、完成下列证明． 如右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角． 证明：假设结论不成立， 则∠B是______或______． 当∠B是____时， 则_________，这与________矛盾； 当∠B是____时， 则_________，这与________矛盾． 综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角． 8、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角 形中（） A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 9、若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时， 应假设_______ ________． 10、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60° 11、在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°. 求证；a2＋b2≠c2. 12、求证两条直线相交只有一个交点. 13、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 14、.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等. 15、求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角. 16、三角形内角中至多有一个内角是钝角. 17、求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分. 18、求证：一个三角形中不能有两个直角.
怎样证明根号2是一个无理数（5篇）
怎样证明根号2是一个无理数（5篇） 第一篇：怎样证明根号2是一个无理数 怎样证明2是一个无理数 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的2是一个非常著名的无理数，代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=a.b其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则a2=2b2.由于完全平方数b2的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2b2的尾数只能是0、2、8中的一个.因为a2=2b2，所以a2与2b2的尾数都是0，因此b2的尾数只能是0或5，因此a与b有公因数5，与(a,b)=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.a证法2：奇偶分析法.假设2=.其中(a,b)=1，且a 与b都是正整数.则a2=2b2.可知ab 是偶数，设a=2c,则4c2=2b2，b2=2c2，可知b也是偶数，因此a、b都是偶数，这与(a,b)=1矛盾！因此2是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到a2=2b2，易见b>1，否则b=1，则2=a是一个整数,这是不行 aa⋅a.因为b>1，因此b有素因子p，因此p整除或a，总之，p 整除2 2a，因此p同时整除a与b，这与(a,b)=1矛盾.的.a2=2b2改写成b2= 证法4：仿上，得到a2=2b2，等式变形为b2=a2-b2=(a+b)(a-b)，