证明根号几是无理数的原理
证明根号几是无理数的原理
假设根号几是有理数，即可以表示为两个整数的比值，成为根号几等于a/b，a 和b为正整数，且a，b互质。
两边平方得到2=a^2/b^2，即a^2=2b^2。
因为a，b互质，所以a为奇数或者b为偶数。如果a为奇数，则a^2为奇数，而2b^2为偶数，奇偶性不同，不可能相等。如果b为偶数，则b^2为偶数，但2b^2仍为偶数，而a^2为奇数，奇偶性不同，不可能相等。
因此，假设不成立，根号几是无理数。
6、用反证法证明根号3是无理数：
1、假设(√3)是有理数。 ∵ 1＜3＜4 ∴(√1)＜(√3)＜(√4) 即：1＜(√3)＜2 ∴(√3)不是整数. ∵整数和分数也统称为有理数，而(√3)不是整数。 ∴在假设“(√3)是有理数”的前提下，(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。此时假设(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除 1 外再无公因数)。 两边平方，得：m² / n² = 3 ∴m² 是质数 3 的倍数。 我们知道，如果两个数的乘积是 3 的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3 的倍数。 ∴由“m² (m 与 m 的乘积) 是质数 3 的倍数”得：正整数 m 是 3 的倍数。 此时不妨设 m = 3k(k 为正整数) 把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得：(9k²) / n² = 3 ∴3k² = n² 即：n² / k² = 3 对比“m² / n² = 3“ 同理可证
正整数 n 也是 3 的倍数。 ∴正整数 m 和 n 均为 3 的倍数。 这与“m、n 均为正整数且互质”相矛盾。 意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论。 ∴原假设“(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除 1 外再无公因数)”是不成立的。 ∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数。 而已证(√3) 不是整数。 ∴(√3) 既不是整数也不是分数，即(√3) 不是有理数。 ∴(√3) 是无理数。 2、假设根号3 是有理数。 有理数可以写成两个整数的比。 且经过有限次约分后成为最简分数，即分子分母互质。 设根号3=p/q p 和 q 都是整数且互质。 两边平方 3=p^2/q^2 p^2=3q^2 则 p^2 能被 3 整除。 所以 p 也能被 3 整除。 设 P=3m 9m^2=3q^2
证明√2是无理数反证法
证明√2是无理数反证法 反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。在证明√2是无理 数时，我们也可以运用反证法来进行证明。 首先，我们假设√2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，且这两个整数没有公因数。假设√2可以表示为a/b，其中a和b是整数，且 a和b没有公因数。 根据这个假设，我们可以得到以下等式：√2 = a/b。将等式两边平方，得到2 = (a/b)²，即2b² = a²。 由此可知，a²是2的倍数，因此a也是2的倍数。假设a = 2c，其中 c是整数，代入上述等式，得到2b²= (2c)²，即2b²= 4c²。进一步简化，得到b² = 2c²。 同样地，根据上述等式，我们可以得出结论，b也是2的倍数。这 意味着a和b都是2的倍数，与我们一开始的假设矛盾。 因此，我们可以得出结论，假设√2是有理数的假设是错误的。√2 不是有理数，即√2是无理数。 通过反证法，我们证明了√2是无理数。这个证明方法的关键在于假设√2是有理数，然后通过推导得到矛盾的结论，从而证明了假设的错误。这种方法在数学证明中非常常用，可以用来证明很多数学命题。
在实际应用中，√2的无理性证明有着重要的意义。它不仅仅是一个数学问题，更是对我们思维方式的挑战。通过这个证明，我们可以看到数学的严谨性和逻辑性，也可以培养我们的逻辑思维能力。 总之，通过反证法，我们成功地证明了√2是无理数。这个证明方法不仅仅适用于√2，还可以应用于其他数学问题的证明中。通过不断运用这种方法，我们可以更好地理解数学的本质，提高我们的数学思维能力。
判断无理数的四个方法
判断无理数的四个方法 无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，它的小数部分无限不循环。在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数。下面将介绍四种常见的方法来判断一个数是否为无理数。 方法一：反证法 反证法是一种常用的数学证明方法，用于证明某个命题的否定。对于判断一个数是否为无理数，我们可以采用反证法。假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值。然后我们推导出一个矛盾的结论，即这个数同时也可以表示为两个互质的整数的比值。因为有理数可以化简为最简形式，所以这个假设与无理数的定义相矛盾，从而证明了这个数是无理数。 方法二：连分数展开法 连分数是一种将一个实数表示为一个无限连分数的方法。对于一个无理数来说，它的连分数展开是无限不循环的。因此，我们可以通过计算连分数展开的有限项来判断一个数是否为无理数。如果连分数的展开具有循环结构，那么这个数就是有理数；如果连分数的展开没有循环结构，那么这个数就是无理数。 方法三：代数证明法
有些无理数可以通过代数方程的解来表示，这种无理数称为代数无理数。对于一些特定的代数无理数，我们可以通过代数运算和方程的性质来判断它们是否为无理数。例如，根号2是一个代数无理数，我们可以通过假设根号2是有理数，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 方法四：几何证明法 几何证明法是通过几何图形的性质来判断一个数是否为无理数。例如，我们可以通过构造正方形的对角线长度为1的等腰直角三角形来证明根号2是无理数。假设根号2是有理数，那么我们可以构造出一个边长为1的正方形，然后根据勾股定理可以得到对角线的长度为根号2。但是根号2是无理数，所以我们得出了一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 通过以上四种方法，我们可以判断一个数是否为无理数。无理数的研究在数学中有着重要的地位，它不仅与代数、几何等数学分支密切相关，还在物理、工程等应用领域有着广泛的应用。因此，对于无理数的判断方法的研究和应用具有重要的意义。通过不断研究和探索，我们可以更深入地理解无理数的性质和特点。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析 反证法是一种证明方法，运用反证法可以达到“证明之外还证明”的效果，也就是通过证明不成立的情况来证明规律的正确性。 在初中数学中，反证法可以有效地应用于解题，以下是几个例子： 1、证明根号2是无理数。 假设根号2是有理数，可以表示为p/q，其中p,q互质。则根号2=p/q，两边平方得到2=p*p/q*q，化简可得到p*p=2*q*q，由于2是质数，而p*p是偶数，就可以推出p也是偶数。那么p=2k，代入原式可得到2=q*k，则q也是偶数。这与p,q互质矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。 2、证明平方根小数是无限不循环小数。 假设平方根的小数部分有限、循环。设其小数部分为a.b(c)。则有 a.b(c)=x/10^t+y/(10^(t+1))+z/(10^(t+2))+…，即表示成有限的分数形式。那么可以将该分数转换为最简分数a’/b’，然后平方可得到 (a’)^2/(b’)^2=2+2y/(10^t)+(y/(10^t))^2+(2z/(10^(t+1))+(z/(10^(t+1)))^2+…… 3、证明勾股数不存在除1以外的公因数。 假设勾股数存在除1以外的公因数d，则可以表示a=dm，b=dn。那么 c^2=a^2+b^2=d^2(m^2+n^2)，即c也能被d整除，此时c/d也是一个整数，且满足c/d是勾股数a/d，b/d的最大公因数。这与a/d，b/d互质矛盾，因此假设不成立，勾股数不存在除1以外的公因数。 以上几个例子展示了反证法在初中数学解题中的应用，可以看到反证法是一种极为重要的证明方法。在解题过程中，可以运用一些技巧，如化简、分解因式、求幂、辗转相除等，帮助分析矛盾的来源，找到反证的破绽，从而得出正确的结论。
怎样证明根号2是一个无理数（5篇）
怎样证明根号2是一个无理数（5篇） 第一篇：怎样证明根号2是一个无理数 怎样证明2是一个无理数 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的2是一个非常著名的无理数，代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点.证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=a.b其中(a,b)=1，且a与b都是正整数.则a2=2b2.由于完全平方数b2的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此2b2的尾数只能是0、2、8中的一个.因为a2=2b2，所以a2与2b2的尾数都是0，因此b2的尾数只能是0或5，因此a与b有公因数5，与(a,b)=1矛盾！因此2是无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数.a证法2：奇偶分析法.假设2=.其中(a,b)=1，且a 与b都是正整数.则a2=2b2.可知ab 是偶数，设a=2c,则4c2=2b2，b2=2c2，可知b也是偶数，因此a、b都是偶数，这与(a,b)=1矛盾！因此2是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底.证法3：仿上，得到a2=2b2，易见b>1，否则b=1，则2=a是一个整数,这是不行 aa⋅a.因为b>1，因此b有素因子p，因此p整除或a，总之，p 整除2 2a，因此p同时整除a与b，这与(a,b)=1矛盾.的.a2=2b2改写成b2= 证法4：仿上，得到a2=2b2，等式变形为b2=a2-b2=(a+b)(a-b)，
数论中的证明方法与技巧
数论中的证明方法与技巧 数论作为数学的一个重要分支，主要研究整数及其性质。在数论中，证明是一项重要的工作，通过证明可以推导出一系列的结论，揭示整 数之间的奇妙关系。本文将介绍数论中一些常用的证明方法和技巧。 I. 直接证明法 直接证明法是数论中最基本的证明方法之一。该方法借助逻辑推理 直接证明数论命题的真实性。 示例1：证明一个数是偶数 定理：如果整数n是偶数，则存在整数k，使得n = 2k。 证明：由于n是偶数，根据偶数的定义，n可以写成2的倍数。设 k为某个整数，使得n = 2k，则： n = 2k 该等式说明n可以被2整除，即n是偶数。 II. 反证法 反证法是数论中常用的证明方法之一。该方法通过假设命题的否定，推导出与已知事实或条件矛盾的结论，从而证明原命题为真。 示例2：证明根号2是无理数 定理：根号2是无理数，即根号2不能被表示为两个整数的比例。
证明：假设根号2是有理数，则可以表示为p/q，其中p和q为互质的整数，并且q ≠ 0。我们可以假设p和q的最小公因数为d，则p = dx，q = dy（其中x和y互质）。 将p/q带入根号2的表达式中得： 根号2 = p/q 即 2 = (p^2)/(q^2) 则 p^2 = 2q^2 根据等式左边的p^2为偶数可知，p必为偶数。设p = 2k，则： (2k)^2 = 2q^2 4k^2 = 2q^2 2k^2 = q^2 根据等式右边的q^2为偶数可知，q也必为偶数。然而，这与我们一开始的假设矛盾，因为我们假设p和q是互质的。所以，假设根号2是有理数的假设不成立，根号2是无理数。 III. 数学归纳法 数学归纳法是数论中常用的证明方法之一。该方法基于当命题在某个特定的整数上成立，并证明在连续的整数上也成立，从而证明命题在所有正整数上成立。 示例3：证明所有正整数的和公式
反证法的一般步骤例子
反证法的一般步骤例子 反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。下面将以反证法的一般步骤为题，列举一些具体的例子来说明。 一、反证法的一般步骤 反证法的一般步骤包括以下几个步骤： 1. 假设待证命题的反命题为真； 2. 利用已知条件或已证明的命题推导出与反命题相矛盾的结论； 3. 由此得出结论，待证命题为真。 二、具体例子 1. 证明根号2是一个无理数 假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。设根号2=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。由此可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。根据整除的性质可知，a^2必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。设a=2k，则可得到4k^2=2b^2，化简得到2k^2=b^2。同样地，可知b也是2的倍数。这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号2是一个无理数。 2. 证明素数有无穷多个
假设存在有限个素数，记为p1、p2、p3、…、pn。考虑数M=p1p2p3…pn+1，显然M大于任何一个已知的素数。根据素数的定义，M必然是一个合数。而根据合数的定义可知，M必然可以被某个素数pi整除。然而，pi不能整除M，因为p1p2p3…pn+1除以pi的余数必然为1。这与假设相矛盾，因此假设不成立，素数有无穷多个。 3. 证明根号3是一个无理数 假设根号3是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。设根号3=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。由此可得3=a^2/b^2，即3b^2=a^2。根据整除的性质可知，a^2必然是3的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是3的倍数。设a=3k，则可得到9k^2=3b^2，化简得到3k^2=b^2。同样地，可知b也是3的倍数。这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号3是一个无理数。 4. 证明根号5是一个无理数 假设根号5是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。设根号5=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。由此可得5=a^2/b^2，即5b^2=a^2。根据整除的性质可知，a^2必然是5的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是5的倍数。设a=5k，则可得到25k^2=5b^2，化简得到5k^2=b^2。同样地，可知b也是5的倍数。
令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数
令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数 全世界只有3.14 %的人关注了 数据与算法之美 如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？ 古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。 单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus 认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。 中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。 当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有
根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。 根号2是无理数，我们证明到了。根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是无理数。但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？一个俄国的数学历史家“猜”到了原因。 他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的。比如，要证明根号x不是有理数，于是p^2=x*q^2。我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数。一个奇数2n+1的平方应该等于4(n^2+n)+1，也即8 * n(n+1)/2 + 1，其中n(n+1)/2肯定是一个整数。如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p^2=x*q^2，有8[k(k+1)/2 – x*m(m+1)/2] = x-1。于是x-1必须是8的倍数。如果当时Theodorus是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论，如果x-1不能被8整除，那么它不可能被表示成(p/q)^2。好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数。在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数。而当x=17时这种证明方法没办法解释了，于是Theodorus就此打住。 实际上，我们上面说的这么多，在古希腊当时的数学体系中是根本不可能出现的。毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来，它们掌握的只是纯粹的几何。因此，Hippasus当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西。事实上，Hippasus当时完全运用的平面几何知识来证明他的结论。有人觉得奇怪了，既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出“所有数都可以表示
无理数的经典例题
无理数的经典例题 无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。它是实数中的一类特殊的数，不属于有理数的范畴。无理数在数学中有着 广泛的应用，其中包括几何、物理学和金融学等领域。 下面将介绍一些与无理数相关的经典例题，以及其解决方法和相关的数学概念。 1. 证明根号 2 是无理数 设根号2是有理数，即可以写成 m/n（最简分数形式），其中 m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。则有 (m/n)^2 = 2， 即 m^2 = 2n^2。由此可知，m^2 是 2 的倍数，因此 m 也是 2 的倍数。设 m = 2k，其中 k 是整数。代入方程中得到 (2k)^2 = 2n^2，即 2k^2 = n^2。同样的道理，n 也是 2 的倍数。这与最 简分数要求矛盾，因此根号 2 是无理数。 2. 求根号 3 的近似值 根号 3 是一个无理数，我们可以通过数值逼近来求得一个近似值。一种常用的方法是二分法。假设根号 3 的近似值为 x，我 们可以选择一个区间 [a, b]，使得根号 3 落在该区间内。然后 计算中点 c，即 (a + b)/2，并比较 c^2 和 3 的大小关系。如果 c^2 大于 3，则将 c 更新为新的上界 b，否则更新为新的下界 a。重复上述步骤直到满足要求。 3. 证明 e 和π 的和是无理数
假设 e 和π 的和是有理数，即e + π = m/n，其中 m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。将等式两边均乘以 n，得到 ne + nπ = m。由于 e 和π 都是无理数，因此它们的乘积ne + nπ 也 是无理数。但等式右边是一个有理数，这与无理数的定义相矛盾。所以 e 和π 的和是无理数。 4. 证明根号 2 + 根号 3 是无理数 假设根号 2 + 根号 3 是有理数，即可以写成 m/n（最简分数形式），其中 m 和 n 是整数，且它们没有公共的因子。通过移 项可以得到 (m/n - 根号 2)^2 = 3。展开并化简等式得到 m^2/n^2 - 2m根号 2/n + 2 = 3，继续整理得到 m^2 - 2mn根号 2 + 2n^2 = 3n^2。 左边的第一项和第三项都是整数，而根号 2 是无理数，因此左边的第二项必然是无理数。另一方面，由于等式右边是有理数，这导致了一个矛盾。所以根号 2 + 根号 3 是无理数。 通过以上经典例题的解析，我们可以了解到无理数的一些特点和性质。它们无法用有限的小数或分数来精确表示，只能通过近似值或无限不循环小数来近似表示。在数学分析、数论和代数等领域中，无理数的研究和应用是非常广泛的。 无理数的无穷性以及在数列中的应用是该内容的重点。数列中的无理数例题非常常见，除了上述例题外，还有许多其他经典的例题，涉及到数列的极限、收敛性和逼近等概念。
无理数的算术基本定理
无理数的算术基本定理 我们在学习数学的时候，常常会遇到各种各样的数。其中，有 一类数被称为“无理数”，这种数与“有理数”不同的是，它们不能被表示为两个整数的比值。例如，根号2就是一个无理数。在本文中，我们将讨论无理数的一项重要性质——“算术基本定理”。 什么是算术基本定理？ 算术基本定理，也叫做唯一因子分解定理，是指任何一个正整数，都可以唯一地分解成质数的乘积。例如，12可以分解成 2×2×3，而18则可以分解成2×3×3。这个定理在数学中起到了非 常重要的作用，不仅对于整数有意义，对于更一般的数（如分数）也是非常有用的。 那么，为什么这个定理对于无理数也有用呢？我们知道，无理 数中有一类数叫做代数数，它们是满足某个多项式方程的解。例如，根号2就是方程x^2=2的解。对于代数数，我们也可以进行 因子分解。这个定理告诉我们，任何一个代数数都可以分解成一 些代数因子的乘积，而且这个分解是唯一的。
但是，对于另一类无理数——超越数，这个定理就不再适用了。超越数是不能被任何多项式方程所表示的无理数。例如，圆周率π和自然对数的底数e都是超越数。对于超越数，我们无法进行唯 一的因子分解。但是，尽管如此，算术基本定理仍然是非常重要的——它帮助我们更好地理解无理数的性质，以及为许多数学定 理的证明打下了基础。 证明算术基本定理 如何证明算术基本定理呢？这个定理的证明是非常著名的，也 是通俗易懂的，我们在这里简单介绍一下。 首先，我们证明任何一个正整数都可以分解成质数的乘积。假 设存在一个最小的没有被分解成质数的正整数N，那么N一定不 是质数。因为如果N是质数，那么它已经被分解成了1×N。因此，N是两个正整数a和b的乘积，并且a和b都小于N。由于a和b 都没有被分解成质数的乘积，因此它们也可以分解成质数的乘积。那么N也就可以分解成质数的乘积了。 其次，我们证明这个分解是唯一的。假设存在两个不同的质数 分解，那么它们必定包含某个质数的次数不同。设
数学反证法的例子及其应用(假设和推理在数学中的重要性)
数学反证法的例子及其应用（假设和推理在数学中的重要性） 1. 反证法的定义及基本原理 2. 反证法在数学证明中的应用 3. 反证法的例子证明根号2是无理数 4. 反证法的例子证明存在无限多个质数 5. 假设和推理在数学中的重要性 反证法的定义及基本原理 反证法是一种证明方法，通过假设待证命题不为真，然后推导出矛盾，来证明待证命题为真。归谬法的基本原理是排中律，即一个命题要么成立，要么不成立。 反证法在数学证明中的应用 反证法在数学证明中很常见，可以用来证明很多重要的定理和命题。在使用归谬法时，我们通常假设待证命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明待证命题成立。 反证法的例子证明根号2是无理数 假设根号2是有理数，那么可以表示为分数 p/q，其中 p 和q 是互质的整数。那么可以得到 根号2 = p/q 2 = p^2/q^2 p^2 = 2q^2
因此，p^2 是偶数，那么 p 也是偶数。可以令 p = 2k，其中k 是整数。那么可以得到 (2k)^2 = 2q^2 4k^2 = 2q^2 2k^2 = q^2 因此，q^2 是偶数，那么 q 也是偶数。这与初的假设矛盾，因为 p 和 q 是互质的整数，所以根号2不可能是有理数，它是无理数。 反证法的例子证明存在无限多个质数 。那么可以得到 由于 N 不是质数，那么可以分解为两个整数的乘积 N = a × b 中的质数。不妨设 a 不是质数，那么可以分解为两个整数的乘积 a = c × d 那么可以得到 N = (c × d) × b 中任何一个质数的数，那么可以得到 任何一个质数，那么它一定是一个新的质数。这与最初的假设相矛盾，所以有无穷多个素数。 假设和推理在数学中的重要性
构造方程证明根号无理数
构造方程证明根号无理数 安徽省肥东县第二中学 朱永见 (邮编：231600) 我们知道:如果整系数方程 a n x n +a n-1x n-1+…+a 1x+a 0=0(a n ≠0)有有理根p q ，(p 、q 是互质整数)那么,q 一定是a 0的约数,p 一定是 a n 约数. 现在我们利用这个性质来证明根号无理数. 例1. 求证:52是无理数. 证明: 设x=52 ,则有x 5－2=0, ∴ x=52 是方程 x 5－2＝0的一个根. 又根据上述性质,方程x 5－2=0的有理根只可能是:±2、±1 ,分别代入原方程验证,皆不是原方程的根。 ∴ x=52 不是此方程的有理根 ∴ 52 是此方程的一个无理根， ∴. 52是一个无理数。 例2 求证:12433++是无理数. 证明:先证明3324+是无理数 设x= 3324+ 两边同时立方，得： x 3= 4+3·34· 32（3324+）＋2 即:x 3=6+6x ∴ x 3－6x －6=0
∴x=3 32 4+是方程x3－6x－6=0 的一个根. 而此方程有有理根的话，只可能为±1、±2 、±3、±6，经验证，这些都不是此方程的根。 ∴x=3 32 4+是此方程的无理根 ∴. 3 32 4+是一个无理数 ∴1 43 2 3+ +是无理数. 通过上面两例可知,构造方程证明根号无理数可按如下步骤来进行: １．找出一个整系数方程，使待证的无理数是此方程的根。 ２．列出此方程所有可能的有理根，再逐一代入原方程进行验证，如果此方程没有有理根，则说明待证的数就是无理数，如果方程有有理根的话，再证明待证数和不等于这些有理根从而说明待证数是无理数。