有关有理数与无理数的证明
有关有理数与无理数的证明
狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式
本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明
√2代表根号2
证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程
前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0)
2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数
3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数
命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数
证明：假设命题不成立
设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数
X为任意无理数
则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)
X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾
故假设不成立，命题1成立
命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数
证明：假设命题不成立
设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数
X为任意无理数
则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0)
X=(p*m)/(q*n)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾
故假设不成立，命题2成立
命题3：√2为无理数
证明：假设命题不成立
则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)
2=(p*p)/(q*q)
则p必须是偶数
∵p/q是既约分数
∴q是奇数
∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)
∵2*q*q=p*p
∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n ∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立
故假设不成立，命题3成立
命题4：任何有限小数都是有理数
证明：显而易见~~
下面进入本证明的关键部分
首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function）
f(x)= 1(x为有理数)
0(x为无理数)
命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数证明：设p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设p/q ＜m/n
则m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数
设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq)
则0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq)
p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n
根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数
∴命题5成立
命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数
证明：设X,Y为任意两个无理数，且X＜Y
将X,Y写成小数形式，从最高位开始比较两个数
直到找到一位X,Y不一样的位数，那一位上的数必然是X＜Y 去掉Y在那一位以后的所有位，得到一个有限小数，记为Z 显而易见X＜Z＜Y
Z为有理数，命题6成立
根据命题5、6，
任意有理数都不连续，
任意无理数也都不连续，
根据前提3，
则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续
6、用反证法证明根号3是无理数：
1、假设(√3)是有理数。 ∵ 1＜3＜4 ∴(√1)＜(√3)＜(√4) 即：1＜(√3)＜2 ∴(√3)不是整数. ∵整数和分数也统称为有理数，而(√3)不是整数。 ∴在假设“(√3)是有理数”的前提下，(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。此时假设(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除 1 外再无公因数)。 两边平方，得：m² / n² = 3 ∴m² 是质数 3 的倍数。 我们知道，如果两个数的乘积是 3 的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3 的倍数。 ∴由“m² (m 与 m 的乘积) 是质数 3 的倍数”得：正整数 m 是 3 的倍数。 此时不妨设 m = 3k(k 为正整数) 把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得：(9k²) / n² = 3 ∴3k² = n² 即：n² / k² = 3 对比“m² / n² = 3“ 同理可证
正整数 n 也是 3 的倍数。 ∴正整数 m 和 n 均为 3 的倍数。 这与“m、n 均为正整数且互质”相矛盾。 意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论。 ∴原假设“(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除 1 外再无公因数)”是不成立的。 ∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数。 而已证(√3) 不是整数。 ∴(√3) 既不是整数也不是分数，即(√3) 不是有理数。 ∴(√3) 是无理数。 2、假设根号3 是有理数。 有理数可以写成两个整数的比。 且经过有限次约分后成为最简分数，即分子分母互质。 设根号3=p/q p 和 q 都是整数且互质。 两边平方 3=p^2/q^2 p^2=3q^2 则 p^2 能被 3 整除。 所以 p 也能被 3 整除。 设 P=3m 9m^2=3q^2
有关有理数与无理数的证明
有关有理数与无理数的证明 狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式 本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明 √2代表根号2 证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程 前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数 3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数 命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数 X为任意无理数 则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题1成立 命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数 则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题2成立 命题3：√2为无理数 证明：假设命题不成立 则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2=(p*p)/(q*q) 则p必须是偶数 ∵p/q是既约分数 ∴q是奇数 ∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z) ∵2*q*q=p*p ∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n ∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立 故假设不成立，命题3成立 命题4：任何有限小数都是有理数 证明：显而易见~~ 下面进入本证明的关键部分 首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function） f(x)= 1(x为有理数) 0(x为无理数) 命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数证明：设p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设p/q ＜m/n 则m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数 设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq) 则0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq) p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n 根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数 ∴命题5成立 命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数
有关有理数与无理数的证明
狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式 本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明 √2代表根号2 证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程 前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数 3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数 命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数 X为任意无理数 则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题1成立 命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数 则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题2成立 命题3：√2为无理数 证明：假设命题不成立 则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2=(p*p)/(q*q) 则p必须是偶数 ∵p/q是既约分数 ∴q是奇数 ∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)
证明无理数比有理数多
证明无理数比有理数多 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
证明：无理数比有理数多 证明之前需要清楚以下几个概念和定义。 1、有理数包含整数和分数，任意一个有理数可以化成a/b，a、b为整数且b不等于0 2、无理数是无限不循环小数，是一切不属于有理数的实数。 3.证明两个数集一样多可以用一一对应的方法。可数集合是指能和自然数一一对应的集合。 例如偶数 2 4 6 8 10…… 自然数1 2 3 4 5 6 7 8…… 任意一个自然数n，都可以有偶数2n与之对应。 所以整数与偶数一样多。偶数集是一个可数集合。 --------------------------------------------------------------------------------------- 首先证明，任意两个可数集的合集仍为可数集。 设集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B集合均为可数集合 也就是 A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ... 分别与自然数相对应 1 2 3 ... 1 2 3 ... 则AB合集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...} 可与自然数一一对应 a1 b1 a2 b2 a3 b3 ... 1 2 3 4 5 6 ... 所以两个可数集的合集是可数集。
下面证明有理数是可数集，也就是有理数和自然数一样多。 有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b) 因为a为整数，b为不为0的整数，所以a、b都是可数的。 设a=1,则可以得到新的集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...} 因为b是可数的，所以Ca集合也是可数的。 设b=1,得到集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...} 同上，Cb也是可数集合。 根据前一证明，两个可数集的合集可数，所以Ca与Cb的合集C为可数集合，即有理数为可数集，所以有理数和自然数一样多。 然后证明，实数集是不可数的。 设一个无理数H=.... ,a,b,c,d,e,f,g,h..是1-8间的正整数。 假设a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,... 则 假设0和1间的所有实数是可数的。 设它的集合X={x1,x2,x3,...} x1 x2 x3 x4 x5 .... 1 2 3 4 5 .... 设a和x1小数点第一位不同 b和x2的小数点第一位不同
证明√2是无理数反证法
证明√2是无理数反证法 反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。在证明√2是无理 数时，我们也可以运用反证法来进行证明。 首先，我们假设√2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，且这两个整数没有公因数。假设√2可以表示为a/b，其中a和b是整数，且 a和b没有公因数。 根据这个假设，我们可以得到以下等式：√2 = a/b。将等式两边平方，得到2 = (a/b)²，即2b² = a²。 由此可知，a²是2的倍数，因此a也是2的倍数。假设a = 2c，其中 c是整数，代入上述等式，得到2b²= (2c)²，即2b²= 4c²。进一步简化，得到b² = 2c²。 同样地，根据上述等式，我们可以得出结论，b也是2的倍数。这 意味着a和b都是2的倍数，与我们一开始的假设矛盾。 因此，我们可以得出结论，假设√2是有理数的假设是错误的。√2 不是有理数，即√2是无理数。 通过反证法，我们证明了√2是无理数。这个证明方法的关键在于假设√2是有理数，然后通过推导得到矛盾的结论，从而证明了假设的错误。这种方法在数学证明中非常常用，可以用来证明很多数学命题。
在实际应用中，√2的无理性证明有着重要的意义。它不仅仅是一个数学问题，更是对我们思维方式的挑战。通过这个证明，我们可以看到数学的严谨性和逻辑性，也可以培养我们的逻辑思维能力。 总之，通过反证法，我们成功地证明了√2是无理数。这个证明方法不仅仅适用于√2，还可以应用于其他数学问题的证明中。通过不断运用这种方法，我们可以更好地理解数学的本质，提高我们的数学思维能力。
判断无理数的四个方法
判断无理数的四个方法 无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，它的小数部分无限不循环。在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数。下面将介绍四种常见的方法来判断一个数是否为无理数。 方法一：反证法 反证法是一种常用的数学证明方法，用于证明某个命题的否定。对于判断一个数是否为无理数，我们可以采用反证法。假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值。然后我们推导出一个矛盾的结论，即这个数同时也可以表示为两个互质的整数的比值。因为有理数可以化简为最简形式，所以这个假设与无理数的定义相矛盾，从而证明了这个数是无理数。 方法二：连分数展开法 连分数是一种将一个实数表示为一个无限连分数的方法。对于一个无理数来说，它的连分数展开是无限不循环的。因此，我们可以通过计算连分数展开的有限项来判断一个数是否为无理数。如果连分数的展开具有循环结构，那么这个数就是有理数；如果连分数的展开没有循环结构，那么这个数就是无理数。 方法三：代数证明法
有些无理数可以通过代数方程的解来表示，这种无理数称为代数无理数。对于一些特定的代数无理数，我们可以通过代数运算和方程的性质来判断它们是否为无理数。例如，根号2是一个代数无理数，我们可以通过假设根号2是有理数，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 方法四：几何证明法 几何证明法是通过几何图形的性质来判断一个数是否为无理数。例如，我们可以通过构造正方形的对角线长度为1的等腰直角三角形来证明根号2是无理数。假设根号2是有理数，那么我们可以构造出一个边长为1的正方形，然后根据勾股定理可以得到对角线的长度为根号2。但是根号2是无理数，所以我们得出了一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。 通过以上四种方法，我们可以判断一个数是否为无理数。无理数的研究在数学中有着重要的地位，它不仅与代数、几何等数学分支密切相关，还在物理、工程等应用领域有着广泛的应用。因此，对于无理数的判断方法的研究和应用具有重要的意义。通过不断研究和探索，我们可以更深入地理解无理数的性质和特点。
经典证明——几乎所有有理数都是无理数的无理数次方
经典证明：几乎所有有理数都是无理数 的无理数次方 一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有： 我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。 这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设α和β都是代数数，如果α不等于 0 和 1 ，并且β不是有理数，那么α的β次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。 那么，是否存在一个无理数 a ，使得 a 的 a 次方是有理数呢？最近， Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有(1, ∞) 里的有理数都是某个无理数 a 的 a 次方。 注意到当 x 大于 1 时，函数 f(x) = x x是连续单调递增的，因而对于所有(1, ∞) 里的有理数 r ，一定存在唯一的 a ，使得 a a= r 。不妨假设 a 是一个有理数，它的最简分数形式是 n / m 。如果 m = 1 ，那么我们会有平凡解n n = r 。下面我们证明， m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。 假设有理数 r 的最简分数形式是 c / b ，于是我们有： (n / m)n / m = c / b 或者说： n n· b m = m n· c m 注意到， m n是 n n· b m的约数。然而， m 和 n 是互质的， m n与 n n没有公共因子，因而 m n一定是 b m的约数。同理， b m是 m n· c m的约数，但由
有理数无理数
有理数无理数 有理数与无理数 一、专题简析 理解两个数学概念，在学习数学概念的同时了解一些数学史知识，深化概念的认识，能依据概念进行分析判断，根据概念自觉发现结论并解决一些问题。二、阅读与探究 数学上，有理数是指一大类数，这个名称经过以讹传讹，已经积非成是了，较恰当的称呼为“可比数”，凡是能精确表示为一个整数a 和一个正整数b 的比的数都是有理数，例如3/8，17/9，0也是有理数，整数也可以看作是分母为1的分数。0.4, 0.1111…，0.313131… 是有理数，因为0.4=2/5, 0.1111…=1/9，0.313131…=31/99,小数部分是有限的或是无限循环的数都是有理数，分数都是有理数，分数本身就是一种比的记法。 有限小数都可以看作是分母是整十、整百、整千、整万……的分数； 无限循环小数都可以等值于一对整数的比，而且可以找到唯一的一对互质的整数。读后归纳：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数。 对应的，还有一类数叫无理数，凡是不能精确表示为一个整数a 和一个正整数b 的比的数都是无理数（其实应该称作“不可比数”更恰当），无理数的典型特征是小数部分是无限不循环的。依据材料解决问题 1、分别将下列数写成两个互质的整数比（写出分数形式） 13, 5，0.25，3.14，0.024，0.33333…… ，2.11111……，0.245245245245245…… ，? 325.0 归纳： 变式：0.033333…… ，? 532.0 如果表示？ 2、7
15 是无理数吗？将它化成小数形式 3、这些数！ ，，！！41 31211101!21 !11!011101+++++ ++ 都是有理数吗？ 4、①当n=10, 100, 1000时，！！ n 1 31211101+++++ 其和是有理数吗？ ②当n 趋向于无穷大时，n 131211101+++++ 其和还是有理数吗？ 5、无理数“三剑客”——)71828.2( e ） （），（，4142135623.121415926535.3∏ 当n 趋向无限时，1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+…… =∑1/(n!) = e, n ∈N （记住：∑是连加符号，N 用来表示自然数集合） ② 圆周率（Pi 读作p ài ）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数（约等于3.141592654）。π也等于圆的面积与边长为圆半径的正方形面积之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状数值的关键值。
经典证明：几乎所有有理数都是无理数的无理数次方
一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有： 我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。 这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设α 和β 都是代数数，如果α 不等于0 和1 ，并且β 不是有理数，那么α 的β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。 那么，是否存在一个无理数a ，使得a 的a 次方是有理数呢？最近，Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有(1, ∞) 里的有理数都是某个无理数a 的 a 次方。 注意到当x 大于1 时，函数f(x) = x x是连续单调递增的，因而对于所有(1, ∞) 里的有理数r ，一定存在唯一的a ，使得a a = r 。不妨假设a 是一个有理数，它的最简分数形式是n / m 。如果m = 1 ，那么我们会有平凡解n n = r 。下面我们证明，m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。 假设有理数r 的最简分数形式是c / b ，于是我们有： (n / m)n / m = c / b 或者说： n n · b m = m n · c m 注意到，m n是n n · b m的约数。然而，m 和n 是互质的，m n与n n没有公共因子，因而m n一定是b m的约数。同理，b m是m n · c m的约数，但由于b
无理数加无理数等于有理数的例子
无理数加无理数等于有理数的例子 无理数是指不能表示成两个整数之比的实数，例如π和根号2。无 理数的特点是无限不循环的小数。而有理数则是可以写成两个整数之 比的实数。有理数的特点是可以表示成有限小数或循环小数。那么， 无理数加无理数是否一定等于无理数呢？本文将为大家解答这个问题，并举出有关的例子。 无理数加无理数等于有理数的例子： 1. √2+(-√2)=0 这个例子很容易理解。根号2和负根号2相加等于0，而0是一个有理数。因此，√2和-√2的和是一个有理数，即0。 2. π+(-π)=0 π是又称圆周率，它是指圆的周长与直径之比，在几何学中十分重要。π是一个无理数，它的小数部分是无限不循环的。如果π和它的相反数-π相加，则等于0，而0是一个有理数。因此，π和-π的和同样是一个 有理数。 3. √3+(-√3)=0 √3是指3的正平方根，也是一个无理数。-√3是指3的负平方根，也是
一个无理数。它们的和等于0，而0是一个有理数。 4. √5+(-√5)=0 在几何学和代数学中，根号5是一个重要的值。它是黄金比例的平方根。如果根号5和负根号5相加，则得到0，而0是一个有理数。 结论： 可以看到，上述四个例子证明了无理数加无理数可能等于有理数。虽然这并不意味着所有的无理数加无理数都等于有理数，但至少可以证明这是有可能发生的。它的原因是，两个无理数可能会互相抵消，从而得到有理数。然而，这种情况并不是很常见。在大多数情况下，无理数加无理数仍然等于无理数。 总结： 无理数加无理数等于有理数的例子虽然存在，但它们不是很常见。通常，无理数加无理数仍然等于无理数。无理数和有理数的加减有时候会涉及到复杂的运算，需要用到更高级的数学知识。希望这篇文章能够为大家介绍无理数和有理数的加减，让读者对这个问题有了更深入的了解。
谈谈有理数与无理数
谈谈有理数与无理数 实数通常分为有理数和无理数两类。这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。 关于有理数，我们知道得较多，其特征有： 1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数； 2、每个有理数都可以写成分数的形式，即n m ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。 我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数n m 的分母n 能分解质因数为2α³5β（其中α、β为自然数）时，有理数n m 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22 =1。 根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用： 1、任何有理数≠任何无理数； 2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ²b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。 下面着重介绍实数无理性的判定方法。 在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。 判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数 的关系，α就是有理数，故α=n m （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。下面我们介绍几种常见的初等方法，主要适用于前三类无理数的判定。 一、利用整数的性质 整数特别是整数的奇偶性在判定实数的无理性方面起着重要的作用。
有理数无理数
有理数与无理数 一、专题简析 理解两个数学概念，在学习数学概念的同时了解一些数学史知识，深化概念的认识，能依据概念进行分析判断，根据概念自觉发现结论并解决一些问题。 二、阅读与探究 数学上，有理数是指一大类数，这个名称经过以讹传讹，已经积非成是了，较恰当的称呼为“可比数”，凡是能精确表示为一个整数a 和一个正整数b 的比的数都是有理数，例如3/8，17/9，0也是有理数，整数也可以看作是分母为1的分数。 0.4, 0.1111…，0.313131… 是有理数，因为0.4=2/5, 0.1111…=1/9，0.313131…=31/99,小数部分是有限的或是无限循环的数都是有理数，分数都是有理数，分数本身就是一种比的记法。 有限小数都可以看作是分母是整十、整百、整千、整万……的分数； 无限循环小数都可以等值于一对整数的比，而且可以找到唯一的一对互质的整数。 读后归纳：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数。 对应的，还有一类数叫无理数，凡是不能精确表示为一个整数a 和一个正整数b 的比的数都是无理数（其实应该称作“不可比数”更恰当）， 无理数的典型特征是小数部分是无限不循环的。 依据材料解决问题 1、分别将下列数写成两个互质的整数比（写出分数形式） 13, 5， 0.25， 3.14， 0.024， 0.33333…… ，2.11111……， 0.245245245245245…… ，• •325.0 归纳： 变式： 0.033333…… ，••532.0 如果表示？ 2、7 15是无理数吗？将它化成小数形式
3、这些数！ ！！！！，，！！4131211101!21!11!011101+++++++都是有理数吗？ 4、①当n=10, 100, 1000时，！！！！！n 1 31211101+++++ 其和是有理数吗？ ②当n 趋向于无穷大时，！！！！！n 131211101+++++ 其和还是有理数吗？ 5、无理数“三剑客”——)71828.2( e ）（），（， 4142135623.121415926535.3∏ 当n 趋向无限时，1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+…… =∑1/(n!) = e, n ∈N （记住：∑是连加符号，N 用来表示自然数集合）