无理数的证明

/(,)p q p q 互质。

2222213=/,=3.33.,1,p q p q q q k p q p q 则即由此式可知p=3k,带回原式可知是的倍数,则记为进而可知的公因数并不为,也就是说不会素,这与题设

6、用反证法证明根号3是无理数:

1、假设(√3)是有理数。 ∵ 1<3<4 ∴(√1)<(√3)<(√4) 即:1<(√3)<2 ∴(√3)不是整数. ∵整数和分数也统称为有理数,而(√3)不是整数。 ∴在假设“(√3)是有理数”的前提下,(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。此时假设(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质,二者不能再约分,即二者除 1 外再无公因数)。 两边平方,得:m² / n² = 3 ∴m² 是质数 3 的倍数。 我们知道,如果两个数的乘积是 3 的倍数,那么这两个数当中至少有一个数必是3 的倍数。 ∴由“m² (m 与 m 的乘积) 是质数 3 的倍数”得:正整数 m 是 3 的倍数。 此时不妨设 m = 3k(k 为正整数) 把“m = 3k” 代入“m² / n² = 3” ,得:(9k²) / n² = 3 ∴3k² = n² 即:n² / k² = 3 对比“m² / n² = 3“ 同理可证

正整数 n 也是 3 的倍数。 ∴正整数 m 和 n 均为 3 的倍数。 这与“m、n 均为正整数且互质”相矛盾。 意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论。 ∴原假设“(√3) = m/n(m、n 均为正整数且互质,二者不能再约分,即二者除 1 外再无公因数)”是不成立的。 ∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数。 而已证(√3) 不是整数。 ∴(√3) 既不是整数也不是分数,即(√3) 不是有理数。 ∴(√3) 是无理数。 2、假设根号3 是有理数。 有理数可以写成两个整数的比。 且经过有限次约分后成为最简分数,即分子分母互质。 设根号3=p/q p 和 q 都是整数且互质。 两边平方 3=p^2/q^2 p^2=3q^2 则 p^2 能被 3 整除。 所以 p 也能被 3 整除。 设 P=3m 9m^2=3q^2

证明圆周率π是无理数很容易?人类花了2000年!

证明圆周率π是无理数很容易?人类花了2000年! 我在之前制作的视频中,多次谈到了圆周率π。比如,我介绍过阿基米德和刘徽计算圆周率的方法——割圆术,还谈到了蒲丰利用一根针计算圆周率的方法——蒲丰投针实验。人类使用和计算圆周率已经有了数千年的历史,可是了解圆周率的数学性质其实是最近二三百年的事情。最初人们总是希望能够计算出圆周率的准确值,写成一个分数或者有限小数的形式,可是数千年来的一次次的努力都失败了。 直到两百多年前,数学家们才证明了圆周率是一个无理数(无限不循环小数),是不可能用有限小数或者分数写出来的。可是,你知道这个命题如何证明吗?这回我们就来讨论一下。 一.有理数和无理数 我们首先来复习一下基础概念:什么是无理数?初中时候我们学习过数轴,数轴上面密密麻麻布满了点,有的点是整数,有的点不是整数,但是每一个点就对应了一个数,这个数叫做实数。实数与数轴上的点一一对应。 数轴 我们可以把实数分成两类:有理数和无理数。有理数是那些可以写成两个整数的比的数,例如:1,2,1/3,0.25(=1/4),0.929292…(=92/99)...... 这些数字要么本身是整数,要么等于两个整

数的比,所以都是有理数。有时候,我们又把有理数分为三种,分别是整数、有限小数和循环小数。有理数有无穷多个,但是我们其实可以把有理数一个一个排列起来,所以有理数的个数其实是与自然数一样多的,这一点我在精读《从一到无穷大》的专栏中说到过证明。 数轴上除了有理数外,其余的数字叫做无理数——无理数不能写成两个整数的比,它们是无限不循环小数。例如圆周率π=3.1415926…… 自然对数的底e=2.71828…… 2的平方根√2=1.414…… … 无理数有无穷多个,而且无理数没有办法一个一个排列起来,它的个数比有理数多得多。 实数的分类 现在我们已经复习完了有理数和无理数的概念。要证明一个数字是有理数很简单:只要把这个数字表示成两个整数的比就行了。但是要证明一个数字是无理数,就要证明它不能表示成两个整数的比,数学上如何去证明一件事情不可能呢?这就需要用到一种数学方法——反证法了。 二. 反证法 反证法的原理是:我们要证明一件事不可能,就首先假设这件事可能,然后推导出矛盾的结果,于是就证明了它不可能。例如:我们可以通过反证法证明√2是一个无理数。 求证:√2是一个无理数

证明根号2为无理数的方法

试证明2是无理数. 证明:易知2是方程022=-x 的一个根,设它有有理根,a b 即)0(2≠=a a b 先证明一个引理:若整系数方程:0...02211=+++++--a ax x a x a x a n n n n )0(0≠⋅a a n 有有理根p q 0(≠pq 且q p ,互质),则有: p a n ,q a 0. 证明:把p q x =代入原方程,得: 0 (02) 211=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a p q a p q a p q a p q a n n n n ,两边同乘n p ,得: .00...0122211== +++++----n n n n n n n n p p a aqp p q a p q a q a 那么,由于0≠p ,所以一定有0p ,那么一定有: ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a p +++++---- 由于n p p p ,...,,2都满足被p 整除,那么有:n n q a p ,又因1),(=q p ,所以有: .n a p 同理,由于0≠q ,所以一定有0q ,那么一定有: ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a q +++++---- 由于n q q q ,...,,2都满足被q 整除,那么有:n p a q 0,又因1),(=q p ,所以有: q a 0. 回到原命题,由于0)2(1≠-⨯,1)2,1(=-,所以方程022=-x 的有理根 a b 满足: 1a ,2-b .22,1±=⇔ ±=±=⇔a b b a 经检验,2±都不是方程022=-x 的根,那么022=-x 无有理根,即2为无理数. ...D E Q

(完整word版)证明根号2是无理数的八种方法

怎样证明2是一个无理数 2是一个非常著名的无理数,第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后,唤醒的却是数学家们对数的重新认识,实数的概念开始确立,在此意义上讲,2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数,我们可以把它看作一根“晾衣绳”,上面挂着许多有趣的方法,值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数,从而体会这一点. 证法1:尾数证明法.假设2是一个有理数,即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1,且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个,因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =,所以2a 与22b 的尾数都是0,因此2b 的尾数只能是0或5,因此a 与b 有公因数5,与(a,b )=1矛盾!因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2:奇偶分析法.假设2=b a .其中(a, b )=1,且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数,设a =2 c ,则2224b c =,222c b =,可知b 也是偶数,因此a 、b 都是偶数,这与(a,b )=1矛盾!因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数,动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌,希帕索斯因此葬身海底. 证法3:仿上,得到222b a =,易见b >1,否则b=1,则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ?=22.因为b >1,因此b 有素因子p ,因此p 整除2 a 或a ,总之,p 整除a ,因此p 同时整除a 与 b ,这与(a,b )=1矛盾. 证法4:仿上,得到222b a =,等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=,因为b >1,因此存在素因子p ,p 整除a+b 或a-b 之一,则同时整除a+b 与a-b ,因此p 整除a ,因此p 是a 、b 的公因数,与(a,b )=1矛盾. 证法5:利用代数基本定理,如果不考虑素因子的顺序,任何一个正整数都可以唯一地 写成素数幂的积的形式,因此m r m r r p p p a Λ2121=,n s n s s q q q b Λ2121=,其中m p p ,,1Λ与n q q ,,1Λ

证明√2是无理数反证法

证明√2是无理数反证法 反证法是一种常用的数学证明方法,它通过假设所要证明的命题为假,然后推导出矛盾的结论,从而证明原命题为真。在证明√2是无理 数时,我们也可以运用反证法来进行证明。 首先,我们假设√2是有理数,即可以表示为两个整数的比值,且这两个整数没有公因数。假设√2可以表示为a/b,其中a和b是整数,且 a和b没有公因数。 根据这个假设,我们可以得到以下等式:√2 = a/b。将等式两边平方,得到2 = (a/b)²,即2b² = a²。 由此可知,a²是2的倍数,因此a也是2的倍数。假设a = 2c,其中 c是整数,代入上述等式,得到2b²= (2c)²,即2b²= 4c²。进一步简化,得到b² = 2c²。 同样地,根据上述等式,我们可以得出结论,b也是2的倍数。这 意味着a和b都是2的倍数,与我们一开始的假设矛盾。 因此,我们可以得出结论,假设√2是有理数的假设是错误的。√2 不是有理数,即√2是无理数。 通过反证法,我们证明了√2是无理数。这个证明方法的关键在于假设√2是有理数,然后通过推导得到矛盾的结论,从而证明了假设的错误。这种方法在数学证明中非常常用,可以用来证明很多数学命题。

在实际应用中,√2的无理性证明有着重要的意义。它不仅仅是一个数学问题,更是对我们思维方式的挑战。通过这个证明,我们可以看到数学的严谨性和逻辑性,也可以培养我们的逻辑思维能力。 总之,通过反证法,我们成功地证明了√2是无理数。这个证明方法不仅仅适用于√2,还可以应用于其他数学问题的证明中。通过不断运用这种方法,我们可以更好地理解数学的本质,提高我们的数学思维能力。

证明根号3是无理数的5种方法

证明根号3是无理数的5种方法 根号3是一个十分重要的无理数,它不仅在传统数学中有着非常重要的意义, 而且,在现今的先进数学理论中也是至关重要的一个概念。鉴于其重要性,这里提出了五种不同的方法来证明根号3是无理数。 首先,我们可以按照判断无理数根据:即当一个数字不可以表示为永远不可循 环的有限小数来证明根号3是无理数。显然,根号3Α是一个不可循环的数,因此它只能表示为无限长小数。而无限长小数也正是无理数的定义基础。 其次,我们可以根据结构界定法来证明该数字的无理性。显然,根据现存的数 论定义,根号3Α大于任何可表达的有理数的四次方,且四次方之前没有一个实数能够近似根号3Α。 第三,我们可以采用数学归纳法来证明根号3是无理数。简单来讲,归纳法就 是对已知结论进行推导,然后再把推导出的结论进行校验,并最终从结果中得出结论。因此,我们可以基于有理数的四次方不能够大于根号3的原理,把所有的实数进行纳入归纳,以至于可以证明根号3是一个无理数。 第四,采用数学归纳法并更进一步可以得出根号3的近似值,从而证明它的无 理性。需要说明的是,无理数的近似值是指,使用限定精度的有理数来近似无理数,以致于在某一精度极限内,其误差可以忽略不计。也就是说,我们可以使用近似方法来证明无理数的存在,而近似到根号3Α也是一个很好的例子。 最后,我们也可以利用数论语言论法来证明根号3Α无理数的性质。根据数论 语言论操作和发明的事实上无限的概念,我们可以证明根号3Α大于实数和有理数的所有四次方的值,因此,我们可以说,该数字是一个无理数。 综上所述,本文提出了五种不同的方法以证明根号3是无理数。根据判断无理 数的标准,基于结构界定法,数学归纳法以及数论语言论法,我们可以证明根号 3Α不能被有理数表示,因此它是一个无理数。

令人称奇的简单证明:五种方法证明根号2是无理数

令人称奇的简单证明:五种方法证明根号2是无理数 全世界只有3.14 %的人关注了 数据与算法之美 如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数? 古希腊曾有“万物皆数”的思想,这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间,许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”,“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天,毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他,单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们公认的假设被推翻了,大半命题得证的前提被认定是错的,古希腊时代的数学大厦轰然倒塌,数学陷入了历史上的第一次危机。最后,Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是,为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。 单位正方形的对角线长度怎么算呢?从上面的这个图中我们可以看到,如果小正方形的面积是1的话,大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说,Hippasus 认为不可能存在某个整数与整数之比,它的平方等于2。 中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数,当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到,这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟,数学上竟然有这等诡异的证明。 当然,我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有

根号、无理数之类的说法。我们只能说,我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道:假设p/q已经不能再约分了,那么p^2=2*q^2,等式右边是偶数,于是p必须是偶数。p是偶数的话,p^2就可以被4整除,约掉等式右边的一个2,可以看出q^2也是偶数,即q是偶数。这样,p也是偶数,q也是偶数,那么p和q就还可以继续约分,与我们的假设矛盾。 根号2是无理数,我们证明到了。根号3呢?根号5呢?你可能偶尔看到过,Theodorus曾证明它们也是无理数。但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到,Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问:怪了,为什么证到17就不证了呢?一个俄国的数学历史家“猜”到了原因。 他猜测,当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的。比如,要证明根号x不是有理数,于是p^2=x*q^2。我们已经证过x=2的情况了,剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分,那么显然p和q都是奇数。一个奇数2n+1的平方应该等于4(n^2+n)+1,也即8 * n(n+1)/2 + 1,其中n(n+1)/2肯定是一个整数。如果p=2k+1,q=2m+1,把它们代进p^2=x*q^2,有8[k(k+1)/2 – x*m(m+1)/2] = x-1。于是x-1必须是8的倍数。如果当时Theodorus是这么证明的,那么他可以得到这样一个结论,如果x-1不能被8整除,那么它不可能被表示成(p/q)^2。好了,现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数,它们的平方根一定不是有理数。在x=9时发生了一次例外,但9是一个平方数。而当x=17时这种证明方法没办法解释了,于是Theodorus就此打住。 实际上,我们上面说的这么多,在古希腊当时的数学体系中是根本不可能出现的。毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来,它们掌握的只是纯粹的几何。因此,Hippasus当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西。事实上,Hippasus当时完全运用的平面几何知识来证明他的结论。有人觉得奇怪了,既然当时没有代数,古希腊人是怎么提出“所有数都可以表示

根号3是无理数的证明过程

根号3是无理数的证明过程 根号3是无理数的证明过程 在数学中,我们经常遇到有理数和无理数的概念。有理数是可以 用两个整数的比值表示的数,例如1/2、3/4等等,而无理数则不能用 有限的小数或者比值来表示。本文将就根号3是否为无理数进行证明,让我们一起来看看吧。 首先,我们需要先了解一个重要的数学定理,即平方根的存在性 定理。该定理指出,任何非负实数都存在一个平方等于它自己的实数,这个实数就是平方根。基于该定理,我们可以断言,根号3存在,且 大于0。 假设根号3是一个有理数,即可以用两个整数的比值来表示。我 们可以将根号3表示为a/b(a、b为整数),并且已将其化简至最简 形式。我们可以假设a和b之间没有公因数,即a和b互质。 根据我们的假设,可得出以下等式:根号3 = a/b。我们可以对该等式进行平方变换,得到:3 = (a^2)/(b^2)。同时,我们还可以得知,a和b不能同时为偶数,否则可以继续化简。 根据上述等式,我们可以推断出a^2为3的倍数,即a^2 = 3k(k 为整数)。进一步推导,我们知道a也必然为3的倍数,即存在一个 整数r,使得a = 3r。

将上述结果代回等式,我们可以得到:(3r)^2 = 3k。即9r^2 = 3k。简化得到3r^2 = k。这就表明k也是3的倍数。 经过前面的推论,我们可以得出结论,a和b都是3的倍数。然而,这一结论与我们最初的假设相矛盾,即a和b之间没有公因数。因此,我们的假设是错误的,根号3不是有理数。 综上所述,我们可以得知根号3是无理数。通过对根号3进行推 导和推理,我们可以看到,根号3无法用有限的小数或者比值来表示,从而证明了根号3的无理性。这个证明过程不仅让我们更深入地理解 了无理数的概念,同时也为我们在其他数学问题的解决过程中提供了 指导。

根号3是无理数的证明过程

根号3是无理数的证明过程 1. 引言 在数学中,无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。根号3是一个著名的无理数,证明其为无理数一直以来都是数学领域中备受关注和研究的问题。本文将详细介绍根号3是无理数的证明过程。 2. 整数平方根的性质 在开始证明之前,我们首先需要了解一些关于整数平方根的性质。对于任意一个正整数n,如果存在一个正整数m,使得m^2 = n,则我们称m为n的平方根。如果 一个正整数n没有整数平方根,我们称其为无平方因子。 3. 假设根号3是有理数 现在假设根号3是有理数,并将其表示为p/q,其中p和q是互质的正整数。 4. 根号3的平方等于3 由于根号3定义为一个实际存在的量,所以它的平方必然等于3。 (p/q)^2 = 3 对上式进行化简得: p^2 = 3q^2 这意味着p^2能被3整除。 5. p^2能被3整除 根据整数平方根的性质,如果一个正整数的平方能被3整除,那么这个正整数本身也能被3整除。 假设p不能被3整除,即p = 3k + 1或p = 3k + 2(其中k是一个非负整数)。 将这两种情况分别代入上式: (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 (3k + 2)^2 = 9k^2 +12k + 4 可以发现,无论哪种情况,右侧的结果都不能被3整除。因此,我们可以得出结论:如果p^2能被3整除,则p也能被3整除。

6. p和q均能被3整除 由于p^2能够被3整除,根据上一步的推导,我们知道p也能够被3整除。那么我们再来证明q也是同样的结论。 假设q不能被3整除,即q = 3m + 1或q = 3m + 2(其中m是一个非负整数)。将这两种情况分别代入原始假设: (p/(3m+1))^2 = (9m^2+6m+1)/9 (p/(3m+2))^2 = (9m^2+12m+4)/9 可以发现,无论哪种情况,右侧的结果都不能被整数9整除。因此,我们可以得出结论:如果p^2能被3整除,则q也能被3整除。 7. p和q均能被3整除的矛盾 根据上一步的推导,我们知道p和q均能被3整除。然而,这与我们最初的假设矛盾,即p和q是互质的正整数。因此,我们可以得出结论:根号3不可能是一个有理数。 8. 结论 综上所述,根号3是一个无理数。证明过程主要依赖于对整数平方根性质的运用以及对假设进行推导和分析。这个结论在数学中具有重要意义,并且为后续相关问题的解决提供了基础。 注意:本文中使用了Markdown格式进行排版,以使内容更加清晰易读。

一类无理数的算术定理证明及性质

一类无理数的算术定理证明及性质 关于 0.9˙=1 初等数学证明有很多,但是依旧挡不助大家对它的怀疑。其实 0.9˙=1 本质是一个定义问题,根本在于当前的实数是通过极限定义的,所以 0.9˙=limn→∞0.999…9⏞n=1 所有基于四由运算的证明方式,都是在实数定义的基础上的推导。比如 0.9˙=0.3˙×3=13×3=1 必须依赖 0.3˙=limn→∞0.333…3⏞n=13 但是,基于定义的证明其实无法证明定义是否正确,只是证明定义是否自洽。不同的是,根据反证法,基于定义推导出矛盾却能证明定义的错误。所以本文将利用反证法证明 0.9˙=1 是错误的。 一、实数的构造 现在我们已经有了多种实数理论,比如戴德金分割法、柯西序列法、魏尔斯特拉斯十进制小数模型等。虽然几种不同的方法建立起来的实数的形式不同,但相互之间其实是同构的。本文主要对戴德金分割法、柯西序列法进行分析。 1.1 戴德金分割法 19世纪戴德金利用其分割理论,通过有理数集的分割精确地定义了实数。对有理数集 Q 作戴德金分割 (S,T) ,会出现以下几种情况:S 中有最大值,而 T 中无最小值。

S 中无最大值,而 T 中有最小值。 S 中无最大值,且 T 中无最小值。 S 中有最大值,且 T 中有最小值。 显然第4种情况不存在,因为 S 中的最大值为 a , T 中的最小值为 b ,那它们的算术平均数 c 也是有理数且 a0 ,存在自然数 N>0 ,使得任意的 m,n>N ,都有 |am−an|<ε成立。 而按照柯西序列法、以及极限的相关定义可知,实数就是柯西序列的极限。比如 2 可以表示为 (bn)n=0∞的极限,其中 (bn)n=0 ∞可以是 1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,1.414213,… 也可以是 1.5,1.42,1.415,1.4143,1.41422,1.414214,… 这两个序列虽然不同,一个向上逼近 2 ,一个向下逼近 2 ,但是它们的极限都是 2 。它们是等价的柯西序列。

2 为无理数的证明

√2 為無理數的證明 蔡聰明 數學最讓我欣喜的是, 事物能夠被證明。—B. Russell— √2 為無理數, 這是古希臘畢氏學派 的偉大發現, 是歸謬證法的典範。一方面, 它震垮了畢氏學派的幾何原子論以及幾何學的算術化研究綱領, 導致數學史上的第一次 危機。另一方面, 它也讓古希臘人發現到連 續統(continuum) 並且直接面對到「無 窮」(infinity), 使得往後的數學家、哲學家為了征服無窮而忙碌至今, 收獲非常豐富。 對於宇宙、人生之謎, 佛家有所謂的25 證道法門。換言之, 一個深刻的事物往往可以從各種角度與觀點來論證。對於「√2 為無理數」, 我們一共蒐集了28種證法(有些是大同小異), 其中的第十二種與第十三種是筆者自己的證法, 至少在文獻上不曾見過(也許是筆者孤漏寡聞)。在數量上, 雖然比不上畢氏定理的370種證法(見參考資料[5]), 但是28 種已夠驚人了(28是第二個完美數, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14)。這些證法牽涉到數學 各方面的概念, 弄清楚它們, 有助於加深與增廣對於數學的了解, 並且可將零散的知識統 合在一起。 一、奇偶論證法 √2 只有兩種情形: 有理數(rational number) 或者不是有理數。不是有理數就叫做無理數(irrational number)。因此, 我們 立下正、反兩個假說: H1 : √2為有理數; H2 : √2為無理數。 到底是哪一個成立呢? 如何證明? 欲證H2 成立, 我們不易直接著手, 所 以改由H1 切入。 換言之, 我們假設「√2 為有理數」, 先 投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。 第一種證法: 假設√2 為有理數, 故√2 可以寫成 √2 = a b (1) 其中a 與b 為兩個自然數並且互質。將上式

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