2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(七)数学(理科)

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（七）

理科数学试题

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（共有12小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个是正确的.）

1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==,则()U A B =（ ）

A. {1}

B. {3,5}

C. {1,6}

D. {1,3,5,6}

【答案】B 【解析】

分析：由全集U 及A ，求出补集U C A ，找出集合A 的补集与集合B 的交集即可. 详解：{} 1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}3,5U A ∴=，

又

{}(){}1,3,5,3,5U B A B =∴?=，故选B.

点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合B 或不属于集合A 的元素的集合.

2.已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则m 的值为（ ） A. 1 B. 1-

C. 2

D. 2-

【答案】A 【解析】 【分析】

先化简已知的等式，再利用两个复数相等的条件，解方程组求得x 的值． 【详解】∵()()2243,m i i i +-=+ ∴()2m 2443m i i ++-=+，

∴22443m m +=??-=?

，即m 1=

故选A

【点睛】本题考查两个复数的乘法法则的应用，以及两个复数相等的条件，基本知识的考查． 3.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+与c 共线,则实数λ=（ ）

A. 2-

B. 1-

C. 1

D. 2

【答案】D 【解析】 【分析】

由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b 表示出c ，进而可得出λ. 【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=，又c = a b λ+，所以2λ=. 故选D

【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型. 4.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）

A.

165

B.

325

C. 10

D.

185

【答案】C 【解析】 【分析】 由条件可知

8025200

s =，计算结果. 【详解】设图中阴影部分的面积为s ，正方形的面积为25， 则

8025200

s =， 解得：10s = 故选：C

【点睛】本题考查几何概型，属于简单题型.

5.函数()f x 的定义域是R ，且满足()()0f x f x +-=，当0x ≥时，()2

1

x

f x x =+，则()f x 图象大致是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

根据函数的奇偶性可排除B,C 选项，当0x ≥时，()2

1

x

f x x =

+可知()0f x ≥，排除D 选项，即可求解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是R ，且满足()()0f x f x +-=， 所以()f x 是奇函数，

故函数图象关于原点成中心对称， 排除选项B,C ， 又当0x ≥时，()21

x

f x x =

+， 可知()0f x ≥，故排除选项D, 故选：A

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数图象，属于中档题.

6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、玉、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、.癸酉，甲戌、乙亥、子、.癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到60个组合，周而复始，循环记录.2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2019年是“干支纪年法”中的（ ） A. 己亥年 B. 戊戌年

C. 庚子年

D. 辛丑年

【答案】A 【解析】

【分析】

根据“干支纪年法”依次写出2011-2019年的“干支纪年”，得到结果.

【详解】2011年是辛卯年，2012年是玉辰年，2013年是癸已年，2014年是甲午年，2015年是乙未年，2016年是丙申年，2017年是丁酉年，2018年是戊戌年，2019年是己亥年. 故选：A

【点睛】本题考查新定义，重点考查读懂题意，列举法，属于基础题型. 7.若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log a

b 的大小关系为（ ）

A.

1log log b a b a

a b a b >>> B.

1log log a b

b a

b a b a >>> C.

1log log b a b a

a a

b b >>> D.

1log log a b b a

a b a b >>> 【答案】D 【解析】

因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以

1

1a

>,1log 0a b <.

综上

1log log a b

b a

a b a b >>>；故选D. 8.已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个直角边分别为2和1的全等三角形，则这个四面体最长的棱长为（ ）

A.

5 B. 3

C. 2

D. 23【答案】B 【解析】 【分析】

根据三视图画出如图的几何体，再求最长的棱长.

【详解】由三视图可知，此几何体是三棱锥，如图，画出四面体ABCD ，由三视图可知，2AD DC ==，长方体的侧棱长为1，最长的棱是BD ，2222213BD =

++=

故选：B

【点睛】本题考查由三视图还原几何体，重点考查空间想象能力，属于中档题型，一般由三视图还原几何体，根据“长对正，高平齐，宽相等”的原则还原，也可将几何体放在正方体或长方体中，找点作图.

9.已知5

1x ax x ??- ??

?的展开式中常数项为-40，则a 的值为（ ） A. 2 B. -2

C. 2±

D. 4

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意可知5

1ax x ??- ???的展开式中，含1x 项的系数是-40，利用二项式定理的通项公式求1x 的系数求a 的值.

【详解】由题意可知5

1ax x ??- ??

?的展开式中，含1x 项的系数是-40，

()

()555215511r

r

r r r r r r T C ax C a x x ---+??

=??-=??-? ???

， 当3r =时，()3

3

213151T C a x -+=?-?，

则21040a -=-， 解得：2a =±. 故选：C

【点睛】本题考查二项式定理指定项系数，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型. 10.已知函数()()2sin 10f x x ωω=+>在区间,32ππ??

????

上是增函数，且在区间[]0,π上存在唯一的0x 使得0()3f x =，则ω的取值不可能为（ ）

A.

23

B.

14

C.

34

D. 1

【答案】B 【解析】 【分析】 由已知函数在,32ππ??

????

上单调递增，在[]0,π上存在唯一的最大值，建立关于ω的不等式组，求解ω的范围，比较选项.

【详解】由题意可知2252

20ππωπ

ωππω??≤??

?≤????

，解得：112ω≤≤

四个选项只有B 不成立. 故选：B

【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查最值，属于中档题型，本题的关键是考查端点值和最大值的比较.

11.过双曲线22

221(0)x y a b a b

-=>>的右焦点F 的直线交两渐近线于E 、Q 两点，O 为坐标原点，OEQ △内

切圆的半径为

4

a

，且0OE EQ ?=，则双曲线的离心率为（ ）

A.

B.

C.

2

D.

3

【答案】D 【解析】 【分析】

因为内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，根据角平分线的性质，画出如图的图象，再结合焦点到渐近

线的距离为b ，和数形结合分析出

1

3

b a =，再求离心率. 【详解】设内切圆的圆心为M ，则在EOQ ∠的角平分线上，

过点M 分别作MN OE ⊥于点N ，MT EQ ⊥于点T ， 由FE OE ⊥，得四边形MNET 是正方形，

由焦点到渐近线0bx ay -=的距离为d ，则2

2

bc d b a b

==+，

又OF c =，

OE a ∴=，4

a NE MN ==

， 34a NO ∴=

， 13b MN a ON ∴==， 221013

c b a a ∴=+=

故选：D

【点睛】本题考查双曲线的几何性质和三角形内心的几何性质，重点考查转化与化归，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是利用双曲线的焦点到渐近线的距离等于b ，再根据勾股定理确定

OE a =，再根据内切圆的几何性质确定几何关系.

12.如图，在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC ,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ）

A. S 为定值,l 不为定值

B. S 不为定值,l 为定值

C. S 与l 均为定值

D. S 与l 均不为定值

【答案】B 【解析】 【分析】

将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -和''C B CD '-，得到一个几何体V ，V 是以平行平面'A BD 和''B CD 为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，设正方体棱长为a ，

'''

A K

A B γ=，可求得六边形的周长为32a 与γ无关，即周长为定值；当I J N M L K 、、、、、都在对应棱的中点时，ω是正六边形，计算可得面积2

33S a =

，当ω无限趋近于'A BD 时，ω的面积无限趋近于

2

3a ，从而可知ω的面积一定会发生变化． 【详解】设平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形为ω，ω与正方体的棱的交点分别为I J N M L K 、、、、、（如下图）

， 将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -和''C B CD '-，得到一个几何体V ，V 是以平行平面'A BD 和

''B CD 为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形ω的每一条边分别与V 的底面上的一条边平

行，设正方体棱长为a ，

'''

A K

A B γ=，则2IK B D a γγ''==，()()121KL A B a γγ=-'=-，故()2212IK KL a a a γγ+=+-=，同理可证明2LM MN NJ IJ a +=+=，故六边形ω的周长为32a ，即周长为定值；

当I J N M L K 、、、、、都在对应棱的

中点时，ω是正六边形，计算可得面积

2

21233362224S a a ??=???= ? ???

，三角形'A BD 的面积为(

)

2

213322a a ??

=，当ω无限趋近于'A BD 时，ω的面积无限趋近于2

3a ，故ω的面积一定会发生变化，不为定值． 故答案为B.

【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了截面的周长及表面积，考查了学生的空间想象能力，属于难题．

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

二、填空题（共20分.本大题共4小题，每小题5分）

13.实数满足204040x y x x y -+≥??

-≤??+-≥?

，则2z x y =-的最小值是____

【答案】-8 【解析】 【分析】

首先画出可行域，然后平移直线，判断目标函数的最小值. 【详解】如图，画出可行域，令0z =，作出初始目标函数：

1

2

y x =

，当0y =时，x z =，即当直线的横截距最小时，2z x y =-取得最小值，由图象可知，当直线过点C 时，目标函数取得最小值，

20

4

x y x -+=??

=? ，解得4,6x y == ，即()4,6C , 即min 4268z =-?=-

故答案为：-8

【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.

14.为响应中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，高二（1）班5名学生

自发到3个农场参加劳动，确保每个农场至少有一人，则不同的分配方案有___种（用数字填写答案） 【答案】150 【解析】 【分析】

根据条件分配方案先分成两类，一种是2，2,1，一种是1,1,3的分组分配，再按照组合排列求解.

【详解】由题意可知，有两类分配方法，其中一种是3个农场有2个农场有2人，1个农场有1人，共有

223

5332

2

90C C A A =种方法, 另外一种是3个农场有2个农场有1人，另外一个农场有3人，共有113

5432

2

60C C A A =种方法， 所以一共有90+60=150种方法. 故答案为：150

【点睛】本题考查排列，组合，重点考查分组，分配，属于基础题型.

15.设12,F F 分别是椭圆22

1167

x y +=的左、

右焦点，E 为椭圆上任一点，N 点的坐标为()5,1，则1||||EN EF +的最大值为_____

【答案】8【解析】 【分析】

首先利用椭圆的定义，转化()

128EN EF EN EF +=+-，利用22EN EF NF -≤，结合数形结合分析距离和的最大值. 【详解】

128EF EF +=

()128EN EF EN EF ∴+=+-

22EN EF NF -≤，如图，当2,,E F N 三点共线时，等号成立，

所以

2EN EF -的最大值是2F N ==

即1||||EN EF +的最大值是8.

故答案为：85

【点睛】本题考查椭圆内距离的最大值，椭圆的定义，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型，本题的关键是利用椭圆的定义转化()

128EN EF EN EF ∴+=+-，从而利用三点共线求最大值. 16.设数列{}n a 的前n 项和为n S 满足：1

(1)

n n n a S n n -=

-+，1,2,

,n n =，则2020S =____

【答案】2020

20201120212S ??=- ???

【解析】 【分析】

首先求首项，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，再通过构造可得数列11n S n ??

-??+??

是等比数列，从而求得n S . 【详解】当1n =时，10S =， 当2n ≥时，1

(1)

n n n S a n n -+=

+，

11111212111n n n n n S S S S S n n n n n

--??+-=-=

--=- ?

+++?? 1

11111111111222212n n n

n n n S S S S n n n --????

???????-=-=-=-?=- ? ?

? ? ?

++????

????

??

故2020

2020

1120212S ??

=- ???

【点睛】本题考查数列已知n S 求n a ，重点考查转化与化归的思想，属于中档题型，本题的关键是证明数列

11n S n ??-??+??

是等比数列.

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.

17.如图，点A 在BCD 的外接圆上，且3

sin 5

A =

，A 为锐角，5AD CD ==，35BD =.

（1）求AB ；

（2）求四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）10；（2）18 【解析】 【分析】

（1）ABD △中，利用余弦定理求AB ；

（2）由（1）易求ABD △的面积，根据四点共圆，可知A BCD π∠+∠=，BCD 中利用正弦定理求

sin DBC ∠，再来利用两角和的正弦公式求sin BDC ∠，最后求面积.

【详解】解：（1）∵3

sin 5A =

，A 为锐角，∴4cos 5

A =，在ABD △中由余弦定理得：2222cos BD AD A

B AD AB A =+-?

28200AB AB --=，得10AB =或2AB =-（舍去）

，∴10AB = （2）由（1）可知113

sin 10515225

ABD S AB AD A =

?=???=△ ∵ABCD 四点共圆，∴A C π∠+∠=，∴3sin 5

C =，4

cos 5C =-，在BCD 中由正弦定理得：

sin sin BD CD C DBC =∠，即355

3sin 5

DBC =

∠，得5sin DBC ∠=25cos 5DBC ∠= sin sin(())sin()BDC DBC BCD DBC BCD π∴∠=-∠+∠=∠+∠=

5425325

555525

??-+=

??? ∴1125sin 355322BCD S BD CD BDC =

???∠=?=△

∴四边形ABCD 面积15318S =+=

【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，重点考查推理计算能力，属于基础题型，本题的关键条件是四边形若有外接圆，则对角互补.

18.已知四棱锥S ABCD -，SD SB =，在平行四边形ABCD 中，AD CD =，Q 为SC 上的点，过AQ 的平面分别交SB ，SD 于点E 、F ，且//BD 平面AEQF .

（1）证明：EF SC ⊥；

（2）若23SA SC ==2AB =，Q 为SC 的中点，SA 与平面ABCD 所成角的正弦值为3

2

，求平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12

【解析】 【分析】

（1）利用线面平行的性质可知//BD EF ，再后再根据条件证明BD ⊥平面SAC ，从而证明线线垂直； （2）如图，以O 为坐标原点，分别以,,OA OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用两个平面法向量求二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结SO . ∵在平行四边形ABCD 中，AD CD =， ∴BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点， ∵SD SB =，∴SO BD ⊥， ∵AC

SO O =，且,AC SO ?平面SAC ，

∴BD ⊥平面SAC ，

∵SC ?平面SAC ，∴BD SC ⊥， ∵//BD 平面AEQF ，且平面AEQF

平面SBD EF =

∴//BD EF ， ∴EF SC ⊥

（2）由（1）可知BD ⊥平面SAC ，故平面ABCD ⊥平面SAC ∵SA SC =，且O 为AC 的中点，∴SO AC ⊥ 又∵平面ABCD

平面SAC AC =

∴SO ⊥平面ABCD ，

∴SA 与平面ABCD 所成角为SAO ∠ ∵SA 与平面ABCD 所成角的正弦值为

3

2

，且23SA =，∴3AO =3SO = 在Rt AOB 中，2AB =，由勾股定理得：1OB =

如图，以O 为坐标原点，分别以,,OA OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则：

3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3)A B C D S --，

∵Q 为SC 的中点，∴3322Q ??

- ? ???

则(0,2,0)BD =-，333,0,22AQ ??=- ? ???

易知，平面SBD 的一个法向量为()1,0,0m =

设平面AEQF 的法向量为(),,n x y z =，因为//EF BD ，则：

00n BD n AQ ??=??=?，即20

333

02y x z -=??

?+=??， 令1x =，则：0y =，3z =

AEQF 的一个法向量为(1,0,3n =

∴||1

cos ,||||2

13m n m n m n ?=

==+

∴平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角的余弦值为

1

2

【点睛】本题考查证明线线垂直，空间坐标法求二面角，重点考查推理证明，计算能力，属于中档题型. 19.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点. （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；

（2）已知点()2,0E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点. 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）法一：分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线方程为()1y k x =-与2

4y x =联

立，利用弦长公式1228AB x x =++=求解；法二：设直线方程为1x my =+，方程联立后利用弦长公式求解；

（2）设直线l 方程为()0x my b m =+≠与2

4y x =联立，由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =-，利用根与系

数关系，得到直线过定点.

【详解】解：（1）法一：焦点()1,0F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为

()1,2，()1,2-，

此时AB 4=，不符合题意，故直线的斜率存在.

设直线l 方程为()1y k x =-与24y x =联立得()

22

2

2

220k x k x k -+-=，

当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.

()2122

22k x x k

++=

，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得

()()()2122

22||||||1128k AB AF BF x x k

+=+=+++=

+=，

解得1k =±，

所以l 方程为1y x =-或1y x =-+

法二：焦点()1,0F ，显然直线l 不平行于x 轴，设直线方程为1x my =+， 与2

4y x =联立得2

440y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y

124y y m +=，124y y =-

()2||41AB m =

===+由

8AB =，解得1m =±，

所以l 方程为1y x =-或1y x =-+ （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，

设直线l 方程为()0x my b m =+≠与2

4y x =联立得2

440y my b --=

124y y m +=，124y y =-

由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =-，即

121222

y y

x x =-++ 整理得121122220y x y x y y +++=，即()()121122220y my b y my b y y +++++= 整理得()12122(2)0my y b y y +++= 即84(2) 0bm b m -++=，即2b = 故直线l 方程为2x my =+过定点()2,0

【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的综合问题，涉及弦长，斜率求法，属于中档题型，题中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.

20.某工厂改造一废弃的流水线M ，为评估流水线M 的性能，连续两天从流水线M 生产零件上随机各抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为X . 第一天

第二天

经计算，第一天样本的平均值165μ=，标准差1 2.2.σ=第二天样本的平均值265μ=，标准差2 2.σ= （1）现以两天抽取的零件来评判流水线M 的性能.

（i ）计算这两天抽取200件样本的平均值μ和标准差σ（精确到0.01）；

（ii ）现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率），①()0.6826P X μσμσ-<≤+≥；②()2 20.9544P X μσμσ-<≤+≥；

③()330.9974P X μσμσ-<≤+≥评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线M 的性能等级.

（2）将直径X 在(]2,2μσμσ-+范围内的零件认定为一等品，在(]3,3μσμσ-+范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品.现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个，设ξ为抽到次品的件数，求ξ分布列及其期望.

2.102≈

6.648≈

21.024≈；

参考公式：标准差

σ=【答案】（1）（i ）65μ=， 2.10σ≈；（ii ）合格；（2）分布列见解析，8

11

【解析】 【分析】

（1）（ⅰ）因为两天100个零件的平均值都是65，所以200个零件的平均值也是65，按照公式计算标准差σ；（ⅱ）分别计算3σ的概率，然后比较等级；

（2）由（ⅱ）可知200件零件中合格品7个，次品4个，ξ的可能取值为0，1，2，利用超几何分布计算概率，并求分布列和数学期望.

【详解】（1）（i ）依题意：200个零件的直径平均值为65μ=由标准差公式得：

第一天：

()

100

2

2

1

1

65100484i i X σ=-==∑，第二天：()100

2

2

21

65100400i i X σ=-==∑，

则()2002

2

11165(484400) 4.42200200

i

i X σ==-=+=∑

故 2.10σ=

≈（注：如果写出1

(2.202) 2.102

σ=

+=不给分） （ii ）由（1）可知：164

()(62.967.1)0.820.6826200

P X P X μσμσ-<≤+=<≤==≥， 189

(22)(60.869.2)0.9450.9544200P X P X μσμσ-<≤+=<≤==<，

196

(33)(58.771.3)0.980.9974200

P X P X μσμσ-<≤+=<<==<

仅满足一个不等式，判断流水线M 的等级为合格.

（2）可知200件零件中合格品7个，次品4个，ξ的可能取值为0，1，2，则

2721121(0)55C P C ξ===，117421128(1)55C C P C ξ===，242116

(2)55

C P C ξ===，

ξ的分布列

则21286801255555511

E ξ=?

+?+?= 【点睛】本题考查样本期望，方差的计算，3σ原则的应用，以及超几何分布列的计算，重点考查数据的分析和应用，属于中档题型，本题的关键是读懂题意.

21.已知函数2()2ln f x x ax =-，()(1)34x g x x e ax =++-，a R ∈. （1）求()f x 的单调区间；

（2）若()f x 有最大值且最大值是1-，求证：()()f x g x <. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）对()f x 求导，得()221()ax f x x

-'=

，对a 分类讨论，利用导函数的正负性即可得出单调性；

（2）利用（1）中结论及()f x 最大值是1-，可得1a =，对()()f x g x <进行整理，可得

232ln 14x x x x e x -<+-+，由0x >时，e 1x

>可知，证明23211

4ln x x x x -+-+≤即可，构造函数

()2432ln h x x x x =--+，利用导数可得()()0h x h x ≤()002ln 1x x =-+，再构

造()ln 1m x x x =-+，利用导数可得()(1)0m x m ≤=，所以()()00h x h x ≤≤，问题得解. 【详解】（1）由函数2

()2ln f x x ax =-，0x >得

()2212()2ax f x ax x x

-'=-= 1)当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0∞，+上单调递增； 2)当0a >

时，由

()f x '=

当0x <<

时()0f x '>

，当x >()0f x '< 故()

f

x 0? ?

上单调递增，在?+∞???

上单调递减.