(完整版)平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点小结及常用解题方法
一、平面向量两个定理
1。平面向量的基本定理 2.共线向量定理.
二、平面向量的数量积
1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ,它是一个实数，但不一定大于0.
2。a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。
三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则
（1）向量的加减法运算:1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--。
（2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。
（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终
点坐标减去起点坐标。
（4）平面向量数量积:1212a b x x y y ⋅=+.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+。
四、向量平行(共线）的充要条件
221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=.
五、向量垂直的充要条件
12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=。
六．121211222221(,),(,)cos ,.x x y y a x y b x y a b x y x +===
+七、向量中一些常用的结论
1.三角形重心公式
在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ,33(,)C x y ，则重心坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++。 2.三角形“三心"的向量表示
(1)0GA GB GC G ++=⇔为△ABC 的重心。
(2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.
（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；
3. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．
4. 在ABC △中若D 为BC 边中点则1()2AD AB AC =+
5.与AB 共线的单位向量是||AB AB ±
七．向量问题中常用的方法
(一）基本结论的应用
1。设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外,2
16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=
（A )8 (B ）4 （C ） 2 （D ）1
2.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+。若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立,则m= A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3. 设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，能使||||a b a b =成立的条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =
4。 已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为____________
5。平面向量(1,2)a =,(4,2)b =，c ma b =+(m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）A 、2- B 、1- C 、1 D 、2
6. ABC ∆中13AN NC =，P 是BN 上一点若211
AP AC mAB =+则m=__________ 7.o 为ABC ∆平面内一点,若222222oA BC oB CA oC AB +=+=+则o 是ABC ∆____心
8。 (2017课标I 理)已知向量b a ,的夹角为1,2,600==b a ,则=+b a 2 .
(二）利用投影定义
9. 如图，在ΔABC 中,AD AB ⊥,3BC =BD ,1AD =，则
AC AD ⋅= （A ）23 （B)32 （C ）33 （D 3
10。 已知点()1,1A -.()1,2B 。()2,1C --。()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为
A ．322
B ．3152
C ．322-
D ．3152
- 11设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=
,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00•≥•则 A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC
C ．AC AB =
D ．BC AC = (二）利用坐标法 12。
已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ，090ADC ∠=，2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.
13．(2017课标II 理）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，
()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）2.-A 23.-
B 34.-
C 1.-
D （三)向量问题基底化
14. 在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==则AD BE ⋅=____________．
15。 （2017天津理）在ABC ∆中,60A =︒∠,3AB =，2AC =。若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________。
16.见上第11题
（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化
例题 1。 ABC ∆中13AN NC =,P 是BN 上一点若211AP AC mAB =+则m=__________ 2. (2017课标I 理)已知向量b a ,的夹角为1,2,600==b a ,则=+b a 2
3、如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥,3BC =BD ，1AD =，则
AC AD ⋅= （A ）23 （B ）32 （C ）33
（D 3 17。设向量a ，b ，c 满足
a =
b =1，a b =1
2-,,a c b c --=060,则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1
18。若a ，b ,c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ,则||c b a -+的最大值为
（A ）12- （B ）1 （C ）2 （D)2
19.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是
A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，
B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，
C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，
D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，
20。已知两个非零向量a ，b 满足｜a +b |=｜a -b ｜，则下面结论正确的是
（A ） a ∥b (B) a ⊥b (C ） （D ）a +b =a -b
（五）向量与解三角形
21．在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则___BC =。
22.已知平面向量,,(0,0)αβαβ≠≠满足,,(0,0)αβαβ≠≠01,-120βαβαα=与夹角，求取值范围_______
23。锐角三角形ABC 中0,30oA oB oC A ===若cos cos ..2sin sin B C AB AC moA m C B
+=求
(完整版)平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点小结及常用解题方法 一、平面向量两个定理 1。平面向量的基本定理 2.共线向量定理. 二、平面向量的数量积 1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ,它是一个实数，但不一定大于0. 2。a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。 三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则 （1）向量的加减法运算:1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--。 （2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。 （3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终 点坐标减去起点坐标。 （4）平面向量数量积:1212a b x x y y ⋅=+.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+。 四、向量平行(共线）的充要条件 221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=. 五、向量垂直的充要条件 12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=。 六．121211222221(,),(,)cos ,.x x y y a x y b x y a b x y x +=== +七、向量中一些常用的结论 1.三角形重心公式 在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ,33(,)C x y ，则重心坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++。 2.三角形“三心"的向量表示 (1)0GA GB GC G ++=⇔为△ABC 的重心。 (2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心. （3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心； 3. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=． 4. 在ABC △中若D 为BC 边中点则1()2AD AB AC =+ 5.与AB 共线的单位向量是||AB AB ± 七．向量问题中常用的方法 (一）基本结论的应用 1。设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外,2 16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣= （A )8 (B ）4 （C ） 2 （D ）1
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结 1、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量 就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| A B A B ± )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因 为有0 )；④三点A B C 、、共线? AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。 如下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C = ，则ABC D 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC = 。（5）若,a b b c == ，则a c = 。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+= ，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有 一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如（1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=- ，则c = ______（答：1322a b - ）； 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()() 1,2a a λλ= 当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ= ，注意：λa ≠0。 5、平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,O A a O B b == ，A O B θ ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹 角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝ 2 π 时，a ，b 垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b 的数 量积（或内积或点积），记作：a ?b ，即a ?b ＝cos a b θ 。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是 一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC 中，3||=?→ ?AB ，4||=?→ ?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?BC AB _________（答：－9）； （3）b 在a 上的投影为||cos b θ ，它是一个实数，但不一定大于0。如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→ b 上的投影为______（答：5 12 ） （4）a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。 （5）向量数量积的性质，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥??= ；②当a ，b 同向时， a ? b ＝a b ，特别地，22,a a a a a =?== ；当a 与b 反向时，a ?b ＝－a b ；当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ?> 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b 、 不反向，0a b ?< 是θ为钝角的必要非充分条件；③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：c o s a b a b θ?= ；④||||||a b a b ?≤ 。如（1）已知 )2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→ b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且13 λ≠）；
平面向量知识点总结
高中数学必修4——平面向量知识点归纳 一. 向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量的大小即向量的模（长度）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行，所 以在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件． ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的向量，称为平行向量由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合 2向量加法： 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C （1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC C D PQ Q R AR +++++= ，但这时必须“首尾相连”． 3向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 记作a - 关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则 a = b -,b =a -,a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳 平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点． （3）运算性质：①交换律：a b b a；②结合律：a b c a b c； ③a00a a． C a b a b C C ⑸坐标运算：设a x1,y1，b x2,y2，则a b x1x2,y1y2． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设a x1,y1，b x2,y2，则a b x1x2,y1y2． 设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2,y1y2． 4、向量数乘运算： ⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a． - 1 - ①a a； ②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相 反；当0时，a0． ⑵运算律：①a a；②a a a； ③a b a b． ⑶坐标运算：设a x,y，则a x,y x,y． 5、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使 b a． 设a x1,y1，b x2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、
bb0共线． 6、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共 线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、平面向量的数量积： ⑴a b abcos a0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a b a b0．②当a与b同向时， 2aa b ab；当与b反向时，a b ab；a a a2a或 a．③ a b ab． ⑶运算律：①a b b a；②a b a b a b；③a b c a c b c． ⑷坐标运算：设两个非零向量a x1,y1，b x2,y2，则a b x1x2y1y2．
平面向量知识点归纳
第一章平面向量 2.1向量的基本概念和基本运算 16、向量：既有大小，又有方向的量. 数量：只有大小，没有方向的量. 有向线段的三要素：起点、方向、长度. 零向量：长度为0的向量. 单位向量：长度等于1个单位的向量. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量：长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点：共起点. ⑶三角形不等式：〔a_ib兰弹十b兰询+眄. ⑷运算性质：①交换律：齐b二b a ；AB+BC=AC J+^=. AB+AT = A? ②结合律：）"亠:=:亠七€ :③a，o=o，a=a. 一T ■>呻 T ⑸坐标运算：设 a = x i, y i , b = X2,y2，贝U a ? b二 X2, y i y2 . 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量. 一H 彳呻彳 ⑵坐标运算：设 a =为，％, b h[x2,y2，则a -b =1X1 - x?, % - y?. —一T 设三、三两点的坐标分别为x1,y1, x2, y2，则x1x2y1 y2. 19、向量数乘运算： ⑴实数■与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作■ a. ①九a =|科a ； ②当二3-0时，a的方向与a的方向相同；当/■ :,0时，■ a的方向与a的方向相反；当 ■ = 0 时，■ a = 0. ⑵运算律：①，「:二■ J a :②［/ . a = ■ ^ --a :③ /■ b = ■ ；. ⑶坐标运算：设a = x,y，贝U - a = ?x, y二x, y . 20、向量共线定理：向量a a = 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数■，使b二’a . 设a二N, % , b h〕X2,y2，其中b = 0，则当且仅当xy? -乂2如=0时，向量a、b b = 0 共线. 2.2平面向量的基本定理及坐标表示 J T
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳 平面向量是高中数学中的重要内容，也是大学数学中的基础知识，它是向量的一种。向量是数学中的一个概念，它有方向和大小，用有向线段表示。平面向量是指在平面中的向量，以下是平面向量的知识点归纳。 一、平面向量的定义 平面向量是表示平面上有大小和方向的箭头的数学概念。平面向量AB用符号→AB表示，它的长度表示向量大小，而方向则由方向角表示。 二、平面向量的加减法 1. 平面向量的加法 平面向量加法是指将一条平面向量按照另一条向量的方向和大小来平移，并合成为一条新的向量。记作→AB+→BC=→AC。向量加法满足交换律、结合律、分配律。
2. 平面向量的减法 平面向量减法是将另一向量的方向翻转，依次相加，得到一个新向量。记作→AB-→AC=→CB。 三、平面向量的数量积 平面向量的数量积是指两个向量之间相乘得到的标量。记作 →a⋅→b=a·b·cosθ，其中a、b是两个向量，θ是它们之间的夹角。 四、平面向量的叉积 平面向量的叉积是在二维平面内的两个向量所形成的向量垂直于平面，大小等于两个向量所组成的平行四边形的面积。记作 →a×→b，其中a、b是两个向量。 五、平面向量的共线、垂直及夹角 1. 平面向量的共线
两个向量共线的充要条件是它们的数量积等于它们的模的乘积，即→a//→b，当且仅当a·b=|a||b|。 2. 平面向量的垂直 两个向量垂直的充要条件是它们的数量积等于0，即→a⊥→b 当且仅当a·b=0。 3. 平面向量的夹角 两个向量的夹角是指它们之间的夹角，记作θ，其中θ的范围 是0≤θ≤π。 六、平面向量的投影与单位向量 1. 平面向量的投影 平面向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，也是向量 的一个重要应用。投影的值等于向量的模与夹角的余弦的乘积。 记作pr→a。
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移. 举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0) 2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± ）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ， 规定：零向量和任何向量平行. 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ?、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -. 举例2 如下列命题：（1）若||||a b =，则a b =. （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =. （5）若a b =，b c =，则a c =. （6）若//a b ，//b c 则//a c .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法 1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳 平面向量是二维空间内的向量，由两个有大小和方向的向量组成，可以用于描述平面内的位移、速度、加速度等物理量。平面向量的知识点总结如下： 一、平面向量的定义 1. 平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示，记作→AB。 2. 平面向量的大小称为模，记作|→AB|或AB，表示向量 的长度。 3. 平面向量的方向可以用与x轴的夹角来表示，记作θ。 二、平面向量的表示方法
1. 基底表示法：使用坐标系中的两个非零向量作为基底，根据向量分解的原理将向量表示为基底的线性组合。 2. 基底表示法的基底选择：通常选择单位向量i和j作为基底，i表示x轴的正方向，j表示y轴的正方向。 三、平面向量的运算 1. 加法：向量相加的结果是一个新的向量，新向量的大小等于两个向量大小的和，方向等于两个向量的夹角的平分线方向。 2. 减法：向量相减的结果是一个新的向量，新向量的大小等于两个向量大小的差，方向等于两个向量的夹角的平分线反方向。
3. 数乘：向量乘以一个标量得到的是一个新的向量，新向量的大小等于标量与原向量大小的乘积，方向与原向量相同（正向量）或相反（负向量）。 4. 内积：向量的内积是两个向量的大小之积与它们夹角的余弦值之积，可以用于求夹角、判断垂直和平行等。 5. 外积：向量的外积又称为叉乘，结果是一个新的向量，大小等于两个向量的大小之积与它们夹角的正弦值之积，方向垂直于这两个向量构成的平面。 6. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是一个新的向量，大小等于原向量与投影方向的夹角的余弦值与原向量大小之积，方向与投影方向相同。 四、平面向量的性质 1. 平面向量相等的充要条件是它们大小相等且方向相同。
平面向量知识点总结(精华)
平面向量 一、向量的基本概念 1.向量的概念 2.零向量： 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量（与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± ）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ， 规定：零向量和任何向量平行. 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -. 二、向量的表示方法 1.几何表示： 2.符号表示： 3.坐标表示 三、平面向量的基本定理 定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+. （1）定理核心：11 22 a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向 量a 的合成. （3）向量的正交分解：当21e e ⊥时，就说11 22 a λe λe =+为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B A.1 (0,0)e =，2 (1,2)e =- B.1 (1,2)e =-，2 (5,7)e = C.1 (3,5)e =，2 (6,10)e = D.1 (2,3)e =-，2 13,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ， AC 上的中线,且 AD a =，BE b =,则BC 可用向量,a b 表示 为 . 结果：24 33 a b +. （3）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下： （1）模：||||||a a λλ=⋅； （2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=， 注意：0a λ≠. 五、平面向量的数量积 1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角. 当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2 πθ= 时，a ，b 垂直. 2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅. 规定：零向量与任一向量的数量积是0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量. 举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-. （2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛ ⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4 π，则k = ____. 结果：1. （3）已知 ||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____.
平面向量及其应用知识点总结
平面向量及其应用知识点总结 一、平面向量的定义和性质 1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对表示的，称为平 面向量。 2. 平面向量的性质： （1）平面向量有大小和方向，大小为其长度，方向为从起点指向终点的方向。 （2）平面向量可以相加、相减和数乘，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。 （3）平面向量之间可以定义数量积和叉积，满足数量积交换律、结合律和分配律，叉积具有反交换律和分配律。 二、平面向量的表示方法 1. 坐标表示法：设平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则以A为起点，B为终点所表示的平面向量为AB=(x2-x1,y2-y1)。
2. 向量符号表示法：在AB上任取一点C作为起点，则以C为起点，B为终点所表示的平面向量也是AB。 三、平面向量之间的运算 1. 平移：将一个平面上的向量沿着另一个给定的非零向量进行移动得到新的向量。 2. 旋转：将一个给定角度旋转后得到新的向量。 3. 投影：将一个向量沿着另一个向量的方向投影得到新的向量。 4. 反向：将一个向量反过来得到新的向量。 5. 平面向量之间的加法、减法和数乘运算。 四、平面向量的应用 1. 向量运动学：平面上的物体在运动时可以用平面向量表示其位移、速度和加速度等物理量。 2. 向量力学：平面上的物体在受力时可以用平面向量表示其受力和作
用力等物理量，通过分解力求解问题。 3. 向量几何：利用平面向量可以求解线段长度、角度、垂直、平行等几何问题，如判断两条直线是否相交，判断三点共线等问题。 4. 向量代数：利用平面向量可以进行代数运算，如求解方程组、矩阵计算等问题。
平面向量的运算与应用知识点总结
平面向量的运算与应用知识点总结 一、平面向量的定义 平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。平面向量的定义包括起点、终点和方向，同时还可以表示为有序数对或列向量。 二、平面向量的表示法 平面向量可以使用有向线段、有序数对或列向量来表示。有向线段表示形式为AB，表示从点A指向点B的有向线段。有序数对表示形式为(a,b)，表示向量的水平分量和垂直分量。列向量表示形式为[a;b]，表示向量的水平分量和垂直分量。 三、平面向量的加法 平面向量的加法满足三角形法则，即将向量的起点连接起来，从第一个向量的起点到第二个向量的终点，再从第二个向量的起点到第三个向量的终点，得到一个新的向量，该向量的起点为第一个向量的起点，终点为第三个向量的终点。 四、平面向量的数量积 平面向量的数量积也称为点积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的长度，θ表示两个向量的夹角。 五、平面向量的应用
1. 平面几何问题：平面向量常常用于解决平面几何问题，如证明等腰三角形的性质、求解平面图形的面积等。 2. 力的合成与分解：平面向量可以用于分解一个力为两个分力的合力，或者合成两个力为一个合力。 3. 直角坐标系中的运算：平面向量可以用于直角坐标系中的向量运算，如求两点之间的距离、解决平面射线与直线的交点等问题。 六、平面向量的运算方法 1. 向量的加法：将两个向量的水平分量相加，垂直分量相加，得到一个新的向量。 2. 向量的减法：将两个向量的水平分量相减，垂直分量相减，得到一个新的向量。 3. 数乘：将向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的向量。 4. 向量的数量积：将两个向量的对应分量相乘，然后相加，得到一个实数。 七、平面向量的运算性质 1. 加法交换律：A + B = B + A 2. 加法结合律：(A + B) + C = A + (B + C) 3. 数乘结合律：k(A + B) = kA + kB 4. 数乘分配律：(k + l)A = kA + lA
平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点及方法总结总结 平面向量是高中数学中的一个重要概念，它是用来描述平面上的位移、速度、加速度等物理量的。下面我将对平面向量的基本概念、矢量的表示 方法、向量的运算、向量的共线和垂直关系以及应用等知识点进行总结。 一、基本概念 1.平面向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。 2.平面向量通常用字母a、b、c等来表示，记作⃗a、⃗b、⃗c等。 3.平面向量的模表示为，⃗a，表示向量的长度或大小。 4.平面向量可以沿着同一直线平移。 二、矢量的表示方法 1.方向角表示法：用与x轴正方向的夹角α和向量的模，⃗a，来表 示向量。 2. 分解表示法：可以把一个向量⃗a分解为⃗a = ⃗a1 + ⃗a2，其 中⃗a1与⃗a2分别与两个坐标轴平行，⃗a1 = ，⃗a，cosα，⃗a2 = ，⃗a，sinα。 三、向量的运算 1.向量的加法：两个向量⃗a和⃗b相加得到向量⃗a+⃗b，可以应用 平行四边形法则或三角形法则进行运算。 2.向量的减法：两个向量⃗a和⃗b相减得到向量⃗a-⃗b，可以通过 ⃗a+(-⃗b)进行计算。
3. 数乘：向量⃗a与实数k相乘得到向量k⃗a，表示为k⃗a= ，k，⃗a，cosα，方向与⃗a相同（k>0）或相反（k<0）。 4. 点积：向量⃗a和⃗b的点积是一个标量，表示为⃗a·⃗b= ， ⃗a，⃗b，cosθ，其中θ是⃗a与⃗b之间的夹角。 5. 叉积：向量⃗a和⃗b的叉积是一个新的向量，表示为⃗a×⃗b， 它的模为，⃗a×⃗b，= ，⃗a，⃗b，sinθ，其中θ是⃗a与⃗b之间 的夹角。 四、向量的共线和垂直关系 1.共线向量：如果向量⃗a和⃗b共线，则存在实数k，使得 ⃗b=k⃗a，其中k为非零实数。 2.垂直向量：如果两个向量⃗a和⃗b的点积等于0，即⃗a·⃗b=0，则⃗a与⃗b垂直。 五、向量的应用 1.位移向量：描述物体从一个点到另一个点的位移。 2.速度向量：描述物体在其中一时刻的速度大小和方向。 3.加速度向量：描述物体在其中一时刻的加速度大小和方向。 4.判断平行和垂直关系：利用向量点积和叉积的性质，可以判断向量 是否平行或垂直。 5.矢量与三角形的关系：可以利用向量的性质来证明三角形的各种定理。
平面向量知识点总结
平面向量知识点总结 一、向量的定义和表示 在数学中，向量是表示有大小和方向的物理量，常用箭头或者加粗的小写字母表示。向量可以用坐标形式进行表示，常用形式为a = (a₁, a₂)，其中a₁和a₂分别代表向量在x轴和y轴上的分量。 二、向量的加法和减法 1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。加法操作按照向量的分量进行，即(a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)。 2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。减法操作按照向量的分量进行，即(a₁, a₂) - (b₁, b₂) = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)。 三、数量积和向量积 1. 数量积（点积）：数量积是指两个向量之间的乘积，结果是一个标量。数量积的计算公式为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示两个向量的夹角。 2. 向量积（叉积）：向量积是指两个向量之间的乘积，结果是一个新的向量。向量积的计算公式为a × b = |a| |b| sinθ n，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
四、向量的模长和单位向量 1. 向量的模长：向量的模长是指向量的长度，即向量从起点到终点 的直线距离。向量a的模长表示为|a|，计算方法为|a| = √(a₁² + a₂²)。 2. 单位向量：单位向量是指模长为1的向量。将一个非零向量除以 它的模长，可以得到一个单位向量。单位向量常用符号表示为^a，即 向量a的单位向量。 五、向量的共线与垂直关系 1. 向量的共线：若两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的。即，向量a与向量b共线的充分必要条件是存在实数k，使得a = kb。 2. 向量的垂直：若两个向量的数量积为0，则它们是垂直的。即， 如果a·b = 0，则向量a与向量b垂直。 六、向量的投影和夹角 1. 向量的投影：向量a在向量b上的投影是指垂直于向量b的线段。向量a在向量b上的投影的长度表示为|a|cosθ，其中|a|为向量a的模长，θ为a与b的夹角。 2. 向量的夹角：向量a和向量b之间的夹角表示为θ，计算方法为θ = arccos((a·b) / (|a| |b|))，其中a·b表示向量a和b的数量积，|a|和|b|分别 表示向量a和b的模长。 综上所述，平面向量是数学中重要的概念之一。通过定义和表示、 加法和减法、数量积和向量积、模长和单位向量、共线与垂直关系、
初中数学平面向量知识点总结
初中数学平面向量知识点总结 数学中的平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。它是解决平面几何和向量运算等问题的重要工具。在初中数学中，学习平面向量是为了培养学生的空间想象能力、推理能力和解决实际问题的能力。下面将对初中数学中的平面向量知识点进行总结与归纳。 一、平面向量的定义 平面向量的定义是指平面上具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。平面向量通常由起点和终点两个坐标表示。起点记作A，终点记作B，则该向量记作向量AB。 二、平面向量的表示方法 平面向量可以用坐标表示。设向量AB的坐标为(x1, y1)，那么该向量可以表示为向量AB = x1i + y1j，其中i和j分别是平面坐标系x轴和y轴的单位向量。 三、平面向量的运算 1. 平面向量的加法 两个平面向量的加法规则如下：设向量AB的坐标为(x1, y1)，向量CD的坐标为(x2, y2)，则向量AB + 向量CD的坐标为(x1 + x2, y1 + y2)。即：向量AB + 向量CD = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j。 2. 平面向量的减法 两个平面向量的减法规则如下：设向量AB的坐标为(x1, y1)，向量CD的坐标为(x2, y2)，则向量AB - 向量CD的坐标为(x1 - x2, y1 - y2)。即：向量AB - 向量CD = (x1 - x2)i + (y1 - y2)j。 3. 平面向量的数量积
平面向量的数量积又称为点积，表示为A·B。设向量A的坐标为(x1, y1)，向 量B的坐标为(x2, y2)，则A·B = x1x2 + y1y2。 4. 平面向量的数量积的性质 平面向量的数量积具有以下性质： - 交换律：A·B = B·A - 分配律：A·(B + C) = A·B + A·C - 数量乘法结合律：k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中k为实数 - 相等性质：若A·B = 0，则向量A与向量B垂直，即A⊥B。 四、平面向量的模与单位向量 1. 平面向量的模 平面向量的模表示为|AB|或AB的绝对值，即向量AB的长度。根据勾股定理，设向量AB的坐标为(x, y)，则|AB| = √(x^2 + y^2)。 2. 单位向量 长度为1的向量称为单位向量。设向量A的坐标为(x, y)，则向量A的单位向 量表示为A/|A| = (x/|A|)i + (y/|A|)j。 五、平面向量的共线与垂直性质 1. 共线性 设向量AB的坐标为(x1, y1)，向量CD的坐标为(x2, y2)，如果存在实数k，使 得x1:k = x2:y2，则向量AB与向量CD共线。 2. 垂直性
平面向量知识点总结(精华)
必修4平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例1已知Ag，B(4,2)，则把向量AB按向量2_1,3)平移后得到的向量是_____________ . 结果：(3,0) 2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：o，规定：零向量的方向是任意的； 3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是士上卑)； I AB| 4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5. 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a // b, 规定：零向量和任何向量平行. 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！(因为有o)； ④三点A B、C共线共线. 6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作-a. 举例2如下列命题：(1) 若ia晶，则肓. (2)两个向量 相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. (3)若忑是平行四边形. (4)若7BJDC. (5)若al, 2，则aw.
(6)若a//b, b//c则a//c.其中正确的是结果：(4)
二、向量的表示方法 1. 几何表示：用带箭头的有向线段表示，如A B，注意起点在前，终点在后； 2. 符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等； 3. 坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=x?+yj =( x y，称(x)y为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示. 结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 三、平面向量的基本定理 定理设ea同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对(丸,九)，使:=丸齢況. (1)定理核心：a品朋；(2)从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成. (3)向量的正交分解：当驰时，就说a/十诡为对向量a的正交分解. 举例 3 (1)若a"), b 出,二),c,2)，则c= . 果：2a _|b. (2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的 B A. & 却,0) , &弍1,4) B. &=(4,2) , $=5,7) C. 玄=3,5) , g=6,10) D. g ¥, A) , e2 (3)已知AD,BE分别是△ABC的边BC , AC上的中线，且益二,£&, 则BC可用向量a,b表示为结果：匀缶. 3 3 (4)已知△ABC中，点D在BC边上，且CD^DB ,百為.就,则r.的 值是结果：0. 四、实数与向量的积 实数■与向量a的积是一个向量，记作,它的长度和方向规定如下： (1)模:I油冃扎I 1a| ；