平面向量解题方法完全归纳与总结

平面向量解题方法完全归纳与总结！

1、基底法

在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.

2、平方法

在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律

3、投影法

①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；

②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；

4、坐标法

几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。

5、数形结合法

在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。

6、三点共线结论及其推广

7、绝对值不等式

8、极化恒等式

9、等和线

以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这

些方法足以应付高中数学中出现的向量题型，当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识，更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识，这些我们在后期的一些文章当中会涉及。我们这个自媒体主要服务于高中生数学，高考数学，强基计划、数学竞赛，大家有兴趣可以关注一下我们，我们上的都是一些干货，绝对不会让你失望！

平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结

第五章平面向量题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：

2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

(完整版)平面向量知识点及方法总结总结

平面向量知识点小结及常用解题方法一、平面向量两个定理 1。平面向量的基本定理 2.共线向量定理. 二、平面向量的数量积 1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ,它是一个实数，但不一定大于0. 2。a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算:1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--。（2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。（4）平面向量数量积:1212a b x x y y ⋅=+.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+。四、向量平行(共线）的充要条件 221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=. 五、向量垂直的充要条件 12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=。六．121211222221(,),(,)cos ,.x x y y a x y b x y a b x y x +=== +七、向量中一些常用的结论 1.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ,33(,)C x y ，则重心坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++。 2.三角形“三心"的向量表示 (1)0GA GB GC G ++=⇔为△ABC 的重心。 (2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心. （3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心； 3. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=． 4. 在ABC △中若D 为BC 边中点则1()2AD AB AC =+ 5.与AB 共线的单位向量是||AB AB ± 七．向量问题中常用的方法 (一）基本结论的应用 1。设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外,2 16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣= （A )8 (B ）4 （C ） 2 （D ）1

平面向量题型归类及解题方法

平面向量题型归类及解题方法 1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。 - 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。 - 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。 - 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。 - 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。 - 向量可以缩放，即乘以一个标量。 - 向量可以平移，即使原点发生变化。 2. 平面向量的基本运算 2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。 2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。 2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。 2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。

2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b = x1x2 + y1y2。 2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。 3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。 3.1 平面向量的加减法题型 •已知两个向量，求其和或差向量。 •已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。解题方法： 1. 将题目中的已知条件用向量表示。 2. 进行向量的加减法运算，得到结果向量。 3. 根据题目要求，解得未知向量。 3.2 平面向量的数量积题型 •已知两个向量的数量积和其中一个向量，求另一个向量。 •已知两个向量的数量积和它们的模长，求夹角。解题方法： 1. 将题目中的已知条件用向量表示。 2. 利用数量积的定义进行计算，得到结果。 3. 根据题目要求，解得未知向量或夹角。 3.3 平面向量的平行向量和共线向量题型 •判断给定的两个向量是否平行。 •判断给定的三个向量是否共线。解题方法： 1. 利用平行向量和共线向量的定义进行判断。 2. 对向量进行运算，求得判断结果。

平面向量解题方法完全归纳与总结

平面向量解题方法完全归纳与总结平面向量解题方法完全归纳与总结！ 1、基底法在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题. 2、平方法在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律 3、投影法 ①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值； ②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影； 4、坐标法几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。 5、数形结合法在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。 6、三点共线结论及其推广 7、绝对值不等式 8、极化恒等式 9、等和线以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这

平面向量的所有公式归纳总结

平面向量的所有公式归纳总结平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. ab+bc=ac. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 如果a、b就是互为恰好相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 ab-ac=cb.即“共同起点,指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y'). 1、定义：已知两个非零向量a,b.作oa=a,ob=b,则角aob称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量内积(内积、点内积)就是一个数量,记作ab.若a、b不共线,则ab=|a||b|cos〈a,b〉;若a、b共线,则ab=+-∣a∣∣b∣. 2、向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'. 3、向量的数量内积的运算律 ab=ba(交换律); (λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律); (a+b)c=ac+bc(分配律); 4、向量的数量内积的性质 aa=|a|的平方. a⊥b〈=〉ab=0.

|ab|≤|a||b|. 5、向量的数量内积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2. （2）向量的数量积不满足用户解出律,即为：由ab=ac(a≠0),推不出b=c. （3）|ab|≠|a||b| （4）由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b. 1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣∣a∣. 当λ>0时,λa与a同方向; 当λ<0时,λa与a反方向; 当λ=0时,λa=0,方向任一. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 备注：按定义言,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣>1时,则表示向量a的存有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上弯曲为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍. 2、数与向量的乘法满足用户下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb). 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘坐向量的解出律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且 λa=μa,那么λ=μ. 1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b 和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

平面向量问题的类型与解法

平面向量问题的类型与解法大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到平面向量的内容。从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档或中档，但近几年有向高档题目发展的趋势。纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在实际解答平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。【典例1】解答下列问题： 1、在?ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB u u u r =（） A 34A B u u u r - 14A C u u u r B 14AB u u u r - 34AC u u u r C 34AB u u u r + 14AC u u u r D 14AB u u u r +34 AC u u u r 【解析】【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形一边上中线的定义与性质。【解题思路】运用向量几何运算的基本方法和三角形一边上中线的性质，结合问题条件求出向量EB u u u r 关于向量AB u u u r ，AC u u u r 的式子就可得出选项。 A 【详细解答】如图，Q ?ABC 中，AD 为BC 边上的中线，BC uuu r =AC u u u r -AB u u u r ，∴AD u u u r =AC u u u r -DC u u u r =AC u u u r -12 E BC uuu r =12AC u u u r +12AB u u u r ，Q E 为AD 的中点，∴AE u u u r B D C =12AD u u u r =14AC u u u r +14AB u u u r ，?EB u u u r =AB u u u r -AE u u u r =AB u u u r - 14AC u u u r -14AB u u u r =34AB u u u r - 14 AC u u u r , ?A 正确，∴选A 。 2、如图，在正方形ABCD 中，F 是边CD 上靠近D 点的三等分点， A D 连接BF 交AC 于点E ，若BE u u u r =m AB u u u r +n AC u u u r （m ，n ∈R ），则m+n E F 的值是（） A -15 B 15 C -25 D 25 B C 【解析】【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③正方形的定义与性质；④方程组的定义与解法。【解题思路】运用正方形的性质和向量几何运算的基本方法，结合问题条件把BE u u u r 表示成 AB u u u r ，AC u u u r 的式子，与已知式子比较得到关于m ，n 的方程组，求解方程组得出m ，n 的值就可求出m+n 的值，从而得出选项。【详细解答】如图，Q F 是边CD 上靠近D 点的三等分点，ABCD 是正方形，∴BC uuu r =

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算 1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 ②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。 ③单位向量：模为1个单位长度的向量。向量a为单位向量｜a｜＝1.

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。大小相等，方向相同 (x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2. 2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。 1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。 3.向量的减法 ①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a。零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0. iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0. 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

平面向量总结

平面向量总结（文）人教版1. 向量的有关概念 2. 向量的加法与减法（1）加法法则：三角形法则与平行四边有法则三角形法则：首尾相接平行四边形法则：起点相同（2）运算性质：a a a a b b a= + = + + = +0 ,，) ( ) (c b a c b a+ + = + + （3）减法法则： b a-是起点O连接a，b终点指向被减数的向量（4）常用结论：BA AB- = AD CD BC AB= + +；CB AC AB= - 1 1 3 2 2 1 = + + + + - A A A A A A A A n n n + ≤ ≤ （5）重要结论已知b OB a OA= =,，C是A、B中点，则) ( 2 1 OB OA OC+ = 3. 平面向量的数量积（1）两平面向量的夹角 θ = ∠ = =AOB , , 范围：? ≤ ≤ ?180 0θ （2）与的数量积（内积）定义： 2 1 2 1 y y x x+ = = ?θ a b?的几何意义： <1> ?等于的长度与在方向上的投影的乘积

<2> 在 2 1212 121y x y y x x ++= = θ （3）?的性质，设，是两个非零向量， ①002121=+?=??⊥y y x x ②当a 与b 同向时，a b ?= ；当a 与b 反向时，a b ?= ③222y x a b a +===?（实现模与向量内积的相互转化） ④两点间距离公式：若),(),(2211y x B y x A 、 221221)()(y y x x -+-= ⑤ 22 22 21 2 1 2121cos y x y x y y x x +?++= = θ（a 与b 的夹角θ） ⑥ ≤；【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知、为两个单位向量，下列命题正确的是（） A. = B. 0=? 1< D. 2 2 = 2. 2= 2 1 =，与的夹角为?60，则?=（） A. 41 B. 2 1 C. 1 D. 2 3. 已知ABC ?中，a AB =，b AC =，当0

平面向量题型归纳总结

平面向量题型归纳一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB u u u r 或a r 。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么（向量可以平移）。例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB u u u r 或||a r 。 3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e r 是单位向量，则||1e =r 。(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； 5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作： ∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0r )； ④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线；如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是（） A.AB CD =u u u r u u u r B.AB AD BD -=u u u r u u u r u u u r C.AD AB AC +=u u u r u u u r u u u r D.AD BC +=0u u u r u u u r 7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 、AB BA =-u u u r u u u r 。例：下列命题：（1）若a b =r r ，则a b =r r 。（2）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r 。（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。（4）若 ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。其中正确的是_______ 题型1、基本概念 1：给出下列命题： ①若|a r |＝|b r |，则a r =b r ；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行； ④若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ；⑤若 a r b r b r c r a r c r 00a ?=r r 00a ?=r AB CD =u u u r u u u r AB CD =u u u r u u u r a r b r b r c r a r c r ma mb =r r a b =r r ma na =r r m n =a r b r a r b r ||||a b a b ?=?r r r r //a b r r ||||a b a b +=-r r r r a b ⊥r r 角形法则： AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ；AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；AB AC CB -=u u u r u u u r u u u r （指向被减数） 9.平行四边形法则：

初中数学知识归纳平面向量的几何应用与解题

初中数学知识归纳平面向量的几何应用与解题初中数学知识归纳：平面向量的几何应用与解题平面向量是初中数学中重要的概念之一，它不仅有着丰富的几何应用，还能帮助我们解决各种问题。本文将对平面向量的几何应用与解题进行归纳总结，帮助初中生们更好地理解和应用平面向量的知识。一、平面向量的定义及表示方法在介绍平面向量的几何应用之前，我们先来回顾一下平面向量的定义及表示方法。平面向量可以定义为具有大小和方向的箭头，常用大写字母表示，如向量A、向量B等。表示方法有两种：以坐标表示和以起点终点表示。以坐标表示时，若向量A的坐标为(a, b)，则向量A 的起点为原点(0, 0)，终点为坐标(a, b)；以起点终点表示时，可以用带箭头的线段来表示向量，箭头所指方向为向量的方向。二、平面向量的加法与减法平面向量的加法与减法是指两个向量之间进行运算，得到一个新的向量。向量的加法与减法具有几何意义，可以用平行四边形法则进行计算。若有向量A和向量B，则它们的和表示为向量A + 向量B，差表示为向量A - 向量B。在计算过程中，我们需要将两个向量的起点重合，然后将两个向量依次相接，得到一个新的向量。这一运算方式在解决平面几何问题时，特别有用。三、平面向量的数量积

平面向量的数量积也称为点积，是指两个向量之间的运算。数量积的结果为标量，表示为两个向量的乘积再乘以夹角的余弦值。即若有向量A和向量B，它们的数量积表示为A·B=|A||B|cosθ。其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两向量之间的夹角。数量积具有多种几何应用，如判断向量的垂直、平行关系等。四、平面向量的解题方法 1. 利用向量的加法与减法解题：在解决平面几何问题时，我们可以将复杂的问题转化为向量的加法与减法。根据已知条件，我们可以设立方程组，然后利用向量的加法和减法运算，解出未知量。 2. 利用平面向量的数量积解题：平面向量的数量积可以帮助我们解决一些几何问题，如判断向量的垂直、平行关系等。在解决这类问题时，我们可以先计算出向量的数量积，然后利用数量积的性质进行推理。 3. 利用平移法解题：平移法是一种常用的解题方法，它利用平面向量的平移特性，将几何图形进行平移，然后通过平移后的对应关系，解决一些几何问题。五、平面向量的应用举例 1. 平面向量在平行四边形中的应用：平行四边形是平面向量最常见的应用之一。利用平行四边形法则，我们可以解决一些与平行四边形相关的问题，如求对角线的交点、判断三角形是否为等边三角形等。

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。一、向量的加减 1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。 2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。其中，-b 表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。 1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ + y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b = |a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。 2. 性质 (1) 交换律：a·b = b·a (2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c (3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数 (4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量 (5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示： 1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。 2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。四、常见题型解析 1. 求向量的模长对于一个向量a(x, y)，其模长|a| = √(x² + y²)，可以根据该公式求得。

初中数学中的平面向量总结

初中数学中的平面向量总结平面向量是在平面上具有大小和方向的量，经常在初中数学中出现。在学习平面向量的过程中，我们需要掌握平面向量的定义、运算法则、共线与共点、向量的投影等基本概念。本文将对这些内容进行总结和归纳。一、平面向量的定义和表示方法平面向量通常用一个有大小和方向的箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。平面向量通常使用字母加上一个右箭头来表示，例如表示向量AB的平面向量为→AB。二、平面向量的加减运算 1. 平面向量的加法：两个平面向量的加法就是将这两个向量的起点重合，然后通过把一个向量的终点和另一个向量的起点相连接，绘制出一个新的向量。向量加法满足交换律和结合律。 2. 平面向量的减法：两个平面向量的减法就是将被减向量的起点与减向量的起点重合，然后通过把被减向量的终点和减向量的终点相连接，绘制出一个新的向量。向量减法也满足交换律。三、平面向量的数量积和向量积 1. 平面向量的数量积：设有两个向量AB和CD，它们之间的数量积用AB·CD 来表示。数量积的计算方法是将两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。 2. 平面向量的向量积：两个平面向量的向量积用AB×CD来表示，向量积的大小等于两个向量的模长的乘积再乘以它们的夹角的正弦值。向量积还有一个重要的性质，即向量积垂直于与之垂直的两个向量。四、共线与共点

1. 共线：如果两个向量的夹角为0度或180度，那么这两个向量是共线的。如果两个向量共线，那么其中一个向量一定可以表示为另一个向量的倍数。 2. 共点：如果两个向量的起点和终点重合，那么这两个向量是共点的。共点的向量一般用有相同起点和终点的线段来表示。五、向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影分量，它可以表示两个向量之间的夹角。向量的投影有点到直线的投影和向量到向量的投影两种情况。 1. 向量的投影：设有一个向量A和一个向量B，向量A在向量B上的投影记作projB A。这个投影向量的大小等于向量A和向量B之间夹角的余弦值乘以向量A的长度。 2. 点到直线的投影：设点P在直线L上，点P到直线L的投影记作projL P。投影的位置可以通过垂直于直线的线段来找到，投影的大小等于点到直线的距离。六、平面向量的应用平面向量在初中数学中有许多应用，包括解决几何问题、力的合成与分解、速度的合成与分解等。通过运用平面向量的知识，我们可以更好地分析和解决各种问题。总结：初中数学中的平面向量是一个重要的概念，它涉及到向量的定义、运算法则、共线与共点、向量的投影等内容。通过学习平面向量，不仅可以提高我们分析问题和解决问题的能力，还能够为我们更深入地学习高中数学打下扎实的基础。因此，我们需要牢固掌握平面向量的基本概念和运算法则，并能够灵活运用它们解决实际问题。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如：AB 几何表示法 AB ,a ；坐标表示法 ),(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模长度,记作|AB |即向量的大小,记作｜a ｜向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔ ｜a ｜＝由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．注意与0的区别 ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1 ④平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 行任意的平移即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为 b a =大小相等,方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法

设,AB a BC b ==,则a +b =AB BC +=AC 1a a a =+=+00；2向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： 1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 2 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时,用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++ ++=,但这时必须“首尾相连”． 3向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量记作a -,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： i )(a --=a ； ii a +a -=a -+a =0 ； iii 若a 、b 是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差, 记作：)(b a b a -+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法 ③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量a 、b 有共同起点 4实数与向量的积： ①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的长度与方向规定如下： Ⅰa a ⋅=λλ；

平面向量几何法解题技巧

平面向量几何法解题技巧平面向量几何法是高中数学中的一项重要内容，它可以解决各种几何问题，包括线的垂直、平行、中点、角平分线等等。本文将介绍平面向量几何法的基本概念、解题技巧以及应用实例，希望对读者有所帮助。一、平面向量的基本概念平面向量是代表平面上的一定方向和大小的量，由一个有向线段和箭头来表示。它可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x方向和y方向上的分量。向量的大小表示为模长，一般用||AB||表示，其中AB 为向量的有向线段。模长可以使用勾股定理计算： ||AB||=√(a²+b²). 向量的方向表示为方向角，它与x轴正方向的夹角记为α（0°≤α＜360°或0≤α＜2π），可以使用以下公式计算： α＝arctan(b/a) (a＞0) α＝π+arctan(b/a) (a＜0, b≥0) α＝-π+arctan(b/a) (a＜0, b＜0) α＝π/2 (a=0, b＞0) α＝-π/2 (a=0, b＜0) 二、平面向量几何法的解题技巧

1. 向量的加减两个向量的加法表示以一个向量为起点，以另一个向量为终点的有向线段，公式为：AB+BC=AC。两个向量的减法则表示从一个向量的终点到另一个向量的起点的有向线段，例如：AC-AB=BC。 2. 向量的数量积向量的数量积是一个纯量（一个数），记作a·b，它定义为a和b的模长的乘积与它们夹角的余弦值的积，也就是a·b=||a||·||b||·cosα。向量的数量积还可以用来求两个向量之间的夹角，公式为 cosα=a·b/||a||·||b||。 3. 向量的叉积向量的叉积是一个向量，它表示的是由两个向量围成的平行四边形的面积和方向。公式为： a×b=||a||·||b||·sinα·n，其中n为满足右手定则的单位向量，其方向与两个向量所在平面垂直，且a、b、n 组成一个右手系。向量的叉积还可以用来判断两个向量是否共线，当a×b=0时，a和b共线。 4. 向量的应用平面向量几何法可以应用到各种几何问题中，以下是一些例子。（1）求线段的中点

高中数学经典解题技巧和方法平面向量

高中数学经典解题技巧和方法平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。（3）理解向量的几何意义。2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。5.向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。一、向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。 2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。 3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻例1：（2022·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b（p,q)，令a⊙bmqnp，下面说法错误的是（） A.若a与b共线，则a⊙b0 B.a⊙bb⊙a 2222C.对任意的R，有(a)⊙b(a⊙b)D.(a⊙b)(ab)ab

平面向量常见题型与解题方法归纳学生版

平面向量常见题型与解题方法归纳 1 常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算例1：已知a 是以点A 3;－1为起点;且与向量b = －3;4平行的单位向量;则向量a 的终点坐标是 . 例2：已知| a |=1;| b |=1;a 与b 的夹角为60°; x =2a －b ;y =3b －a ;则x 与y 的夹角的余弦是多少题型二：向量共线与垂直条件的考查例11,a b 为非零向量..“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2已知O;N;P 在ABC ∆所在平面内;且,0OA OB OC NA NB NC ==++=;且 PA PB PB PC PC PA •=•=•;则点O;N;P 依次是ABC ∆的 A.重心外心垂心 B.重心外心内心 C.外心重心垂心 D.外心重心内心例2．已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21; 2 3.1 若存在实数k 和t ;便得x ＝a ＋t 2－3b ; y ＝－k a ＋t b ;且x ⊥y ;试求函数的关系式k ＝ft ；2 根据1的结论;确定k ＝ft 的单调区间. 例3：已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21;23;若存在不为零的实数k 和角α;使向量c ＝a ＋sin α－3b ; d ＝－k a ＋sin αb ;且c ⊥d ;试求实数k 的取值范围.

例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ;若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2+-=++=与垂直;求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合;题目新颖而又精巧;既符合在知识的“交汇处”构题;又加强了对双基的考查. 例7．设函数f x ＝a · b ;其中向量a ＝2cos x ; 1; b ＝cos x ;3sin2x ; x ∈R.1若f x ＝1－3且x ∈－ 3π;3π;求x ；2若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝m ; n m ﹤2 π平移后得到函数y ＝f x 的图象;求实数m 、n 的值. 例8：已知a =cosα;sin α;b =cosβ;sinβ0<α<β<π;1求证： a +b 与a -b 互相垂直； 2若k a +b 与a -k b 的模大小相等k ∈R 且k ≠0;求β－α 巩固练习 1.函数cos(2)26y x π =+-的图象F 按向量a 平移到'F ;'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时;向量a 可以等于 .(,2)6A π -- .(,2)6B π - .(,2)6C π- .(,2)6 D π 1. 2.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ;它们的夹角为120o . 如图所示;点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若 ,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈;则x y +的最大值是________. 3给出下列命题 ① 非零向量a 、b 满足|a |=|b |=|a -b |;则a 与a +b 的夹角为30°； ② a ·b ＞0是a 、b 的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数y =|x -1|的图象按向量a =-1;0平移;得到的图像对应的函数为y =|x |； ④若AC AB +·AC AB -=0;则△ABC 为等腰三角形以上命题正确的是 ..注：把你认为正确的命题的序号都填上