平面向量知识点总结(精华)

必修4 平面向量知识点小结

一、向量的基本概念

1.向量的概念:既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示.

注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示:向量可以平移。

举例 1 已知，，则把向量按向量平移后得到的向量是_____。结果：

2。零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：,规定：零向量的方向是任意的；

3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是）;

4。相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;

5。平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作:∥,

规定：零向量和任何向量平行。

注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合;

③平行向量无传递性！(因为有)；

④三点共线共线。

6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量记作。

举例2 如下列命题：（1）若，则.

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若,则是平行四边形。

(4）若是平行四边形，则。

（5)若，，则.

(6）若，则。其中正确的是。结果：（4)（5）

二、向量的表示方法

1。几何表示:用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；

2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

3。坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的

两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.

结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.

三、平面向量的基本定理

定理设同一平面内的一组基底向量,是该平面内任一向量,则存在唯一实数对，使.

（1）定理核心:；（2）从左向右看,是对向量的分解，且表达式唯一；反之，是对向量的合成。

(3）向量的正交分解：当时，就说为对向量的正交分解．

举例3 （1）若，,，则. 结果：。

（2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 B

A。, B。， C。， D.，

（3）已知分别是的边，上的中线，且，,则可用向量表示为。结果：.

(4）已知中，点在边上，且，，则的值是. 结果：0。

四、实数与向量的积

实数与向量的积是一个向量,记作，它的长度和方向规定如下：

（1）模：；

（2）方向：当时,的方向与的方向相同,当时，的方向与的方向相反，当时，，

注意：。

五、平面向量的数量积

1。两个向量的夹角：对于非零向量，，作,，则把称为向量,的夹角。

当时，，同向;当时，，反向；当时,，垂直。

2.平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积）,记作：，即.

规定：零向量与任一向量的数量积是0.

注：数量积是一个实数，不再是一个向量.

举例4 (1）中，，，，则_________. 结果:.

(2)已知，，，,与的夹角为，则 ____。结果：1.

（3）已知,，，则____。结果：。

（4）已知是两个非零向量，且，则与的夹角为____。结果：.

3.向量在向量上的投影：，它是一个实数,但不一定大于0.

举例5 已知，，且，则向量在向量上的投影为______。结果：.

4.的几何意义:数量积等于的模与在上的投影的积.

5.向量数量积的性质：设两个非零向量，,其夹角为,则:

(1）；

（2)当、同向时，,特别地，；

是、同向的充要分条件;

当、反向时,，是、反向的充要分条件；

当为锐角时,，且、不同向，是为锐角的必要不充分条件；

当为钝角时，,且、不反向；是为钝角的必要不充分条件.

（3)非零向量，夹角的计算公式:；④。

举例6 （1）已知，,如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______. 结果:或且；

(2）已知的面积为，且,若,则，夹角的取值范围是_________。结果：;

(3)已知，,且满足（其中）。

①用表示；②求的最小值,并求此时与的夹角的大小. 结果：①；②最小值为，。

六、向量的运算

1。几何运算

(1）向量加法

运算法则:①平行四边形法则；②三角形法则。

运算形式：若，，则向量叫做与的和，即;

作图：略。

注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.

（2）向量的减法

运算法则：三角形法则。

运算形式：若，，则，即由减向量的终点指向被减向量的终点。

作图:略。

注：减向量与被减向量的起点相同。

举例7 （1）化简：①；②；③. 结果：①；②;③；

（2）若正方形的边长为1，,，，则。结果:；

（3）若是所在平面内一点，且满足，则的形状为. 结果：

直角三角形；

（4）若为的边的中点,所在平面内有一点，满足,设，则的值为。结果:2；

(5）若点是的外心,且，则的内角为. 结果：.

2。坐标运算：设，,则

(1）向量的加减法运算：，。

举例8 （1）已知点，,，若,则当____时，点在第一、三象限的角平分线上。结果:；

(2）已知，，且，，则。结果：或;

（3)已知作用在点的三个力,，，则合力的终点坐标是。结果：。

（2）实数与向量的积：.

(3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的

终点坐标减去起点坐标。

举例9 设，，且,，则的坐标分别是__________。结果:.

（4)平面向量数量积：。

举例10 已知向量，，。

（1)若，求向量、的夹角;

（2）若，函数的最大值为，求的值.结果：（1）；（2)或.

（5）向量的模：.

举例11 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝. 结果：.

(6）两点间的距离：若，，则.

举例12 如图，在平面斜坐标系中，

的斜坐标是这样定义的:

位向量，则点斜坐标为.

（1)若点的斜坐标为，求到的距离；

（2）求以为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。

结果：（1）2；（2).

七、向量的运算律

1。交换律：，，；

2.结合律:，，;

3。分配律：，，.

举例13 给出下列命题：①；②；③；

④若,则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨.

其中正确的是。结果：①⑥⑨。

说明：(1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式,可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模，两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约）；

（2）向量的“乘法”不满足结合律,即,为什么？

八、向量平行（共线）的充要条件

.

举例14 (1)若向量，，当_____时,与共线且方向相同。结果：2.

（2）已知，，，,且,则. 结果:4。

（3)设，,，则 _____时，共线. 结果：或11.

九、向量垂直的充要条件

.

特别地.

举例15 (1）已知，，若，则。结果:；

(2）以原点和为两个顶点作等腰直角三角形，，则点的坐标是。结果:（1,3）或（3,－1））；

（3）已知向量，且，则的坐标是.结果：或.

十、线段的定比分点

1.定义：设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个实数，使，则实数叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点.

2.的符号与分点的位置之间的关系

（1）内分线段，即点在线段上；

（2）外分线段时,①点在线段的延长线上,②点在线段的反向延长线上。

注：若点分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为。

举例16若点分所成的比为，则分所成的比为. 结果：.

3。线段的定比分点坐标公式:

设,，点分有向线段所成的比为,则定比分点坐标公式为。

特别地，当时，就得到线段的中点坐标公式

说明：（1)在使用定比分点的坐标公式时,应明确,、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.

（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点,分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.

举例17（1）若，，且，则点的坐标为。结果：；

（2)已知，,直线与线段交于，且，则。结果：２或.

十一、平移公式

如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.

说明:（1）函数按向量平移与平常“左加右减"有何联系？（2）

向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！

举例18 （1）按向量把平移到,则按向量把点平移到点______. 结果：；

（2)函数的图象按向量平移后,所得函数的解析式是，则

________。结果：。

十二、向量中一些常用的结论

1。一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

2。模的性质：.

（1）右边等号成立条件：同向或中有；

（2)左边等号成立条件:反向或中有；

（3）当不共线.

3.三角形重心公式

在中,若,，，则其重心的坐标为。

举例19 若的三边的中点分别为、、,则的重心的坐标为.结果：.

5.三角形“三心”的向量表示

（1)为△的重心，特别地为△的重心。

（2）为△的垂心.

（3）为△的内心；向量所在直线过△的内心.

6。点分有向线段所成的比向量形式

设点分有向线段所成的比为，若为平面内的任一点，则，特别地

为有向线段的中点.

7。向量中三终点共线存在实数，使得且．

举例20 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，，若点满足，其中且，则点的轨迹是. 结果：直线.