平面向量知识点归纳

平面向量

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r

共线的单位向量是||

AB AB ±u u u r u u u r

)；

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何

向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0r

)；

④三点A B C 、、共线⇔ AB AC u u u r u u u r

、

共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如

下列命题：（1）若a b =r r

，则a b =r r 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =u u u r u u u r ，

则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r

。（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r

。其中正确的是_______（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如

，注意起点在前，终点在后；

2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，j 为基底，则平面内的任一向

量a 可表示为(),a xi y j x y =+=r r r

，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起

点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数

1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如

（1）若(1,1),a b ==

r r

(1,1),(1,2)c -=-r ，则c =r ______（答：1322

a b -r r

）；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. 12(0,0),(1,2)e e ==-u r u u r

B.

12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u r

C. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u r

D.

1213(2,3),(,)24

e e =-=-u r u u r

（答：B ）；

（3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC u u u r

可用向量,a b r r 表示为_____

（答：2433

a b +r r

）；

（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→

−=DB CD

2，−→

−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___

（答：0）

四．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=r r

当

λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ＝0时，0a λ=r r

，注意：λ≠0。

五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r

，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝

2

π

时，，垂直。

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r

叫做与的数量积

（或内积或点积），记作：•，即•＝cos a b θr r

。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个

实数，不再是一个向量。如

（1）已知11(1,

),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-r

r r r r u r r r ，c r 与d u r 的夹角为4

π

，则k 等于____ （答：1）；

（2）已知2,5,3a b a b ===-r r r r g ，则a b +r r

等于____

）；

（3）已知,a b r r 是两个非零向量，且a b a b ==-r r r r ，则与a a b +r r r

的夹角为____

（答：30o

）

3．b 在a 上的投影为||cos b θr

，它是一个实数，但不一定大于0。如

已知3||

=→

a ，5||=→

b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______（答：5

12

）

4．•的几何意义：数量积•等于的模||a r

与在上的投影的积。

5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：

①0a b a b ⊥⇔•=r r r r

；

②当a ，b 同向时，a •b ＝a b

r r ，特别地，22,a a a a a =•==r r r r r ；当a 与b 反向时，a •b ＝－

a b r r ；③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b

a b

θ•=r r

r r ；④||||||a b a b •≤r r r r 。如

（1）已知)2,(λλ=→

a

，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______

（答：43λ<-或0λ>且1

3

λ≠）；

六．向量的运算：

1．几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可

利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AC u u u r 叫做a r 与b r

的和，即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r ；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=u u u r r u u u r r r r u u u r u u u r u u u r

那么，由减向量的终点指向被

减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如

（1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r ____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r

_____

（答：①AD u u u r ；②CB u u u r ；③0r

）；

（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r

＝_____

（答：）；

2．坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r

，则：

①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±r r

，12)y y ±。如

（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈u u u r u u u r u u u r

，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角

平分线上

（答：

1

2

）； （2）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=u u r u u r u u r ，则合力123F F F F =++u r u u r u u r u u r

的终点坐标是

（答：（9,1））

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r

。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r

，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如

设(2,3),(1,5)A B -，且13

AC AB =u u u r u u u r ，3AD AB =u u u

r u u u r ，则C 、D 的坐标分别是__________

（答：11

(1,

),(7,9)3

-）； ④平面向量数量积：1212a b x x y y •=+r r

。如

已知向量＝（sinx ，cosx ）,

＝（sinx ，sinx ）, ＝（－1，0）,若x ＝

3

π

，求向量、的夹角；

⑤向量的模：222

2

||||a a a x y ===+r r r 。如

已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为60o

，那么|3|a b +u u r r ＝_____

⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则||AB =。

七．向量的运算律：

1．交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λμλμ=r r ，a b b a •=•r r r r

；

2．结合律：(

)

(

),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+r r r r r r r r r r r r ，()()()a b a b a b

λλλ•=•=•r r r r r r

；

3．分配律：()()

,a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+r r r r r r r ，()

a b c a c b c +•=•+•r r r r r r r

。

如

下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-

⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2

()a b →→

-2||a →

=

22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅r r r r 则a c =r r ；⑥22a a =r r ；⑦2a b b

a a

⋅=r r r

r

r ；

⑧222()a b a b ⋅=⋅r r r r ；⑨22

2()2a b a a b b -=-⋅+r r r r r r 。其中正确的是_____（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即c b a c b a )()

(•≠•，为什么？

八．向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=r r r r

22()(||||)a b a b ⇔⋅=r r r r 1212x y y x ⇔-＝0。如 (1)若向量(,1),(4,)a x b x ==r r

，当x ＝_____时a r 与b r 共线且方向相同（答：2）；

（2）已知(1,1),(4,)a b x ==r r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r r r ，且//u v r r

，则x ＝______（答：4）；

（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===u u u r u u u r u u u r

，则k ＝_____时，A,B,C 共线（答：－2或11）

九．向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-r r r r r r r r

12120x x y y ⇔+=.

如

(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = （答：32

）；

（2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是________

（答：(1,3)或（3，－1））；

（3）已知(,),n a b =r 向量n m ⊥r u r ，且n m =r u r

，则m u r 的坐标是________ （答：(,)(,)b a b a --或）