“加法与乘法运算律”内容分析与案例

“加法与乘法运算律”内容分析与案例

《标准》在第二学段的课程内容中关于运算律提出两点要求：第一，“探

索并了解运算律（包括加法的运算律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法

对加法的分配律）；第二，会应用运算律进行一些简便运算。可见，加法和乘

法的运算律是小学阶段“数与代数”领域的一个重要内容。

一、《标准》中安排运算律内容的意图

《标准》中安排这个内容的意图，我们从三个方面来交流讨论，理解它的

价值。

（一）有助于对运算意义的理解

我们都知道，从数学发展的逻辑体系来看，加法运算是四则运算的基础，

减法是加法的逆运算，乘法是一种特殊的加法，除法是乘法的逆运算。可见，

加法运算和乘法运算是学习减法和除法运算的基础。运算律是指运算过程中，

被事实所证明的四则运算变化发展的基本规律，有助于对四则运算意义本质的

理解。如：加法的交换律和结合律，无论在运算过程中是交换加数的位置，还

是改变运算顺序，仍然还是求和的并集运算，所以这样的变化，都不会影响计

算的结果。乘法分配律(a+b ) × c=a × c+b × c 变化后的算式与原来算式相比，变化很大：步数增加，运算顺序改变，但是为什么结果不变呢？有的学

生在探究中感受到，因为 a 个 c 加上 b 个 c ，就是 (a+b ) 个 c ，所以说学习运算律，在理解形式改变了，而结果不变的道理时，会进一步加深对加法

和乘法运算意义的理解。

（二）有助于对运算本质的理解

在第二阶段安排这个内容，一般教科书都安排在四则混合运算的后面，也

就是在突出四则混合运算顺序在运算中的必要性后来学习运算律。因为运算顺序是关于运算的一般规则，一般运算如果不遵循运算顺序的一般规则，将会导

致错误的结果，而运算律虽然改变了运算顺序，但运算结果并没有改变，这就

是算式的等值变形，即改变算式的形式并确保算式的值不变，这就是运算的本质。所以把四则混合运算和运算律紧挨着编排，能给学生关于“运算”的一个

整体认识，可以使学生全面看待运算问题。

（三）有助于提升学生的运算能力

运算的正确、合理、灵活和简捷是运算能力的主要标志。

其一，运算能力的首要标志就是正确、合理。运算正确和合理，涉及到算

法和算理问题。算法是实施四则运算的基本程序和方法，也就是依据某种规则

的操作方法，主要解决“怎么计算”的问题；算理，简单地说，就是运算的道理、想法，严格地说，是四则运算的依据，为计算提供了正确的思维方式，保

证了计算的合理性和正确性。我们有体会，算法为计算提供了快捷的操作方法，

提高了计算的速度，算理为算法提供了依据，那么，这里的依据，主要是指数的概念、运算定律、运算性质等知识，那么加法与乘法的运算律就是加法和乘法有关运算提供了依据，有的还是重要的依据。

其二，运算能力的标志就是灵活简捷。也就是根据题目的具体特点（即数据特点、运算符号），不一定按部就班地计算，可以运用运算律寻找更加合理简洁的运算途径，改变算式的形式，确保算式的值不变，使运算变得简洁，体会算法的多样性和普适性。

二、加法与乘法运算律的具体内容分析

下面我们分三个方面来谈这个问题。

（一）关于 5 个运算律的意义

加法交换律就是交换两个加数的位置，和不变；加法结合律就是三个数相加，可以先加两个数，也可以先加后两个数，和不变；乘法交换律是交换两个因数的位置，积不变；乘法结合律是三个数相乘，可以先乘前两个因数，也可以先乘后两个因数，积不变；乘法分配律是两个数的和与一个数相乘，可以把这两个加数分别和这个数相乘，结果不变。

这个就是小学阶段 5 个运算律的基本内容，我们可以从以下三个方面来把握。

第一，运算律的表达形式是一个恒等式，是对原来的算式进行等值变形。

第二，变化过程中，加法和乘法交换律变化特点是只改变数的位置，其他都不变化；加法结合律和乘法结合律的变化特点是只改变运算顺序，其他都不变化；而乘法分配律变化比较多：运算的步数变多了，运算顺序也改变了，数的位置也改变。所以它是学生学习的难点。

第三，这 5 个运算律都是最基本的，可以拓展，如交换律与结合律可以拓展为 3 、 4 个数等；乘法分配律可以拓展为多个数的和与一个数相乘；或拓展为两个数的差与一个数相乘。也就是说乘法可以对加法进行分配，也可以对减法进行分配，还可以根据除以一个数等于乘一个数的倒数，可以拓展到除法商，即两个数的和或差除以一个数的算式，可以应用分配律。

小学阶段学习运算律，更多的是让学生经历探索的过程，加深对意义的理解；二是关于运算，一般都不超过三步，所以基本的就够用了。对有余力的学生教师可以适当拓展。实质上如果学生能理解得好，将来需要，自然会主动迁移拓展。

（二）关于教学内容的编排

关于 5 个基本运算律的集中系统学习是在第二学段，很多版本的教科书一般都在四年级，安排在整数四则混合运算之后，小数、分数混合运算之前。

表面上看，好像只有一次学习运算律，实质上，也和数的认识、数的四则

运算一样，它是螺旋上升，逐步加深的。可以认为有这样三个阶段：第一阶段

在第一学段中就出现了，融合在四则运算和混合运算方法的探索中以及解决简

单的实际问题中；第二阶段一般在四年级系统学习运算律的意义和应用；第三

阶段一般在五、六年级，主要是在小数、分数的混合运算中直接应用运算律使

计算简便。

这三个阶段目标要求的程度是不一样的。第一阶段没有出现概念，是自然

渗透、自觉运用，因为运算律是被事实所证明的四则运算变化发展的基本规律，学生能够结合生活实例或具体的题目，对运算律有所感悟和体会。例如，三年

级学习口算1 3 × 12 ，很多同学都能这样计算：13 × 10+13 ×

2=130+26=156 ；二年级解决问题时，列出了连加法 109+134+91 ，有的学生就能结合问题情境，先算 109+91 再加 134 ，这样的例子有很多，学生凭借直觉已经认可和接纳了这些规律，并能在计算和解决问题中主动运用。

第二阶段的系统学习，主要是进一步丰富运算律的现实背景，经历探索运

算律的过程，理解 5 个运算律的运算意义，并能用字母表达，应用运算律使一些运算简便，同时培养合情推理能力。

第三阶段是进一步加深对意义的理解和进一步拓展应用阶段，也就是在小数、分数四则运算和混合运算中直接应用。在整数中发现的一些运算的定律，当数域扩大的时候，严格地说应该进行重新的证明，但小学数学中一般不展开

严谨的证明。但是为了对后续学习保持思想的一致，应该在使用规律之前做一

点说明：如乘法交换律也是适用于分数和小数的计算，可以举例说明，算式、

画图表示更为清楚。

运算律的学习，主要内容是运算律本身的意义，应用运算律探索计算方法，以及应用运算进行简便计算三个方面的内容。它所承载的课程目标有哪些呢？

基本知识与技能：理解运算律的含义，会用字母表示，掌握基本的简便运

算方法。

数学思考方面：在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果；会独立思考，体会一些数学的基本思想。

解决问题方面：初步学会从数学的角度发现问题和提出问题；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性；学会与他人合作

交流。

情感态度：在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值；初步养成乐于思考、勇于质疑、言必有据等良好品质。

三、运算律内容主要的教学策略与建议

（一）恰当地选择好学习起点问题，让学生经历提出与发现问题的过程

学生的学习起点一般有两条路径：从现实问题出发，在解决简单实际问题

过程中抽象出运算律的等式；另一个就是数学问题的起点，直接从抽象的算式

入手，获得运算律的等式。北师版教科书就同时有这两种思路的编排，如：学

生已经积累了关于运算律意义和简便运算的活动经验，而且加法和乘法的交换

律和结合律都比较容易理解，所以教学时，可以直接观察已知算式的特点来引

入新知识的学习；而乘法的运算律比较复杂，在理解上有一定的难度，建议以

现实为起点，从生活中的实例引入。

不一定所有新知识的学习都要以现实问题为起点，也可以根据知识的特点，直接从数学问题入手，不能僵化。其次要强调的，无论怎样引入，都要给学生

提供可观察的算式，让学生自己通过观察等式的特点，初步发现规律，然后尝

试着自己举出例子，来确认规律，然后通过归纳法，总结发现，提出规律。因

为一般的定理都要求证明，但是小学生严格的演绎证明是有一定困难的，一般

是采用归纳法，进行合情推理，从而经历提出问题、发现问题的过程，积累推

理的活动经验。

（二）充分运用生活实例或直观模型，解释和理解运算律的含义

在前面学习四则运算时，为了让学生深刻地理解四则运算的意义，都让学

生结合算式编故事，这是抽象回到具体的过程，对运算律的理解学习同样适用。在总结出规律后，可以给学生提供现实问题和解决问题的算式，让学生结合起来，解释等式为什么是成立的，也可以直接给具体运算律的表达式，让学生编

故事，也可以给一些直观模型，如两个长方形的电子图可以帮助学生理解乘法

分配律，很多个小立方块组成的大一点的长方体，可以帮助学生解释乘法结合

律等等，都可以帮助学生直观、形象地理解运算律的含义，加深理解。

（三）简便运算以解决基本问题为主，降低学习的难度

运算律可以使一些运算简便，但不是运算律价值的全部。《标准》强调掌

握“比较”的运算技能，不要拔高要求。重要的是掌握基本的简便运算的方法，问题大都符合运算律的基本形式，可以直接应用运算律进行简便运算，主要目

的是培养学生简便运算的意识，感受计算方法的多样化。而对于一些较难的算式，由于应用运算律时要进行等值变形，过程比较复杂，也需要一些技巧，学

生往往容易出错。因此，教科书把一些简便运算的变式问题，拓展问题编排在“？”里，让学有余力的学生尝试，很多试题一般能按照混合运算顺序正确计

算就可以，这样，能减低简便运算的学习难度，淡化不必要的技巧训练，减轻

学习负担，增强学习计算问题的自信心。

（四）尊重学生的个性化表述，更强调用字母表述规律

加法的结合律和乘法的结合律、分配律表述起来比较麻烦，有部分学生是心里明白，能发现也能应用，但是不一定能简练概括意义的内容，只要学生用自己的话说明白就行了，不要求用规范的语言来表述，更不要求背诵。强调用字母代替数，写出发现的规律的字母表达式就行了，因为这也是一个由具体数值计算到符号表达的过程，能帮助学生完成由几个特例的共性特点归纳概括出一般性的结论，从而简练清晰地提出问题。在体会符号简洁美的同时，感悟归纳推理的魅力。