2020年高考考前大冲刺卷 文科数学(四)

2020年高考大冲刺卷 文 科 数 学（四） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2}A =，{2,3,4}B =，则

()U A B =I e（ ）

A ．{1,2,5,6}

B ．{1}

C ．{2}

D ．{1,2,3,4}

2．已知复数

5i

2i z =-，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3．3log 2，0.3log 2，0.20.3，0.23中最大的数是（ ）

A ．3log 2

B ．0.3log 2

C ．0.20.3

D ．0.23

4．古希腊雅典学派算法家道克萨斯提出来“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄

金分割点，具体方法如下：（1）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取

1

2BC AB =，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，

以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．如图所示，在ABC Rt △中，

扇形区域ADE 记为Ⅰ，扇形区域CBD 记为Ⅱ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率

为1p ，2p （参考数据：5 2.236≈），则下列说法正确的是（ ）

A ．12p p =

B ．12p p >

C ．12p p <

D ．无法确定 5．函数cos ()22x x x x f x -=+在ππ[,]22-上的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 6．某公司由三个部门组成，总职工人数是2000名，其中部门（一）有职工800人，部门（二）的职工人数只有总职工人数的四分之一．现用分层抽样的方法在全公司抽取60名职工，则在部门（三）中应抽取的职工人数是（ ） A ．15 B ．16 C ．21 D ．24 7．已知π1sin()54α-=，则3πcos(2)5α+=（ ） A ．78- B ．78 C ．18 D ．18- 8．已知向量31(,)22=a ，||2=b ，且3?=a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π2 C ．π4 D ．π3 9．某程序框图如图所示，其中21()g n n n =+，若输出20192020S =，则判断框内可以填入的条件为（ ） A ．2020?n < B ．2020?n ≤ C ．2020?n > D ．2020?n ≥

此卷只装订不密封 班

级

姓名

准

考证

号

考场号

座位

号

10．已知1F ，2F 为椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点，B 为椭圆短轴上的一个顶点，2

1212||BF BF F F ?≥u u u r u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）

A ．3

[,1)3 B ．3

(0,]3 C ．6(0,]6 D ．6

[,1)6

11．已知ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2222c a b ab -=-，且2c =，则2

2a b -的取值范围是（ ）

A ．(1,0)-

B ．(1,2)-

C ．(2,2)-

D ．(0,2)

12．过抛物线22y px =（0p >）焦点F 的直线与双曲线2

218y x -=的一条渐近线平行，并交其

抛物线于A 、B 两点，若||||AF BF >，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）

A ．2y x =

B ．22y x =

C ．24y x =

D ．28y x =

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数()2sin f x x x x =-在点ππ

(,())22f 处的切线方程为__________．

14．已知数列{}n a 的前n 项和为2

22n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为__________．

15．设当x θ=时，函数()sin 3cos f x x x =+取得最大值，则π

cos()4θ-=________．

16．在正三棱锥S ABC -中，侧面SAB 、侧面SAC 、侧面SBC 两两垂直，且侧棱23SA =， 则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为_________．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知数列{}n a 是首项11a =的正项等比数列，{}n b 是公差2d =的等差数列，且满足322b a =，341a b =+．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令13n n n b c a -=，求{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分）“学习强国”App 是由中宣部主管以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC 端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”，为了调研某地党员在“学习强国”App 的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”App 上所得的分数统计如下表所示： （1）现用分层抽样的方法从80分及以上的党员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数都在[90,100]上的概率； （2）为了调查“学习强国”App 得分情况是否受到所在单位的影响，研究人员随机抽取了机关事业单位党员以及国有企业党员作出调查，得到的数据如下表所示：

判断是否有99%的把握认为“学习强国”App得分情况受所在单位的影响．

附：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++．

19．（12分）如图，在三棱柱

111

ABC A B C

-中，已知AB⊥侧面

11

BB C C，1

AB BC

==，

1

2

BB=，

1

π

3

BCC

∠=．

（1）求证：

1

C B⊥平面ABC；

（2）求点

1

B到平面

11

ACC A的距离．

20．（12分）已知椭圆

22

22

1

x y

a b

+=（0

a b

>>）的离心率为

22

3

，一个焦点在直线24

y x

=-上，

直线l与椭圆交于P，Q两点，其中直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k．

（1）求椭圆方程；

（2）若

12

1

9

k k?=-，试问OPQ

△的面积是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理

由．

21．（12分）已知函数()ln a

f x x x x =+，32()3

g x x x =--，a ∈R ．

（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；

（2）若对任意的1x ，21

[,2]2x ∈，都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=??=?（t 为参数，且0t ≠），其中0πα≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos C ρθ=

，3:C ρθ=． （1）求2C 与3C 交点的直角坐标； （2）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：

（1）13

ab bc ca ++≤； （2）222

1a b c b c a

++≥．

2020年高考大冲刺卷

文 科 数 学（四）答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．答案：B

解：由{1,5,6}U B =e，得(){1}U A B =I e．

2．答案：C 解：5i

5i(2i)

5(12i)

12i 2i (2i)(2i)5z +-+====-+--+，则12i z =--，

其在复平面内对应的点位于第三象限．

3．答案：D

解：330log 2log 31<<=，0.30.3log 2log 10<=，0.2

000.30.31<<=，0.20331>=，

故选D ．

4．答案：C

解：根据几何概型可知，1p ，2p 的大小关系就是区域Ⅰ，Ⅱ的面积的大小关系，

2AB =，1BC =

，AC =1CD =

，1AE AD ==

，3BE =，

设A α=，则π

2C α=-，

∵1

tan 2α=<，∴π

6α<，

221111)22S AD αα=?=?，221π

1π

()()2222S BC αα=??-=?-，

22121π1ππ1π

1.236 1.236024226426S S αα-=?-+

∴12S S <，∴12p p <．

5．答案：C 解：由cos ()()22x x x x

f x f x --=-=-+，可知函数()f x 为奇函数，

所以函数图象关于原点对称， 当π02x <<时，()0f x >． 6．答案：C 解：200080050060212000--?=． 7．答案：A 解：由题意得3π3πππcos(2)cos 2()cos 2[()]51025ααα+=+=-- 22πππ72cos [()]12sin ()12558αα=---=--=-． 8．答案：A 解：设a 与b 的夹角为θ，

∵1,)22=a ，∴||1=a

，∴||||cos cos 2θθ?=?=?=a b a b ， ∵[0,π]θ∈，∴π6θ=． 9．答案：A 解：由22211111111(1)()()11222231S n n n n =+++=-+-++-++++L L

120191112020n n n =-==++， 解得2019n =，可得n 的值为2019时，满足判断框内的条件， 当n 的值为2020时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值， 故判断框内可以填入的条件为“2020?n <”． 10．答案：C 解：∵由椭圆定义可知：12||||BF BF a ==u u u r u u u u r ，12||||OF OF c ==u u u r u u u u r ， ∴1sin c OBF e a ∠==， ∴22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，

∵2

1212||BF BF F F ?≥u u u r u u u u r u u u u r ，即222(12)4e a c -≥，即22124e e -≥，得21

6e ≤，

∴06e <≤．

11．答案：B

解：由题222c a b -=

，可得22

2

cos 22a b c C ab +-==，

∵0πC <<，∴π

4C =， 由正弦定理可得2sin sin sin c b a

C B A ===，

∴2sin b B =，2sin a A =，且π

3π

π44A B B =--=-，

则3π

2sin 2sin()24a A B B B -==--

B B B B ==， ∵3π04B <<

，∴cos 12B -<<

，1B -<<

12．答案：C 解：设抛物线的焦点坐标为(,0)2p

，双曲线的一条渐近线方程为y =，

所以设直线为)2p

y x =-，

设00(,)A x y ，根据0||32p

AF x =+=，解得032p

x =-，

因为||||AF BF >，所以02p

x >

，0)y p =-， 即28(3)2(3)2p

p p -=-，解得2p =或4p =（舍），

即抛物线方程为24y x =．

第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案：0x y -= 解：∵ππ()22f =，π()2sin cos ()12f x x x x f ''=--?=， ∴()2sin f x x x x =-在点ππ(,())22f 处的切线方程为ππ1()22y x -=?-， 即0x y -=． 14．答案：1,123,2n n a n n =?=?-≥? 解：当1n =时，111a S ==； 当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-． ∵1n =时，1a 的值不适合2n ≥的解析式， 故{}n a 为的通项公式1,123,2n n a n n =?=?-≥?． 15

解：对于函数()sin 3cos )f x x x x ?=+=+，

其中cos ?=

sin ?=， 当x θ=

)θ?+=，即sin()1θ?+=， 故可令π2θ?+=，则π2θ?=-，

∴πsin sin()cos 2θ??=-==

，πcos cos()sin 2θ??=-==

∴πcos()(4210105θ-=+=． 16．答案：36π 解：因为侧面SAB 、侧面SAC 、侧面SBC 两两垂直，

所以把正三棱锥补成一个正方体， 则正方体的体对角线等于外接球的直径，正方体的体对角线的长为2336?=， 设外接球的半径为R ，则26R =，3R =，

所以外接球的表面积为24π4π936πR =?=．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．答案：（1）1

3n n a -=，2n b n =；（2）1

13n n n S +=-．

解：（1）设{}n a 的公比为q （0q >），

由已知条件可得1214261b q q b +=??=++?，解得123

b q =??=?，

∴1

3n n a -=，2n b n =．

（2）21

3n n n c -=，∴2313

5213333n n n S -=++++L ，①

213521

31333n n n S --=++++L ，②

②-①得12111

(1)22221

2133211213333313

n n n n n

n n S -----=++++-=+?--L ， ∴1

13n n n S +=-．

18．答案：（1）3

10；（2）没有99%的把握认为．

解：（1）由题意得，分数在[80,90)上抽取2人，记为a ，b ；

分数在[90,100]上抽取3人，记为A ，B ，C ．

选取2人作为学习小组长的基本事件有10个，

其中两位小组长的分数都在[90,100]上的有3个基本事件，∴所求概率3

10P =．

（2）完善表格如图，

22500(2205015080)0.173 6.635300*********K ??-?=≈

所以13BC =22211BC BC CC +=，所以1BC BC ⊥， 而BC AB B =I ，∴1BC ⊥平面ABC ． （2）点1B 到平面11ACC A 转化为点B 到平面11ACC A 的距离，136C ABC V -=， 172ACC S =△，111C ABC B ACC V V --=， 所以点1B 到平面11ACC A 的距离为217． 20．答案：（1）2219x y +=；（2）OPQ △的面积为定值，32． 解：（1）由题意可知椭圆的一个焦点为(22,0)，即而22c = 又23e =，所以3a =，1b =， 椭圆方程为2219x y +=． （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，

当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，

联立椭圆方程得222(91)18990k x kmx m +++-=， 则1221891km x x k -+=+，212299

91m x x k -=+，

2||91PQ k ==+，

点O

到直线的距离d =

1||2POQ S PQ d =?=△ 由22

121212121212()1

9

y y k x x km x x m k k x x x x +++===-，

化简得22921k m =-，代入上式得3

2POQ S =△， 若直线斜率不存在易算得3

2POQ S =△，

综合得，三角形POQ 的面积是定值3

2．

21．答案：（1）23y x =-；（2）1a ≥．

解：（1）当1a =-时，1

()ln f x x x x =-，(1)1f =-，

21

()ln 1f x x x '=++，(1)2f '=，

从而曲线()y f x =在1x =处的切线为2(1)1y x =--，即23y x =-．

（2）对任意的1x ，21

[,2]2x ∈，都有12()()f x g x ≥成立，从而min max ()()f x g x ≥．

对32()3g x x x =--，2()32(32)g x x x x x '=-=-，

从而()y g x =在12[,]23递减，2

[,2]3递增，

max 1

()max{(),(2)}12g x g g ==．

又(1)f a =，则1a ≥．

下面证明当1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成立． 1()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，即证1ln 1x x x +≥． 令1()ln h x x x x =+，21()ln 1h x x x '=+-，(1)0h '=． 当1[,1]2x ∈时，()0h x '≤，当[1,2]x ∈时，()0h x '≥， 从而()y h x =在1[,1]2x ∈递减，[1,2]x ∈递增，min ()(1)1h x h ==， 从而1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成立． 22．答案：（1）(0,0)

和3(,22；（2）4． 解：（1）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， 曲线3C

的直角坐标方程为220x y +-=．

联立2222200x y x x y ?+-=??+-=??，解得00x y =??=?

或32x y ?=????=?? 所以2C 与3C 的交点的直角坐标为(0,0)

和3(,22． （2）曲线1C 的极坐标方程为θα=（ρ∈R ，0ρ≠），其中0πα≤<．

因此得到A 的极坐标为(2cos ,)αα，B

的极坐标为,)αα．

所以π|||2cos |4|sin()|6AB ααα=-=-， 当2π3α=时，||AB 取得最大值，最大值为4． 23．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析． 解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥， 得222a b c ab bc ca ++≥++，

由题设得2()1a b c ++=，即22222213()a b c ab bc ca ab bc ca +++++=≥++， 所以3()1ab bc ca ++≤，即13

ab bc ca ++≤． （2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，2

2c a c a

+≥， 故222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++，即222

a b c a b c b c a

++≥++， 所以222

1a b c b c a

++≥．

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