2020年高考考前大冲刺卷 文科数学(一)解析

2020年高考大冲刺卷

文 科 数 学（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U =R ，2

{|ln(1)}A x y x ==-，2

{|4}x B y y -==，则()U A B =I e（ ）

A ．(1,0)-

B ．[0,1)

C ．(0,1)

D ．(1,0]-

答案：D

解：2

{|10}(1,1)A x x =->=-，{|0}B y y =>，所以{|0}U B y y =≤e， 所以()(1,0]U A B =-I e．

2．已知1a >，则“log log a a x y <”是“2

x xy <”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案：A

解：因为1a >，所以由log log a a x y <，得0x y <<，2

()x xy x x y -=-，

显然当0x y <<时，2

x xy <，所以充分性成立，

当1x =-，2y =-时，2

x xy <，而log a x ，log a y 无意义，故必要性不成立．

3．已知函数2

()(2)g x f x x =-是减函数，且(1)2f =，则(1)f -=（ ） A ．32

-

B ．1-

C ．

32

D ．

74

答案：A

解：令12x =，11()(1)24

g f =-， 因为(1)2f =，所以117

()2244

g =-=，

令12x =-，则11()(1)24g f -=--，11

(1)()24

f g -=-+，

因为()g x 是偶函数，所以117()()224g g -=-=-，所以713

(1)442f -=-+=-．

4．已知α是第一象限角，24sin 25α=，则tan 2

α

=（ ）

A ．43-

B ．43

C ．34-

D ．34

答案：D

解：因为α是第一象限角，24

sin 25

α=， 所以2

2247cos 1sin 1(

)2525

αα=-=-=， 所以sin 24tan cos 7ααα==

，22tan

242tan 71tan 2

α

αα==-， 整理得212tan 7tan 12022αα+-=，解得3tan 24α=或4

tan 23

α=-（舍去）．

5．设向量(2,2)=a ，b 与a 的夹角为3π

4

，且2?=-a b ，则b 的坐标为（ ）

A ．(0,1)-

B ．(1,0)-

C ．(0,1)-或(1,0)-

D ．以上都不对

答案：C

解：设(,)x y =b ，则222x y ?=+=-a b ，即1x y +=-①， 又3πcos

4||||

?=

?a b

a b ，即222222

x y -=+?，则22

1x y +=②．

由①②，得10x y =-??

=?或0

1

x y =??=-?，故(0,1)=-b 或(1,0)=-b ．

6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ） A ．1

2

n -

B ．13()2

n -

C ．12()3

n -

D ．11()2

n -

答案：B

解：方法一：当1n =时，1122S a a ==，则212

a =， 当1

2

n ≥

时，12n n S a -=，则1122n n n n n S S a a a -+-==-，所以132n n a a +=，

此

卷

只装订

不

密

封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

所以数列{}n a 从第二项起是公比为32的等比数列，所以21,

113(),222

n n n a n -=??

=??≥??，

所以2113131()22222n n S -=++?++?=L 1113[1()]

3221()3212

n n --?-+=-．

方法二：当1n =时，1122S a a ==，则212a =，所以213

122

S =+=，

结合选项可得只有B 满足． 7．已知α为锐角，则3

2tan tan 2αα

+的最小值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．3

答案：D

解：方法一：∵α为锐角，∴tan 0α>， ∴2

33(1tan )1313

2tan 2tan (tan )2tan tan 22tan 2tan 2tan ααααααααα

-+

=+=+≥??3=，

当且仅当3tan tan αα=

，即tan 3α=，π

3

α=时等号成立． 方法二：∵α为锐角，∴sin 0α>，cos 0α>，

∴22232sin 3cos 24sin 3cos 2sin 3cos 2tan tan 2cos sin 22sin cos 2sin cos a

ααααααααααααα

+++=+==

1sin 3cos 1sin 3cos ()32cos sin 2cos sin αααααααα

=

+≥??=， 当且仅当

sin 3cos cos sin αααα=

，即π

3

α=时，等号成立． 8．已知a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ?平面α，则a α⊥ B ．若c ⊥平面α，则a α∥，b α∥

C ．若存在平面α，使得c α⊥，a α?，b α∥

D ．若存在平面α，使得c α∥，a α⊥，b α⊥ 答案：C

解：对于A ，直线a 可以在平面α内，也可以与平面α相交； 对于B ，直线a 可以在平面α内，或者b 在平面α内；

对于D ，如果a α⊥，b α⊥，则有a b ∥，与条件中两直线异面矛盾．

9．已知两点(,0)A a ，(,0)(0)B a a ->，若圆22

(3)(1)1x y -+-=上存在点P ，使得

90APB ∠=?，则正实数a 的取值范围为（ ）

A ．(0,3]

B ．[1,3]

C ．[2,3]

D ．[1,2]

答案：B

解：以AB 为直径的圆的方程为222

x y a +=，

则由题意知圆22

(3)(1)1x y -+-=与圆222

x y a +=有公共点，

则22

|1|(3)11a a -≤+≤+，解得13a ≤≤． 10．在区间[0,2]上随机取一个数x ，使π3sin

22

x ≥的概率为（ ） A ．

1

3

B ．

12 C ．

23

D ．

34

答案：A

解：当[0,2]x ∈时，π

0π2

x ≤≤，所以π3sin 2x ≥

， 所以

ππ2π323x ≤≤

，所以24

33

x ≤≤， 故由几何概型的知识可知，所求概率42

13323

P -==． 11．已知1F ，2F 为椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，

直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF △为等腰三角形，则

12||

||

AF AF =（ ） A ．

13

B ．

12

C ．

23

D ．3

答案：A

解：如图不妨设点B 在y 轴的正半轴上，

根据椭圆的定义，得12||||2BF BF a +=，12||||2AF AF a +=， 由题意知2||||AB AF =，所以12||||BF BF a ==，1||2a AF =

，23||2

a

AF =，所以

12||1||3AF AF =．

12．已知函数2()ln(||1)f x x x =++，若对于[1,2]x ∈-，22

(22)9ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．26

12

a --<<

B ．11a -<<

C ．262a +>

或26

2

a -< D ．

2626

22

a -+<< 答案：A

解：易知函数2

()ln(||1)f x x x =++是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增， 又2

9ln 43ln(|3|1)(3)f +=++=，

所以不等式2

2

(22)9ln 4f x ax a +-<+对于[1,2]x ∈-恒成立， 等价于2

2

|22|3x ax a +-<对于[1,2]x ∈-恒成立，

即2222

223223x ax a x ax a ?+--?

①

②对于[1,2]x ∈-恒成立． 令2

2

()223g x x ax a =+--，则2

2

(1)2220

(2)2410

g a a g a a ?-=---

=-++或26

2

a -<，满足①式．

令22

()223h x x ax a =+-+，令222230x ax a +-+=， 则当2

2

48120Δa a =+-<时，即11a -<<时，满足②式子； 当2248120Δa a =+-=，即1a =±时，不满足②式； 当2248120Δa a =+->，即1a <-或1a >时，

由2

(1)12230h a a -=--+>，2

(2)44230h a a =+-+>， 且1a -<-或2a ->，知不存在a 使②式成立． 综上所述，实数a 的取值范围是26

12

a --<<．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知i 为虚数单位，复数3i

2i

a +的实部与虚部相等，则实数a = ． 答案：3- 解：

3i (3i)i 3i 2i 222a a a ++==---，由题意知322

a

=-，解得3a =-． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 ．

答案：2017 解：易知数列π

{sin

1}()2

n n *+∈N 的周期为4，各项依次为2，1，0，1，2，1，0，1，L ， 执行程序框图，1n =，2s =；2n =，3s =；3n =，3s =；

4n =，4s =；L ；2016n =，2016s =；2017n =，2018s =，

不满足判断框中的条件，退出循环， 此时输出的2017n =．

15．某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在[96,106]内，将所得数据按[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，

[104,106]分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测

的200件产品中，净重在区间[98,102)内的产品件数是 ．

答案：100

解：由题意可知0.050，a ，b ，c ，d 构成等差数列，

设公差为t ，由小矩形的面积之和为1，可得(0.050)21a b c d ++++?=， 即0.0500.5a b c d ++++=，所以54

50.0500.52

t ??+

?=，解得0.025t =， 所以0.0500.02520.100b =+?=，0.0500.02540.150d =+?=， 所以净重在[98,102)内的频率为()2(0.1000.150)20.5b d +?=+?=， 则净重在区间[98,102)内的产品件数为2000.5100?=．

16．在平面直角坐标系xOy 中，(1,2)P 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线l 上的一点

1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，若1290F PF ∠=?，则双曲线的左顶点到直线l 的距离为 ．

答案：

25

5

解：由题意知双曲线的一条渐近线l 的方程为2b

a

=，所以直线l 的方程为2y x =． 在12PF F Rt △中，原点O 为线段12F F 的中点，所以121

||||2

OP F F c ==，

又2

2

||125OP =+=，所以5c =，

又222c a b =+，

2b

a

=，所以1a =，2b =， 则双曲线的左顶点的坐标为(1,0)-， 该点到直线l 的距离为22

25

5

1(2)d ==

+-．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+． （1）求角A 的大小；

（2）若sin 2sin cos A B C =，是判断ABC △的形状并给出证明．

答案：（1）π

3

A =；（2）ABC △为等边三角形，证明见解析．

解：（1）由2

2

2

b c a bc +=+，可知

2221

22

b c a bc +-=， 根据余弦定理可知，1

cos 2

A =

， 又A 为ABC △的内角，所以π3

A =

． （2）方法一：ABC △为等边三角形．

由三角形内角和定理得π()A B C =-+，故sin sin()A B C =+，

根据已知条件，可得sin()2sin cos B C B C +=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=， 所以sin()0B C -=，

又(π,π)B C -∈-，所以B C =， 又由（1）知π

3

A =

，所以ABC △为等边三角形． 方法二：ABC △为等边三角形．

由正弦定理和余弦定理及已知条件，得222

22a b c a b ab

+-=?，

整理得22b c =，即b c =， 又由（1）知π

3

A =

，所以ABC △为等边三角形． 18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：

他们用两种模型①y bx a =+，②bx

y ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，

得到如图所示的残差图及一些统计了的值：

残差图

（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选则那个模型？并说明理由； （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：

（ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程； （ⅱ）广告投入量18x =时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？

附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y ，其回归直线方程???y

bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1

1

2

2

2

1

1

()()?()

n n

i

i

i i

i i n

n

i

i

i i x x y y x y nxy

b

x x x

nx

====---==

--∑∑∑∑，??a

y bx =-． 答案：（1）应该选择模型①，详见解析；（2）（ⅰ）?38.04y x =+；（ⅱ）62.04万元．

解：（1）应该选择模型①，

因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄， 所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高． （2）（ⅰ）剔除异常数据， 即3月份的数据后，得1(766)7.25x =

??-=，1

(30631.8)39.645

y =??-=， 1

1464.246 1.81273.44n

i i

i x y

==-?=∑，221

3646328n

i i x ==-=∑，

1

2

2

1

51273.4457.229.64206.4?332857.27.268.8

5n

i i

i n

i

i x y xy

b

x

x ==--??====-??-∑∑，

??29.643.28.04a

y bx =-=-?=， 所以y 关于x 的回归方程为?38.04y

x =+． （ⅱ）把18x =代入（ⅰ）中所求回归方程得?3188.0462.04y

=?+=． 19．（12分）如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，

BF CF =．

（1）求证：AB CG ⊥；

（2）若ABC △和梯形BCGF 的面积都等于3，求三棱锥G ABE -的体积． 答案：（1）证明见解析；（2）

1

3

． 解：（1）如图，取BC 的中点为D ，连接DF ，

由题意得，平面ABC ∥平面EFG ，平面ABC I 平面BCGF BC =，

平面EFG I 平面BCGF FG =，∴BC FG ∥， ∵2CB GF =，∴CD GF ∥，CD GF =， ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴CG DF ∥，

∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥．

∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且平面ABC I 平面BCGF BC =，CG ?平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，

又AB ?平面ABC ，∴AB CG ⊥．

（2）∵2CB GF =，∴2AC EG =， 又AC EG ∥，∴2ACG AEC S S =△△， ∴11

22

G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----==

=三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥， 由（1）知CG ⊥平面ABC ，∴CG BC ⊥． ∵正三角形ABC 3

∴2BC =，1CF =，直角梯形BCGF 3，

∴

(12)32

CG

+?=33CG =， 1111

2233

ABC G ABE G ABC V V S CG --==???=△三棱锥三棱锥．

20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2

2:14

x C y +=，点11(,)P x y ，22(,)Q x y 是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，若11(

,)2x y =m ，22(,)2

x

y =n ，0?=m n ．

（1）求证：121

4

k k ?=-

； （2）试探求OPQ △的面积S 是否为定值．

答案：（1）证明见解析；（2）为定值，详见解析． 解：（1）∵1k ，2k 存在，∴120x x ≠， ∵0?=m n ，∴

12

1204

x x y y +=，∴12121214y y k k x x ?==-．

（2）①当直线PQ 斜率不存在时，即12x x =，12y y =-时， 由

12121

4y y x x =-，得2

21114

x y -=， 又由11(,)P x y 在椭圆上，得2

21114

x y +=，

∴1||x =

1||2y =

，∴1121

||||12

POQ S x y y =?-=△． ②当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为(0)y kx b b =+≠，

由2214

y kx b

x y =+???+=??，得222(41)8440k x kbx b +++-=，

222222644(41)(44)16(41)0Δk b k b k b =-+-=+->，

∴122

841

kb

x x k -+=+，2

1224441b x x k -=+， ∵

121204x x y y +=，∴1212()()04

x x

kx b kx b +++=，得22241b k -=，满足0Δ>，

∴211|||2||12241

POQ

S PQ b b k ===?=+△， ∴OPQ △的面积S 为定值．

21．（12分）已知函数()(ln )x

f x xe a x x =-+，a ∈R ． （1）当a e =时，判断()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．

答案：（1）()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）(,)e +∞． 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，

当a e =时，(1)()

()x x xe e f x x

+-'=，

令()0f x '=，得1x =，

∵当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．

（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且t ∈R ， ∴()(ln )x

y f x xe a x x ==-+，即t

y e at =-，

令()t

g t e at =-，∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t

g t e at =-在t ∈R 上有两个零点． ①当0a =时，()t

g t e =，在R 上单调递增，且()0g t >，故()g t 无零点； ②当0a <时，()0t g t e a '=->，()g t 在R 上单调递增，

又(0)10g =>，1

1

()10a g e a

=-<，故()g t 在R 上只有一个零点；

③当0a >时，由()0t

g t e a '=-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的极小值(ln )(1ln )g a a a =-． 若0a e <<，()(1ln )0g t a a =->极小值，()g t 无零点； 若a e =，()0g t =极小值，()g t 只有一个零点；

若a e >，()(1ln )0g t a a =-<极小值，而(0)10g =>， 由ln x y x

=

在x e >时为减函数，可知当a e >时，2a e e a a >>，从而2

()0a g a e a =->， ∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点，

综上当a e >时，()f x 有两个零点，即实数a 的取值范围是(,)e +∞．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知曲线C

的参数方程为cos 2

sin x y αα?=

???=?（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C 的极坐标方程；

（2）P ，Q 为曲线C 上两点，若0OP OQ ?=u u u r u u u r ，求22

22||||

||||

OP OQ OP OQ ?+u u u r u u u r u u u

r u u u r 的值．