2020年高考考前大冲刺卷 文科数学(二)

2020年高考大冲刺卷 文 科 数 学（二） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}11A x x =-<<，{}220

B x x x =--<，则()A B =R I e（ ）

A ．(1,0]-

B ．[1,2)-

C ．[1,2)

D ．(1,2]

2．已知i 为虚数单位，则复数13i

1i z -=

+的共轭复数是（ ）

A ．1i +

B ．1i -

C ．1i -+

D ．2i + 3．已知平面向量

(1,)x =a ，(4,2)=b ，若向量2+a b 与向量b 共线，则x =（ ）

A ．1

3 B ．12 C ．25 D ．27

4．执行如图所示的程序框图，若输入的14π

3x =，则输出的y 的值为（ ） A ．12 B ．12- C ．32 D ．32- 5．在新一轮的高考改革中，一名高二学生在确定选修地理的情况下，想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习，则所选的两科中一定有生物的概率是（ ） A ．310 B ．710 C ．25 D ．35 6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若82a =，798S =，则39a a +=（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 7．已知直线l 过点(2,0)-且倾斜角为θ，若l 与圆22(3)20x y -+=相切，则3sin(π2)2θ-=（ ） A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 8．已知实数x ，y 满足约束条件104400x y x y y +-≥??+-≤??≥?，则22y z x +=-的取值范围是（ ） A ．3(,][1,)2-∞-+∞U B ．1(,][2,)2-∞-+∞U C ．1[,2]2- D ．(,1][2,)-∞-+∞U 9．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ω?ω?=+>><的部分图象如图所示，则π()6f -=（ ） A ．12- B ．1- C ．12 D ．3- 10．在正三棱锥O ABC -中，7OA =，23BC =，M 为OA 上一点，过点M 且与平面ABC 平行的平面截三棱锥成表面积相等的两部分，则OM OA =（ ） A ．12 B ．13 C ．32 D ．33 11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，过右顶点A 作一条渐近线的垂线交另一条渐 近线于点B ，若3OB OA =，则双曲线的离心率为（ ）

此卷

只装订不密封 班

级

姓

名

准考

证号

考场号

座位

号

A ．233或3

B ．2

C ．3

D ．3

32

12．定义函数348,12

2()1

(),2

22x x f x x

f x ?--≤≤

?

?=??>??，则函数()()6g x xf x =-在区间[1,2]()n n *∈N 内所

有零点的和为（ ）

A ．n

B ．2n

C ．3(21)4n -

D ．3

(21)2n

-

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知曲线31

4

33y x =+，则曲线在点(2,4)处的切线方程是 ．

14．某空间几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为1，则该几何体的所有面中最大面的面积为 ．

15．设数列{}n a 满足1(1)()2n n n

na n a n n *+-+=∈+N ，11

2a =，n a = ．

16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且图象关于直线2x =对称，在区间[0,2]上，()x x

f x e =，

(8ln 7ln 3)a f =+-，(24ln172ln 2)b f =+-，1

c e =，则a ，b ，c 的大小关系是 ．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，E 是BC 的中点，3AC =，7AE =，2213cos 7cos 60ABE AEB ∠-∠-=． （1）求AB ； （2）求C ． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，22AB AD BC ===，BC AD ∥，AB AD ⊥，PBD △为正三角形，且23PA =． （1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ； （2）若点P 到平面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求三棱锥A CDE -的体积．

19．（12分）2019年非洲猪瘟在东北三省出现，为了防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术服务，两种方案如下：

方案一：公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；

方案二：公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过的部分每头猪收费标准为8元．

（1）设日收费为y(单位：元)，每天需要用药的猪的数量为n(单位：头)，试写出两种方案中y与n 的函数关系式；

（2）若该生物医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份的猪的发病数量(单位：头)进行了统计，得到了如下的22

?列联表：

9月份10月份合计

未发病4085125

发病652085

合计105105210

根据以上列联表判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关；附：

2

()

P k k

≥0.0500.0100.001

k 3.841 6.63510．828

（3）当地的丙养殖场对过去100天的猪的发病情况进行了统计，得到如图所示的条形图．依据该统计数据，把频率视为概率，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验，从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，请说明理由．

20．（12分）已知抛物线2

1

:2(0)

C y px p

=>的焦点是椭圆

22

222

:1(0)

x y

C a b

a b

+=>>的右焦点，且两条曲线相交于点

22

(6)

33

．

（1）求椭圆

2

C的方程；

（2）过椭圆

2

C右顶点的两条直线1l，2l分别与抛物线1C相交于点A，C和点B，D，且12

l l

⊥，设M是AC的中点，N是BD的中点，证明：直线MN恒过定点．

21．（12分）已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R ．

（1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；

（2）证明：2ln 0x e e x ->恒成立．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ??=+??=?(?为参数)，以坐标原点O 为极点，x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（2）已知曲线3C 是过坐标原点且倾斜角为α的直线，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且点,A B 均异于坐标原点O

，AB =，求α的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()f x x =．

（1）解关于x 的不等式(2)(1)2f x f x --+<；

（2）存在0x ∈R ，使得不等式00(2)()(1)2f x f x a f a -++<--，求实数a 的取值范围．

2020年高考大冲刺卷 文 科 数 学（二）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】由题意知，{1A x x =≥R e或}1x ≤-，又{}{}22012B x x x x x =--<=-<<， {}()12A B x x ∴=≤

2．【答案】A 【解析】13i 2(1i)

1i (1i)(1i)z --===-+-，z ∴的共轭复数为1i +，故选A ．

3．【答案】B

【解析】由题意，得2(6,22)x +=+a b ， 又向量2+a b 与向量b 共线，4(22)12x ∴?+=，解得1

2x =．

4．【答案】D

【解析】2π4π3x =+Q ，22

3

sin(ππ4π)sin π33y ∴=++=-=-，故选D ． 5．【答案】C

【解析】学生在确定选修地理的情况下，从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科的方法有：(历史，政治)，(历史，化学)，(历史，生物)，(历史，物理)，(政治，化学)，(政治，物理)，(政治，生物)，(化学，生物)，(化学，物理)，(生物，物理)，共10种，

其中含有生物的选择方法有：(历史，生物)，(政治，生物)，(化学，生物)，(生物，物理)，共4种， 则所选的两科中一定有生物的概率42

105P ==，故选C ．

6．【答案】A

【解析】由74798S a ==，解得414a =，

又82a =，394816a a a a ∴+=+=．

7．【答案】A

【解析】由题意可设直线:tan (2)l y x θ=+，

因为l 与圆22(3)20x y -+=相切，25tan 201tan θθ∴=+，2tan 4θ∴=，2222223sin cos tan 1413sin(π2)cos 22cos sin 1tan 145θθθθθθθθ---∴-=-====+++，故选A ． 8．【答案】A 【解析】作出约束条件104400x y x y y +-≥??+-≤??≥?表示的平面区域如图中阴影部分所示． 22y z x +=-的几何意义是可行域内的点(,)x y 与点(2,2)P -连线所在直线的斜率， 易知(4,0)A ，(0,1)B ，1PA k =，32PB k =-， 由图可知23(,][1,)22y x +∈-∞-+∞-U ，故选A ． 9．【答案】B 【解析】由题意及()f x 的图象得，2A =，411π(π)π3126T =?-=，2ω∴=， 易知ππ262??+=，π6?∴=，π()2sin(2)6f x x ∴=+， ππππ()2sin[2()]2sin()16666f ∴-=?-+=-=-，故选B ． 10．【答案】C 【解析】设过点M 且与平面ABC 平行的平面分别交OB ，OC 于点N ，T ， 则被截得的上下两部分的表面积各去掉TMN S △之后仍相等， 都等于正三棱锥O ABC -表面积的12． 对于正三棱锥O ABC -，易知其表面积为2113232(23)sin 609322??+??=

侧面积为3 所以三棱锥O MNT -932293332()463OM OM OA OA ==?=．

11．【答案】A 【解析】不妨设点(,)B x y 在渐近线b y x a =-上，易知直线AB 的方程为()a y x a b =--，

联立得()b y x a a y x a b ?

=-

????=--??，解得322

222

a x a

b a b

y a b ?=?

?-??=-?-?，

3OB OA =Q ，223OB OA =，即3222

22222()()3a a b a a b a b +-=--，

化简得4222223()a a b a b +=-，得223a b =或222a b =， 22222413c b e a a ∴==+=或3，2

33e ∴=或3，故选A ．

12．【答案】D

【解析】由函数()()60g x xf x =-=，得6()f x x =，

故函数()g x 的零点，即函数()y f x =和函数6

y x =图象交点的横坐标，

由函数()f x 的解析式知，可将()f x 的定义区间分段为[1,2]，2(2,2]，23(2,2]，L ，1(2,2]n n -， 并且()f x 在1(2,2](2,)n n n n -*≥∈N 上的图象是将()f x 在21(2,2]n n --上的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的1

2后得到的．

作出函数()y f x =在区间[1,2]上的图象，再依次作出在区间(2,4]，(4,8]，L ，1(2,2]n n -，上的图象，并作出函数6

(1)y x x =≥的图象，如图，

结合图象可得两图象交点的横坐标是函数()y f x =的极大值点，

由此可得函数()g x 在区间1(2,2]n n -上的零点为1222322n n

n --+=?，

则函数()g x 在区间[1,2]()n n *∈N 内所有零点的和为3(12)

3

2(21)122n n -=--，

故选D ．

第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】440x y --= 【解析】2y x '=Q ，∴曲线31433y x =+在点(2,4)处切线的斜率为4， ∴切线的方程为44(2)y x -=?-，即440x y --=． 14．【答案】3 【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥， 记为P ABCD -，其中PA ⊥平面ABCD ，22AB AD BC ===， 设PA x =，由题意可得1(12)2132x +???=，解得1x =， 故5PB CD PD ===6PC = 易得PCD PAB S S >△△，11212PAD S =??=△，151522PBC S =?=△， 1(12)232ABCD S =?+?=四边形，2162165()222PCD S =-=△， 故该几何体中最大面的面积为3． 15．【答案】21n n + 【解析】∵1(1)()2n n n na n a n n *+-+=∈+N ，11111(1)(2)12n n a a n n n n n n +-==-+++++，

∴11111n n a a n n n n --=--+，L ，21112123a a -=-，

累加可得：111

21n

a a n n -=-+，

112a =Q ，1111n

a n

n n n ∴=-=++，2

1n n

a n ∴=+．

16．【答案】c a b >>

【解析】由题意得()()f x f x -=-，(4)()f x f x -=，(4)()f x f x ∴-=--，

令t x =-，则(4)()f t f t +=-，(8)[4(4)](4)()f t f t f t f t ∴+=++=-+=，

∴()f x 是以8为周期的函数，故7

(ln )3a f =，17

(ln )4b f =，

易知7

ln 3，17

ln 4均在区间[0,2]上，

∵在区间[0,2]上，()x x f x e =，()(1)x

f x x e -'∴=-，

令()0f x '=，解得1x =，

故当[0,1)x ∈时，()0f x '>，当(1,2]x ∈时，()0f x '<，

()f x ∴在1x =处取得极大值．

又7ln 2

(ln )(ln 2)32f f >=，17

ln 4ln 2

(ln )(ln 4)442f f <==，且(1)c f =为最大值，

故c a b >>．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）13；（2）π

3．

【解析】（1）2213cos 7cos 60ABE AEB ∠-∠-=Q ，

2213(1cos )7(1cos )0ABE AEB ∴-∠--∠=，

即2213sin 7sin ABE AEB ∠=∠，13sin 7sin ABE AEB ∠=∠，

由正弦定理，得137AE AB =，

又7AE =，13AB ∴=．

（2）设EC a =，则2Bc a =，

由余弦定理，得2297

9413

cos 23232a a C a a +-+-==????，2a ∴=，

9471cos 2322C +-∴==??， (0,π)C ∈Q ，π3C ∴=． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）89． 【解析】（1）因为AB AD ⊥，2AB AD ==，22BD ∴=， 又PBD △为正三角形，22PB PD BD ===， 2AB =Q ，23PA =，AB PB ∴⊥． 又AB AD ⊥，BC AD ∥，AB BC ∴⊥， 又PB BC B =I ，所以AB ⊥平面PBC ， 又AB ?平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PBC ． （2）如图，设BD ，AC 交于点O ， BC AD Q ∥，且2AD BC =，2OD OB ∴=，连接OE ， 又PB ∥平面ACE ，PB OE ∴∥，2DE PE ∴=， 又点P 到平面ABCD 的距离为2， ∴点E 到平面ABCD 的距离24233h =?=， 所以111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --==?=????=△， 故三棱锥A CDE -的体积为89． 19．【答案】（1）方案一：402,y n n *=+∈N ，方案二：120,45,8240,45,n n y n n n **?≤∈?=?->∈??N N ；（2）有99.9%的把握认为；（3）选择方案二，详见解析． 【解析】（1）由题意得，方案一中的日收费y (单位：元)与需要用药的猪的数量n (单位：头)的函数关系式为402,y n n *=+∈N ， 方案二中的日收费y (单位：元)与需要用药的猪的数量n (单位：头)的函数关系式为：

120,45,8240,45,n n y n n n *

*

?≤∈?=?->∈??N N ． （2）由列联表计算可得2

2210(85654020)40.0212585105105k ??-?=≈???， 40.0210.828>Q ，

所以有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关．

（3）设方案一中的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为：

()1240.21280.41320.21360.11400.1130E X ∴=?+?+

?+?+?=； 设方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为：

()

1200.61280.21440.11600.1128E Y ∴=?+?+?+?=，

()()E X E Y =Q ，

所以从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二．

20．【答案】（1）22

143x y +=；（2）证明见解析．

【解析】（1）∵2

(3在抛物线1C 上，2223p ∴=?，解得2p =，

∴抛物线1C 的焦点坐标为(1,0)，

则221a b -=① 易知22

222()3

31a b +=②，

∴由①②可得2243a b ?=??=??，∴椭圆2C 的方程为22

143

x y +=．

（2）设直线11:2l x k y =+，直线22:2l x k y =+，

由2142

y x

x k y ?=?=+?，得21480y k y --=，

设11(,)A x y ，22(,)C x y ，则1214y y k +=，12M y k ∴=，

则2122M x k =+，即211(22,2)M k k +，同理得222(22,2)N k k +， ∴直线MN 的斜率21222112221(22)(22)MN k k k k k k k -==+-++， 则直线MN 的方程为2111212(22)y k x k k k -=--+， 即12121[2(1)]y x k k k k =--+， ∵12l l ⊥，∴12111k k ?=-，即121k k =-， ∴直线MN 的方程为121(4)y x k k =-+，即直线MN 恒过定点(4,0)． 21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得11()(0)ax f x a x x x -'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a =， 所以当1(0,)x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1(,)x a ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减， 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，函数()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a +∞上单调递减． （2）记函数22()ln ln x x e x e x x e ?-=-=-，则21()x x e x ?-'=-， 可知()x ?'在(0,)+∞上单调递增， 由(1)0?'<，(2)0?'>知，()x ?'在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且012x <<，

则02001()x x e x ?-'=-，即0201x e x -=① 当0(0,)x x ∈时，()0x ?'<，()x ?单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0x ?'>，()x ?单调递增， 所以0200()()ln x x x e x ??-≥=-，

由①式0201x e x -=，知002ln x x -=-， 所以0

22000000

(1)1()()ln 20x x x x e x x x x ??--≥=-=+-=>，

则2()ln 0x x e x ?-=->，所以有2ln 0x e e x ->恒成立．

22．【答案】（1）221:(2)4C x y -+=，22

2:(2)4C x y +-=；（2）3π

4．

【解析】（1）由22cos 2sin x y ??=+??=?，消去参数?，可得1C 的普通方程为22

(2)4x y -+=， ∵4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，

∴曲线2C 的直角坐标方程为22

(2)4x y +-=．

（2）由（1）得，曲线22

1:(2)4C x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，

由题意设1(,)A ρα，2(,)B ρα，

则12π

4sin cos 42sin()424AB ρρααα=-=-=-=，

π

sin()14α∴-=±，π

π

π()42k k α∴-=+∈Z ，3π

π()4k k α∴=+∈Z ，

0πα<

4α∴=．

23．【答案】（1）1

(,)2-+∞；（2）3

(,)2-∞-．

【解析】原不等式可化为212x x --+<，

作出函数2y x =-与1y x =+的图象如图所示，

当212x x --+=时，1

2x =，

∵直线12y x =-与21y x =+的斜率相等，

∴结合图象可知，原不等式的解集为1

(,)2-+∞．

（2）原不等式可化为00212x x a a -++<--， 00002(2)()2x x a x x a a -++≥--+=+Q ， 212a a ∴+<--，即122a a --+>， 上式可化为(1)2(1)12a a +--++>， 由（1）得112a +<-，解得32a <-， 故a 的取值范围为3(,)2-∞-．