专训1 全等三角形判定的六种应用

专训1全等三角形判定的六种应用

名师点金：一般三角形全等的判定方法有四种：SSS，SAS，ASA，AAS；直角三角形是一种特殊的三角形，它的判定方法除了上述四种之外，还有一种特殊的方法，即“HL”．具体到某一道题目时，要根据题目所给出的条件进行观察、分析，选择合适的、简单易行的方法来解题．

已知一边一角型

应用1：一次全等型

1．如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC.

(第1题)

2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.

求证：AD是△ABC的中线．

(第2题)

应用2：两次全等型

3．如图，∠C＝∠D，AC＝AD，求证：BC＝BD.

(第3题)

4．如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB＝EC，∠BAE＝∠CAE.求证：∠ABE＝∠ACE.

(第4题)

已知两边型

应用3：一次全等型

5．【2016·河北】如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.

(1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．

(第5题)

应用4：两次全等型

6．如图，AB＝CB，AD＝CD，E是BD上任意一点．求证：AE＝CE.

(第6题)

7．如图，已知AD＝AE，AB＝AC.求证：BF＝FC.

(第7题)

已知两角型

应用5：一次全等型

8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.

(第8题)

应用6：两次全等型

9．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.

(第9题)

答案

1．证明：∵BD＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB.

又∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DCB，

即∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC.

在△ABD和△ACD中，

＝AC，

1＝∠2，

＝CD，

∴△ABD≌△ACD(SAS)．

∴∠BAD＝∠CAD.

即AD平分∠BAC.

2．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BED＝∠CFD＝90°.

又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，

∴△DBE≌△DCF.

∴BD＝CD.

即D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线．

3．证明：过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC的延长线，BD的延长线于点M，N.

∴∠M＝∠N＝90°.

∵∠ACB＝∠ADB，

∴∠ACM＝∠ADN.

在△ACM和△ADN中，

M＝∠N，

ACM＝∠ADN，

＝AD，

∴△ACM≌△ADN(AAS)．

∴AM＝AN，CM＝DN.

在Rt△ABM和Rt△ABN中，

＝AB，

＝AN，

∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)．

∴BM＝BN.

∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.

4．证明：过E作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，则∠AFE＝∠AGE＝90°.

在△AFE和△AGE中，

AFE＝∠AGE，

FAE＝∠GAE，

＝AE，

∴△AFE≌△AGE(AAS)，

∴EF＝EG.

在Rt△BFE和Rt△CGE中，

＝EC，

＝EG，

∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，

∴∠ABE＝∠ACE.

5．(1)证明：∵BF＝EC，

∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.

又∵AB＝DE，AC＝DF，

∴△ABC≌△DEF.

(2)解：AB∥DE，AC∥DF.

理由：∵△ABC≌△DEF，

∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.

∴AB∥DE，AC∥DF.

6．证明：在△ABD和△CBD中，

＝CB，

＝CD，

＝BD，

∴△ABD≌△CBD(SSS)．

∴∠ABE＝∠CBE.

在△ABE和△CBE中，

＝CB，

ABE＝∠CBE，

＝BE，

∴△ABE≌△CBE(SAS)．

∴AE＝CE.

7．证明：在△ACD和△ABE中，＝AD，

A＝∠A，

＝AC，

∴△ACD≌△ABE(SAS)，

∴∠B＝∠C.

又∵AD＝AE，AB＝AC，

∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE.在△DBF和△ECF中，

B＝∠C，

BFD＝∠CFE，

＝CE，

∴△DBF≌△ECF(AAS)，∴BF＝FC. 8．证明：在△DOB与△EOC中，∵∠BDC＝∠CEB＝90°，

∠DOB＝∠EOC，

∴∠B＝∠C.

又AO平分∠BAC，

∴∠BAO＝∠CAO.

在△ABO与△ACO中，

BAO＝∠CAO，

B＝∠C，

＝AO，

∴△ABO≌△ACO(AAS)．

∴OB＝OC.

9．证明：在△ABC和△DCB中，BAC＝∠CDB，

ACB＝∠DBC，

＝CB，

∴△ABC≌△DCB(AAS)．

∴AC＝DB.

又∵∠BAC＝∠CDB，

∴∠FAC＝∠FDB.

在△FAC和△FDB中，F＝∠F，

FAC＝∠FDB，

＝DB，

∴△FAC≌△FDB(AAS)．∴BF＝CF.