2008年第20届五羊杯初中数学竞赛初三组试题(含答案)

第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题

（考试时间：90分钟；满分100分）

一、选择题 (4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分).

1. 已知1m =+1n =且()()

227143678m m a n n -+--=.则a 的值等于( ). A.5-; B.5; C.9-; D.9. 2. sin 27?=( ).

; ;

; .

3. 若

1111

1x y z x y z

++==++,则,,x y z 中,正数的个数为( ). A.1个; B.2个; C.3个; D.都有可能.

4. 有正三棱柱111ABC A B C -,底面边长为1.现将其切去一部分,剩余部分为222ABC A B C -,

其中2222,3,5AA BB CC ===,则剩余部分的体积为( ).

A.

8; B.7; C.6

; D. 5. 已知关于x 的一元四次方程4

2

0x px qx r +++=有三个相等的实根和另一个与之不同的实根,则下列三个命题中真命题有( )个.

①p q r +=可能成立;②p r q +=可能成立;③q r p +=可能成立. A.0; B.1; C.2; D.3. 6. 已知一个平方数的十位数为7,那么它的个位数是( ).

A.1;

B.4;

C.6;

D.9.

7. 若关于x 的方程2

0x px q ++=的两根分别为1x 和2x ,11x >,3p q ->-,则2x 与1的关系是( ).

A.21x >;

B.21x <;

C.21x =;

D.不能确定. 8. 关于,x y 的方程()2

2

20x y x y +=-的所有整数解(),x y 有( )组.

A.4;

B.8;

C.12;

D.16.

9. 设二次函数()20y ax bx c a =++≠满足:当01x ≤≤时,1y ≤.则a b c ++的最大值是( ).

A.3;

B.7;

C.12;

D.17.

10. 4444

2

222

123100123100+++++++

+的值是( ).

A.45939

5; B.159405; C.460595; D.160605

. 二、填空题 (每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).

11. 在边长为2的正方形ABCD 的四边上分别取点E 、F 、G 、H .

四边形EFGH 四边的平方和2

2

2

2

EF FG GH HE +++最小时其面积为_____.

12. 关于x 2

4

x <+的解为_____. 13. 关于x 的方程2

0ax bx c ++=有两个不相等的实根,且,,a b c 的平均值为2b =,则c 的取值范围是_____.

14. 关于x 的方程2

2

31x x x ??

+= ?+??

的所有实根的和为_____.

15. 设点P 为正三角形ABC 的外接圆的圆弧BC 上不同于B 和C 的点,则判断PA 与

PB PC +的关系:PA _____PB PC +(填,,,,≥>=<≤).

16. 如图,位置,A B 位于河的两岸,河宽为m ,,A B 之间的水平

距离为4m.某人走路速度是游泳速度的2倍,欲从位置A 前往位置B ,采用图中的路线,则夹角α=_____时,所花费的时间最少.

17. 平面上过某一点A 的k 条不重合的直线称为关于点A 的直线簇,并且此时称k 为直线簇的阶(注意: k 可以取0,此时直线簇退化为一点A ).若,A B 是平面上两个不重合的点,关于点A 和关于点B 的直线簇的阶之和为8,那么构成这两个直线簇的所有直线划分平面所成的区域数最大为_____,最小为_____.

18. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数.记α=,则16

α??=??_____. 19. 已知整数123,,,x x x …,2008x 满足:

①12n x -≤≤,1,2,n =…,2008; ②12x x ++…20082008x +=;

③2212x x ++ (2)

20082008x +=.

则3312x x ++ (3)

2008x +的最小值为_____,最大值为_____.

20. ()min ,x y 是取,x y 中较小的数的函数, ()max ,x y 是取,x y 中较大的数的函数,例如

()min 7,87,=()max 3,44=,则方程()()min 2,37max 52,163x x x x x -+-=+的解为_____.

第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题

标准答案

一、选择题(4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分).

二、填空题(每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).