数列的实际应用问题
(II )如果将该商品每月都投放市场
(II )要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数
P (万
件)应
f (n)
即
1
Pn n(n 1)(35 2n), P 150
1
150
(n 1)(35 2n)
丄(n 2
更n 更)
75
2
2
N ，当n 8时, 1)(35 2n)的最大值为1.14万件即P 至少为1.14万件
练习：听P82例2 例2 ?某外商到一开发区投资
72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费
12万美兀,
出售该厂；②纯利润总和最大时，以
16万元出售该厂，问哪种方案最合算?
解答：由题意知，每年的经费是以 12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关
系为 f (n)，则 f (n)
50n
[12n
(1 )纯利润就是要求 f(n) 0 ,
血 U 4]
72 2n
2
40n
72
2
2n 2 40n 72
(2)①年平均利润
f(n) n
40
2(n 笑)16当且仅当n = 6时取等
口 号。
数列的实际应用问题
例1 .某地区预计从2005年初的前n 个月内，对某种商品的需求总量
f(n)(万件)与月
1
份 n 的近似关系为 f( n) n(n 1)(35 2n)(n N , n 12)
150
(I)求2005年第n 个月的需求量g(n)(万件)与月份 n 的函数关系式，并求出哪个月份 的需求量超过1.4万件。
P 万件，要保持每月都满足供应，则P 至少为多少万件?
以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入
50 万美兀。设f (n)表示前n 年的纯收入
(f (n)前n 年的总收入一前n 年的总支出一投资额) (1)从第几年开始获取纯利润？
(2 )若干年后，外商为开始新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 48万美元
解得2 n 18。由n N 知从第三年开始获利
解答：
(I ) 由题意知， g 1 f (1)
g(n) f(n) f (n
1): 1
n(n 150
1
150
n[(n 1)(35 2n) (n 1)(37 1
11 又一 1 (12 1) 25
g(1),
25
由丄
n(12 n) 14 得：n 2 12n 25
即6月份的需求量超过
1.4 万件
1
、11 「 当
2时， 1 2 3- n 150 2n)—
150
25
1)(35 (n 1) n[35 2(n 1)]
2n)]
1 n(1
2 25
n)
1
g(n )
n (12 25
n)(n N , n 12) 35 0, 5 n
7,又n
N ,
n 6
故此方案先获利6 16 48 144 (万美元)，此时n = 6
2
② f(n) 2(n 10) 128
当 n = 10 时，f（n）max 128
故第②种方案共获利128 16 144 （万美元）
比较两种方案，获利都是 144万美元。但第①种方案只需 6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案。
例3 ?用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付 300万元，以后每
月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%。若首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付
清后，买这批房实际支付多少万元？
解答：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，
则每次交付欠款的数额顺次构成数列｛a n｝，故a1 100 2000 0.01 120 （万元）
a2 100 (2000 100) 0.01 119 (万元)；a3 100 (2000 100 2) 0.01 118 (万元)
a4100 (2000 100 3) 0.01 117 (万元)…
a n 100 [2000 100(n 1)] 0.01 120 (n 1) 121 n (1 n 20,n N)
因此｛a n｝是首项为120 ,公差为-1的等差数列，
故 a10 121 10 111 (万兀) a20 121 20 101 (万兀)
20次分期付款的总和为S20 ?a20)20 (120 101) 20
2210
2
（万兀）
2
实际要付 300+2210=2510 （万兀）
答:略
练习1.某地区位于沙漠边缘地带，,到2004 年底该地区的绿化率只有30%，计划从2005
年开始加大沙漠化改造的力度，每年原来沙漠面积的16%，将被植树改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化。
（1）设该地区的面积为1 , 2002年绿洲面积为a13，经过一年绿洲面积为a2经过n
10
4 4 4 “
年绿洲面积为a n 1,求证：a n 1 a n ；（2）求证：｛a n 1 ｝是等比数列；
5 25 5
⑶问至少需要经过多少年努力，才能使该地区的绿洲面积超过60% ?（取lg2 0.3）解答：（1）设2004年底沙漠面积为b1,经过n年治理后沙漠面积为 b n+1。则a n+b n= 1。
依题意，a n+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积，
a n — 4%a n= 96%a n,另一部分是新植树绿洲化的面积16%
b n，于是
4 4
a n+1 = 96%a n+16%
b n =96%a n +16%（1 — a n）=80% a n +16%= a n
数列的实际应用问题
(II )如果将该商品每月都投放市场 (II )要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数 P (万 件)应 f (n) 即 1 Pn n(n 1)(35 2n), P 150 1 150 (n 1)(35 2n) 丄(n 2 更n 更) 75 2 2 N ，当n 8时, 1)(35 2n)的最大值为1.14万件即P 至少为1.14万件 练习：听P82例2 例2 ?某外商到一开发区投资 72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费 12万美兀, 出售该厂；②纯利润总和最大时，以 16万元出售该厂，问哪种方案最合算? 解答：由题意知，每年的经费是以 12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关 系为 f (n)，则 f (n) 50n [12n (1 )纯利润就是要求 f(n) 0 , 血 U 4] 72 2n 2 40n 72 2 2n 2 40n 72 (2)①年平均利润 f(n) n 40 2(n 笑)16当且仅当n = 6时取等 口 号。 数列的实际应用问题 例1 .某地区预计从2005年初的前n 个月内，对某种商品的需求总量 f(n)(万件)与月 1 份 n 的近似关系为 f( n) n(n 1)(35 2n)(n N , n 12) 150 (I)求2005年第n 个月的需求量g(n)(万件)与月份 n 的函数关系式，并求出哪个月份 的需求量超过1.4万件。 P 万件，要保持每月都满足供应，则P 至少为多少万件? 以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入 50 万美兀。设f (n)表示前n 年的纯收入 (f (n)前n 年的总收入一前n 年的总支出一投资额) (1)从第几年开始获取纯利润？ (2 )若干年后，外商为开始新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 48万美元 解得2 n 18。由n N 知从第三年开始获利 解答： (I ) 由题意知， g 1 f (1) g(n) f(n) f (n 1): 1 n(n 150 1 150 n[(n 1)(35 2n) (n 1)(37 1 11 又一 1 (12 1) 25 g(1), 25 由丄 n(12 n) 14 得：n 2 12n 25 即6月份的需求量超过 1.4 万件 1 、11 「 当 2时， 1 2 3- n 150 2n)— 150 25 1)(35 (n 1) n[35 2(n 1)] 2n)] 1 n(1 2 25 n) 1 g(n ) n (12 25 n)(n N , n 12) 35 0, 5 n 7,又n N , n 6
数列的实际应用
数列的实际应用 一、要点·疑点·考点 1.复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x 2.产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p) x 3.单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr) 二、课前热身 1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个，2小时后分裂成8个，3小时后分裂成16个…，按此规律，6小时后细胞的个数是( ) (A)63 (B)64 (C)127 (D)128 2.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，工作时3分钟自身复制一次（即复制后所占内存是原来的2倍），那么，开机后_______分钟，该病毒占据64MB （1MB=210KB） 3.某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，则现在的成本是( ) (A)a(1+q%)3元(B)a(1-q%)3元 (C)a(1-q%)-3元(D)a(1+q%)-3元 4.某人到银行存了10000元，利息按单利计算，年利率为5%，则他在10年后的为____元 三、例题分析 1. 等差数列模型 例1.一梯形的上、下底长分别是12cm，22cm，若将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和. 2. 等比数列模型 例2.某市2003年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： （1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ （2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 1/3？3. 等差、等比数列综合问题模型 例3. 在一次人才招聘上，有A，B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元； B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问： （1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？ 4.递推数列模型 例4.某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b设an为n 年后该地区森林木材存量。 （1）求an的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于7/9a, 如果b=19/72a,那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需经过几年？ 变式练习：某下岗职工准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款后每年可偿还A元，30年后还清. ①求贷款金额； ②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元?
(完整版)案例三数列在购房问题中的应用
《数列的应用举例》 一、知识与技能 1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用； 2、培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识； 二、教学重点难点 重点：抓住分期付款问题的本质分析问题； 难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性。 三、过程与方法 通过创设情境、讲授法、讨论法、直观演示法、练习法提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 四、情感态度与价值观 通过学生之间，师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神，通过独立运用数学知识解决实际问题，使学生体会学习数学知识的重要性，增强他们对数学学习的兴趣和对数学的情感。 五、实验与教具 多媒体 六、教学过程 创设情境 题型一、等差数列模型（单利问题） 例1、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付40% （即16万元），欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），每月还欠款2000元，并每月加付欠款利息，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，问购买这套商品房实际总价多少元？ 解：按等额本金还款方式，设每月还欠款加所欠款产生的利息为数列a n，贝U： 第一月还欠款以及所欠款产生的利息为：a12000 240000 0.4%， 第二月还欠款以及所欠款产生的利息为：a22000 (240000 2000) 0.4%， 第三月还欠款以及所欠款产生的利息为：a32000 (240000 2000 2) 0.4%， 以此类推： 第n月还欠款以及所欠款产生的利息为：a n2000 [240000 2000 (n 1)] 0.4% ???各月还欠款以及所欠款产生的利息成等差数列 ???10 年还清欠款总额为：S120 120（2960 2008） 298080 （元）2 购买这套商品房实际总价为：S 298080 160000 458080 （元） 答：该家庭购买这套商品房实际总价为458080元。 题后感悟：等额本金还款法，等差数列问题 题型二、等比数列模型（复利问题） 例2、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付16万元，欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），按分期付款的方式偿还欠款，每月等额还款，月利率为
数列的实际应用举例 教学设计
数列的实际应用举例 清远工贸职业技术学校 班级：13春工学计机3班 蔡健星 【学习目标】 1．掌握以数列知识为数学本质的实际应用问题，涉及增长率问题、复利计算问题等． 2．培养学生用数列知识解决实际问题的能力,提高学生对数学的学习兴趣． 一、复习 1、本单元我们学习了两种数列，分别是：等差数列和等比数列 例如：1,3,5,7,9… 2,5,8,11,14… 2,4,8,16，32… 1,3,9,27,81… 2、两种数列共有八条公式，分别是： 等差数列 等比数列 通项公式： 中项公式： 求和公式： 二、新课讲授 1．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数是（ ） A.9 B.10 C.19 D.20 【解析】设堆成n 层，由题意得1＋2＋3＋…＋n ≤200，即n(n ＋1)≤400成立的最大正整数n 代入检验知n ＝19 2．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ ） A.1997 B.1999 C.2001 D.2003 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a 2b a A +=ab G ±=2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+=q q a S n n --=1)1(1q q a a S n n --=11
【解析】设出第四册的年份为x 由题意得(x －6)＋(x －4)＋(x －2)＋x ＋(x ＋2)＋(x ＋4)＋(x ＋6)＝13979 即7x ＝13979，∴x ＝1997 ∴x ＋6＝2003 3．夏季高山的温度从山脚起每升高100 m ，降低0.7 ℃，已知山顶温度是14.8 ℃，山脚温度是26 ℃，则山的相对高度是 m ． 【解析】从山脚到山顶温度降低了26 ℃－14.8 ℃＝11.2 ℃ 而每降0.7 ℃，升高100米 11.2 / 0.7 =16 ∴共升高16×100=1600 m ． 4、某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( ) A. B. C. D. 【解析】一次砍伐后木材的存量为：S(1＋25%)－x 二次砍伐后木材存量为［S(1＋25%)－x ］(1＋25%)－x 由题意知%)501(45)45(2+=--S x x S 解得x ＝36S 5、银行有一种储蓄业务叫做零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，到约定日期可以取出全部本利和。若某人每月初存入100元，月利率为0.3%，问到第12个月末整取时本利和时多少？ 【分析】本利=本金+利息。第1个月计利12个月，到期本利时100+100×0.3%×12， 第2个月计利11个月，到期本利时100+100×0.3%×11，… 第12个月计利1个月，到期本利时100+100×0.3%×1， 由此可知，每月存入的100元到期本利构成一个等差数列，其和就是所求的1232S 34S 36S 38S
等差数列的应用
五年级奥数试题（1） 等差数列的应用姓名 1，下图中有多少三角形。 分析：从图上看，独立的三角形有A、B、C、D四个；两两组合的有3个，即AB、BC、CD；三个三个组阁的有ABC、BCD两个；四个组合的有一个即ABCD。那么一共就有4＋3＋2＋1＝10（个） A B C D 解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：共有10个三角形。 2，在一个平面上，两条直线相交，只有一个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交最多有6个交点；那么20条直线在一个平面上相交最多有多少个交点？ 2条 1个交点 3条 3个交点 4条 6个交点 5条 10个交点
1 1＋（3－1） 1＋2＋（4－1） 1＋2＋3＋（5－1）…… 这一组数是一组等差“1”的数列，计算时可以应用求等差数列和的公式进行计算。 解： 1＋2＋3＋……＋（20－1）答：20条直线在一个平面上相交最多有190个交点。 3，下图中共有多少个长方形。 分析：按例1的分析方法，用阴影表示沿长和宽，沿长边有4＋3＋2＋1＝10（个）长方形，宽边有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）长方形，那么这个图里共有 15×10＝150（个）长方形。 解：（4＋3＋2＋1）×（5＋4＋3＋2＋1）＝150（个） 答：这个图中一共有150个长方形。 4，若干名小学生进行体操训练，排成一个中空方阵，最外层每边12人，共4层，求组成这个方阵的小学生一共有多少人？ 分析：方阵问题中每层人数是一个等差为8的数列，也就是外面一层人数比紧邻内层的人数多8。根据题意，求出最外层人数为（12－1）×4＝44（人），再根据首项＝末项－（项数－1）×公差得最里面层共有：44－（4－1）×8＝20（人），继而求出四层总人数为（44＋20）×4÷2＝128(人) 解：最外层：（12－1）×4＝44（人）最里层：44－（4－1）×8＝20（人）
数列综合应用举例教案
《数列综合应用举例》教案学校名称：北京市电气工程学校 授课教师卜丽娜课题名称数列综合应用举例授课 专业 机电专业 授课年级、 班级 高二（9）授课地点北京市电气工程学校课时 1 课型新授课 教学目标知识与技能目标 初步掌握利用数列的基础知识来解决实际问题的方法。培养学生搜集资料、分析资料的良好习惯，提高分析问题、解决问题的 能力及人际交往与协作能力。 过程与方法目标 经历数列实际问题的解决过程，发展学生的思维，领悟解决数列实际问题的方法，获得教学活动的经验。 情感态度价值观 通过情境创设，活动参与，体会数列在社会生活中的广泛应用，提高学习数学的兴趣，并初步培养与他人合作交流的意识；培养 学生探索的精神，并使数学能够为实际生产生活服务，为学生的 专业学习打下良好的基础。 教学重点数列的综合应用举例 教学难点1．数列的实际应用举例。 2．用数学建模思想解决数列的实际问题。 教学方法启发法、讨论法、情境教学法 教学手段多媒体、黑板 板书设计课题：数列综合应用举例 应用题解题一般步骤问题1：问题2： 解：（详细）解：（略写）审题 转化 求解 检验
教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境，激发兴趣 多媒体演示：数学史小故事 棋盘上的麦粒 古印度舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相达依尔。宰相说：“请您在棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给我2粒，第3个小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把棋盘上64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！” 国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给她这些麦粒。结果发现：就是把全国的麦粒全拿来，也满足不了宰相的要求。原来宰相要求的麦粒总数为： 人们推算发现当时全国所有的麦粒加在一起的总和也没有这么多！ 板书课题：数列综合应用举例 二、互动交流，问题探究 探究一：数列在生活中的应用 我校机电专业近期计划购进一批新型的制冷压缩机,总价值20万元，以分期付款的方式购买。由于机电专业向学校申请的是内部无息贷款，故还款时并不涉及利息问题，有如下两种付款方式： 第一种：首付款15500元，从第二年起每年比前一年多付1000元； 问题1：此种付款方式我们需要几年能够还清贷款？ 观看媒体演示，倾听老师完整的叙述故事 观察数列，找到该等比数列的首项、公比，并会利用公式计算 学生按小组活动，分小组进行思考、讨论并解答。 得出结论：问题一是等差数 从生活中以学生感兴趣的数学史故事入手引入，调动学生的学习热情，同时让学生体会到数学来源于生活，为整节课的教学创设良好的开端。 这则小故事说明：数列 在实际问题中有着广泛的应用，进而引出课题即本节课所要研究的主要内容为数列在实际问题中的综合应用。 从学生的兴趣出发，与本专业结合，将知识应用到学生熟悉的并且感兴趣的问题中，有利于激发学生的学习数学的兴趣和学习数学的积极性。 ) (37095516151844674407122...2221646332粒=-=+++++
(完整版)数列应用题专题训练
数列应用题专题训练 高三数学备课组 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、储蓄问题 对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。 复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。 例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。 问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？ 分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。 解：若不计复利，5年的零存整取本利是 2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950； 若计复利，则 2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。 所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。 二、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第
第10讲 数列的实际应用
数列的实际应用 主讲教师：庄肃钦 【知识概述】 数列是反映自然规律的重要数学模型，日常生活中的大量实际问题都可以转化为数列问题解决，如增长率、减少率、银行信贷、工厂的生产量、浓度匹配、养老保险、存款利息、出租车收费、校园网问题、放射性物质的衰变等。通过这节课的学习，希望同学们能够掌握数列作为生活工具的应用方法，解决问题。 实际应用题常见的数列模型： 1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y =a(1+r)n. 2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y = N (1 + p)n. 3．递推猜证型：递推型有a n+1 = f (a n)与S n+1 = f (S n)或S n = f (a n)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明. 【学前诊断】 1．[难度] 易 某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次（一次分裂两个），经过3小时，这种细菌由一个可以繁殖为（） A．511个B．512个C．1023 D．1024个 2．[难度] 易 某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价_______. 3．[难度] 中 某工厂连续数年的产值月平均增长率为p%，则它的年平均增长率为_______.
【经典例题】 例1. 银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本 金，这种计算利息的方法叫复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一 年增加30%的利润； 乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获 利5千元. 两方案使用贷款期限均为10年，到期一次性归还本息.若银行贷款利息均按 年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多？（计算结果精确到千元， 参考数据：10101.1 2.594,1.313.768==） 例2． 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产 业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15 ，本年度当地旅游业估计收入为400万元，由于该项目建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14 。 （1） 设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写 出,n n a b 的表达式； （2） 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 例3. 某城市2009年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 例4. 【本课总结】 对于数列应用题的考查，主要考查学生运用观察、归纳、猜想等手段，建立有关等差(比)数列、递推数列的数学模型，再综合其他相关知识来解决问题的能力.解答数列应用性问题，既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析与解决问题的能力. 解题方法 1.主要模型： （1） 等差数列模型(增加的量或减少的量相同)； （2） 等比数列模型(增长率相同或减少率相同)； （3） 等差数列与等比数列综合模型； （4） 递推数列模型等等.
等差数列教学案例
等差数列 一、教材分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。 二、学生学习情况分析 我所教学的学生是我校高一（5）班的学生，经过一年的学习，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 三、设计思想 1．教法 ⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。 ⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2．学法 引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。 用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学目标 1.知识与技能 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念． 2.过程与方法 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想． 3.情感态度与价值观 （1）通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。 （2）通过师生，生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。 五、教学重点与难点 1.重点： （1）等差数列的概念。 （2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。 2.难点： （1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 （2）理解等差数列是一种函数模型。 六、教学过程
数列在生活中应用技术
河北师范大学汇华学院 本科生毕业论文 （2012 届） 题目:数列在生活中的应用 系别：数学系 专业：数学与应用数学 班级：三班 作者姓名：王海静学号：2008511915 指导教师：张金莲职称：副教授学历：本科论文成绩： 2012 年 5 月
数列在生活中的应用 摘要： 数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词：数列应用分期付款资源利用 Mathematics is a source from life and for life science, mathematics study is the ancient human society is an indispensable part of life. Sequence calculation is in mathematics learning is a very important branch, and as the series of the study and calculation of the social and economic life, resources are closely linked, which makes the series research attention enthusiasm to upsurge gradually, together with the flexible calculation, interesting problems, makes for the series of research by more and more attention. Key words: application of series installment resource utilization 1, 引言 数列在我们生活中有着广泛的应用，比如资源计算等领域，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况 2，主要内容 第一章：等差等比数列在生活中的应用 一、等差数列的应用题 涉及到等差数列的应用问题时，首先应弄清数列的首项和公差，然后用其通项公式和前n项和公式，并借助不等式的性质解决问题。
数列实际应用举例
6.4数列的实际应用举例 实例一：用分期付款方式购买电脑，价格每台11500元，可以用以下方式付款，购买当天先付1500元，以后每月交付500元，并先加付欠款利息，月利率1℅（即欠款1℅利息不计入欠款），在交付1500元后第一个月开始为分期付款的第一个月．问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这台电脑实际花了多少钱？ 分析：第一个月付款：500(115001500)1+-? ℅ 第二个月付款：50095000.01+? …… 第十个月付款：500(100005009)0.01+-??． 解：由题意可知每月的付款数是500元和一个等比数列． 1500100000.01a =+?，250095000.01a =+?，…10500(100005009)0.01a =+-??； 1232050020(100009500500)0.01S a a a a =+++=?++++? =(50010000)10100000.0110000105000.1100001050110502 +?+?=+?=+=元． 买这台电脑实际花了11050+1500=12550元．
实例二：某制糖厂今年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从今年起，几年内可以使总产量达到30万吨（保留到个位）. 解：由题意可知，这个糖厂从今年起，平均每年的产量（万吨）组成一个等比数列． 15,10.1 1.1,30n a q S ==+== 于是得到 5(1 1.1)301 1.1 n -=- 整理后，得1.1 1.6n = lg1.60.20415lg1.10.0414n = =≈ 答：5年内可以使总产量达到30万吨． 实例三：某长跑运动员 7 天里每天的训练量（单位：m ）是： 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 求这位长跑运动员 7 天共跑了多少米？
等差数列的应用举例教案
姓名：陈奕丹 学号：2013411331 等差数列的应用举例 教学目标： 在已经学过等差数列的基本概念以及等差数列的通项公式和前n 项和的基础上对等差数列的进一步巩固，通过一些较为具体的应用题来提高学生对等差数列的进一步理解和掌握。培养学生学会运用学过的知识来解决实际生活中遇到的问题。 教学重点、难点： 重点：熟练地使用等差数列的通项公式和前n 项和公式。 难点：学会分析实际问题，运用等差数列的相应知识点来解决应用问题等。 教学过程： 一、课前复习 师：在开始上课之前我们先回顾一下之前学习过的知识。大家回忆一下，什么是等差数列，什么叫做等差数列的公差。 生：从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数的数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。 师：等差数列的通项公式是什么呢？ 生：d n a a n ?-+=)1(1 师：那如果知道一个等差数列的第二项是a2，知道它的公差是d ，那它的通项公式又是什么？这个时候我们可以代另外一条扩展的公式d m n a a m n ?-+=)(
生： d n a a n ?-+=)2(2 师：前n 项和公式有哪两个公式呢？ 生：2)(1n n a a n S +=，d n n a n S n ?-+?=2)1(1 二、新课导航 出示课件的例题7 例7 某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少座位？ 就例7进行分析，适当引导学生探究此实际问题。 师：题中知道最后一排有70个座位，且共有25排座位，说明第25排有多少个座位？ 生：70个 师：那我们假设这25排的座位数构成一个数列，则设第一排为a 1，第二排为a 2，以此类推，那么a 25等于多少？ 生：a 25=70 师：题中还有一个条件说道后一排比前一排多两个座位，也就是说第二十五排比第二十四排多两个，第二十三比第二十二多两个，依此类推，是不是说明了这个数列满足每一项与前一项的差是一个常数？ 生：是 师：那公差d 为多少？ 生：2 师：那么这个等差数列的通项公式是不是可以表示出来了？怎么表示？
数列中的实际应用问题
微点突破 数列中的实际应用问题 【例】 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2012年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款. (1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款； (2)若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元).(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈ 1.477 4) 解 依题意，公寓2012年底建成，2013年开始使用. (1)设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为 1 000×800(元)＝800 000(元)＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元. 依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1， 化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1.所以1.05n ≥1.734 3. 两边取对数整理得n ≥lg 1.734 3lg 1.05＝0.239 10.021 2≈11.28，所以取n ＝12(年).所以到2024 年底可全部还清贷款. (2)设每生每年的最低收费标准为x 元，因为到2020年底公寓共使用了8年， 依题意有? ?? ??1 000x 10 000－18[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9， 化简得(0.1x －18)1.058－11.05－1 ≥500×1.059， 所以x ≥10? ?? ??18＋25×1.0591.058－1 ＝10? ?? ??18＋25×1.05×1.477 41.477 4－1 ＝10×(18＋81.2)≈992(元). 故每生每年的最低收费标准为992元. 探究提高 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月)份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是
数列的实际应用问题
数列的实际应用问题 例1．某地区预计从2005年初的前n 个月内，对某种商品的需求总量f n ()（万件）与月份n 的近似关系为f n n n n n N n ()()()()=+-∈≤1150 135212， （I ）求2005年第n 个月的需求量g(n)（万件）与月份n 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过1.4万件。 （II ）如果将该商品每月都投放市场P 万件，要保持每月都满足供应，则P 至少为多少万件？ 解答：（I ）由题意知，()g f 11115012331125 ==???=() 当n ≥2时，g n f n f n ()()()=--1)]1(235[)1(150 1)235)(1(1501-----+= n n n n n n )12(251)]237)(1()235)(1[(1501n n n n n n n -=----+= 又 125112111251??-==()()g ,∴=-∈≤g n n n n N n ()()()125 1212， 由1251214n n ().->得:n n 212350-+<,∴<<57n ，又n N n ∈∴=，6 即6月份的需求量超过1.4万件 （II ）要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数P （万件）应满足Pn f n ≥()即 )235)(1(1501n n n Pn -+≥,)2 35233(751)235)(1(15012---=-+≥∴n n n n P N n ∈ ，当8=n 时，)235)(1(150 1n n -+的最大值为1.14万件即P 至少为1.14万件 练习：听P82例2 例2．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元。设f n ()表示前n 年的纯收入（f n ()=前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额） （1）从第几年开始获取纯利润？ （2）若干年后，外商为开始新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案最合算？ 解答：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关 系为f n ()，则f n n n n n n n ()[()]=-+ -?-=-+-501212 472240722 （1）纯利润就是要求f n ()>0，∴-+->2407202n n 解得218< 等差数列与等比数列在生活中的应用 年金---小额投资，聚沙成塔 新课程背景下如何提高高中学生数学的学习能力、应用能力，是一个不断探索，不断推陈出新的过程，我们教给学生的不仅仅是书本中的知识，更应该让学生们将学到的知识应用的实际生活中，这不仅能够提高学生的学习能力，更让学生们知道知识的重要性，提高自学能力，加深兴趣. 下面是关于新课程第五册课本中数列的一个实际应用. 当我们漫步在商业大道上，可以看到有关于贷款买房的中介，分期付款买车、买大宗物品等各种还款的广告；在银行前面也有关于投资的宣传，有保险的，有证券的，有关于年金的. 参与年金计划是一种很好的投资安排，而提供年金合同的金融机构一般为银行、保险公司和国库券等，比如你购买养老保险，其实就是参与年金合同. 年金终值包括各年存入的本金相加以及各年存入的本金所产生的利息，但是，由于这些本金存入的时间不同，所以所产生的利息也不相同. 下面我们将对银行中年金的计算问题做一个简单的概述. 了解年金的知识不仅使我们投资年金是做到有的放矢，更让我们掌握年金的计算问题，掌握主动权，参与家庭消费规划，年金里面的计算问题跟我们的高中数学的数列知识，特别是是同学们的家庭日常消费、储蓄、分期付款等问题是紧密相连的，这些问题可以归类为年金问题. 年金[1]，国外叫annuity，是定期或不定期的时间内一系列的现金流入或流出. 年金按其每次收付款项发生的时点不同，可以分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等类型. 本文介绍最普通的两种年金——普通年金、养老储备金. 一，普通年金，又叫期末付年金、后付年金，是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额收付的系列款项. 如下图： 0 1 2 3 …… n-1 n 课堂教学教案 授课章节名称§6.4：数列实际应用举例课型新授授课日期2013年 3 月 5日第三周课时数 1 教学目标1.让学生经历数学建模的过程,培养学生应用数学的能力. 2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题,提高学生数学地提出、分析、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识. 教学重点用等差数列和等比数列相关知识,解决银行存款、分期付款、增长率等生活实际问题. 教学难点建立数列模型 教学方法讲授、探究、分析、类比、归纳 教学资源江苏省职业学校《数学》教材第二册（江苏教育出版社）数学第二册《学习指导用书》（江苏教育出版社） 投影仪、多媒体 课外作业P25习题：1、2、3、4 教学后记 教学实践 教学环节与主要教学内容具体教学目标教学活动一、复习引入 1、等差数列、等差数列的通项公式、等差数列前n 项和公式； 2、等比数列、等比数列的通项公式、等比数列前n项和公式； 3、生活中的存款贷款、资产折旧、分期付款等实际问题，都可以用等差数列和等比数列的知识加以解决。 二、讲授新知 数列实际应用 探究 某人欲通过中介公司出售一辆原价20万元、已经行驶了50000km的家用轿车。中介公司提供了两种估价方法，一是按汽车每行驶5000km折价1.5万元；二是按汽车每行驶5000km折价10%。请你算一算，按哪一种折价方法卖主收益更多？ 例1某人从1月1日起，每月1日将1000元存入银行，银行年利率为6%（按月计息），利息税为20%，连存一年后，到第2年的1月1日，把存款连同利息一起取出，问：此人可从银行取回多少钱？ 练习：P23练习1,2 例2某工厂制定了五年发展规划，若第一年的产值是1200万元，计划每年递增20%，问：五年的总产值是多少万元？ 例3某人购买一辆20万元的车，首付5万元，其余车款按月分期付款，10年付清。如果欠款按月利率为0.5%计算，并把利息平均加到每月还款上，那么此人每月应付款多少钱？（精确到1元） 练习：P25练习1,2 复习等差数列、 等比数列的定义 及相关公式，为 解决实际问题提 供数学可能 经历数学建模的 过程，培养学生 应用数学的意识 通过建立数列模 型并应用数列模 型解决生活中的 实际问题,提高 学生数学地提 出、分析、解决 问题的能力 回顾、识记 讨论、交流 师生共同分析 例题，学生完成 练习 高考数学复习 第25课时 第三章 数列数列的实际应用名师 精品教案 一．课题：数列的实际应用 二．教学目标：1．理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法； 2．能够把实际问题转化成数列问题． 三．教学重点：建立数列模型解决数列实际应用问题． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．解应用问题的核心是建立数学模型； 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型； 3．注意问题是求什么（,,n n n a S ）． （二）主要方法： 1．解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答； 2．在归纳或求通项公式时，一定要将项数n 计算准确； 3．在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系； 4．在近似计算时，要注意应用对数方法和二项式定理，且要看清题中对近似程度的要求． （三）例题分析： 例1．某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材的存量， （1）求n a 的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于79a ，如果1972 a b =，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg 20.3=） 解：（1）设第一年的森林的木材存量为1a ，第n 年后的森林的木材存量为n a ，则 115(1)44 a a b a b =+-=-， 221555()(1)444 a a b a b =-=-+， 32325555()[()1]4444 a a b a b =-=-++， ……… 12*55555()[()()1]()4[()1]()44444 n n n n n n a a a b n N --=-+++=--∈． 04 等差中项与等差数列的实际应用 〖教学目的〗1、体会等差数列与一次函数的关系，能够用一次函数的性质解决等差数列问题； 2、掌握等差中项的定义和等差数列项的性质，能够应用等差中项的定义和等差数列的 性质解决问题； 3、能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。〖教学重点〗掌握等差数列的函数特性，会求等差中项 〖教学难点〗在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能灵活运用有关知识解决有关问题。〖双语教学〗等差数列arithmetic sequence 公差common difference 等差中项a rithmetic mean 一、预习自测（阅读理解P37~P39） 1、如果三个数,, a A b组成数列，那么，A叫的等差中项，即A＝. 2、等差数列{a n}的前三项依次为a－6，－3a－5，－10a－1，则a等于 3、（1）100与180的等差中项是；（2）－2与6的等差中项是. 4、回答P39中的探究问题：（1）； （2）. 二、自主学习：1、a、b、c成等差数列的表现形式 例1（1）三个数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数； （2）已知a，b，c成等差数列，求证：ab－c2，ca－b2，bc－a2也成等差数列. 2、通项公式的实际应用 例2（1）梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110，中间还有10级，各级的宽度成等差数列.计算中间各级的宽. （2）某市出租车的计价标准为1.2元／km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？ 三、作业A组：1、已知 a b=则a、b的等差中项为………………………（） （A（B（C （D 2、已知等差数列{a n}的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的第n项a n＝…………（） （A）2n－5 （B）2n－3 （C）2n－1 （D）2n＋1 3、已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是……（） （A）2 （B）3 （C）6 （D）9等差数列与等比数列在生活中的应用
§6.4：数列实际应用举例
高考数学复习 第25课时 第三章 数列数列的实际应用名师精品教案
04等差中项与等差数列的实际应用