常用逻辑用语复习教案

２－１第一章常用逻辑用语

小结与复习(教案)

【知识归类】

1．命题:能够判断真假的陈述句．

2．四种命题的构成:原命题:若p则q;逆命题:若q则p;否命题:若p

?

则q

?.

?;逆否命题: 若q

?则p

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：

原命题为真,它的逆命题真假不一定. 原命题为真,它的否命题真假不一定．

原命题为真,它的逆否命题真命题. 逆命题为真，它的否命题真命题．

原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是同真同假.

逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假.

3. 充分条件与必要条件:

?:p是q充分条件；q是p必要条件；

p q

?是的充分必要条件，简称充要条件.

:

p q p q

４. 逻辑联接词：“且”、“或”、“非”分别用符号“∧”“∨”“?”表示，意义为:

或：两个简单命题至少一个成立；且:两个简单命题都成立;非:对一个命题的否定.

按要求写出下面命题构成的各复合命题,并注明复合命题的“真”与“假”.

p:矩形有外接圆; :q矩形有内切圆.

或矩形有外接圆或内切圆(真)

p q

:

且矩形有外接圆且有内切圆（假)

p q

:

非p：矩形没有外接圆（假）

5．全称量词与全称命题:常用的全称量词有：“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等,并用符号“?”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.

6. 存在量词与特称命题：常用的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、

“有些”、“有的”、“某个”等,并用符号“?”表示.含有存在量词的命题叫特称

命题.

(1) p 与p ?的真假相异,因此，欲证p 为真，可证p ?为假,即将p ?作为条

件进行推理,如果导致矛盾,那么p ?必为假,从而p 为真.

（2) “,p q 若则”与“q p ??若则”等价.欲证“,p q 若则”为真,可由假设

“q ?”来证明“p ?”,即将“q ?”作为条件进行推理,导致与已知条件p 矛盾.

（3）由“,p q 若则”的真假表可知,“,p q 若则”为假，当且仅当p 真q 假,

所以我们假设“p 真q 假”，即从条件p 和q ?出发进行推理，如果导致与公理、

定理、定义矛盾，就说明这个假设是错误的，从而就证明了“,p q 若则”是真命

题．

后两条的逻辑基础,可以概括成一句话：“否定结论,推出矛盾”.

【题型归类】

题型一:四种命题之间的关系

例1 命题“20(b a b +=∈2若a 、Ｒ)，则a=b=0”的逆否命题是( D )．

(A ） ≠≠若 a b 0∈(a,b R),则20b +≠2a

(B) ≠若 a=b 0∈(a,b R),则20b +≠2a

(C ） 0≠≠若 a 且b 0∈(a,b R),则20b +≠2a

(Ｄ) 0≠≠若 a 或b 0∈(a,b Ｒ)，则20b +≠2a

【审题要津】命题结论中的a=b=0如何否定是关键．

解： a=b=0是a=0且b=0,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:

0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R)，则20b +≠2a ,故应选D

【方法总结】一个命题结论当条件,条件作结论得到的命题为原命题的逆否

命题.

题型二:充分、必要条件题型

例2 “,,αβγ 成等差数列”是“等式αγβsin(+)=sin2成立”的 （ A ).

(A ）充分而不必要条件 （Ｂ)必要而不充分条件

（C)充要条件 （Ｄ）既不充分有不必

要的条件

【审题要津】,,αβγ 成等差数列,说明2αγβ+= ,问题的关键是由两个角

的正弦值相等是否一定有两个角相等.

解: 由,,αβγ 成等差数列，所以2αγβ+= ，所以αγβsin(+)=sin2成立,

充分;反之,由αγβsin(+)=sin2成立,不见得有,,αβγ 成等差数列,故应选A.

【方法总结】p q ?:p 是q 充分条件; q 是p 必要条件,否则:p 是q 的不充

分条件; q 是p 不必要条件.

变式练习：“1a =”是“,21a x x x

+≥对任意的正数”的 ( A ）．

(A)充分而不必要条件 （Ｂ)必要而不充分条件

（C ）充要条件 (Ｄ)既不充分有不必要的

条件

例3 221:212;:210(0)3

x p q x x m m --≤-≤-+-≤>已知，若p ?是q ?的必要但不充分条件,求实数m 的取值范围.

【审题要津】命题p ,q 可以化的更简,由p ?和q ?的关系可以得到p 与q 的

关系，利用集合的理论方法将问题解决.

解: 由22210x x m -+-≤得:11,(0)m x m m -≤≤+>，

{}:11,0q A x x m x m m ∴?=>+<->或.

{}112210,:2103

x x p B x x x -≤-≤-≤≤∴?=<->由-2得或. 由p ?是q ?的必要但不充分条件知:p 是q 的充分但不必要条件,即B A

?于是：

012110m m m >??-≥-≤??+≤?

解得0

【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法,体现了集合的应用,能把各

种关系清楚地描绘出来.

题型三:复合命题真假的判断

例4 已知2:10p x mx ++=方程有两个不等的负实数根；

q ：

方程24x +()4210m x -+=无实根, p q p q 若或为真，且为假，求m 的取值范围.

【审题要津】把两个方程化简，然后根据p q p q 或及且列不等式组，方可求m

的取值范围.

解:240,:2;0

m p m m ??=->>?>?解得 ()()2

2:16216164301 3.q m m m m ?=--=-+<<<解得 p q p q 或及且，p q p q ∴为真，为假或为假，为真，

2,2,3121 3.

13m m m m m m m >≤??≥<≤??<<≤≥??即或解得或或 【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和

根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、p q p q 或及且两类复

合命题的真假判断.

变式练习:设有两个命题， p ：不等式1x x a ++>的解集为R ， q ：函

数()f x =

()73x

a --在R 上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则a 的取值范围是12a ≤<.

题型四:全称命题、特称命题

例5 设,A B 为两个集合,下列四个命题:

(1),A B x A x B ???∈?有 (２) A B A B ??=?

(３） A B B A ??? (4) A B x A x B ???∈?使得

其中真命题的序号为(4).

【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题．

解: {}{}{}1231241112A B A B A B A B ==?∈∈=若，，，，，，满足，但且，，,

所以(1)，(2）是假命题; {}{}1241A B A B B A ==??若，，，，满足但，所以

(3)是假命题,只有（4)为真命题．

【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定.

变式练习:下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( A ).

(A) ()n 90sin ααα?-=有一个使si

(B ） sin 2x x π

=存在实数，使

（C ） (),sin 180sin ααα?-=对一切

(Ｄ） sin15sin 60cos 45cos60sin 45?????=-

题型五:综合应用

例６ 已知关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=有两个实数根,αβ.证

明: 2α< 且2244b βα<<+<是且b 的充要条件.

【审题要津】充要条件的证明题都必须从充分和必要两个方面加以证明,其

中的充分性是由条件推出结论,从题目的叙述中可以看出，2α<且2β<是条

件,244b α<+<且b 是结论,由于二次方程的根由相应的二次函数的图象与x

轴的交点直观的表示出来，因此可以其直观性帮助解题。

证明:(1)充分性：由韦达定理得224αβαβ==

设2()f x x ax b =++,则函数()f x 的图象是开口向上的抛物线，又

2α<,2β<,(2)0f ∴±>.即有420a b ++>,420a b -+>

联立解得24a b <+.

（2)必要性: 由24a b <+(2)0f ?±>且()f x 的图象是开口向上的抛

物线，∴方程 ()0f x =的两根,αβ同在(2,2)-内或无实根. ,αβ是方程

()0f x =的根, ,αβ同在(2,2)-内，即2α<且2β<.

【方法总结】从本题的要求看,需首先判定条件的充分性和必要性,判定的

一般步骤是(１）先分清条件与结论,(２)进行互推,(3）根据定义下结论.

【思想方法】

１．数学思想：本部分用到的数学思想有：划归思想，分类讨论思想亦即否

定思想.

2.数学方法:本部分用到的数学主要是反证法,否定一个命题经常通过“举

反例”来说明.

1.对任意实数给出下列命题:

(1）“a b =”是“ac bc =”的充要条件；

(2)“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件;

(3)“a b >”是“22a b >” 的充分条件;

（4)“5a <”是“3a <”的必要条件

其中真命题的个数是 ( B ）.

( A ) 1 ( Ｂ ) ２ ( C ） 3 （ Ｄ ) 4

2. “x y =”是“x y =”的

( B ). ( A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件

（ C ）充要条件 （ D ) 既不

充分也不必要条件

3．设a ∈R 则111a a

><是?的 ( A ).

（ A ）充分不必要条件 ( B ） 必要不充

分条件

（ C ）充要条件 ( Ｄ ) 既不充

分也不必要条件

4. “5x >”的一个必要不充分条件是 （ B ).

( A )6x > ( B ) 3x > ( C ）6x < ( D ）100x >

5.在ABC ?中， “A>30?”是“1sin 2

A > ”的

( B ）.

( A )充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件 ( Ｃ )充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件

6. 设,M N 是两个集合，则“M N ≠?”是“M N ≠?”的 ( B ) ．

( Ａ )充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件

( Ｃ ）充要条件 ( D ） 既不充分也不必要条件

7． 已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命

题中为真命题的是

（ D ). ( A )()p q ?∨ ( Ｂ ）p q ∧ C ）()()p q ?∧? ( D ）()()p q ?∨?

8. 已知命题：对任意的实数x ,若2x >则24x >.写出它的逆、否、逆否命题，并判断其真假．

解: 逆命题: x ?∈R, 2若x >4则x>2 （假)

否命题: x ?∈R, 4≤≤2若x 2则x （假）

逆否命题： x ?∈R ， ≤≤2若x 4则x 2 （假）

9.已知命题：矩形的对角线相等.

(1)写出这个命题的否命题,并判断真假；

(2）写出这个命题的否定,并判断真假.

解:（１）先将命题改写成“若p 则q ”的形式:若四边形是矩形,则它的对角线相等.

否命题:若四边形不是矩形，则它的对角线不相等（假).

这是一个全称命题,所以它的否定是：有些矩形的对角线不相等(假).

1０.已知方程()22210x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.

解:令()22()21f x x k x k =+-+,方程有两个大于１的实数根

()22

1,2140,42111,.22(1)0,210.k k k k k f k k ?≤???=--≥??-???-><-????><->?????即或 所以其充要条件为 2.k <-