第二十四讲 探索性问题(含解答)-
第二十四讲 探索性问题
【趣题引路】
一个圆形街心花园,有三个出口A 、B 、C,如图1,•每两个出口之间有一条60m 长的道路,组成正三角形ABC.在中心点还有一个亭子,为使亭子与原有的道路相通,•需要修三条小路OD,OE,OF,使另一出口D 、E 、F 分别落在△ABC 的三边上,•且这三条小路把△ABC 分成三个全等的多边形,以备种植不同品种的花草.
(1)请你按以上要求设计两种不同的方案,将设计方案分别画出来,•并附简单说明;
(2)要使三条小路把△ABC 分成三个全等的等腰梯形,应怎样设计?•请把方案画出来,并求此时三条小路的总长;
(3)请你探索出一种一般方法,使得出口D•不论在什么位置都能准确地找到另外两个出口E 、F 的位置,请写明方法;
(4)你在(3)中探究出一般方法适用于正五边形吗?这种方法可以推广到正n•边形吗?
（1） (2) (3) (4) 解析 (1)方案1 D 、E 、F 分别与A 、B 、C 重合,连结OD 、OE,OF,•得三条小路OD 、OE 、OE.如图2.
方案2 OD 、OE 、OF 分别垂直于D,E,F 得OD,OE,OF,如图3.
(2)如图4,三条小路OD 、OE 、OF 分别与AC 、AB 、BC 平行,•得到三个全等的等腰梯形;作OM ⊥BC 于M,连结BO,则OE=sin 60OM
=20,又OE=OF=OD. ∴OE+OF+OD=3·OE=60.即3条小路OD,OE,OF 总长为60.
(3)方案1 在BC 、CA 上分别截取BE=CF=AD,连结OD 、OE 、
OF•即得三条小路如图5.
方案2 连OD,将OD 逆时针旋转120°交BC 于E,再逆时针
旋转120°交AC 于F•即得3条小路,如图5.
(4)在正五边形A 1A 2A 3A 4A 5中,设M 1为A 1A 2上任意一点,•
在各边上分别截取A 2M 2=A 3M 3=A 4M 4=A 5M 5=A 1M 1,连结OM 1、
OM 2、OM 3、OM 4、O M 5即可得5条小路,从而可进一步推广到
正n 边形.
(5)
【知识延伸】
探索性问题有别于通常的问题(常规问题).•如果把一个题目的系统分成已知条件,解题依据,解题方法和结论四个要素,•那么探索性问题往往只有其中的两个要素,以解题过程来看,较少现成的法则和套路,较多分析、探索与创造.
解决此类问题要求我们能综合运用观察、分析、分类、类比、转译、化归、特殊化、一般化、反证法以及数形结合甚至猜想等数学思想和方法.
探索性问题归纳有四种题型:(1)探索题设下的图形或数量之间的关系;(2)•探索解决问题的方法;(3)探索图形具备某性质或关系的条件或结论;(4)探索改变题设条件后结论是否变化.
例1 如图,⊙O为等腰梯形ABCD的内切圆,M、N、P分别为⊙O与AB、CD、•BC的切点.试尽可能多地找出其中图形的形状和大小之间所存在的各种关系.
解析 (1)角的相等:∠A=∠ABC,∠BCD=∠D;∠MBO=∠
PBO;∠MOB=∠POB;∠MBO=∠COP等.
(2)角的互补:∠A+∠D=180°;∠ABC+∠BCD=180°.
(3)角的互余:∠MBO+∠MOB=90°;∠BOP+∠COP=90°等.
(4)线段的垂直:OM⊥AB;ON⊥CD:OP⊥BC;OB⊥OC.
(5)共线点:N、O、M三点在一条直线上.
(6)线段的相等:
BM=PB=MA;CN=CP=ND;OP=OM=ON;
BC=BM+CN;AB+CD=AD+BC=2AD.
(7)三角形全等:△MBO≌△PBO;△NOC≌△POC.
(8)三角形相似:△OCB∽△MOB(或△PBO)∽△NOC(或△PCO).
(9)比例线段:通过相似三角形对应边成比例,可找到多组成比例线段关系.
(10)作为比例中项的线段:OP是BP与CP的比例中项,也是MB与NC的比例中项;•
MN是AB与CD的比例中项;OB是MB与BC的比例中项;OC是NC与BC的比例中项.
点评
解此问题时最好要有条理性,先从某个角度进行分析,•待不能再挖掘出新的对等或成比例的关系后,应及时地换一个角度再思考.
例2如图,EB是⊙O的直径,且EB=6.在BE的
延长线上,取点P,使EP=EB.A•是PE上一点,过A作
⊙O的切线AD,切点为D.过D作DF⊥AB于点F,过B
作AD的垂线BH,•交AD的延长线于点H.连结ED和
FH.
(1)若AE=2,求AD的长;
(2)当点A在EP上移动(点A不与点E重合)时,
①是否总有AD ED
AH FH
?试证明你的结论.
②设ED=x,BH=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解析 (1)∵AD 切⊙O 于D,AE=2,EB=6,∴AD 2=AE ·AB=2×(2+6)=16. ∴AD=4;
(2)①无论点A 在EP 上怎么移动(点A 不与点E 重合),总有AD ED AH FH
=. 证明 连结BD,交FH 于G.∵AH 是⊙O 的切线,D 为切点,∴∠3=∠4.
又∵BH ⊥AH,•BE 为直径,∴∠BDE=90°,
∴∠1=90°-∠3=90°-∠4=∠2.
在△DFB 和△DHB 中,•∠DHB=90°,∠1=∠2,DB=DB,
∴△DFB ≌△DHB.∴BF=BH.∴△BHF 是等腰三角形.
∵∠1=•∠2,∴BG ⊥FH,即BD ⊥FH.
∵BD ⊥DE,∴ED ∥FH,∴AD ED AH FH
=. ②设ED=x,BH=y,BE=6,BF=BH,
∴EF=6-y.
∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高,∴△DFE ∽△BDE, ∴
EF ED ED EB
=,即ED 2=EF ·EB. ∴x 2=6(6-y),即y=-16x 2+6. ∵点A 不与点E 重合,∴ED=x>0,
当点A 从点E 向左移动,ED 逐渐增大,A 和P 重合时,ED 最大,
这时,连结OD,•则OD•⊥PH,∴OD ∥BH.
又∵PO=PE+EO=6+3=9,PB=12,OD PO BH PB =,BH=OD PB PO
=4, ∴BF=BH=4.
EF=EB-BF=6-4=2.
由ED 2=EF ·EB,得x 2=2×6=12.
∵x>0,∴,∴0 故所求的函数关系式为y=-16 x 2+6,自变量x 的取值范围是0 此题根据动点,建立有关函数关系,揭示了函数的本质;•函数是研究运动变化的两个变量间的关系问题,此题第(2)题的第①小题是一个结论探索问题,•它要求先探索出结论,再证明出结论成立.在实际问题中,建立的函数关系式,•必须注意求出自变量的取值范围,即使题目中没有明确提出这个要求. 【好题妙解】 佳题新题品味 例1如图,直线L上有两点A、B,AB=4cm,过L外一点C作CD∥L,射线BC与L•所成的锐角∠1=60°,线段BC=2cm,动点P、Q分别从B、C同时出发,P以1cm/s•的速度沿由B 向C的方向运动,Q以2cm/s的速度沿由C向D的方法运动,设P、Q运动的时间为t(s),当t>2时,PA交CD于E. (1)用含t的代数式分别表示CE和QE的长. (2)求△APQ的面积S和t的函数关系式; (3)当QE恰好平分△APQ的面积时,QE的长是多少厘米? 解析 (1)∵BP=t,CQ=2t,PC=t-2, 由EC∥AB,且AB=4,得△PEC∽△PAB, ∴EC PC AB PB =,• 即EC=4(2) t t - , QE=QC-EC=2t-4(2) t t - = 2 2(24) t t t -+ ; (2)过P作PE⊥L,垂足为F,交QC的延长线于点G, 因∠1=60°,∴PF=PB.sin60°= 3 2 t. 又∵CD∥L,故PG⊥CD. ∴S△APQ=S△EQA+S△EPQ =1 2 QE·GF+ 1 2 QE·PG= 1 2 QE(GF+GP)= 1 2 QE·.PF =1 2 · 2 2(24) t t t -+ · 3 2 t= 3 2 (t2-2t+4); (3)因为△APQ是由△QEA和△QEP组成,又这两个三角形具有公共的底QE,• 所以只须G平分PF,即当C为PB的中点时,QE即平分△PAQ的面积, 于是由t-2=2,可得t=4,•从而有: QE= 2 2(24) t t t -+ = 2 2(2244) 4 -⨯+ =6(cm). 点评 这是一个点以定速沿规定方向移动的几何问题,•求解此题的关键是抓住动点移动的时间与各量之间的关系. 例2 AB 是⊙O 的直径,把AB 分成n 条相等的线段,•以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么⊙O 的周长L=πa, 计算:(1)如图1,把AB 分成两条相等的线段,每个圆的周长L 2=12πa=12L; (2)如图2,把AB 分成三条相等的线段,每个小圆的周长L 3=_______; (3)把AB 分成四条相等的线段,每个小圆的周长L 4=_____. (1) (2) (3) (4)如图3,把AB 分成n 条相等的线段,每个小圆的周长L n =__________. 结论:把大圆的直径分成n 条相等的线段以每条线段为直径分别画小圆,•那么每个小圆的周长是大圆周长的________. 请依照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系. 解析 (2)13L (3)14L (4) 1n L ;结论; 1n . 又由直径与面积的关系,得:面积关系为,•每个小圆面积是大圆面积的 21n . 点评 此题先给出了特殊范例,然后要求归纳出一般性的规律,•这类问题的解法因题而异,没有固定的解题模式,只有多练习多思考,提高观察、推理,归纳能力,•遇到这类问题才会很快找到解法. 中考真题欣赏 例1 (2003年北京市中考题)如图, ABCD 中,点E,F 在对 角线AC•上,•且AE=CF,请你以F 为端点,和图中已标明字母 的某一点连成一条新线段,•猜想并证明它和图中已有的某 一条线段相等(只需证明一组线段相等即可). 证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD=BC,AD ∥BC. ∴∠DAE=∠BCF. 在△BCF 和△DAE 中,CB=AD,∠BCF=∠DAE,CF=AE, ∴△BCF•≌△DAE. ∴BF=DE. 点评 本题是一个常见的几何基本图形,可创设新的图形背景,•使之成为我们合情推理能力的生长点. 例2 (2003年吉林省中考题)如图,AB 是半圆O 的直径,点M 是半径OA•的中点,点P 在线段AM 上运动(不与点M 重合),点Q 在半圆O 上运动,且总保持PQ=PO,过点Q•作半圆O 的切线交BA 的延长线于点C. (1)∠QPA=60°时,请你对△QCP 的形状做出猜想,并给予证明; (2)当QP ⊥AB 时,△QCP 的形状是_______三角形. (3)由(1)、(2)得出的结论,请进一步猜想当点P 在线段AM 上运动到任何位置时,△QCP 一定是_________三角形. 解析 (1)△QCP 是等边三角形. 证明 连结OQ,则CQ ⊥OQ, ∵PQ=PO,∠QPC=60°, ∴∠POQ=∠PQO=30°,∴∠C=90°-30°=60°, ∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°. ∴△QPC 是等边三角形. (2)等腰直角三角形. (3)等腰三角形. 点评 本题设计精灵,考查我们的推理能力,•并且探求方式扩展到了由特殊到一般的归纳推理模式,使数学学习经历从合情推理到演绎推理的完整过程. 竞赛样题展示 例1 (2000年黄冈市数学竞赛试题)如图,•堆放在车厢里的两根圆木紧紧挨在一起,两根圆木的半径分别为9dm 和4dm,为了有效地利用空间,•现要在两根圆木的间隙处插进一根半径为1.5dm 的小圆木,问能否做到? 解析 ⊙O 1、⊙O 2的半径分别为R 、r. 连结O 1O 2,O 1C,O 2B,O 3G,过O 2作O 2D•⊥O 1C 交O 1C 于点D, 过O 3作O 2D 的平行线交O 2B,O 1C 于点E 、F. 设⊙O 3的半径为x,则在Rt •△O 2O 3E 中,E= 22()()x r r x +--=2rx . 又∵BG=O 3E,在Rt △O 1O 3F 中 CG=O 3F =22()()R x R x +--=2Rx . ∴O 2D =EF=BC=2rx +2Rx , ① 在Rt △O 1O 2D 中,(R+r )2-(R-r )2=O 2D 2, ∴O 2D=2Rx ② 由①、②,得:2rx +2Rx =2Rr , ∴x = Rr R r + 即x= 2 Rr R r Rr ++ , 当R=9和r=4时,x= 94 94294 ⨯ ++⨯ = 36 25 . ∵36 25 < 3 2 ,故半径为 3 2 的圆木不能插进两圆木的间隙. 点评 本题实质上是求⊙O1和⊙O2相外切同时⊙O1、⊙O2又和直线(截面图形)相切的⊙O3,在此情况下,已知⊙O1、⊙O2的半径,⊙O3的半径也就可求出来了. 例2 (江苏省初中数学竞赛题)如图,AB是半圆的直径,AC ⊥AB,AC=AB.•在半圆上任取一点D,作DE⊥CD,交AB于点E,BF ⊥AB交AD的延长线于点F. (1)设AD是x°的弧,若要使点E在线段BA的延长线上,求 x的取值范围; (2)不论点D取在半圆的什么位置,图中除AB=AC外,还有两 条线段一定相等,•指出这两条相等的线段,并予以证明. 解析 (1)当E点由右趋向于点A时,△ADB将成为等腰直角 三角形,即D点为OS•与⊙O的交点,这里OS⊥AB, 所以,点E从右运动到点A时,AD是45°的弧,即x=45. 当点E离开点A在BA的延长线时,离点A越近,点D越接近于点A, 因此x接近于0,D为A点时,x=0, 所以满足题设要求的x的范围是0≤x<45. (2)由题意,知∠CDE=90°,∠CAB=∠EBF=90°,∠ADB=90°, ∵AC为圆的切线,∴∠CAD=∠ABD. ∵∠DEB=180°-∠AED=180°-(360°-180°-∠C)=∠C, ∴△ACD∽△EBD, AD AC BC BE =. 又∵∠ABD=∠BFD,所以△ABD∽△BFD, AD AB BD BF = 所以AC AB BE BF =,∵AB=AC,∴BE=BF. 点评 此题是探索结论问题,是在给定的条件下,探求相应的结论,•解这类问题的思路是:从给定的条件出发,进行探索,归纳,猜想出结论,然后对猜想出的结论进行证明. 全能训练 A级 1.请你观察思考下列计算过程:因112=121,所以121=11;同样,1112=12 321,因为 12321;……由此猜想: 12345678987654321=_________. 2.观察一列数:3,8,13,18,23,28…,依此规律,在此数列中比2000•大的最小整数是 __________. 3.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律,拼成若干个图案: 问:(1)第4个图案中有白色地面砖_________块. (2)第n个图案中有白色地面砖_________块. 4.将一张长方形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,•对折时每次 折痕与上次的折痕保持平行,连续三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到______条折痕,如果对折n次,可以得到________条折痕. 5.已知,如图,线段AM∥DN,直线L与AM、DN分别交于点B、C,直线L绕BC•的中点P旋转(点C由点D向点N方向移动). (1)线段BC与AD、AB、CD围成的图形,在初始状态下,形状是△ABD(即△ABC)•请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形名称; (2)任取变化过程中的两个图形,测量AB、CD•长度后分别计算同一个图形的AB+CD(精确到1cm),比较这两个和是否相同?试加以证明. 6.如图,AB是⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC,垂足为E. (1)由这些条件,你能推出哪些正确结论?(要求:不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程写出4个结论即可); (2)若∠ABC为直角,其他条件不变,除上述结论外,你还能推出哪些正确结论?并画出图形(要求:写出6个结论即可,其他要求同(1)). A级(答案) 1.111 111 111. 2.2 00 3. 3.(1)18;(2)4n+2. 4.15,2n-1或1+2+22+23+…+2n-1. 5.(1)一般梯形,等腰梯形、直角梯形和平行四边形; (2)经测量计算,•两个图形的AB+CD都是相等的. 6.(1)第一类:如图,连结BD,可得结论:①AB=BC(或∠A=∠C);②D E2=BE·EC;•③DE是AD和 BE的比例中项;④DC2=EC·BC(或AD2=EC·BC);……、第二类:连结OD,可得结论;⑤OD∥BC;⑥OD⊥DE;⑦DE是⊙O的切线……从中任选4个结论即可. (2)如图,第一类:不添加辅助线,可得结论:①BC是⊙O的切线;②DE∥AB;•③CE=EB;④△CDE∽△CAB;⑤CB2=CD·CA;⑥CD=DA=CE:EB;⑦S△CDE:S△CAB=1:4;…… 第二类:作辅助线.第一种情形:连结BD,可得结论:⑧DE=BE=CE;⑨∠A=∠C=45°;第二种情形:连结OD,可得结论,⑩CE=DE=BE=AO=BO;(11).DE是⊙O的切线……从中任选6个结论即可. B级 1.如图1,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB=10cm,点P由点C出发以2cm/s•的速度沿线段CA 向点C运动(不运动至点A),⊙O的圆心在BP上,且⊙O分别与AB、AC相切,•当点P运动2s时,⊙O的半径是( ) A.12 7 cm B. 12 5 cm C. 5 3 cm D.2cm (1) (2) (3) 2.如图2,直径AB过⊙O的圆心,与⊙O相交于A、B两点,点C在⊙O上,•且∠AOC=30°,点 E是直线AB上的一个动点(与点O不重合),直线EC交⊙O于点D,则使DE=DO的点E共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图3,直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,若点P在边AB上移动,•使得以P、A、D为顶 点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似,则符合条件的P点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,点E平分BC,点P在BD上,且PE+PC=1,•探求边AB 的最大值. 5.已知如图,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E,•延长AE交△ABC的外接圆于点D,连结BD、CD、CE,且∠BDA=60°. (1)求证:△BDE是等边三角形; (2)若∠BDC=120°,猜想四边形BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想. B级(答案) 1.A. 2.C. 3.C.设AP=x,则PB=7-x. ①若△PAD∽△PBC,则 7x x - = 2 3 ,∴x= 14 5 <7,符合条件; ②若△PAD∽△CBP,则 2 7x - ,x1=1,x2=6也符合条件.故满足条件的P点有3个. 4.如图,不论P如何移动,因为∠BAD=120°, 所以△ADC是等边三角形,取AD•的中点F, 连结PF,可得PF=PE.连CF可得CF⊥AD, 根据题意,得PF+PC≥FC,(当点P在FC•与BD的交点上时,取等号). 又∵PF+PC=PE+PC=1, ∴FC≤1,AB≤23 3 , 所以AB的最大值是23 3 . 5.(1)如图,∵AD平分∠BAC,∴∠3=∠4. 又∵∠4=∠5,∴∠3=∠5, ∵∠DBE=∠2+∠5,∠BED=∠1+∠3,∠1=∠2, ∴∠DBE=∠BED.∴DB=DE. 又∵∠BDE=60°.∴△BDE是等边三角形; (2)猜想四边形BDCE是菱形, ∵∠BDC=120°,∠BDE=60°,∴∠EDC=60°. ∵∠BED=60°,∴BE∥CD. ∵∠3=∠4,∴BD=DC,∴BD=DC, 又∵BD=BE,∴BE //DC, ∴四边形BDCE是平行四边形, 又BD=DC,∴ BDCE是菱形. 专题05 中考中与“操作探究 型”相关的探索性问题 【母题来源一】【2019?陕西】问题提出： （1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究： （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离； 问题解决： （3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计） 【解析】（1）如图1记为点D所在的位置． （2）如图2， ∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB． ∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点， 连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能在矩形外， ∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大， 作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3， ∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2， 由对称性得AP2=8． （3）可以，如图3，连接BD， ∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°， ∴BD=100，∠BED=60°， 作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形． 连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′， ∵E′A⊥BD， ∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°， 作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A， ∴S△BDE 1 2 =·BD·EF 1 2 ≤·BD·E′A=S△E′BD， ∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°m2）， 所以符合要求的BCDE的最大面积为2． 第二十四讲 探索性问题 【趣题引路】 一个圆形街心花园,有三个出口A 、B 、C,如图1,•每两个出口之间有一条60m 长的道路,组成正三角形ABC.在中心点还有一个亭子,为使亭子与原有的道路相通,•需要修三条小路OD,OE,OF,使另一出口D 、E 、F 分别落在△ABC 的三边上,•且这三条小路把△ABC 分成三个全等的多边形,以备种植不同品种的花草. (1)请你按以上要求设计两种不同的方案,将设计方案分别画出来,•并附简单说明; (2)要使三条小路把△ABC 分成三个全等的等腰梯形,应怎样设计?•请把方案画出来,并求此时三条小路的总长; (3)请你探索出一种一般方法,使得出口D•不论在什么位置都能准确地找到另外两个出口E 、F 的位置,请写明方法; (4)你在(3)中探究出一般方法适用于正五边形吗?这种方法可以推广到正n•边形吗? （1） (2) (3) (4) 解析 (1)方案1 D 、E 、F 分别与A 、B 、C 重合,连结OD 、OE,OF,•得三条小路OD 、OE 、OE.如图2. 方案2 OD 、OE 、OF 分别垂直于D,E,F 得OD,OE,OF,如图3. (2)如图4,三条小路OD 、OE 、OF 分别与AC 、AB 、BC 平行,•得到三个全等的等腰梯形;作OM ⊥BC 于M,连结BO,则OE=sin 60OM =20,又OE=OF=OD. ∴OE+OF+OD=3·OE=60.即3条小路OD,OE,OF 总长为60. (3)方案1 在BC 、CA 上分别截取BE=CF=AD,连结OD 、OE 、 OF•即得三条小路如图5. 方案2 连OD,将OD 逆时针旋转120°交BC 于E,再逆时针 旋转120°交AC 于F•即得3条小路,如图5. (4)在正五边形A 1A 2A 3A 4A 5中,设M 1为A 1A 2上任意一点,• 在各边上分别截取A 2M 2=A 3M 3=A 4M 4=A 5M 5=A 1M 1,连结OM 1、 OM 2、OM 3、OM 4、O M 5即可得5条小路,从而可进一步推广到 正n 边形. (5) 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/2619349133.html, 直线与圆锥曲线中的探索性问题分类解析 作者：慕泽刚 来源：《高中生·高考指导》2014年第03期 一、探索直线与圆锥曲线的位置关系问题 例1 已知椭圆C： + =1（a>b>0）的焦距为4，且过点P（，）. （Ⅰ）求椭圆C的方程. （Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上的一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点A（0，2 ），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问：这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？请说明理由. 难度系数 0.26 分析解答第（Ⅰ）题时，我们可以根据题意确定半焦距c的大小，再将P（，）代入方程建立方程组，从而确定椭圆的方程.解答第（Ⅱ）题时，我们可以根据AD⊥AE确定出点D 的坐标，从而得到直线QG的方程，并对其进行化简.根据点Q在椭圆上，将点Q的坐标代入方程，得到关于x的二次方程，解出方程的根，则可判断直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点. 解（Ⅰ）由于焦距为4，所以a2-b2= 4.又椭圆经过点P（，），所以有 + =1. 联立上述两个等式，可得a2=8，b2=4. 故椭圆C的方程是 + =1. （Ⅱ）根据题意可知，点E的坐标为（x0，0）.设点D的坐标为（xD，0），则有 = （x0，-2 ）， =（xD，-2 ）. 由AD⊥AE，可知 · = 0，即x0xD +8=0.由于x0xD≠0，所以xD =- . 由于点G是点D关于y轴的对称点，所以点G的坐标为（，0）.所以直线QG的斜率kQG= = . 又点Q（x0，y0）在椭圆上，所以x20+2y20=8，从而有kQG =- .故直线QG的方程为y=- （x- ）.将其代入椭圆C的方程有（x20+2y20）x2-16x0x+64-16y20=0，整理得x2-2x0x+x20=0.解得x=x0，y=y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点. 探索型问题的解法和分类 一、内容综述： 1、探索存在型问题共有三种解法 ①直接解法：从已知条件出发，推导出所要求的结论。 ②假设求解法：假设某一命题成立―――相等或矛盾，通过推导得出相反的结论。 ③寻求模型法 2、探索型问题分类 ①结论探索型问题： 一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题中往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。 ②条件探索型问题： 条件探索型问题，一般是由给定的结论反思探索命题，应具备的条件。 二、例题精讲： 例1．已知点A(0, 6), B(3,0), C(2,0), M(0,m)，其中m<6，以M为圆心，MC为半径作圆，则（1）当m为何值时，⊙M与直线AB相切 （2）当m=0时，⊙M与直线AB有怎样的位置关系？ 当m=3时，⊙M与直线AB有怎样的位置关系？ （3）由第（2）题验证的结果，你是否得到启发，从而说出 在什么范围内取值时，⊙M与直线AB相离？相交？ （（2），（3）只写结果，不要过程）（江苏常州） 分析：如图（1）只需d=r。作 MD⊥AB ,当MD=MC，直线和圆相切，MD用相似可求。 （2）d与r比较 （3）（1）是三种位置关系中的临界位置 说明：在解有关判定直线与圆的位置这类问题时，一般应先求出这一直线与圆位置相切时应满足的条件，然后再辅以图形运动，分别考察相离，相交的条件。 解：（1）连MC，MC=， 过M作MD⊥AB于D，∴ RtΔADM∽RtΔAOB， ∴， ∴，∴ DM=(6-m) 若⊙M与AB相切，∴ CM=DM， ∴(6-m) ∴ m2+3m-4=0 ∴ m=-4或m=1，经检均是， ∵ m<6, ∴ m=1或m=-4时，直线AB与⊙M相切。 （2）当m=0时，MC=2，MD=，∴ MD＞MC，AB与⊙M相离， 当m=3时，MC=，MD=，∴ MD＜MC，AB与⊙M相交。 （3）由（1），（2）知，当-4 专题03 中考中与“探索规律 型”相关的探索性问题 【母题来源一】【2019?武汉】观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是 A．2a2–2a B．2a2–2a–2 C．2a2–a D．2a2+a 【答案】C 【解析】∵2+22=23-2； 2+22+23=24-2； 2+22+23+24=25-2… ∴2+22+23+…+2n=2n+1-2， ∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，∵250=a， ∴2101=（250）2·2=2a2， ∴原式=2a2-a．故选C． 【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2． 【母题来源二】【2019?枣庄】如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10， 符合此要求的只有，故选D ． 【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10． 【母题来源三】【2019?济宁】已知有理数a ≠1，我们把 11a -称为a 的差倒数，如： 2的差倒数是1 112 =--，-1的差倒数是()11 112 =--．如果a 1=-2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依 此类推，那么a 1+a 2+…+a 100的值是 A ．-7.5 B ．7.5 C ．5.5 D ．-5.5 【答案】A 【解析】∵a 1=–2， ∴a 2()11123==--，a 3131213==-，412312 a ==-- ，…… ∴这个数列以-2，13，32依次循环，且-2131 326 ++=-， ∵100÷3=33…1，∴a 1+a 2+…+a 100=33×（16-）-215 2 =- =-7.5， 故选A ． 【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规 决战2020年中考典型压轴题大突破 模块二中考压轴题几何变换综合专题 考向导航 在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题。动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题。这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念。此类试题的显著特点是以动手为基础的手脑并用的形式，有助于创新能力的培养和实践能力的提高，改变了以往一只笔一张纸的学习方式，是新课程改革的基本理念之，在中考中越来越受到关注。常见的有折叠、旋转和平移操作。操作型问题是指通过动手测量作图(象)、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情合理和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准，特别强调发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想因此，实验操作问题将成为今后中考的热点题型。 专题08 探索性问题 方法点拨 此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明，归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系。此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念。 精典例题 （2019•商南二模）【问题发现】如图①，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是． 【问题研究】如图②，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值． 【问题解决】如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB 长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值并说明理由． 开放探索性问题 第一部分讲解部分 一、专题诠释 开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类． 开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类． 探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类． 二、解题策略与解法精讲 由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律． 2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致． 3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果． 4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论 规律探索性问题 第一部分 讲解部分 一．专题诠释 规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。 二．解题策略和解法精讲 规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。 三．考点精讲 考点一：数与式变化规律 通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。 例1. 有一组数： 13,25579 ,,101726 ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为 ． 分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可． 解答：解： 21211211?-=+； 23221521?-=+； 252311031 ?-=+； 2 7241 1741?-=+； 219251 265 +?-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为 2 21 1 n n -+． 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1． 例2（2010广东汕头）阅读下列材料： 1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31 (2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 3 1 (3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 3 1 ×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题： (1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； (2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________． 分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+?++?+?+?n n [])1()1()2)(1()321432()210321(3 1 +--++++??-??+??-???=n n n n n n )2)(1(3 1 ++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+?+?++??+??+??n n n [])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(4 1 +?+??--+?+?+?++???-???+???-???= n n n n n n n n )3)(2)(1(4 1 +++= n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝ 3 1 (1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 3 1 (3×4×5－2×3×4)，… 第27讲 探索性问题 一、解答题 1．已知21,F F 分别为椭圆C ：（0>>b a ）的左、右焦点, 且离心率为2 2，点椭圆C 上 （1）求椭圆C 的方程； （2）是否存在斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点N M ,，使直线与的倾斜角互补，且直线l 是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 2．椭圆上顶点为M ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且焦距为2 ，离心率为 2． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线l 交椭圆于P ，Q 两点，判断是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 3．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为 12，右焦点到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅰ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k R =+∈，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由. 4．已知 为椭圆C 的左、右焦点，且点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程； （2）过的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 5．（本小题共13分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2−12x +32=0的圆心为Q ，过点P(0，2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求圆Q 的面积； （Ⅰ）求k 的取值范围； （Ⅰ）是否存在常数k ，使得向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说 22221x y a b +=)23,22(-A l M F 2N F 2 探索性问题 一、选择题 1．（2016四川省凉山州）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（） A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角 C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角 【答案】D． 考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型． 2．（2016四川省攀枝花市）下列说法中正确的是（） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．“x2＜0（x是实数）”是随机事件 C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上 D．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查 【答案】C． 【解析】 试题分析：选项A中的事件是随机事件，故选项A错误；． 选项B中的事件是不可能事件，故选项B错误；． 选项C中的事件是随机事件，故选项C正确；． 选项D中的事件应采取抽样调查，普查不合理，故选D错误；． 故选C． 考点：1．概率的意义；2．全面调查与抽样调查；3．随机事件；4．探究型． 3．（2016山东省临沂市）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形 中小正方形的个数是（ ） A ．2n +1 B ．2 1n - C ．2 2n n + D ．5n ﹣2 【答案】C ． 考点：规律型：图形的变化类． 4．（2016湖南省邵阳市）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（ ） A ．21y n =+ B ．2n y n =+ C ．1 2n y n +=+ D ．21n y n =++ 【答案】B ． 考点：规律型：数字的变化类． 二、填空题 5．（2016北京市）百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为． 【答案】505． 【解析】 试题分析：1～100的总和为：（1+100）×100÷2=5050，一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：5050÷10=505，故答案为：505． 考点：规律型：数字的变化类． 6．（2016北京市）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P．（如图1） 求作：直线l的垂线，使它经过点P． 作法：如图2 （1）在直线l上任取两点A，B； （2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q； 【名师综述】利用空间向量解决探索性问题 立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如． 1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法． 求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p 的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题． 2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法． 【精选名校模拟】 1.【成都石室中学2014届高三上期“一诊”模拟考试（一）（理）】(本小题满分12分)已知直三棱柱 111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值； （Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒ 角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由． 难点40 探索性问题 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题. 1.（★★★★）已知三个向量a 、b 、c ，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a ｜=3, ｜b ｜=2,｜c ｜=1，则a 用b 、c 表示为 . 2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？ ［例1］已知函数1 )(2++= ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数）是奇函数，f (x )有最大值21，且f (1)＞52. （1）求函数f (x )的解析式； （2）是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由. 命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题. 错解分析：不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；忽视b 为自然数而导致求不出b 的具体值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解. 技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设 存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证. 解：（1）∵f (x )是奇函数 ∴f (–x )=–f (x )，即 1 122++-=++-ax c bx ax c bx ∴–bx +c =–bx –c ∴c =0 ∴f (x )=1 2+ax bx 由a ＞0，b 是自然数得当x ≤0时，f (x )≤0， 当x ＞0时，f (x )＞0 ∴f (x )的最大值在x ＞0时取得. ∴x ＞0时，22111 )(b a bx x b a x f ≤+= 当且仅当bx x b a 1= 即a x 1=时，f (x )有最大值2 1212=b a ∴2 b a =1,∴a =b 2 ① 又f (1)＞52，∴ 1+a b ＞5 2,∴5b ＞2a +2 ② 把①代入②得2b 2–5b +2＜0解得2 1＜b ＜2 又b ∈N ,∴b =1,a =1,∴f (x )=12+x x （2）设存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于点（1，0）对称， P (x 0,y 0)则Q （2–x 0,–y 0)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+02000 2001 )2(21y x x y x x ,消去y 0，得x 02–2x 0–1=0 专题11：椭圆中的存在探索性问题 1．已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>，长轴为4，不过坐标原点O 且 不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值1 4 -. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D 坐标，若不存在，请说明理由. 2．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3 b ，椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过1F 的直线与椭圆相交于点C ，D （不与顶点重合），过右顶点B 分别作直线BC ，BD 与直线4x =-相交于N ，M 两点，以MN 为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 3．椭圆E ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2，0)，且离心率为2 . （1）求椭圆E 的方程； （2）过点P (4，0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知A 、B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a +=>的左顶点和下顶点，P 为 直线3x =上的动点，AP BP ⋅的最小值为594 ． （1）求E 的方程； （2）设PA 与E 的另一交点为D ，PB 与E 的另一交点为C ，问：是否存在点P ，使得四边形ABCD 为梯形，若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>． （1）求椭圆G 的方程； （2）过点(0,1)M 斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆G 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点N 使得ANM BNM ∠=∠（点N 与点M 不重合），若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 6．已知椭圆22 2:1(0)3 x y C a a +=>的焦点在x 轴上，且经过点31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，左顶点为D ，右焦点为F ． （1）求椭圆C 的离心率和DEF 的面积； （2）已知直线1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，过点B 作直线 (y t t =>的垂线，垂足为G ，判断是否存在常数t ，使得直线AG 经过y 轴上的定点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 7．已知椭圆E ：()22 2210x y a b a b +=>>.左焦点()1,0F -，点()0,2M 在 椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且 NMF 的周长最大值为 4. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径 考点专练52：定点、定值、探索性问题 一、选择题 1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率32，则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的离心率为( ) A .2 B.3 C. 2 D.52 2.已知AB 是过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 是原点，则OA →·OB →＝( ) A .－2 B.－4 C .3 D.－3 3.直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别 为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23 ，则直线l 过定点( ) A .(－3,0) B.(0，－3) C .(3,0) D.(0,3) 4.已知直线l 过抛物线C ：x 2＝6y 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ， 若AF →＝FP →，则|AB|＝( ) A .8 B.9 C .11 D.16 5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点为P ，任意一条平行于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，总有PA ⊥PB ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.62 D.233 6.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝ 2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22 ＝( ) A .4 B.2 3 C.2 D.3 7.已知直线x －y ＋1＝0与双曲线x 2a ＋y 2 b ＝1(ab ＜0)相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，则1a ＋1b ＝( ) A .1 B. 2 C.2 D.5 8.已知F 为椭圆C ：x 225＋y 2 16 ＝1的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方，点A(－3,4)．若直线OA 平分线段PF ，则∠PAF 的大小为( ) A .60° B.90° C .120° D.无法确定 中 考 数 学 探 索 性 问 题 简 析 锦州市第八中学陈树海 一、规律探索问题 【简要分析】 规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳、揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题． 【典型考题例析】 例1 观察下列各式：1×3=12＋2×1；2×4=22＋2×2；3×5=32＋2×3；…… 请你将猜想到的规律用自然数年n(n≥1)表示出来：.（2005年陕西省中考题） 分析与解答观察比较以上各等式知，等式左端是两个因数的乘积，前一个因数依次是1、2、3、……，后一个因数依次是3、4、5、……，它们都是连续的，且后一个因数比前一个因数均大2；等式右端是两项的和，前一个加数依次为12、22、 32、……，后一个加数依次是连续自然数的2倍，因而猜想到的规律用自然n(n≥1) 表示为n(n+2)=n2+2n． 例2 观察下列数表： 1 2 3 4 (1) 2 3 4 5 (2) 3 4 5 6 (3) 4 5 6 7 (4) ┇ ┇ ┇┇ 第第第第 1 2 3 4 列列列列 根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列交叉点上的数应为．第n行（n为正整数）与第n列交叉点上的数应为．（2005年北京市丰台区中考题） 分析与解答本例属于数字规律的探索问题．经观察，本数表是一个n×n型表，每一行的第1个数字就是该行的序数，后面的第2、3、……、n个数为自然数递增的顺序排列．第n行与第n列的交叉点上的数就是第n行的第n个数．据此，第6行与第6列的交叉点上的数就是第6行的第6个数，即6＋5=11．第n行的第n个数为n ＋(n-1)=2n-1. 例3 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如图2-2-1所示的正方形图案． 则第n个图案需要用白色棋子枚．（用含有n的代数式表示） （2005年广东省茂名市中考题） 分析与解答根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这尖问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 中考数学专题复习第二十四讲与圆有关的位置关系 【基础知识回顾】 一、点与圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d 则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝> 点P在圆外<＝> 2、过三点的圆： ⑴过同一直线上三点作用，过三点，有且只有一个圆 ⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的 ⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等 【赵老师提醒：1、锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是锐角三角形的外心在三角形】 一、直线与圆的位置关系： 1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆直线叫圆的线，这的直线叫做圆的直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 2、设Qo的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则： 直线l与Qo相交<＝>d r,直线l与Qo相切<＝>d r 直线l与Qo相离<＝>d r 3、切线的性质和判定： ⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 【赵老师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】 ⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线 【赵老师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】 4、切线长定理： ⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。 ⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角 5、三角形的内切圆： ⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ⑵三角形内心的形成：是三角形的交点 内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 【赵老师提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】 二、圆和圆的位置关系： 圆和圆的位置关系有种，若Qo1半径为R，Qo2半径为r，圆心距外，则Qo1 与Qo2 外距<＝> Qo1 与Qo2 外切<＝> 两圆相交<＝> 两圆内切<＝> 两圆内含<＝> 【赵老师提醒：两圆相离无公共点包含和两种情况，两圆相切有唯一 专题12 立体几何中探索性问题 专题概述 立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法． 典型例题 【例1】（2018•全国三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=︒，1AA BC ⊥， 124AA AC AB ===，且11BC AC ⊥． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ； （2）设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使得//DE 平面1ABC ．若存在，求二面角1E AC B --的余弦值． 【分析】（1）推导出1AA AB ⊥，1A A AC ⊥，从而1A C ⊥平面1ABC ，由此能证明平面1ABC ⊥平面11A ACC ． （2）当E 为1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，取1A A 的中点F ，连接EF ，FD ，设点E 到平面1 ABC 的距离为d ，由11E ABC C ABE V V --=，求出d =A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1E AC B --的余弦值． 【解答】证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，1AA AB ∴⊥， 又1AA BC ⊥，AB BC B =，1AA ∴⊥平面ABC ，1A A AC ∴⊥． 又1A A AC =，11AC AC ∴⊥．又11BC AC ⊥，111BC AC C =，1A C ∴⊥平面1ABC ， 又1A C ⊂平面11A ACC ， ∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ． 一．方法综述 立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。 对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，问题一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型。现进行归纳整理，以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。 二．解题策略 类型一 空间平行关系的探索 【例1】（2020·眉山外国语学校高三期中（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是__________ ①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得平面DM 平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积可能等于 36 ； ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S 【答案】①②③④ 【解析】①如图所示，当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥， 1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥， 立体几何中探索性问题 且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ， 又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确； ②如图所示，取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为 11AC AC ，所以 111 2 OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点， 则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A M NO ，且11A D B C ，111A M A D A =，1NO B C C =， 所以平面1A DM 平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ， 所以DM 平面11B CD ，故正确； ③如图所示，作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：126 33 A M = =， 根据对称性可知：16 A M DM == ，又2AD =1A DM 是等腰三角形， 则12 2 1623 22326A DM S ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故正确；29.中考数学专题 “操作探究型”相关的探索性问题数学母题题源系列(解析版)
第二十四讲 探索性问题(含解答)-
直线与圆锥曲线中的探索性问题分类解析
探索型问题的分类和解法(含解答)
17.中考数学专题“探索规律型”相关的探索性问题数学母题题源系列(解析版)
专题08 探索性问题（原卷版）
开放探索性问题(含解析)
规律探索性问题(含解析)
2023年高考数学复习：探索性问题(原卷版)
2022年中考数学试卷精选汇编 探索性问题(含解析)
专题31以立体几何中探索性问题为背景的解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列(解析版)
高考数学难点40 探索性问题(含答案解析)
备战2022高考数学圆锥曲线专题11：椭圆中的存在探索性问题29页(含解析)
考点专练52：定点、定值、探索性问题—2023届高考数学一轮复习(附答案)(人教A版(2019))
中考数学探索性问题简析
中考数学专题特训第二十四讲：与圆有关的位置关系(含详细参考答案)
2021年高考数学难点突破(新课标版) 专题12 立体几何中探索性问题(解析版)
高考满分数学压轴题16 立体几何中探索性问题(可编辑可打印)