专题六 圆锥曲线探索性问题
【课本回眸】
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
【方法规律技巧】
1. 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．
2.探索性问题和证明往往会涉及到定点、定值问题，可以通过特例找寻定点、定值，然后利用逻辑推理的方法去证明． 【例题与变式】
例1、 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249
-
=y ，且离心率e 满足3
2，e ，3
4
成等比数列.
(1)求椭圆的方程；
(2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线2
1-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.
（2）假设l 存在，因l 与直线2
1
-
=x 相交，不可能垂直x 轴,因此可设l 的方程为：m kx y +=. 由2222
,9()999
y kx m y x kx m x y =+⎧++=⎨+=⎩,消去得整理得:0)9(2)9(222=-+++m kmx x k ,
①
方程①有两个不等的实数根,∴22222244(9)(9)0,90k m k m m k ∆=-+->--<即. ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9
22
21+-=
+k km
x x ,∵线段
MN 恰被直线21
-=x 平分,∴19
2221221-=+-+=-k km x x 即, ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入②
得 0)9()29(222<+-+k k k ,∵092
>+k ,∴22
9104k k
+-<,∴32>k ,解得3>k 或3- 2,2()2,3( π ππ π . 例2、 抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都 与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆， （Ⅰ）求定点N 的坐标； （Ⅱ）是否存在一条直线l 同时满足下列条件： ① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ； ② l 被圆N 截得的弦长为2． （2）假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在， 设l 的方程为)4(1-=-x k y ，()1±≠k 以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆N 的半径为2，因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， 即111 22 =+-= k k d ，解得34 0或=k 。 当0=k 时，显然不合AB 中点为)1,4(E 的条件，矛盾； 当34 = k 时，l 的方程为01334=--y x ，由⎩⎨⎧==--x y y x 01334，解得点A 坐标为()13,13， 由⎩⎨ ⎧-==--x y y x 01334，解得点B 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-713,713，显然AB 中点不是)1,4(E ，矛盾，所以不 存在满足条件 的直线l ． 方法二：由⎩⎨ ⎧=-=-x y x k y )4(1，解得点A 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛----114,114k k k k ， 由⎩⎨ ⎧-=-=-x y x k y )4(1，解 得点B 坐标为⎪ ⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k 114,114，因为AB 中点为)1,4(E ，所以8114114=+-+--k k k k ，解得4=k ，所以l 的方程为 0154=--y x ，圆心N 到直线l 的距离 17 17 7，因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等 于1，矛盾，所以不存在满足条件的直线l ． 方法三：假设A 点的坐标为),(a a ，因为AB 中点为)1,4(E ，所以B 点的坐标为)2,8(a a --， 又点B 在直线x y -=上，所以5=a ，所以A 点的坐标为)5,5(，直线l 的斜率为4，所以l 的 方程为0154=--y x ， 圆心N 到直线l 的距离 17 17 7，因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾，所以不存在满足条件的直线l ． 例3、已知圆M 的方程为：100)3(2 2 =++y x 及定点N （3，0），动点P 在圆M 上运动，线段PN 的垂直平分线交圆M 的半径MP 于Q 点，设点Q 的轨迹为曲线C 。 （1）求曲线C 的方程； （2）试问：过点T （)10,0是否存在直线l ，使直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且0=⋅OB OA ，（O 为坐标原点）若存在求出直线l 的方程，不存在说明理由。 （2）假设存在这样的直线l ，当斜率不存在时，A,O ,B 共线，显然不满足条件，从而知直线l 的斜率 存在，设为：k ，得直线l 的方程为：10+=kx y 即：10)(2 =-kx y 与椭圆联立有： 22 2)(1)1625(10kx y y x -⋅=+，整理得：0)52(283222=-+-x k kxy y ，两边同时除以2x 得： 0)5 2 ()(2)(8322=-+-k x y k x y 。 （A ） 设直线l 交曲线C 的坐标为：A （),11y x ，B ),(22y x 由于0=⋅得：02121=+y y x x 从而有： 12211-=⋅x y x y ，又 因为 11x y 和22x y 是方程（A ）的两个实根，由根与系数的关系得：13 8 )52(22211-=⋅-=k x y x y ， 4012= k ，20 10401±=±=∴k ，故存在这样的直线l ，其方程是：102010 +±=x y 。 例3．(2012北京理19)（本小题共14分） 已知曲线()()()2 2 :528C m x m y m -+-=∈R ． （1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围； （2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与 曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线． （2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=， 2=32(23)k ∆-，解得：23 2 k > ． 由韦达定理得：21621 M N k x x k += +①，22421M N x x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ， MB 方程为：6 2M M kx y x x += -，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ ，， MB ∴316M M x AG x k ⎛⎫ =- ⎪+⎝⎭ ，，()2N N AN x x k =+，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线 即3 (2) 6 M N N M x x k x x k +=- + 成立，化简得：(3)6() M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证． 变式训练1 设椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B，点P在椭圆上且异于,A B两点，O 为坐标原点． （1）若直线AP与BP的斜率之积为 1 2 -，求椭圆的离心率； （2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足||3 k>． 解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1. ① 由A(－a,0)，B(a,0)，得k AP＝ y x ＋a ，k BP＝ y x －a .由k AP·k BP＝－ 1 2 ，可得x20＝a2－2y20，代入①并整理得(a2－2b2)y20＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2. 于是e2＝ a2－b2 a2 ＝ 1 2 ，所以椭圆的离心率e＝ 2 2 . 变式训练2 如图，点12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆22 22: 1(0) x y C a b a b +=>> 的左、右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2 a x c =于点Q ； （1）如果点Q 的坐标是(4,4)；求此时椭圆C 的方程； （2）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． （II ）设22(,)a Q y c ；则2212220 12b y a PF QF y a c c a c c --⊥⇔⨯=-⇔=--- 得：2 22PQ b a a c k a a c c -==+．222222222222 22 1b x x y b a y b x y a b a b b x a -'+=⇒=-= - 过点P 与椭圆C 相切的直线斜率x c PQ c k y k a =-' ===． 得：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解： (1)(方法一)由条件知，P ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫－c ，b 2 a ，故直线PF 2的斜率为2 PF k = b 2 a －0－c －c ＝－ b 2 2ac . 因为PF 2⊥F 2Q ，所以直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2a c 2 b 2，故Q ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ a 2 c ，2a . 由题设知，a 2c ＝4, 2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1故椭圆方程为x 24＋y 2 3＝1. (方法二)设直线x ＝a 2c 与x 轴交于点M ，由条件知，P ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫－c ，b 2a . 因为△PF 1F 2∽△F 2MQ ，所以 ||PF 1 ||F 2 M ＝||F 1F 2 ||MQ .即b 2a a 2 c －c ＝2c || MQ ，解得||MQ ＝2a . 所以⎩⎨ ⎧ a 2 c ＝4，2a ＝4， a ＝2，c ＝1．故椭圆方程为x 24 ＋y 2 3 ＝1． 例4． 如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率12e =，过1 F 的直线交椭圆于,A B 两点，且2ABF △的周长为8． （Ⅰ）求椭圆E 的方程． （Ⅱ）设动直线l ：y =kx +m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 解：解法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2. 又因为e ＝12，即c a ＝1 2，所以c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝ 3. 故椭圆E 的方程是x 24＋y 2 3 ＝1. (2)由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m ，x 2 4＋y 2 3＝1， 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－ 4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0 ＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －4k m ，3m . 由⎩⎨ ⎧ x ＝4， y ＝kx ＋m 得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m 、k 恒成立． 因为MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP →·MQ →＝0， 得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋ 12k m ＋3＝0， 整理，得(4x 1－4)k m ＋x 21－4x 1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎨⎧ 4x 1－4＝0， x 2 1－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1. 故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 解法二：(1)同解法一． (2)由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m ，x 2 4＋y 2 3＝1， 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－ 4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0 ＋m ＝3m ，所以P ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －4k m ，3m . 由⎩⎨ ⎧ x ＝4， y ＝kx ＋m ， 得Q (4,4k ＋m )． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 取k ＝0，m ＝3，此时P (0，3)，Q (4，3)，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y －3)2＝4，交x 轴于点 M 1(1,0)，M 2(3,0)；取k ＝－12，m ＝2，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛ ⎭⎪⎫x －522 ＋⎝ ⎛ ⎭⎪⎫y －342＝4516， 交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)． 以下证明M (1,0)就是满足条件的点： 因为M 的坐标为(1,0)，所以MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －1，3m ，MQ →＝(3,4k ＋m )， 从而MP →·MQ →＝－12k m －3＋12k m ＋3＝0， 故恒有MP →⊥MQ →，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 解法三：(1)同解法一． （２）由对称性可知设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x 220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=- 直线000000 33(1) :()(4,)4x x l y y x x Q y y --=- -⇒ 00000 3(1) 0()(4)0(1)(1)(3)x MP MQ x x x y x x x x y -=⇔--+⨯ =⇔-=--（*） （*）对0(2,2)x ∈-恒成立1x ⇔=， 得(1,0)M 变式训练3 已知三点(0,0)O ，(2,1)A -，(2,1)B ，曲线C 上任意一点(,)M x y 满足 ||()2MA MB OM OA OB +=⋅++．（1）求曲线C 的方程；（2）动点000(,)(22)Q x y x -<<在曲线C 上， 曲线C 在点Q 处的切线为l ．问：是否存在定点(0,)(0)P t t <，使得l 与,PA PB 都相交，交点分别为,D E ，且QAB △与PDE △的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，得|MA →＋MB →|＝ －2x 2 ＋2－2y 2 ， OM → ·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得－2x 2 ＋2－2y 2 ＝2y ＋2， 化简得曲线C 的方程：x 2＝4y . (2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件， 则直线PA 的方程是y ＝ t －12 x ＋t ，PB 的方程是y ＝ 1－t 2 x ＋t . 曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 0 2x －x 20 4，它与y 轴交点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－x 2 04. 由于－2 2<1. ①当－1 t －1 2<－12，存在x 0∈(－2,2)使得x 02＝t －12 ， 即l 与直线PA 平行，故当－1 t －1 2≤－1 ，所以l 与直线PA ，PB 一定相交． 分别联立方程组⎩⎪⎨ ⎪⎧ y ＝t －12 x ＋t ，y ＝x 0 2x －x 2 4， ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1－t 2x ＋t ，y ＝x 0 2x －x 2 4， 解得D ，E 的横坐标 分别是 x D ＝x 20＋4t 2x 0＋1－t ，x E ＝x 20＋4t 2x 0＋t －1， 则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4t x 2 0－t －1 2 . 又|FP |＝－x 20 4－t ，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t 8 · x 20＋4t 2 t －1 2 －x 20 . 又S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2 04＝4－x 20 2， 于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·x 20－4[x 20－ t －12 ] x 20＋4t 2 ＝41－t ·x 40－[4＋t －12]x 20＋4t －1 2 x 40＋8tx 20＋16t 2 . 对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QAB S △PDE 为常数，则t 要满足⎩⎨⎧ －4－t －12 ＝8t ，4t －12＝16t 2 ， 解得t ＝－1，此时 S △QAB S △PDE ＝2， 故存在t ＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2. 圆锥曲线中的存在、探索性问题 一、考情分析 圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因 而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨． 二、经验分享 解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法． 三、知识拓展 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论及证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。 探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明： 1、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆及否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。 2、结论探索型 这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确及否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。 神 奇 的 圆 锥 曲 线 动 态 结 构 168 杭 州 学 军 中 学 闻 杰 神奇的圆锥曲线 动态结构 目录 一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双 02．距离定比，三线统一 二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法 04．焦点切线，射影是圆 05．焦半径圆，切于大圆 06．焦点弦圆，准线定位 07．焦三角形，内心轨迹 三、焦点之弦，相关问题 08．焦点半径，倒和定值 09．正交焦弦，倒和定值 10．焦弦中垂，焦交定长 11．焦弦投影，连线截中 12．焦弦长轴，三点共线 13．对焦连线，互相垂直 14．相交焦弦，轨迹准线 15．相交焦弦，角分垂直 16．定点交弦，轨迹直线 四、相交之弦，蝴蝶特征19．横点交弦，竖之蝴蝶20．纵点交弦，横之蝴蝶21．蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22．主轴分割，等比中项23．定点割线，倒和两倍24．定点割线，内外定积25．主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26．焦点之弦，张角相等27．定点之弦，张角仍等28．对称之点，三点共线29．焦点切点，张角相等30．倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31．动弦中点，斜积定值32．切线半径，斜积仍定33．动弦中垂，范围特定34．定向中点，轨迹直径35．定点中点，轨迹同型 37．存在定点，内积仍定九、其它重要性质38．光线反射，路径过焦39．切线中割，切弦平行40．直周之角，斜过定点41．正交半径，斜切定圆42．直径端点，斜积定值43．垂弦端点，交轨对偶44．准线动点，斜率等差45．焦点切线，距离等比46．共轭点对，距离等积47．正交中点，连线定点48．顶点切圆，切线交准49．平行焦径，交点轨迹50．内接内圆，切线永保51．切线正交，顶点轨迹52．斜率定值，弦过定点53．直线动点，切弦定点54．与圆四交，叉连互补55．交弦积比，平行方等56．补弦外圆，切于同点 高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 2 4+ y 23 =1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆 C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值. 2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程; (2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程; (2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0 (1)求椭圆C 的方程; (2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1 λ+1 μ 为定值. 5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. (1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程; (2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B. ①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB. 6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. 专题 圆锥曲线综合应用（3）- 定点、定值、探索性问题 一、 高考题型特点： 定点、定值、探索性问题是高考圆锥曲线大题中的常考题型，难度中等偏上。 二、重难点： 1. 定点的探索与证明问题： (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b ， k 等量关系进行消元， 借助于直线系方程找出定点； (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 2. 解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握： (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值． 3. 存在性问题的解题步骤： (1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)． (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论． 三、易错注意点： 本部分对学生的能力要求较高，解题中主要数形结合及各种方法的综合应用，同时对数学推理运算能力有很高的要求。解决定值、定点问题，不要忘记特值法。 四、典型例题： 例1.（2019北京卷）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II) 设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直 线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点. 【解析】（I ）由抛物线2:2C x py =-经过点 ()2,1-，得2p =. 所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （II ）抛物线C 的焦点为 ()0,1-，设直线l 的方程为()10y kx k =-≠. 由241 x y y kx ?=-?=-?，得2440x kx +-=. 设()()1122,,,,M x y N x y 则1 2 4x x =-. 第3课时 证明与探索性问题 题型一 证明问题 例1(2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22 ＋y 2 ＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . (1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)， NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22 y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2 2 ＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2. (2)证明 由题意知F (－1,0)． 设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )， PF → ＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ → ＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1. 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ， 所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法． 跟踪训练1已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63 ，圆C ：x 2＋y 2＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN . (1)求椭圆T 的方程； (2)求证：PM ⊥PN . (1)解 由题意可知b ＝1，c a ＝ 63，即2a 2＝3c 2， 又a 2＝b 2＋c 2，联立解得a 2＝3，b 2＝1. ∴椭圆方程为x 23 ＋y 2＝1. (2)证明 方法一 ①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN . ②当P 点横坐标不为±3时，设P (x 0，y 0)， 则x 20＋y 2 0＝4，设k PM ＝k ， PM 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k (x －x 0)，x 23 ＋y 2＝1， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 2 0－3＝0， 依题意Δ＝36k 2(y 0－kx 0)2－4(1＋3k 2)(3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3)＝0， 化简得(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 2 0＝0， 又k PM ，k PN 为方程的两根， 所以k PM ·k PN ＝1－y 203－x 20＝1－(4－x 20)3－x 20＝x 20－33－x 20 ＝－1. 所以PM ⊥PN . 综上知PM ⊥PN . 方法二 ①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN . ②当P 点横坐标不为±3时，设P (2cos θ，2sin θ)， 切线方程为y －2sin θ＝k (x －2cos θ)， 第三章解析几何 专题14 圆锥曲线中的探索性问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等. 1.探究性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别． 2.解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立. （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解. 【压轴典例】 例1.（2019·湖北高三开学考试（文））设O为坐标原点，动点M在椭圆E: 22 1 42 x y +=上，过点M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满足2 NP NM =. 【课本回眸】 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 【方法规律技巧】 1. 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 2.探索性问题和证明往往会涉及到定点、定值问题，可以通过特例找寻定点、定值，然后利用逻辑推理的方法去证明． 【例题与变式】 例1、 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249 - =y ，且离心率e 满足3 2，e ，3 4 成等比数列. (1)求椭圆的方程； (2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线2 1-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. （2）假设l 存在，因l 与直线2 1 - =x 相交，不可能垂直x 轴,因此可设l 的方程为：m kx y +=. 由2222 ,9()999 y kx m y x kx m x y =+⎧++=⎨+=⎩,消去得整理得:0)9(2)9(222=-+++m kmx x k , ① 方程①有两个不等的实数根,∴22222244(9)(9)0,90k m k m m k ∆=-+->--<即. ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9 22 21+-= +k km x x ,∵线段 MN 恰被直线21 -=x 平分,∴19 2221221-=+-+=-k km x x 即, ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入② 得 0)9()29(222<+-+k k k ,∵092 >+k ,∴22 9104k k +-<,∴32>k ,解得3>k 或3- 2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题 【归类解析】 题型一 范围问题 【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23 －y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围. 【解】 (1)∵双曲线的离心率为233 ， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32 . 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1， ∴椭圆方程为x 24 ＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24 ＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2 ， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列， 第2课时 定点、定值、探索性问题 考点一 定点问题 【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且F 2关于直线x －y ＋a ＝0的对称点M 在直线3x ＋2y ＝0上． (1)求椭圆的离心率； (2)若C 的长轴长为4且斜率为1 2 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得PA ， PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)依题知F 2(c ，0)，设M (x 0，y 0)，则y 0 x 0－c ＝－1且 x 0＋c 2 －y 0 2＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－a ， y 0＝a ＋c ， 即M (－a ，a ＋c )． ∵M 在直线3x ＋2y ＝0上，∴－3a ＋2(a ＋c )＝0，即a ＝2c ，∴e ＝c a ＝1 2. (2)存在．由(1)及题设得c a ＝1 2 且2a ＝4，∴a ＝2，c ＝1， ∴椭圆方程为x 24＋y 2 3 ＝1， 设直线l 方程为y ＝12x ＋t ，代入椭圆方程消去y 整理得x 2＋tx ＋t 2 －3＝0. 依题知Δ＞0，即t 2 －4(t 2 －3)＞0，t 2 ＜4， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2 －3， 如果存在P (m ，n )使得k PA ＋k PB 为定值，那么k PA ＋k PB 的取值将与t 无关， k PA ＋k PB ＝y 1－n x 1－m ＋y 2－n x 2－m ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫n －32m t ＋2mn －3 t 2＋mt ＋m 2－3 ， 令 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫n －32m t ＋2mn －3t 2＋mt ＋m 2－3 ＝M ， 由Mt 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mM ＋32m －n t ＋m 2 M －3M －2mn ＋3＝0， 由题意可知该式对任意t 恒成立，其中t 2 ＜4， 10 以椭圆为情景的探索性问题 典例分析 角度一、以探索多边形形状为情景的问题 1、已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ， 线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． 2.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率. （1）求该椭圆的方程； （2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有； （3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论. 角度二、以探索定点存在性为情景的问题 1、如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>> ，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两 点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为 （1）求椭圆E 的方程； （2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得 QA PA QB PB = 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 2 2 9x y m +=0m >l l ( ,)3 m m 22 221(0)x y a b a b +=>>:10l x -=12e =P Q PQ T l x R P Q RP RQ =PQR ∆ 角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题 1、椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量 120BF BF ⋅=. （1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程； （2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由. 2、已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1）若MN =l 的方程； （2）若1 2 MP MN = ，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 角度四、以探索定值存在性为情景的问题 1、已知定点()30A -, ，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1 9 -，记动点M 的轨迹为曲线C 。 （1）求曲线C 的方程； （2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。 角度五、以探索最值存在性为情景的问题 1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心、过椭圆左顶点M 的圆与直线 3x －4y ＋12＝0相切于点N ，且满足MF 1―→＝12 F 1F 2―→ . (1)求椭圆C 的标准方程． (2)过椭圆C 右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，问：△F 1AB 内切圆的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 角度六、以探索直线存在性为情景的问题 1、如图，已知A (−1,0)、B (1,0)，Q 、G 分别为△ABC 的外心，重心，QG //AB . 专题 圆锥曲线中的探索性问题 1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线 C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 2．(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形 的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标； (2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2 ＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值． 高考必会题型 题型一 定值、定点问题 例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为1 2 ，直线l 经过椭圆C 的右 焦点F 交椭圆于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF → ，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的 值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 变式训练1 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(5，－2)的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为－1时，点M恰为AB的中点． (1)求抛物线的方程； (2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型二定直线问题 例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2 ＝2py(p>0)相交于A，B两点． (1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； (2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的 弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 圆锥曲线中的探索性问题 一、常见基本题型： （1）探索图形的面积问题 1.斜率为2的直线BD 交椭圆22 : 124 x y C +=于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合。 则ABD ?面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （2）探索图形的形状问题 2.已知抛物线2:(0)C y mx m =>，焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线 C 于点Q ,是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的 直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理 由。 (3)探索点、直线的存在性 3.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点， 与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D． 当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由 4.已知B、C是曲线C：24(1) y x =+上不同两点，满足(0,) OB OC R λλλ =≠∈，在x轴上是否存在点(,0) A m，使得A B AC ⊥，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。 5.设椭圆 22 :1 43 x y C+=的左、右焦点分别为 12 ,F F，过右焦点 2 F作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点， 在x轴上是否存在点(,0) P m，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由。6.直线l与椭圆 2 21 4 y x +=交于 11 (,) A x y， 22 (,) B x y两点，已知 11 (2,) m x y =， 22 (2,) n x y =，若m n ⊥,试问：AOB ?的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 2023新教材数学高考第二轮专题 考点突破练14 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2022·广东广州三模)在圆x 2+y 2=2上任取一点D ,过点D 作x 轴的垂线段DH ,H 为垂足,线段DH 上一点E 满足|DH | |EH |=√2.记动点E 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程; (2)设O 为原点,曲线C 与y 轴正半轴交于点A ,直线AP 与曲线C 交于点P ,与x 轴交于点M ,直线AQ 与曲线C 交于点Q ,与x 轴交于点N ,若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,求证:直线PQ 经过定点. 2.(2022·湖南衡阳三模)已知抛物线C :y=ax 2(a>0)的焦点是F ,若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,所得弦长|AB|的最小值为2. (1)求实数a 的值. (2)设P ,Q 是抛物线C 上不同于坐标原点O 的两个不同的动点,且以线段PQ 为直径的圆经过点O ,作OM ⊥PQ ,垂足为M ,试探究是否存在定点N ,使得|MN|为定值.若存在,求出该定点N 的坐标及定值|MN|;若不存在,请说明理由. 3.(2022·广东佛山模拟)已知椭圆C : x 2a 2+y 2 b 2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0),上、下顶点分别为B 1,B 2,以点F 为圆心,FB 1为半径作圆,与x 轴交于点T (3,0). (1)求椭圆C 的标准方程. (2)已知点P (2,0),点A ,B 为椭圆C 上异于点P 且关于原点对称的两点,直线PA ,PB 与y 轴分别交于点M ,N ,记以MN 为直径的圆为圆K ,试判断是否存在直线l 截圆K 的弦长为定值.若存在,请求出该直线的方程;若不存在,请说明理由. 圆锥曲线中的探索性问题是高考命题的热点，主要以解答题的形式出现，难度较大，一般作为压轴题．解决这类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”，也可先用特殊情况得到所求值，再给出一般性的证明．考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力． “大题规范解答——得全分”系列之(九 圆锥曲线中探索性问题的答题模板 [典例](2012福建高考·满分13分如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8. (1求椭圆E的方程； (2设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． [教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息 ―→, 2．审结论，明解题方向 ―→―→ ．建联系，找解题突破口 1．审条件，挖解题信息 ―→， 2．审结论，明解题方向 ―→ ,·,＝0恒 成立 3．建联系，找解题突破口 [教你准确规范解题] (1因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，(1分 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，(2分 所以4a＝8，a＝2. 又因为e＝，即＝，所以c＝1，(3分 所以b＝＝. 故椭圆E的方程是＋＝1.(4分 (2由消去y得(4k2＋3x2＋8kmx＋4m2－12＝0.(5分 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0，所以m≠0且Δ＝0，(6分 即64k2m2－4(4k2＋3(4m2－12＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(* (7分 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝， 所以P. (8分 由得Q(4,4k＋m． (9分 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上． (10分 设M(x1,0，则·＝0对满足(*式的m，k恒成立． 因为＝，＝(4－x1,4k＋m， 由·＝0， 得－＋－4x1＋x＋＋3＝0， 整理，得(4x1－4＋x－4x1＋3＝0.(** (11分 由于(**式对满足(*式的m，k恒成立， 所以解得x1＝1. (12分 故存在定点M(1,0，使得以PQ为直径的圆恒过点M. (13分 [常见失分探因] ————————————[教你一个万能模板]————————————————— 高考中的圆锥曲线问题题型一范围问题 例1 已知椭圆C：x 2 a2+y2 b2 =1（a＞b＞0）的离心率e=√3 2 ，直线x+√3y-1=0被 以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为√3. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|∙|MB|，求λ的取值范围 思维总结：解决圆锥曲线中的取值范围问题需要从以下几个方面考虑： （1）利用圆锥曲线的几何关系或判别式构造不等关系，确定参数的取值范围（2）利用已知的范围求新参数范围时，着重去寻找并建立两个参数之间的等量关系式 （3）利用题目中隐含的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围 （4）利用题目中已知的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围 （5）利用函数中求值域的方法，把需要求的量表示为其他相关变量的函数，求函数的值域，确定出参数的取值范围。 变式1 已知F1，F2是椭圆C：x 2 a2+y2 b2 =1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的 点，O为坐标原点. （1）若△PO F2为等边三角形，求C的离心率 （2）如果存在点P，是的P F1⊥P F2，且△F1P F2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围. 题型二最值问题 例2（几何法求最值）已知抛物线C1：y²=4x和C2：x²=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（-1，-1）且F1F2⊥OP（O为坐标原点）. （1）求抛物线C2的方程； （2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN 面积的最小值. 例3（代数法求最值）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左右焦点的椭圆E恰好）. 经过点（1，√2 2 （1）求椭圆E的标准方程； （2）设经过点（-2，0）的直线l与椭圆E交于M、N两点，，求△F2MN面积的最大值. 思维总结：圆锥曲线最值问题的两种求解方法 1.利用几何法，利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质 等进行求解； 2.利用代数法，把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（某些）参数的 函数（或解析式），利用函数方法或不等式等方法进行求解. 变式2 已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 . 专题突破练(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探 索性问题 一、选择题 1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A ．p 2 B ．p C ．2p D ．无法确定 答案 C 解析 当弦AB 垂直于对称轴时|AB |最短，这时x ＝p 2，∴y ＝±p ，|AB |min ＝2p ．故选C ． 2．已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．9 答案 D 解析 注意到P 点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F ′(4，0)，于是由双曲线定义得|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，故|PF |＋|P A |＝2a ＋|PF ′|＋|P A |≥4＋|AF ′|＝9，当且仅当A ，P ，F ′三点共线时等号成立．故选D ． 3．已知M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0，2) B ．[0，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 答案 C 解析 由题意知圆心F 到抛物线的准线的距离为4，且|FM |>4，根据抛物线的定义知|FM |＝y 0＋2，所以y 0＋2>4，得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)． 4．过椭圆x 225＋y 2 16＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( ) A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 答案 C 解析 如图，设F 为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|FQ |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 的周长为|PF |＋|FQ |＋|PQ |＝|PF |＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最小值10＋2×4＝18．故选C ． 5．(2018·豫南九校联考)已知两定点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A ．55 B ．105 C ．255 D ．2105 答案 A 解析 点A 关于直线l ：y ＝x ＋3的对称点A ′(－3，2)，连接A ′B 与直线l 相交，当点P 在交点处时，2a ＝|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |＝25，此时a 取得最小值5，又c ＝1，所以椭圆C 的离心率的最大值为 5 5 ，故选A ． 6．(2019·厦门一中开学考试)已知△ABC 三个顶点A ，B ，C 都在曲线x 29＋y 2 4＝1上，且BC →＋2OB →＝0(其中O 为坐标原点)，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，若直线OM ，ON 的斜率存在且分别为k 1，k 2，则|k 1|＋|k 2|的取值范围为( ) A ．8 9，＋∞ B ．[0，＋∞) 第72讲 定点、定值和探索性问题 夯实基础 【p 163】 【学习目标】 掌握与圆锥曲线有关的定点问题、定值问题的求解方法；会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的探究问题，培养推理思维能力、运算能力． 【基础检测】 1．若曲线C ：λx 2 －x －λy ＋1＝0(λ∈R )恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，0) D ．(1，1) 【解析】由原曲线方程可得(x －1)＋λ(y －x 2 )＝0过定点，则⎩⎪⎨⎪⎧y －x 2 ＝0，x ＝1，求得⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即定点P 的坐标为(1，1)． 【答案】D 2．已知点O 为坐标原点，点M 在双曲线C ：x 2－y 2 ＝λ(λ为正常数)上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则|ON |·|MN |的值为( ) A. λ4B.λ 2 C ．λ D ．无法确定 【解析】设M (m ，n )，即有m 2 －n 2 ＝λ， 双曲线的渐近线为y ＝±x ， 可得|MN |＝|m －n | 2， 由勾股定理可得|ON |＝|OM |2 －|MN |2 ＝ m 2 ＋n 2 －（m －n ）2 2＝|m ＋n | 2 ， 可得|ON |·|MN |＝|m ＋n |2·|m －n |2 ＝|m 2 －n 2 |2＝λ 2. 【答案】B 3．已知抛物线y 2 ＝4x 的焦点为F ，过点P (2，0)的直线交抛物线于A ，B 两点，直线AF ， BF 分别与抛物线交于点C ，D ，设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1 k 2 ＝________． 【解析】设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －2)， 联立⎩⎪⎨ ⎪ ⎧y ＝k 1（x －2），y 2 ＝4x ， 得k 1y 2 －4y －8k 1＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AC 的方程为y ＝y 1 x 1－1 (x －1)，联立⎩⎪⎨ ⎪⎧y ＝y 1x 1－1（x －1）， y 2＝4x ， 第11讲 定点、定值、探索性问题 圆锥曲线中的定值问题 [典例引领] (2018·昆明市教学质量检测)在直角坐标系xOy 中，已知定圆M ：(x ＋1)2 ＋y 2 ＝36，动圆N 过点F (1，0)且与圆M 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程； (2)设A ，P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线AP ，BP 分别交 x 轴于点S ，T ，证明：|OS |·|OT |为定值． 【解】 (1)因为点F (1，0)在圆M ：(x ＋1)2 ＋y 2 ＝36内， 所以圆N 内切于圆M ，则|NM |＋|NF |＝6＞|FM |， 由椭圆定义知，圆心N 的轨迹为椭圆，且2a ＝6，c ＝1，则a 2 ＝9，b 2 ＝8， 所以动圆圆心N 的轨迹方程为x 29＋y 2 8 ＝1. (2)证明：设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，S (x S ，0)，T (x T ，0)，则B (x 1，－y 1)，由题意知x 0≠± x 1， 则k AP ＝ y 1－y 0 x 1－x 0 ，直线AP 的方程为y －y 1＝k AP (x －x 1)， 令y ＝0，得x S ＝x 0y 1－x 1y 0 y 1－y 0 ， 同理x T ＝ x 0（－y 1）－x 1y 0（－y 1）－y 0＝x 0y 1＋x 1y 0 y 1＋y 0 ， 于是|OS |·|OT |＝|x S x T |＝ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪x 0y 1－x 1y 0y 1－y 0·x 0y 1＋x 1y 0y 1＋y 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20y 2 1－x 21y 2 0y 2 1－y 20， 又P (x 0，y 0)和A (x 1，y 1)在椭圆x 29＋y 2 8＝1上，故y 2 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209，y 21＝8⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1－x 2 19， 则y 2 1 －y 20 ＝89(x 20－x 21)，x 20y 21－x 21y 20＝8x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219－8x 21⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1－x 2 09＝8(x 20－x 2 1)． 所以|OS |·|OT |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20y 21－x 21y 2 0y 21－y 20 ＝⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ 8（x 2 0－x 2 1）89（x 20－x 2 1）＝9.圆锥曲线中的存在探索问题
神奇的圆锥曲线(动态图示)(62页)问题探究
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题(含解析)
2020年高考圆锥曲线综合-定点、定值、探索性问题
2020版高考数学 专题突破-高考中的圆锥曲线问题-证明与探索性问题教案(理)(含解析)新人教A版
圆锥曲线中的探索性问题【解析版】
专题六 圆锥曲线探索性问题
2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题
2020版高考数学 圆锥曲线的综合问题(第2课时)定点、定值、探索性问题教案(文)(含解析)北师大版
高中数学圆锥曲线十大题型 专题10以椭圆为情景的探索性问题 (学生版+解析版)
圆锥曲线中的探索性问题
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2023新教材数学高考第二轮专题练习--考点突破练14 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题
高中数学大题规范解答-全得分系列之(九)圆锥曲线中探索性问题
2022届数学圆锥曲线题型归纳讲义 (3)
2020届高考文科数学一轮(新课标通用(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题 (附解析)
高考数学总复习第十章直线与圆、圆锥曲线第72讲定点、定值和探索性问题练习理新人教版
2019版高考数学第9章平面解析几何11第11讲定点、定值、探索性问题教案理