中考百分百备战中考专题( 探索性问题专题)

中考百分百——备战2011中考专题

(探索性问题专题)

一、知识网络梳理

探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一

切学科领域之中，在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件——演绎——结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．

通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：

1．条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目．

2．结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．

3．存在探索型——在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．

4．规律探索型——在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目．

由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：

1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．

2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．

3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．

二、知识运用举例

（一）、条件探索型

例1．（2007呼和浩特市）在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E F G H

，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形．这

个条件是__ ．

B D

G H

解：AC BD =或四边形ABCD 是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）例2．（2007荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．

（1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．（2）如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．（3）在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)

解：（1）是，此时AD BC ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

（2）是，在平移过程中，始终保持AB C 1D 1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（33

，此时∠ABC 1＝90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 3，此时点D 与点B 1重合，AC 1⊥BD 1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

例3．（2006

广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，

OA ＝7，AB ＝4，∠ COA ＝60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连

图4

B 图3

B 图2 D 1

C 1

B 1

B 图1

30?

30?B D

结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．（1）求点B 的坐标；

（2）当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且

AB BD ＝8

，求这时点P 的坐标． [解析]（1）；过C 作CD ⊥OA 于A ，BE ⊥OA 于E

则△OCD ≌△ABE ，四边形CDEB 为矩形 ∴OD ＝AE ，CD ＝BE

∵OC ＝AB ＝4，∠COA ＝60° ∴CD ＝23，OD ＝2 ∴CB ＝DE ＝3

∴OE ＝OD ＋DE ＝5 ∵BE ＝CD ＝23 ∴B （5，23）

（2）∵∠COA ＝60°，△OCP 为等腰三角形 ∴△OCP 是等边三角形 ∴OP ＝OC ＝4 ∴P （4，0）

即P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形

（3）

∵∠CPD ＝∠OAB ＝∠COP ＝60° ∴∠OPC ＋∠DPA ＝120° 又∵∠PDA ＋∠DPA ＝120° ∴∠OPC ＝∠PDA ∵∠OCP ＝∠A ＝60° ∴△COP ∽△PAD

∴

OP OC

AD AP =

∵58

BD AB =，AB ＝4 ∴BD ＝5

∴AD ＝3

即 4372

OP OP =

- ∴276OP OP -= 得OP ＝1或6

∴P 点坐标为（1，0）或（6，0）

（二）、结论探索型

例4．（2007云南省）已知：如图，四边形ABCD 是矩形（AD ＞AB ），点E 在BC 上，且

AE ＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ．请探求DF 与AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．

解：经探求，结论是：DF ＝ AB ．

证明如下：

∵四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠B ＝ 90 ， AD ∥BC ， ∴ ∠DAF ＝ ∠AEB ．

∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD ＝ 90， ∵ AE ＝ AD ，

∴ △ABE ≌△DFA ．

∴ AB ＝ DF ．

例5．（2007北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，1

DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且

DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明

你的结论．

解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）．（2）答：与A ∠相等的角是BOD ∠（或COE ∠）．四边形DBCE 是等对边四边形．

（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ．

证法一：如图1，作CG BE ⊥于G 点，作BF CD ⊥交CD 延长线于F 点．因为1

DCB EBC A ∠=∠=

∠，BC 为公共边，所以BCF CBG △≌△．所以BF CG =．

因为BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠， BEC ABE A ∠=∠+∠，所以BDF BEC ∠=∠．可证BDF CEG △≌△．

A D

F 图1

所以BD CE =．

所以四边形DBCE 是等边四边形．

证法二：如图2，以C 为顶点作FCB DBC ∠=∠，CF 交BE 于F 点．因为1

DCB EBC A ∠=∠=

∠，BC 为公共边，所以BDC CFB △≌△．

所以BD CF =，BDC CFB ∠=∠．

所以ADC CFE ∠=∠．

因为ADC DCB EBC ABE ∠=∠+∠+∠，

FEC A ABE ∠=∠+∠，所以ADC FEC ∠=∠．所以FEC CFE ∠=∠．所以CF CE =．所以BD CE =．

所以四边形DBCE 是等边四边形．

说明：当AB AC =时，BD CE =仍成立．只有此证法，只给1分．

例6．（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．

（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．

（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．

（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．

解：如图，

（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分别是：

①E 是BA 的中点，F 与A 重合．

②BE CF ==

E 与A 重合，

F 是AC 的中点．

（2）在OEB △和FOC △中，

A D

F 图2 图1

图2

135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°， FOC OEB ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，

OEB FOC ∴△∽△． BE BO

CO CF

∴． BE x =∵，CF y =，2

212222

OB OC ==+=， 2

(12)y x x

=∴≤≤．

（3）EF 与O 相切． OEB FOC ∵△∽△， BE OE

CO OF =

∴． BE OE

BO OF =

∴．即BE BO OE OF

=．又45B EOF ∠=∠=∵°， BEO OEF ∴△∽△． BEO OEF ∠=∠∴．

∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，

∴点O 到EF 的距离等于O 的半径． EF ∴与O 相切．

（三）、存在探索型

存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在．

例7．(2006山东省威海市)抛物线y ＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过点A （1，－3），B （3，－3），C （－1，5），顶点为M 点． ⑴求该抛物线的解析式．

⑵试判断抛物线上是否存在一点P ，使∠POM ＝90?.若不存在，说明理由；若存在，求出P 点的坐标．解：⑴ y ＝ x 2 -4x

⑵ 易求得顶点M 的坐标为(2，-4)．

设抛物线上存在一点P ，使OP ⊥OM ，其坐标为(a ，a 2 -4a )．

图2-2-33

过P 作PE ⊥y 轴，垂足为E ；过M 点作MF ⊥y 轴，垂足为F ，则∠POE ＋∠MOF ＝90?，∠POE ＋∠EPO ＝90.∴∠EPO ＝∠FOM ． ∵∠OEP ＝∠MFO ＝90?，∴Rt △OEP ∽Rt △MFO ．

∴OE ∶MF ＝EP ∶OF .即(a 2 -4a )∶2＝a ∶4.解得a 1 ＝0(舍去)，a 2 ＝2

．故抛物线上存在一点P ，使∠POM ＝90?，P 点的坐标为(29，4

例8．(2006武汉市)已知：二次函数y ＝x 2 -(m ＋1)x ＋m 的图象交x 轴于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，交y 轴正半轴于点C ，且x 12 ＋x 22 ＝10．

⑴求此二次函数的解析式； ⑵是否存在过点D (0，-

)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．

分析与解答 ⑴依题意，得x 1x 2＝m ，x 12 ＋x 22 ＝10， ∵x 1 ＋x 2 ＝ m ＋1，∴(x 1 ＋x 2)2 -2x 1x 2 ＝10， ∴(m ＋1)2 -2m ＝10，m ＝3或m ＝ -3，又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴m ＝3． ∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2 -4x ＋3． ⑵假设存在过点D (0，-

)的直线与抛物线交于M (x M ，y M )、N (x N ，y N )两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．

∵M 、N 两点关于点E 对称，∴y M ＋y N ＝0. 设直线MN 的解析式为：y ＝kx -

5．由??

??=+-=.

-kx y 3x 4x y 2，

得x 2 -(k ＋4)x ＋211＝0，∴x M ＋x N ＝4＋k ，∴y M ＋y N ＝k (x M ＋x N )-5＝0．

∴k (k ＋4)-5＝0，∴k ＝1或k ＝ -5．当k ＝-5时，方程x 2 -(k ＋4)x ＋2

＝0的判别式⊿＜0，∴k ＝1， ∴直线MN 的解析式为y ＝x -2

5． ∴存在过点D (0，-2

)的直线与抛物线交于M 、N 两点，与x 轴交于点E ，使得M 、N 两点关于点E 对称．

例9．（2007乐山）如图（13），在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立．（1）当30CPD =∠时，求AE 的长；

（2）是否存在这样的点P ，使DPC △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．

解（1）在Rt PCD △中，由tan CD

CPD PD

∠，

得4

4tan tan 30

CD PD CPD

===∠10AP AD PD ∴=-=-

由AEP DPC △∽△知

AE AP PD CD =，1012AP PD

AE CD

∴==．

（2）假设存在满足条件的点P ，设DP x =，则10AP x =-

由AEP DPC △∽△知2CD

=，

4210x

∴=-，解得8x =，此时2AP =，4AE =符合题意．

（四）、规律探索型

规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题．例10．(2006湖南衡阳)观察算式：

1＝12； 1＋3＝4＝22； 1＋3＋5＝9＝32； 1＋3＋5＋7＝16＝42； 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52 ；……

用代数式表示这个规律(n 为正整数)：1＋3＋5＋7＋9＋＋(2n -1)＝______________________．

分析与解答由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1＋3＋5＋7＋…＋(2n -1)

＝n 2.填n 2．

图（13）

图2-2-1

例11 （2006吉林省）如图2－2－1，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n 个图案中白色瓷砖数为___________．

分析与解答根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．

第1个图案有白色瓷砖5(即2＋3?1)块；第2个图案有白色瓷砖8(即2＋3?2)块；第3个图案有白色瓷砖11(即2＋3?3)块. 由此可得，第n 个图案有白色瓷砖(2＋3n )块. 填3n ＋2．例12．（2007资阳）设a 1＝32－12，a 2＝52－32，…，a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2 (n 为大于0的自然数)．

（1）探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a 1，a 2，…，a n ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，a n 为完全平方数(不必说明理由) ．

解：（1） ∵ a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2＝224414418n n n n n ，

又 n 为非零的自然数，∴ a n 是8的倍数．

这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数．

说明：第一步用完全平方公式展开各1分，正确化简1分．

（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256． n 为一个完全平方数的2倍时，a n 为完全平方数．

三、知识巩固训练（题组训练） 1．（2006年山东省）如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ．给出下列三个条件：

①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD ．（1）上述三个条件中，哪两个条件．．．．可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形．

2．（2006年随州市）如图，矩形ABCD 中，M 是AD 的中点．

（1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）请你探索，当矩形ABCD中的一组邻边满足何种数量关系时，有BM⊥CM成立，说明你的理由．

3．如图，在△ABC中，D为BC上一个动点（D点与B、C不重合），且DE∥AC交AB?于点E，DF∥AB交AC于点F．

（1）试探究，当AD满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？并说明理由．

（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．

4．如图，AB是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，切点是C．点D是EF上一个动点，连接AD．试探索点D运动到什么位置时，AC是∠BAD的平分线，请说明理由．5．（2006年成都市）已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC?延长线上

一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．

（1）求证：AF＝CE；

（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

6．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP?为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

7．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC、DC都是⊙O的切点，A、B、E分别是切点．（1）判定△COD的形状，并说明理由．

（2）设AD ＝a ，BC ＝b ，⊙O 的半径为r ，试探究r 与a ，b 之间满足的关系式，并说明理由．

8．（2006年绵阳市）在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、D 作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足分别为E 、F ，如图①．

（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P 在DC ?的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD ?的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；

（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．

9．（2007云南省）已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值；（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；

（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三

角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．

C B A E

–1 1 O

10．（2007呼和浩特市）如图，在矩形ABCD

中，AB =1AD =．点P 在AC 上，

PQ BP ⊥，交CD 于Q ，PE CD ⊥，交于CD 于E ．点P 从A 点（不含A ）沿AC 方向

移动，直到使点Q 与点C 重合．．为止．（1）设AP x =，PQE △的面积为S ．

请写出S 关于x 的函数解析式，并确定x 的取值范围．

（2）点P 在运动过程中，PQE △的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时AP 的取值；若无，请说明理由．

11．（2007成都市）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数

y =象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为

1，且过点(23)，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式；

（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角

PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．

B Q

E D

12（2007绵阳市）如图，已知抛物线y ＝ ax 2 ＋ bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ．（1）求m 的值及抛物线的解析式；

（2）设∠DBC ＝ α，∠CBE ＝ β，求sin （α－β）的值；

（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

13（07日照）如图，直线EF 将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E 、F 分别与BC 交于点E ，与AD 交于点F （E ，F 不与顶点重合），设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝x ．

(Ⅰ)求证：AF ＝EC ；

(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF 剪开后，再将纸片ABEF 沿AB 对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF 的下方，使一底边重合，直腰落在边DC 的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C ．

（1）求出直线EE ′分别经过原矩形的顶点A 和顶点D 时，所对应的 x ︰b 的值；

（2）在直线EE ′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接B E′，直线BE ′与EF 是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a 与b 满足什么关系时，它们垂直？

14．(2006江西省）如图2－2－2，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：

⑴ 第4个图案中有白色纸片___________张；

图2-2-2 第1个第2个第3个

……

⑵ 第n 个图案台有白色纸片___________张．

15．(2006广西贺州市)观察图2－2－3中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________．

16．(2006广西百色市)如图2－2－4，A 1A 2B 是直角三角形，且A 1A 2＝A 2B ＝a ，A 2A 3⊥A 1B ，垂足为A 3，A 3A 4⊥A 2B ，垂足为A 4，A 4A 5⊥A 3B ，垂足为A 5，……，A n ＋1A n ＋2⊥A n B ，垂足为A n ＋2，则线段A n ＋1A n ＋2(n 为自然数)的长为（）．（A ）

)2(a （B ）

(2)

n + （C ）

a （D ）

a 17．(2006江苏泰州市)如图2－2－5，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根

据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律_______．

18．(2006浙江绍兴市)如图2－2－6，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2 006次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，P 4，…，P 2006的位置，则P 2006的横坐标x 2006＝_______________．

19．（2007内江）如图（11），某小区有东西方向的街道3

条，南北方向的街道4条，从位置A 出发沿街道行进到达位置B ，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法．小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后回答：符合要求的不同走法共有________种．

图2-2-5

……

211= 2363+=

26104+=

2132+= A 2

A 1 A 3 A 4

A 6

A 5 B

图2-2-4

35 48

？

图2-2-3

图2-2-6

图（11）

20．（2007内江）探索研究

（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a =________，n a =________；（2）如果欲求2

2013333++++

+的值，可令

232013333S =+++++……………………………………………………①

将①式两边同乘以3，得

_______________________………………………………………………………② 由②减去①式，得

S =____________________．

（3）用由特殊到一般的方法知：若数列123n a a a a ，，，，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则n a =________（用含1a q n ，，的代数式表示），如果这个常数1q ≠，那么123n a a a a ++++=________（用含1a q n ，，的代数式表示）．

21．（07自贡）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据

59，1216，2125，32

，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________．

22．（2007德阳）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方

向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为____________．

23．（2007

河南省）将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②，再将图②中最小的某

一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…，则第n 个图形中，共有________个正六边形．

24．（2007安徽省）探索n ×n 的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：

当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S 表示不同长度值的线段种数，则

S ＝2；

当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，2，2，5，22五种，比n ＝2时增加了3种，即S ＝2＋3＝5．

(1) 观察图形，填写下表：

钉子数(n ×n )

S 值 2×2 2

3×3 2＋3

4×4 2＋3＋（） 5×5

( )

(2) 写出(n －1)×(n －1)和n ×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；

(用式子或语言表述均可) 【解】

（3）对n ×n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式．【解】

25．（07贵阳市）如图12，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，

图① 图②

图③

(第13题)

……

OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

（1）“17”在射线________上．

（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．（3）“2007”在哪条射线上？

26．（07无锡）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一

个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)

1232

n n n ++++

．

图1 图2 图3 图4 如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．

27．（07乐山）如图（15），在直角坐标系中，已知点0P 的坐标为(10)，，将线段0OP 按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为0OP 的2倍，得到线段1OP ；又将线段1OP 按逆时针方向旋转45，长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；如此下去，得到线段3OP ，4OP ，，n OP （n 为正整数）（1）求点6P 的坐标；（2）求56POP △的面积；

（3）我们规定：把点()n n n P x y ，（0123n =，，，，）

的横坐标n x 、纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标

()n n x y ，

称之为点n P 的“绝对坐标”．根据图中点n P 的分布规律，请你猜想点n P 的“绝对坐标”，并写出来．

图12 A

C E F O 1 7

3 9

4 10

5 11

6 12 第2层第1层 …… 第

n 层 O x y

0(1

0)P ， 1P 2P

图（15）

28．（07山东东营）根据以下10个乘积，回答问题：

11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；

16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．

（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；

（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；

（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

答案：

1．答案不惟一，符合题意即可．

2．（1）略（2）当AD＝2AB时，有BM?⊥CM成立．说明理由（略）

3．（1）当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形．理由（略）

（2）在（1）的条件下，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．说明理由（略）4．当点D?运动到满足条件AD⊥EF时，AC平分∠BAD．证明（略）

5．（1）证明△ADF≌△CDE即可（2）四边形AFCE是矩形．（证明略）

6．（1）证明△BPA≌△BQC，AP＝CQ

（2）△PQC是直角三角形，

∵PA：PB：PC＝3：4：5，

设PA＝3k，PB＝4k，PC＝5k，

∵∠PBQ＝60°，BP＝BQ，∴△PBQ是等边三角形，

∴PQ＝PB＝4k，在△PQC中，

∵PQ2＋QC2＝（4k）2＋（3k）2＝25k2，PC2＝（5k）2＝25k2，

∴PQ2＋QC2＝PC2，∴△PQC是Rt△．

7．（1）△COD是直角三角形，连OE，

由圆的切线的性质可证得：?△OAD≌△OED，△OEC≌△OBC，

∴∠AOD＝∠EOD，∠EOC＝∠BOC，可证得∠DOC＝90°，?

所以△COD是直角三角形．

（2）r与a、b之间满足的关系是r2＝ab．证明△OAD∽△CBO，

得OA AD

BC OB

，OA·OB＝AD·BC即r2＝ab．

8．解：（1）①BE＝DF＋EF，②BE＝DF－EF，③EF＝BE＋DF．

（2）?证明略．

9．解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ， ∴(1)(5)y a x x =--．又∵抛物线经过点(0,5)C ， ∴55a =，1a =．

∴抛物线的解析式为2(1)(5)65y x x x x =--=-+．

（2）∵E 点在抛物线上，

∴m ＝ 42–4×6＋5 ＝－3．

∵直线y ＝ kx ＋b 过点C （0， 5）、E （4， –3），

∴5,4 3.b k b =??+=-?

解得k ＝－2，b ＝ 5．

设直线y ＝－2x ＋5与x 轴的交点为D ，当y ＝0时，－2x ＋5＝0，解得x ＝

． ∴D 点的坐标为（

，0）． ∴S ＝S △BDC ＋ S △BDE

＝1515

(5)5+(5)32222?-??-? ＝10．

（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，

∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．

（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形．

理由如下： ∵220024254AP BP ==

+=>，

∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、

4P 、5P 、6P ，除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点．

（说明：只说出P 点个数但未简要说明理由的不给分）

10．解：（1）解：过点P 作PF BC ⊥，垂足为F ．在矩形ABCD 中，PF AB ∥ PFC ABC ∴△∽△ FC PC PF

BC AC AB ==

∴

又AP x =∵，1BC AD ==，AB = 又∵在Rt ABC △中，

3AC ==

3PC x =- 313

FC x

∴ 33

FC -=

∴ 3133

x x

BF BC FC -=-=-

=∴ 又PE CD ⊥∵ 90PEC ∠=∴°

又在四边形PFCE 中，90PFC BCD PEC ∠=∠=∠=° ∴四边形PFCE 为矩形

90FPE ∠=∴° 又PQ BP ⊥∵ 90BPQ ∠=∴°

FPE BPQ ∠=∠∴ EPQ QPF BPF FPQ ∠+∠=∠+∠∴ EPQ BPF ∠=∠∴ 又90PEQ BFP ∠=∠=° PEQ PFB ∴△∽△

EQ PE

BF PF

∴ 又PE FC = EQ FC BF PF =∴ 又FC PF

BC AB =

FC BC

PF AB

∴ EQ BC BF AB =

∴

BC BF

EQ AB

=·∴

3x EQ =

=∴

中考数学专题复习规律探索性

2013年中考数学规律探索性第一部分讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。例1. 有一组数： 13, 25579 ,,101726 ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解： 21211 211?-= +； 2 3221 521?-=+； 2 5231 1031?-=+； 2 7241 1741?-=+； 21 9251265+?-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为 2 21 1 n n -+．点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2（2010广东汕头）阅读下列材料： 1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31 (2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 3 1 (3×4×5－2×3×4)，

开放性问题[整理]

探索型问题一（开放性问题）【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型. 开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答. 开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的.教育部在《2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中特别指出：数学考试“应设计一定结合情境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题】一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一. 例1 （1）如图7.1，△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上的一点，要使 △ABC ∽△BCD ，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________ _______________________（只需填写一个你认为适当的条件即可）. （2001年淄博市中考题）（2）如图7.2，在△ABC 和△FED 中，AD=FC ，AB=FE ，当添加条件：__________________时，就可得到△ABC ≌△FED （只需填写一个你认为正确的条件）. （2003年无锡市中考题）解：（1）BD=BC.（也可以是：∠ABC=∠BDC ；或∠A=∠DBC ；或BC ∶CD=AC ∶BC ；或BC 2 =AC ?CD 中的某一个）（2）∠A=∠F. （或BC=ED 等）说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性. 第（1）小题中，我们只需给出能使结论成立的一个答案即可. 例2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2,4x y =?? =?和2, 4x y =-??=-? ，试写出符合要求的方程组____________________________.（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x ，又含y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方程实际上就是寻找x 与y 之间的关系. 解：2,8. y x xy =?? =? 说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A （2，4），B （-2，-4），则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）. B A C D 图7.1 A B C D E F 图7.2

中考数学探索性问题的解法.doc

L_J 中考数学探索性问题的解法随着应试教育向素质教育的转轨，加强对学生各方面能力考察的题目成了近年来各省市中考试题中的热门问题，探索性问题便是其中一类应运血生的新题型, 这?类问题对培养学生的创造性思维、想象能力和探索能力有很大帮助。探索性问题又可分为结论探索型和存在探索型两种。一、结论探索型问题此类题型一般是在给定题设条件下探求结论，它要求学生在对题设条件或图形认真分析的基础上，进行归纳，大胆猜想，然后通过推理、计算获得结论。例1、长方形的周长为24cm,面积为64cm2,则这样的长方体（）（A）有一个（B）有二个（C）有无数个（D）不存在 a + b = 12 解：设长方体的长为d,宽为b,贝U、址' = 64 a> b可视为X2—12x+64=0的两个根 ?/ △二（一12） 2-4 X 64 = 144-256V0 ?.?该方程无实根即a、b不存在，因此选（D） a 例2、在宽为a的纸带中剪出直径为a的圆5个，直径为5的圆10个，排列方法如图1, 计算所用纸带长度，请考虑能否再设计一种排列方法，使所用纸带的长度比原排列方法节省原材料？ ff ll 图 2

买?恩?收瓦潟暴圈3 分析：通过图1观察易发现图中虚线部分具有典型性，为计算方便，取具有典型的部分（图2）进行分析，计算出结果。易知，在等腰三角形ABC中，BC边上的高为AD, ..a V2 a 今27+ 2 龙 4 = 4a + — + — a 十一+ 2a = - a ..?原排列方法使用纸带长为 2 2 4 4 通过计算启发我们，如果把小圆分别插到大圆中，采用如下的排列方法，（如图3）这时纸带长为 ,a , 72 ° a ,3 ,9」、 3+18>/2 3 2 2 4 4 24 4- A = （6-4很）a a 0.344a 可见改进后的排列方法比较合理例3、如图6、有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向点B、C、D、A移动。（1）证明四边形PQEF是正方形；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由；（3）四辿形PQEF的顶点位于何处时其面积有最大值、最小值，各是多少？解：（1）证明由己知易得△ AFP A BPQ A CQE A DEF, .\FP=PQ=QE=EF；又由ZBPQ=ZAFP,得匕BPQ+NAPF=NAFP+NAPF=90° , AZFPQ=90° ??四边形PQEF 是正方形。（2）连结AC交PE于0, VAP=EC, AAPCE是平行四边形，0是AC的中点，即PR总过AC的中点0。（3）由（2）知正方形ABCD与PQEF的对角线交点重合,因此,要使PQEF的面积最小，只需0P最小即可，所以由点。向ABCD的各边作垂线，其垂足就是各边的

9.1规律探索型问题专题复习教案

9.1规律探索型问题专题复习教案教学目标： 1．知识技能：了解规律探究题的基本题型，掌握规律探究题的基本解题思路，提高学生分析问题，综合运用所学知识解决实际问题的能力，特别是归纳概括的能力。 2.过程与方法：经历规律探索的过程，培养学生的观察思考，归纳概括的能力。 3.情感态度与价值观：通过学生的探究过程，获得成功的体验，增强学习的信心，培养科学探究精神。教学重点：掌握规律探究题的基本解题思路，提高学生分析问题解决实际问题的能力教学难点：要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．教学流程：一、回顾旧知 1. (安徽中考)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x ，y ，z 表示这列数中的连续三个数，猜想x ，y ，z 满足的关系式是________． 2.（2013?淮安）观察一列单项式：1x ，3x 2，5x 2，7x ，9x 2，11x 2，…，则第2013个单项式是． 3．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n 个图形中小正方形的个数是( ) A ．(2n ＋1)个 B ．(n 2－1)个 C ．(n 2＋2n)个 D ．(5n －2)个 4.(内江中考)一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1， E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……，则正方形A 2 016B 2 016C 2 016D 2 016的边长是( D ) A .? ?? ??122 015 B .? ?? ??122 016 C .? ????33 2 016 D .? ?? ??33 2 015 学生课前独立完成，课上交流展示二、例题学习类型1 数字规律例1 2017·淮安将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

2020中考数学突破与提升专题提升练习(规律探索性问题)(无答案)

2020中考数学突破与提升专题提升练习（规律探索性问题）考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。例1. 有一组数：13, 25579 ,,101726L ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解： 21211 211?-=+； 23221521?-=+； 252311031?-=+； 272411741?-=+； 21 9251265+?-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2 21 1 n n -+．变式练习 1.阅读下列材料： 1×2 ＝ 31 (1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31 (2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 3 1 (3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 3 1×3×4×5 ＝ 20．

读完以上材料，请你计算下列各题： 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________． 2.我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果???>>d c b a , 那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？考点二：点阵变化规律在这类有关点阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化，变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．例1：如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n ，…，请你探究出前n 行的点数和所满足的规律、若前n 行点数和为930，则n =（）

中考探索性问题

探索性问题一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论,需要经过推断、补充、并加以证明的问题.其典型特点是不确定性.主要包括(1)条件探索型，(2)结论探索型，(3)存在性探索型等. 条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。解题时应注意知识的综合运用。二、理解掌握例一、已知：（如图）要使ΔABC ∽ΔAPB ，需要添加的条件是_____（只填一个）.(答案： ∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB 2=AP ·AC) 说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。例二、如图， ☉O 与☉O1外切于点T ，AB 为其外公切线，PT 为内公切线，AB 与PT 相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分) A B C P

探索性问题的常见类型及其求解策略

探索性问题的常见类型及其求解策略在近几年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、几何，成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：一、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。例1．（2002年上海10）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是。分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即。由此可得 )(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(4 1 2Z k k t ∈+= π 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．二、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。例2．（2020年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设

难点专题：数列中的4类探索性问题

难点专题：破解数列中的4类探索性问题1．条件探索性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意． [例1] 已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和S n满足S n＋2＋S n＝2S n＋1＋1(n∈N*)；数列{b n}中，b1＝a1，b n＋1＝4b n＋6(n∈N*)． (1)求数列{a n}，{b n}的通项公式； (2)设c n＝b n＋2＋(－1)n－1λ·n a2(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c n＋1>c n成立．

此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论． [例2] 已知各项均为正数的数列{a n}满足：a2n＋1＝2a2n＋a n a n＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设数列{b n}满足：b n＝ na n 2n＋12n ，是否存在正整数m，n(1

立体几何中的开放探索性问题(教师版)教师版)2014.10.06

立体几何中的开放探索性问题数学开放性题是近年高考命题的一个新的亮点，其解法灵活且具有一定的探索性，这类题型按解题目标的操作模式分为：规律探索型，问题探究型，数学建模型，操作设计型，情景研究型．如果是未知的是解题假设，那么就称为条件开放型；如果是未知的是解题目标，那么就称为结论开放型；如果是未知的是解题推理，那么就称为策略开放型．当然，作为数学高考试题中开放题其＂开放度＂是比较弱的，如何解答立体几何中的这类问题，还是通过实际例子加以说明．一、规律探索型例1．1111ABCD A BC D - 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为”走完一段”. 白蚂蚁的爬行路线是111AA A D →→ , 黑蚂蚁的爬行路线是 1AB BB →→ ,它们都依照如下规则:所爬行的第n+2段与第n 段所在直线必须是异面直线, 设黑白两个蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白两个蚂蚁的距离是多少? D 1C 1 规则黑蚂蚁的爬行路线是11D D D DA →→，走6段又回到出发点A 。故而它们的周期为6。20052005段后停止在正方体的B 顶点处，白蚂蚁走完2005 这类题为操二、操作设计型例2．（Ⅰ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（Ⅲ）（附加题）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【分析】本题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力．通过数学科的高考，倡导重视数学应用，是从1993年开始的，已经经历了十个年头．这些年来，尽管数学科高考中有关数学应用的试题存在这样那样的缺陷，但是它所倡导的加强数学学科与社会实际和生产实际的联系，引导考生置身于现实社会大环境中，关心身边的数学问题，具有良好的导向，也促进了中学数学教学加强数学应用的研究，推动数学教学改革．这种命题方向得到数学教育界的普遍肯定．回顾这些年来高考中有关数学应用的问题，所涉及的知识面上还存在

2019版中考数学专题复习专题八综合应用(30)探索性问题教案

2019版中考数学专题复习专题八综合应用（30）探索性问题教案教学目标知识技能 1.通过观察、类比、操作、猜想、探究等活动，了解探索性数学问题中的常见四大类型,并体会解题策略. 2.能够根据相应的解题策略解决探索性问题. 3.使学生会关注探索性数学问题，提高学生的解题能力. 过程方法在探索性数学问题中，体会解题策略，渗透数学思想. 情感态度在通过对探索性数学问题的学习，使学生获取新知，并激发学生的学习兴趣，鼓励其敢于探索创新. 教学重点条件探索型、结论探索型、规律探索型的问题. 教学难点对各探索型问题策略的理解. 二、【教学流程】教学环节教学问题设计师生活动二次备课知识回顾【回顾练习】引入——探索性问题 1.请写出一个比5小的整数_____． 2. 观察下面的一列单项式：x，2 2x -，3 4x， 4 8x -，…根据你发现的规律，第7个单项式为；第n个单项式为 3. 观察算式： 22 4135 -=?； 22 5237 -=?； 22 6339 -=? 给出问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性．根据条件，结合已学知识、数学思想方法，通过分析归纳逐步得出结论，或通过观察、

22 74311 -=?； ………… 则第n（n是正整数）个等式为________. 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D．由以上两个条件可得________．(写出一个结论) 实验、猜想、论证的方法求解. 综合运【自主探究】例1抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，根据这个函数图象，你能得到关于该函数的那些性质和结论？例2（1）探究新知：如图①，已知△ABC与△ABD 的面积相等，试探究AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：①如图②，点M，N在反比例函此类图象信息开放题，只有认真观察图象上所给的各个数据及位置特征，灵活运用函数性质，才能找出所有的关系与结论，数形结合是解答此类问题的重要数学思想方法. 学生通过探究新知→ 应用新知，培养学生的探究应用能力． 2 1 D C B A

探究问题解决策略

探究问题解决策略 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

《探究问题解决策略,提高学生解决问题的能力》结题报告【课题研究的背景、意义】近年来我国小学数学课程的发展趋势是：让学生学会自主学习，充分发挥每一个学生的主体作用，倡导每一位学生都能主动参与、乐于探究、勤于动手操作，都能在愉快的氛围中轻松地学习数学知识。总结现在的小学数学中关于“问题解决”策略的研究：对显性的、单一的问题大部分学生都能容易地找到解决的方法，但是在解决问题的过程中，学生们往往只注重找到问题的答案，很少有学生去尝试分析，特别是后进生，有些连题目都读不懂，更别说分析了，至于解决问题的策略的多样性，就更无从谈起了。每次练习，碰到解决问题往往要扣很多分数，慢慢地对学习数学就失去了信心，成绩也越来越差。在上述背景之下，我们提出了“探究问题解决策略,提高学生解决问题的能力”课题，让学生能面对实际情景自己学会阅读、学会收集数学信息、学会用数学的眼光看生活中的数学问题、学会用数学的语言和思考方法来解释一些复杂的数学情景，最终学会自己寻找合适的解决问题的有效策略，以此来提高学生解决问题的能力、学习兴趣和信心，让他们乐于学习。【课题的界定】一、“数学问题”：是指对后进生来说，没有现成的方法可以解决，需要经过思考和探索，在综合运用已有的数学信息的基础上才能找到解决方法的一种情景状态。二、“问题解决”：在老师的适当指导下，学生在面对数学问题时，能把已有的知识、经验、技能，经过自己的思考、加工、综合运用，达到未知目标的过程，以及在这

高考数学专题04 立体几何的探索性问题(第三篇)(原卷版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题04 立体几何的探索性问题【典例1】【2020届江苏巅峰冲刺卷】如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点．（1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；（2）点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为4 5 ，求λ的值．【典例2】【2020届江西省赣州市高三上学期期末考试】如图，在平行四边形ABCD 中，2,4,60AB AD BAD ?==∠=，平面EBD ⊥平面ABD ，且 ,EB CB ED CD ==.

（1）在线段EA 上是否存在一点F ，使//EC 平面FBD ，证明你的结论；（2）求二面角A EC D --的余弦值. 【典例3】【北京市昌平区2020届高三期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，1 2 BC CD AD == . （Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅰ）求证：BD ⊥平面P AB ；（Ⅰ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由. 【典例4】【2019届陕西省西安中学高三下学期第十二次重点考试】在三棱锥P—ABC 中，PB ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PB =2，BC E 、G 分别为PC 、P A 的中点.

（1）求证：平面BCG ⊥平面P AC ；（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN ⊥BE ，求 AN NC 的值；（3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值【典例5】【浙江省丽水市2020届模拟】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=?，1AB BC ==，2PA AD ==．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）在棱PC 上是否存在点H ，使得AH ⊥平面PCD ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由．【典例6】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=?， E 、 F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【典例7】【山东省临沂市2019年普通高考模拟】如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ⊥DE ，AF ＝DE ＝

中考数学复习考点解密第三讲规律探索性问题.docx

中考数学复习考点解密第三讲规律探索性问题【专题诠释】规律探索型题是根据已知条件或题T?所提供的若T?特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睞，逐渐成为中考数学的热门考题。 |【解题策略】I 规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律. 【解法精讲】它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答. 【考点精讲】考点一: 通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。例1. (2017内江)观察下列等式：第个筹式：=U3X2+2X 22 2+1 ~22H 第二个等式： "l+SX 2^2X(22)2 *22*1 23H 第三个等式： 1 1 a323^2X(23)2 *23*1 24H 第四个等式：24 1 1 ^H-SX "z4+l 2?H 按上述规律，回答下列问题：

（2）用含n 的代数式表示第n 个等式:喩E f 宁云（3）时葩+斫（得出最简结果）; (4)计算：ai+a 2+???+a n . 【考点】37：规律型：数字的变化类. 【分析】（1）根据已知4个等式可得; 利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得; 【解答】解：⑴rh 题意知，斫看走而产丙_尹亍 (2) 根据已知等式得出答案; (3) (4) 根据己知等式规律，列项相消求解可得. 故答案为： -------- 3 --------- g~ R3X 2%2X(2B ) 27+1 2n 1 [ l?x 2n t2X (211)2 2n H 2^+1 乂合杀为 H3X 2tt t2X(2n )2 2n +l 2^1+1 （3）原式二莎林応 _ 1 _1_ 14 故答案为：孕*; 22H * 22+1 23+l * 2j +l 24+l * 24+l 2B 41 ' 2B +1 ⑷原式二页 _ 1 1 2H 2n +l

立体几何中的探索性问题精编WORD版

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立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．这类试题的一般设问方式是“是否存在?存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设． 8如图,在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由． (2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF． (3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45。? 拓展提升 (1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型．一般来说，这种题型依据题目特点，充分利用条件不难求解． (2)对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在． 9如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P 为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD． (2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小． (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC?若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．如图所示，在正方体ABCD—A l B l C 1 D l 中，M,N分别是AB，BC中点． (1)求证：平面B 1MN⊥平面BB 1 D 1 D； (2)在棱DD 1上是否存在点P，使BD 1 ∥平面PMN，若有，确定点P 的位置；若没有，说明理由．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，0为AD中点． (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)求异面直线PB与CD所成角的大小： (3)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD3若存在，求出AQ：DQ的值；若不存在，请说明理由．立体几何中探索性问题的向量解法高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.

规律探究性问题

第33讲规律探究性问题类型一：探究数字或式子的变化规律方法点拨：关注奇偶数、平方数、等差数列、等比数列的表示方法．还要关注正、负号交替时，正、负号的表示：用(－1)n 或(－1)n ＋1来表示． 1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，38＝6 561， 39＝19 683，…，它们的个位数字有什么规律，用你发现的规律直接写出92 019的个位数字是( ) A ．3 B ．9 C ．7 D ．1 2．观察下列一组数：14，39，516，725，936 ，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__________． 3．观察一列数：－12，34，－58，716 ，…，按你发现的规律，写出这列数的第9个数为________，第n 个数为____________． 4．按一定规律排列的一列数依次为－a 22，a 55，－a 810，a 1117 ，…(a ≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是______________(n 为正整数)． 5．已知一列数a ，b ，a ＋b ，a ＋2b ，2a ＋3b ，3a ＋5b ，…，按照这个规律写下去，第9个数是__________． 6．观察下列一组数：a 1＝13，a 2＝35，a 3＝69，a 4＝1017，a 5＝1533 ，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中的规律，写出第n 个数a n ＝____________(用含n 的式子表示)．类型二：探究等式的变化规律方法点拨：(1)标序数；(2)对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n )之间的关系，把其中隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；(3)根据找出的规律得出第n 个等式，并进行检验． 7．观察下列各式：

中考专题(探索性问题专题)

(探索性问题专题) 例3．（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA ＝7，AB ＝4，∠ COA ＝60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；（3）当点P 运动什么位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且AB BD ＝8 5 ，求这时点P 坐标． [解析]（1）；过C 作CD ⊥OA 于A ，BE ⊥OA 于E 则△OCD ≌△ABE ，四边形 CDEB 为矩形∴OD ＝AE ，CD ＝BE ∵OC ＝AB ＝4，∠COA ＝60°∴CD ＝，OD ＝2∴CB ＝DE ＝3∴OE ＝OD ＋DE ＝5又∵BE ＝CD ＝∴B （5 ，）（2）∵∠COA ＝60°，△OCP 为等腰三角形∴△OCP 是等边三角形∴OP ＝OC ＝4∴P （4，0）即P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形（3∵∠CPD ＝∠OAB ＝∠COP ＝60°∴∠OPC ＋∠DPA ＝120°又∵∠PDA ＋∠DPA ＝120°∴∠OPC ＝∠PDA ∵∠OCP ＝∠A ＝60° ∴△COP ∽△PAD ∴

OP OC AD AP =∵58BD AB =，AB ＝4 ∴BD ＝52 ∴AD ＝32 即 4372OP OP =-∴ 276OP OP -=得OP ＝1或6∴P 点坐标为（1，0）或（6，0）例6．（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2A B A C ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在 BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形．此时点E F ，的位置分别是： ①E 是BA 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==．③E 与A 重合，F 是AC 的中点．图1 C 图2 B

2012年中考数学二轮复习考点解密_规律探索性问题(含解析)

2012年中考数学二轮复习考点解密规律探索性问题第一部分讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要

求的规律的形式。例1. 有一组数：13,25579,,101726 ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解： 21211211 ?-=+； 23221521 ?-=+； 252311031 ?-=+； 272411741 ?-=+； 21 9251265+?-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211 n n -+．点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2（2010广东汕头）阅读下列材料： 1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 3 1(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 3 1(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 31×3×4×5 ＝ 20．

【精品】高三复习专题：探索性问题的常见类型及其求解策略.doc

高三复习专题：探索性问题的常见类型及其求解策略在近儿年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、儿何, 成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合己有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略乂有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：一、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。例1. (2002年上海10)设函数/?⑴= sin2x,若是偶函数，贝Ut的一个可能值是o 分析与解答：：/(x + r) = sin2(x + r) = sin(2x + 2r).X/(x + 偶函数 /. f(x + t) = f(-x + r)B|Jsin(2x + It) = sin(-2x + 2r)。由此可得、2k +1 2x + 2r = -2x + 2/ + + t = TT-(-2X +2t) + 2ki(k E Z) /. t = --- 7r(k e Z) 4 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力. 二、结论探索型

探索图形变化规律二

第二节探索图形变化的规律探索性问题是指给出一列数、一列等式，一列图形的前几项，然后让我们通过归纳加工、猜想，推出一般的结论；或者是给出一个图形，要求我们探索图形成立的条件、变化图形的不变规律。这类问题需要学生通过对题目进行深刻理解，然后进行合情推理，就其本质进行加工、猜想、类比和联想，做出合理判断和推理。解题时要关善于从所担供的数学或图形信息中，寻找其共同之处，存在于俱全中的共性，就是规律。其中蕴含蕴含着“特殊—— 一般 ——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识事物的一般过程。例题解析例1. 依次观察下面的三个图形，并判断照此规律从左向右第4个图形是（） A ． B. C. D. 例2. 用边长为1cm 的小正方形搭如下所示的塔状图形，则第n 层所搭图形的周长是________cm(用含n 的代数式表示) 。第1次第2次第3次第4次例3. 观察下列图形的排列规律（其中是圆形）： … 若第一个图形是正方形，则第2012个图形是______。（填图形名称）例4. 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设成如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子______枚。（用含有n 的代数式表示）

?????? 第3个第2个第1 个（3）（2）（1）例5. 在数学活动中，小明为了求n 4322 1 21212121+???++++的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形。（1）请你利用这个几何图形，求出 n 43221 21212121+???++++ 的值为______；（2）请你利用图2，再设计一个能求n 4322 1 21212121+???++++ 的值几何图形。习题训练 1. 如图，两种圆按某种规则排列，则前2006个圆中有个。 2. 观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是______。 3. 下列图中有大小不同的菱形，第1幅图有1个，第2幅图有3个，第3幅图有5个，则第n 幅图有______个。（4） ?????? （3）（2）（1） 4. 按如下规律摆放三角形：则第（4）堆三角形的个数为______，第n 堆三角形的个数为______。 5. 下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定规律拼接而成。依此规律第5个图中小正方形的个数为______。