中考数学热点分析-探索性问题
中考数学热点分析--探索型问题
一、内容综述：
1.探索型问题分类
①结论探索型问题：
一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题中往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。
②条件探索型问题：
条件探索型问题，一般是由给定的结论反思探索命题，应具备的条件。
2.探索存在型问题解决法解决方法：
①直接解法：从已知条件出发，推导出所要求的结论。
②假设求解法：假设某一命题成立--相等或矛盾，通过推导得出相反的结论。
③寻求模型法
二、例题精讲：
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例1.已知点A(0, 6), B(3,0), C(2,0), M(0,m)，其中m<6，以M为圆心，MC为半径作圆，则(1)当m为何值时，⊙M与直线AB相切(2)当m=0时，⊙M与直线AB有怎样的位置关系？当m=3时，⊙M与直线AB有怎样的位置关系？
(3)由第(2)题验证的结果，你是否得到启发，从而说出在什么范围内取值时，⊙M 与直线AB相离？相交？((2)，(3)只写结果，不要过程)(江苏常州中考题) 分析：如图(1)只需d=r。作MD⊥AB ,当MD=MC，直线和圆相切，MD用相似可求。(2)d与r比较(3)(1)是三种位置关系中的临界位置
说明：在解有关判定直线与圆的位置这类问题时，一般应先求出这一直线与圆位置相切时应满足的条件，然后再辅以图形运动，分别考察相离，相交的条件。
说明：判断探索性的问题：是指几何图形的形状，大小的判定，图形与图形的位置关系判定，方程(组)解的判定等一类问题。
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例 2.已知a,b,c分别是ΔABC的∠A，∠B，∠C的对边(a>b)，二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的图象，顶点在x轴上，且sinA,sinB是关于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的两个根。(1)判断ΔABC的形状，并说明理由。
(2)求m的值(3)若这个三角形的外接圆面积为25π，求ΔABC的内接正方形(四个顶点都在三角形三边上)的边长。
分析：(1)顶点在x轴上，判别式Δ＝0，可得a,b,c的关系，从而得到三角形的形状(2)再利用同角的关系得m (3)需分类来求。
解：(1)由已知二次函数化简，整理得：
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例3.如图，已知ΔABC是等腰直角三角形，∠C=90°
(1)操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？
写出观察结果。
(2)探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形(即能否有EF2=AE2+BF2)？如果能，试加以证明。
分析：操作、观察不是重点，探索、猜测才是整个题目的重点，是难点，也就是说，从操作中获取信息是探索问题的过程中最重要的。(1)中只须旋转∠ECF 中用刻度尺量一量或观察，即可得到。(2)要判断EF2=AE2+EF2，思路是把AE、EF、FB搬到一个三角形中，通常用平移、翻折、旋转等方法，此题目用翻折的方法，出现和线段AE、BF相等的线段，并且和EF在一个三角形中。
解：(1)观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这个角绕着点C在ÐACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF。
(2)AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：
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例4.(北京朝阳区，最后一题)如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草。
(1)请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图2中，并附简单说明。(2)要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图3中，并求此时三条小路的总长。(3)请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法。(4)你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图5予以说明，这种方法能推广到正n边形吗？
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例 5.某房地产公司要在一块地(图中矩形ABCD)上规划建造一个小区公园(矩形GHCK)，为了使文物保护区ΔAEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知AB=200m, AD=160m, AE=60m, AF=40m。
(1)求矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，公园的面积。(2)当G 在EF上什么位置时，公园面积最大？
分析：第一问比较容易，求出矩形GHCK的长和宽，注意利用ΔAEF的条件。第二问是个探索性的问题，求面积的最大值，常用的办法是将面积表示成长(或者宽)的函数。
说明：对于探索某一个量最大、最小的问题，利用函数思想是首选的方法，可以设置适当的变量，
所求的量用它来表示，从而用函数的最大最小来求
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例6.某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一部拖拉机从O点出发，以每秒5米的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？(已知：sin53°≈0.80, sin37°≈0.60, tan37°≈0.75)(福州)
说明：这种问题在近几年各地的中考题目中出现较多。要求：1、要能准确画出辅助方位图；2、完成从实际问题到几何模型的转化，转成解直角三角形的问题。
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例7.如图的曲线表示一辆自行车离家的距离与时间的关系，骑车者九点离开家，十五点回家，根据这个曲线图，请你回答下列问题。
(1)到达离家最远的地方是什么时间？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00，他骑了多少千米？(5)他在9：00~10：00和10：00~10：30的平均速度各是多少？(6)他在何时至何时停止前进并休息用午餐？(7)他在停止前进后返回，骑了多少千米？(8)返回时的平均速度是多少？(9)11：30和13：30时，分别离家多远。(10)何时距离家22千米？
分析：这个曲线图，与课本上函数图象的不同点在于横轴表示的时间不是从0开始的，而是从9开始，横、纵轴上的数值代表着截然不同的实际含意。(t,S)解：(1)12点，30千米(2)10点半，半小时(3)离家17千米(4)11：00到12：00，他骑了13千米(5)9：00~10：00的平均速度为10千米/时，10：00~10：30的平均速度是14千米/时(6)12点到13点(7)返回骑了30千米(8)2小时，15km/h.
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例8.有一批货，如果月初售出，可获利1000元，并可得本利和再去投资，到月末获利1.5%；如果月末售出这批货，可获利1200元，但要付50元保管费，请问这批货在月初还是月末售出好？
解：设这批货成本为a元，月初出售到月末可获利润P1=1000+(a+1000)×1.5%=0.015a+1015月末出售可获利润P2=1200-50=1150元P1-P2=0.015(a-9000)故为a>9000时，月初出售好；当a=9000时，月初，月末出售相同；当a<9000时，月末出售好。
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例9.某水库的闸板如图所示，它的形状是由一个半圆和一个矩形组合而成，为了周围封得好，周长应尽可能小，但为了使水的流量越大越好，希望面积尽可能地大，问当周长一定时半圆半径r和矩形高度h应怎样取才好呢？
分析：在周长一定的条件下，面积的大小即与r有关又与h有关，即S是r 和h的函数，在含两个自变量的函数关系式中，通常由一个变量表示另一个，转化为含一个的再求最值。
说明：利用函数关系式求最值问题，在生活实际中有着广泛的应用，诸如周长最小，面积最大材料最省，效益最好等等，往往可以通过建立适当的函数关系式，通过求函数的最值来解决。
中考数学专题复习5：探索性问题
中考数学专题复习5：探索性问题 Ⅰ、综合问题精讲： 探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目． 探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直 角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，临沂）如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8． (1)求此抛物线的解析式； (2)如图2－6－2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ． ①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状； ③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4. ∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。 设抛物线的解析式为2 y ax bx c =++． 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。 得1242242x a b c a b c =?? =-+??=++? 解得1,0,14a b c === ∴此抛物线的解析式为2 114 y x = +
29.中考数学专题 “操作探究型”相关的探索性问题数学母题题源系列(解析版)
专题05 中考中与“操作探究 型”相关的探索性问题 【母题来源一】【2019?陕西】问题提出： （1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究： （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离； 问题解决： （3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计） 【解析】（1）如图1记为点D所在的位置． （2）如图2，
∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB． ∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点， 连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能在矩形外， ∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大， 作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3， ∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2， 由对称性得AP2=8． （3）可以，如图3，连接BD， ∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°， ∴BD=100，∠BED=60°， 作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形． 连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′， ∵E′A⊥BD， ∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°， 作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A， ∴S△BDE 1 2 =·BD·EF 1 2 ≤·BD·E′A=S△E′BD， ∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°m2）， 所以符合要求的BCDE的最大面积为2．
第二十四讲 探索性问题(含解答)-
第二十四讲 探索性问题 【趣题引路】 一个圆形街心花园,有三个出口A 、B 、C,如图1,•每两个出口之间有一条60m 长的道路,组成正三角形ABC.在中心点还有一个亭子,为使亭子与原有的道路相通,•需要修三条小路OD,OE,OF,使另一出口D 、E 、F 分别落在△ABC 的三边上,•且这三条小路把△ABC 分成三个全等的多边形,以备种植不同品种的花草. (1)请你按以上要求设计两种不同的方案,将设计方案分别画出来,•并附简单说明; (2)要使三条小路把△ABC 分成三个全等的等腰梯形,应怎样设计?•请把方案画出来,并求此时三条小路的总长; (3)请你探索出一种一般方法,使得出口D•不论在什么位置都能准确地找到另外两个出口E 、F 的位置,请写明方法; (4)你在(3)中探究出一般方法适用于正五边形吗?这种方法可以推广到正n•边形吗? （1） (2) (3) (4) 解析 (1)方案1 D 、E 、F 分别与A 、B 、C 重合,连结OD 、OE,OF,•得三条小路OD 、OE 、OE.如图2. 方案2 OD 、OE 、OF 分别垂直于D,E,F 得OD,OE,OF,如图3. (2)如图4,三条小路OD 、OE 、OF 分别与AC 、AB 、BC 平行,•得到三个全等的等腰梯形;作OM ⊥BC 于M,连结BO,则OE=sin 60OM =20,又OE=OF=OD. ∴OE+OF+OD=3·OE=60.即3条小路OD,OE,OF 总长为60. (3)方案1 在BC 、CA 上分别截取BE=CF=AD,连结OD 、OE 、 OF•即得三条小路如图5. 方案2 连OD,将OD 逆时针旋转120°交BC 于E,再逆时针 旋转120°交AC 于F•即得3条小路,如图5. (4)在正五边形A 1A 2A 3A 4A 5中,设M 1为A 1A 2上任意一点,• 在各边上分别截取A 2M 2=A 3M 3=A 4M 4=A 5M 5=A 1M 1,连结OM 1、 OM 2、OM 3、OM 4、O M 5即可得5条小路,从而可进一步推广到 正n 边形. (5)
中考数学热点题型――规律探索篇
中考数学热点题型――规律探索篇 新课程标准要求学生，能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.为适应新的教学理念及社会和谐发展的需要，兼具双重性质考试的中考，既要考查三基，又要考查数学应用能力，考查和测试继续学习和深造的潜在的能力，即学习潜力，为高一级学校输送合格的新生.近几年来出现了颇具新意的观察探索归纳猜想类型题，以数学概念及数学思想方法为载体，考查潜能的创新题脱颖而出.为了方便同学们搞好后期的中考复习，现以2007年全国部分省市的中考试题为例说明如下： 一、从数的运算中探索规律 例1（广西河池课改试题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为＿＿＿. 分析观察这一组数有以下特征：1＝1 2 (12+1)，3＝ 1 2 (22+2)，6＝ 1 2 (32+3)，10＝ 1 2(42+4)，15＝ 1 2 (52+5)，21＝ 1 2 (62+6)，……由此可以猜想第100个三角形数和第98个三 角形数的大小，即可求解. 解因为1＝1 2 (12+1)，3＝ 1 2 (22+2)，6＝ 1 2 (32+3)，10＝ 1 2 (42+4)，15＝ 1 2 (52+5)，21 ＝1 2 (62+6)，……， 所以第98个这样的三角形数是 1 2 (982+98)，第100个这样的三角形数是 1 2 (1002+100)，即第100个三角形数与第98个三角形数的差为 1 2 (1002+100)－ 1 2 (982+98)＝ 1 2 (1002－ 982+100－98)＝1 2 (198×2+2)＝199.故应填199. 说明同学们通过求解这道中考题，感觉一定不错吧！在数学解题中，只要我们认真地去分析题目的本质特征，找到其中隐藏的规律，求解起来还是十分地方便快捷. 二、从式的运算中探索规律 例2（杭州市）给定下面一列分式： 3 x y ，－ 5 2 x y ， 7 3 x y ，－ 9 4 x y ，…，（其中x≠0） （1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式. 分析（1）后一个分式除以前面一个分式其结果都是负的，并且是一个恒定的代数式，（2）观察已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1，分子的指数是分母指数的2倍加1，并且分母的指数是偶数的分式带有“－”号. 解（1）因为－ 5 2 x y ÷ 3 x y ＝ 7 3 x y ÷(－ 5 2 x y )＝－ 9 4 x y ÷(－ 7 3 x y )＝…＝－ 2 x y ， 所以任意一个分式除以前面一个分式的规律是恒等于－ 2 x y .
中考数学热点分析-探索性问题
中考数学热点分析--探索型问题 一、内容综述： 1.探索型问题分类 ①结论探索型问题： 一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题中往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。 ②条件探索型问题： 条件探索型问题，一般是由给定的结论反思探索命题，应具备的条件。 2.探索存在型问题解决法解决方法： ①直接解法：从已知条件出发，推导出所要求的结论。 ②假设求解法：假设某一命题成立--相等或矛盾，通过推导得出相反的结论。 ③寻求模型法 二、例题精讲： ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例1.已知点A(0, 6), B(3,0), C(2,0), M(0,m)，其中m<6，以M为圆心，MC为半径作圆，则(1)当m为何值时，⊙M与直线AB相切(2)当m=0时，⊙M与直线AB有怎样的位置关系？当m=3时，⊙M与直线AB有怎样的位置关系？ (3)由第(2)题验证的结果，你是否得到启发，从而说出在什么范围内取值时，⊙M 与直线AB相离？相交？((2)，(3)只写结果，不要过程)(江苏常州中考题) 分析：如图(1)只需d=r。作MD⊥AB ,当MD=MC，直线和圆相切，MD用相似可求。(2)d与r比较(3)(1)是三种位置关系中的临界位置
说明：在解有关判定直线与圆的位置这类问题时，一般应先求出这一直线与圆位置相切时应满足的条件，然后再辅以图形运动，分别考察相离，相交的条件。 说明：判断探索性的问题：是指几何图形的形状，大小的判定，图形与图形的位置关系判定，方程(组)解的判定等一类问题。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例 2.已知a,b,c分别是ΔABC的∠A，∠B，∠C的对边(a>b)，二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的图象，顶点在x轴上，且sinA,sinB是关于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的两个根。(1)判断ΔABC的形状，并说明理由。 (2)求m的值(3)若这个三角形的外接圆面积为25π，求ΔABC的内接正方形(四个顶点都在三角形三边上)的边长。 分析：(1)顶点在x轴上，判别式Δ＝0，可得a,b,c的关系，从而得到三角形的形状(2)再利用同角的关系得m (3)需分类来求。 解：(1)由已知二次函数化简，整理得：
专题12 探索性问题(第01期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)
专题12 探索性问题 一、选择题 1.（2021浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 2. （2021浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB =10，CD =6，EF =8。则图中阴影部分的面积是（ ） A. π2 25 B. π10 C. π424+ D. π524+ 3.（2021山东德州第9题）公式KP L L +=0表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度. 0L 表示弹簧的初始长度,用厘米(cm )表示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm )表示。下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ） A ．L =10+0.5P B ．L =10+5P C ．L =80+0.5P D ．L =80+5P 4. （2021山东德州第12题）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形的中点，构成4个小三角形，挖去中间的小三角形（如题1）；对剩下的三角形再分别重复以上做法，……，将这种做法继续下去（如图2，图3……），则图6中挖去三角形的个数为（ ） A ．121 B ．362 C ．364 D ．729
5.（2021浙江宁波第12题）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n 个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n 的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.（2021重庆A 卷第10题）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ） A ．73 B ．81 C ．91 D ．109 7.（2021广西贵港第11题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠= ，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到 '',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若230BC BAC =∠=，，则线段PM 的最 大值是 （ ） A ．4 B ．3 C.2 D ．1 8.（2021湖北武汉第10题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，以ABC ∆的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC ∆的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
浅析中考数学题型中的规律探索问题
浅析中考数学题型中的规律探索问题 拉萨市第八中学李家强 纵观近年来全国各省市的中考数学题，从中可以发现一个共同的特点，那就是规律探索问题。它已经成为中考命题中的热点试题，它的出现，对初中数学教学产生了积极的导向作用，且有利于新课程改革的进一步深化。这类问题主要是考查学生发散性思维和所学基本知识的应用能力，同时要求学生具有一定的数学猜想能力和逻辑推理能力，能够根据题目中给出的一组有规律的数、算式或图形，通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并能对所做出的猜想进行验证；从特殊情况入手，分析特点，探索事物的内在规律，从而得出结论。而此类问题的突破和解决往往取决于日常学习中积累的数学感悟以及对或显或隐的结构特征的认识和把握。 规律探索问题大致可分为两种类型：一种是图形规律探索问题，另一种是数字或字母规律探索问题。两者存在一定的共性，也存在着个性；同时两者之间也可以相互转化，相互渗透，相辅相成。图形规律探索问题往往给出几个简单的图形，通过观察、归纳、猜想等方法，进行适当的正向迁移和归纳推理，并通过计算或证明，得出符合题设条件的规律，进而得出答案。解决与图形有关探索问题的思维方法是：采用从特殊到一般的探索思路，即通过观察几个特殊的例子进行比较、归纳和分析综合，得到一般规律，这是解决这类问题的重要方法。数字或字母规律探索问题与图形规律探索问题相类似，对于一般数字或字母规律探索问题较为简单，只要经过观察、分析、比较、类比、
归纳等探索，就能找出规律来，从几个简单的、特殊的情况出发，逐步探索，归纳出一般规律和性质，是解答有关数字或字母规律探索问题常用的方法，下面就以上方法举出几例加以说明： 例1：如图所示，用小棒摆下面的图形，图形（1）需要3根小棒，图形（2）需要7根小棒，……照这样的规律继续摆下去，第n 个图形需要 根小棒（用含n 的代数式表示）。 解析：第（1）个图形的小棒数量可看成3=4×1-1，第（2）个图形的小棒数量可看成7=4×2-1，第（3）个图形的小棒数量可看成11=4×3-1，所以第n 个图形中由（4n-1）根小棒组成。 例2：如图所示，将一张长方形的纸对折，可得一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次的折痕与上次的折痕保持平行，得到3条折痕，如图（2）所示，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到15条折痕，如果对折n 次，可以得到（ ）条折痕。 A 、12-n B 、12-n C 、12+-n n D 、12-n 解析：先求出第一次对折的折痕数，再求第二次，以此类推，从而找出规律求出第n 次即可。根据题意可知：第1次对折，折痕数为1；第2次对折，折痕数为1+2；第3次对折，折痕数为1+2+22；……第n 次对折，折痕数为1+2+22+…+21-n =2n -1．故答案选择B ．
17.中考数学专题“探索规律型”相关的探索性问题数学母题题源系列(解析版)
专题03 中考中与“探索规律 型”相关的探索性问题 【母题来源一】【2019?武汉】观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是 A．2a2–2a B．2a2–2a–2 C．2a2–a D．2a2+a 【答案】C 【解析】∵2+22=23-2； 2+22+23=24-2； 2+22+23+24=25-2… ∴2+22+23+…+2n=2n+1-2， ∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，∵250=a， ∴2101=（250）2·2=2a2， ∴原式=2a2-a．故选C． 【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2． 【母题来源二】【2019?枣庄】如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是
A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10， 符合此要求的只有，故选D ． 【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10． 【母题来源三】【2019?济宁】已知有理数a ≠1，我们把 11a -称为a 的差倒数，如： 2的差倒数是1 112 =--，-1的差倒数是()11 112 =--．如果a 1=-2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依 此类推，那么a 1+a 2+…+a 100的值是 A ．-7.5 B ．7.5 C ．5.5 D ．-5.5 【答案】A 【解析】∵a 1=–2， ∴a 2()11123==--，a 3131213==-，412312 a ==-- ，…… ∴这个数列以-2，13，32依次循环，且-2131 326 ++=-， ∵100÷3=33…1，∴a 1+a 2+…+a 100=33×（16-）-215 2 =- =-7.5， 故选A ． 【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规
2020年九年级数学中考几何探究型问题：线段最值问题——“费马点”问题(含答案)
几何探究型问题(针对第25题) 线段最值问题 “费马点”问题 【问题背景】“费马点”——就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点．“费马点”问题在中考考查时主要隐藏在求PA＋PB＋PC的最小值问题，通常将某三角形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题． 【模型分析】对于一个各角不超过120°的三角形，“费马点”是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．费马点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC最小，这就是所谓的“费马”问题． 如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP′C′，则可以构造出等边三角形APP′，从而得到AP＝PP′，CP＝C′P′，所以将PA＋PB＋PC的值转化为PP′ ＋PB＋P′C′的值，则线段BC′的长即为所求的最小值． 例题 1．如图，已知点P为等边三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点，求 证：PB＋PC＝PA． 证明：如答图，在P A上截取PM＝PC，连接CM.
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，BC ＝AC ． ∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠MPC ＝60°， ∴△MPC 是等边三角形， ∴∠MCP ＝60°，MC ＝PC ，∴∠ACM ＝∠BCP . 在△BPC 和△AMC 中，????? BC ＝AC ， ∠BCP ＝∠ACM ，PC ＝MC ， ∴△BPC ≌△AMC (SAS)， ∴BP ＝AM ，∴PB ＋PC ＝AM ＋PM ＝P A ． 2．已知三个村庄A ，B ，C 构成了如图所示的△ABC(其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°)，现选取一点P 作为打水井，使水井P 到三个村庄A ，B ，C 所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值． 解：如答图，以BC 为边在△ABC 的外部作等边三角形BCD ，连接AD ． ∴AD 的长就是△ABC 的费马距离． 易得∠ABD ＝90°， ∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5(km)． 答：输水管总长度的最小值为5 km. 练习 (2019·陕师大附中六模)问题提出 (1)如图1，在△ABC 中，BC ＝2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A ′BC ′，则CC ′＝______. 【解答】 由旋转的性质可知∠CBC ′＝60°，BC ′＝BC ，则∠△BCC ′是等边三角形，故CC ′＝BC ＝2.
中考数学探索性问题简析
中 考 数 学 探 索 性 问 题 简 析 锦州市第八中学陈树海 一、规律探索问题 【简要分析】 规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳、揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题． 【典型考题例析】 例1 观察下列各式：1×3=12＋2×1；2×4=22＋2×2；3×5=32＋2×3；…… 请你将猜想到的规律用自然数年n(n≥1)表示出来：.（2005年陕西省中考题） 分析与解答观察比较以上各等式知，等式左端是两个因数的乘积，前一个因数依次是1、2、3、……，后一个因数依次是3、4、5、……，它们都是连续的，且后一个因数比前一个因数均大2；等式右端是两项的和，前一个加数依次为12、22、 32、……，后一个加数依次是连续自然数的2倍，因而猜想到的规律用自然n(n≥1) 表示为n(n+2)=n2+2n．
例2 观察下列数表： 1 2 3 4 (1) 2 3 4 5 (2) 3 4 5 6 (3) 4 5 6 7 (4) ┇ ┇ ┇┇ 第第第第 1 2 3 4 列列列列 根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列交叉点上的数应为．第n行（n为正整数）与第n列交叉点上的数应为．（2005年北京市丰台区中考题） 分析与解答本例属于数字规律的探索问题．经观察，本数表是一个n×n型表，每一行的第1个数字就是该行的序数，后面的第2、3、……、n个数为自然数递增的顺序排列．第n行与第n列的交叉点上的数就是第n行的第n个数．据此，第6行与第6列的交叉点上的数就是第6行的第6个数，即6＋5=11．第n行的第n个数为n ＋(n-1)=2n-1. 例3 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如图2-2-1所示的正方形图案． 则第n个图案需要用白色棋子枚．（用含有n的代数式表示） （2005年广东省茂名市中考题） 分析与解答根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这尖问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
2022年中考数学试卷精选汇编 探索性问题(含解析)
探索性问题 一、选择题 1．（2016四川省凉山州）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（） A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角 C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角 【答案】D． 考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型． 2．（2016四川省攀枝花市）下列说法中正确的是（） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．“x2＜0（x是实数）”是随机事件 C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上 D．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查 【答案】C． 【解析】 试题分析：选项A中的事件是随机事件，故选项A错误；． 选项B中的事件是不可能事件，故选项B错误；． 选项C中的事件是随机事件，故选项C正确；． 选项D中的事件应采取抽样调查，普查不合理，故选D错误；． 故选C． 考点：1．概率的意义；2．全面调查与抽样调查；3．随机事件；4．探究型． 3．（2016山东省临沂市）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形
中小正方形的个数是（ ） A ．2n +1 B ．2 1n - C ．2 2n n + D ．5n ﹣2 【答案】C ． 考点：规律型：图形的变化类． 4．（2016湖南省邵阳市）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（ ） A ．21y n =+ B ．2n y n =+ C ．1 2n y n +=+ D ．21n y n =++ 【答案】B ．
考点：规律型：数字的变化类． 二、填空题 5．（2016北京市）百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为． 【答案】505． 【解析】 试题分析：1～100的总和为：（1+100）×100÷2=5050，一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：5050÷10=505，故答案为：505． 考点：规律型：数字的变化类． 6．（2016北京市）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P．（如图1） 求作：直线l的垂线，使它经过点P． 作法：如图2 （1）在直线l上任取两点A，B； （2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
专题12 探索性问题(第03期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(原卷版)
一、选择题 1．（2021四川省绵阳市）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则 19 3211 111a a a a ++++ 的值为（ ） A ． 2120 B ．84 61 C ．840589 D ．760421 2．（2021四川省达州市）如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2021次．若AB =4，AD =3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ） A ．2021π B ．2034π C ．3024π D ．3026π 3．（2021江苏省连云港市）如图所示，一动点从半径为2的⊙O 上的A 0点出发，沿着射线A 0O 方向运动到⊙O 上的点A 1处，再向左沿着与射线A 1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 2处；接着又从A 2点出发，沿着射线A 2O 方向运动到⊙O 上的点A 3处，再向左沿着与射线A 3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A 4处；…按此规律运动到点A 2021处，则点A 2021与点A 0间的距离是（ ）
A ．4 B ．23 C ．2 D ．0 4．（2021重庆市B 卷）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗 ，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗 ，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中 的 颗数为（ ） A ．116 B ．144 C ．145 D ．150 二、填空题 5．（2021山东省济宁市）请写出一个过点（1，1），且与x 轴无交点的函数解析式： ． 6．（2021山东省济宁市）如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，如此继续下去，则正六边形A 4B 4C 4D 4E 4F 4的面积是 ． 三、解答题 7．（2021四川省南充市）如图，在正方形ABCD 中，点E 、G 分别是边AD 、BC 的中点，AF =1 4 AB ． （1）求证：EF ⊥AG ； （2）若点F 、G 分别在射线AB 、BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？ （3）正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当PAB OAB S S ∆∆=，求△PAB 周长的最小值．
中考数学探索性问题知识点
中考数学探索性问题知识点 中考数学探索性问题知识点 一、探索性问题 是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论，需要经过推断、补充、并加以证明的问题。其典型特点是不确定性。主要包括（1）条件探索型，（2）结论探索型，（3）存在性探索型等。 条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。 探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。 探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。 解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。解题时应注意知识的综合运用。 二、理解掌握 例一、已知：（如图）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的条件是_____（只填一个）。（答案：∠ABP=∠C，或∠ABC=∠APC，或AB2=APAC） 说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。 例二、如图，☉O与☉O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为
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例析中考数学探索性问题 探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍。习惯上，我们可以按照命题者对解答者的要求将数学问题分为两大类：一类是已知和结论都有确定要求的题型；另一类是已知和结论两者中至少有一个没有确定要求的题型．我们把后一类问题称为探索性问题。因此，初中数学中的“探索性”问题特征是命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，因此，它必须利用题设进行大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的数学规律。本文就近几年在中考中频频出现的各种类型略举几例加以说明。 一、条件探索型 条件探索型――结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。条件探索型问题特征是：缺少确定的条件，问题所需要的条件不是必要条件，即所需补充的条件不能由结论推出。在解决这类问题时,我们常从要已知的结论出发来探求该结论成立的条件，同时，根据自己所给条件作出完整的解答。 例1.AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。 （1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切？为什么？ （2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE?DF？为什么？ 分析：（1）连OC.要使PC与⊙O相切，则只需∠PCO=900即可。由
∠OCA=∠OAC，∠PFC=∠AFH，即可寻找出△PCF所要满足的条件：当PC=PF （或∠PCF=∠PFC，或△PCF是等边三角形）时，PC与⊙O相切。 （2）要使AD2=DE?DF，即ADDE=DFAD，也就是要使△DAF∽△DEA，这样问题就较容易解决了。 说明：本题是条件探索性问题,在解决这类问题时,我们常从要已知的结论出发来探求该结论成立的条件。如第(1)小题中,若要PC与⊙O相切,则我们需要怎样的条件。第(2)小题也是如此。 二、结论探索型 结论探索型问题通常是结论不确定或不惟一，其特征是缺确定的结果，而且所给条件不是结论的充分条件。解题需通过对已知条件的探索来确定结论是否成立或会有那些结论。通常需要对问题进行分类讨论。当命题的结论不惟一确定，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果。 说明:本题结论存在不确定性需要分类讨论。 三、存在探索型 存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题。解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理。若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在。 （4）除（3）中所求的P0点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由。
中考数学中探索性问题的分析
中考数学中探索性问题的分析 陈和萍 近年来，探索性问题在中考试卷中频频出现，成为中考试卷中的一个亮点，探索性问题的形式多种多样，取材广泛，解决这类问题，往往需要我们展开观察、试验，类比、归纳、猜想等一系列的探索活动，通过探索性问题的解题活动，不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和掌握，有利于思维品质的提高，也有利于自主探索、创新精神的培养。 一、探索数据规律 例1 观察下列等式，你会发现什么规律？ 1553=⨯而14152-= 3575=⨯而16352-= 6397=⨯而18632-= 将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：_______。 答案：()()()1n 21n 21n 22-=+⨯- 例2 观察下列顺序排列的等式： 1109=+⨯11219=+⨯21329=+⨯31439=+⨯41549=+⨯ 猜想：第n 个等式（n 为正整数）应该为_______。 答案：()9n 10n 1n 9-=+-()()[]11n 10n 1n 9+-=+-或。 点评：在解决这种探索数据规律的问题时，我们通常是先考查一些特殊的情况，通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，在解题的过程中，我们往往需要对题目中的数据进行适当变化，以使得数据的规律更加明显。 二、探索函数关系 例3 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x 。 （1）图1中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数多边形的序号 ① ② ③ ④ … 多边形的面积S 2 3 4 … 各边上格点的个数和x 4 5 6 8 … 答：S=___________。 （2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2个格点，此时所画的各个多边形的面积S 与它各边上格点的个数和x 之间的关系式是：S=_______。 （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n 个格点时，猜想S 与x 有怎样的关系？
中考数学复习热点专题八 能力型创新问题
热点专题八 能力型创新问题 【考点聚焦】 能力型创新问题已成为近年中考中较难题或压轴题的主要方向，主要有以下四种类型： 【热点透视】 热点1：探索性问题 探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果索因的工作，从而定格于“条件———演绎———结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律． 例1 （2008荆门）将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边长为1． （1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________． （2）如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到111Rt B C D △的位置，四边形11ABC D 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________． （3）在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为________时，四边形11ABC D 为矩形，其理由是_______________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形11ABC D 为菱形，其理由是_________________．（图3、图4用于探究） 解：（1）是，此时AB 平行且等于CD ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）是，在平移过程中，始终保持AB 平行且等于11C D ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
中考数学规律探索性问题解题方法
中考数学规律探索性问题解题方法 第一部分 讲解部分 一．专题诠释 规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。 二．解题策略和解法精讲 规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。 三．考点精讲 考点一：数与式变化规律 通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。 例1. 有一组数：13,25 579 ,, 101726，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写 出第n （n 为正整数）个数为 ． 分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可． 解答：解： 21211 211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+； 272411741 ⨯-=+；
21 9251 265 +⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为 2 21 1 n n -+． 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1． 例2 阅读下列材料： 1×2 ＝ 31 (1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31 (2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 3 1 (3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 3 1 ×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题： (1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； (2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________． 分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n [])1()1()2)(1()321432()210321(3 1 +--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n )2)(1(3 1 ++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n [)2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(4 1 +⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= n n n n n n n n )3)(2)(1(4 1 +++= n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝ 3 1 (1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31 (2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31 (3×4×5－2×3×4)，… 10×11 ＝ 3 1 (10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝3 1 ×10×11×12＝440．