2023年高考数学复习：探索性问题(原卷版)
第27讲 探索性问题
一、解答题
1．已知21,F F 分别为椭圆C ：（0>>b a ）的左、右焦点, 且离心率为2
2，点椭圆C 上
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点N M ,，使直线与的倾斜角互补，且直线l 是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.
2．椭圆上顶点为M ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且焦距为2
，离心率为
2． （1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l 交椭圆于P ，Q 两点，判断是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
3．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为
12，右焦点到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅰ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k R =+∈，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.
4．已知
为椭圆C 的左、右焦点，且点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
5．（本小题共13分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2−12x +32=0的圆心为Q ，过点P(0，2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B ．
（Ⅰ）求圆Q 的面积；
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅰ）是否存在常数k ，使得向量OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说 22221x y a b +=)23,22(-A l M F 2N F 2
明理由．
6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为23，离心率为33
，经过其左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）在x 轴上是否存在一点M ，使得MP MQ ⋅恒为常数？若存在，求出M 点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.
7．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A 12
），且点F ，0）为其右焦点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点，满足22·
5OB OD =，且原点到直线l 在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
8．（本小题12分）已知如图，圆8)2(:22=++y x N 和抛物线x y C 2:2
=，圆的切线l 与抛物线C 交于不同的点A ，B .
（1）当直线l 的斜率为1时，求线段AB 的长；
（2）设点M 和点N 关于直线x y =对称，问是否存在圆的切线a my x l +=:使得MA MB ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
9．已知曲线22111:()1()44
C x y y +-=≥，22:81(1)C x y x =-≥，动直线l 与2C 相交于,A B 两点，曲线2C 在,A B 处的切线相交于点M ．
（1）当MA MB ⊥时，求证：直线l 恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若直线l 与1C 相切于点P ，试问：在y 轴上是否存在两个定点12,T T ，当直线12,MT MT 斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求出满足条件的点12,T T 的坐标，若不存在，请说明理由．
10．已知椭圆焦点在x 轴上，下顶点为D(0，－1)，且离心率e =√63．经过点M(1,0)的直线L 与椭圆交于A ，B 两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
（Ⅰ）求|AM|的取值范围.
（Ⅰ）在x 轴上是否存在定点P ，使∠MPA=∠MPB 。若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．
11．已知直线:l y x =+，圆22
:4O x y +=，椭圆22
22:1x y E a b +=(0)a b >>的离心率e =l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E 的方程；(2)已知动直线1l （斜率存在）与椭圆E 交于,P Q 两个不同点，且△OPQ 的面积为1，若N 为线段PQ 的中点，问：在x 轴上是否存在两个定点,A B 使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值？若存在，求出,A B 的坐标，若不存在，说明理由．
12．已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>经过点12⎫⎪⎭ （1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线y kx 2(k 0)=-≠，使椭圆C 上存在不同两点A B 、关于该直线对称？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
13．已知椭圆22
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x y +=，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点． （1）若3OM ON ⋅=-，求直线l 的方程；
（2）若直线l 的斜率存在，在线段2OF 上是否存在点(,0)P a ，使得PM PN =，若存在，求出a 的范围，若不存在，请说明理由．
14．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）过点)
，离心率2e =，直线l ：1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在定点P ，使得PA PB ⋅为定值.若存在，求出点P 的坐标和PA PB ⋅的值；若不存在，请说明理由.
15．已知圆C 经过点()1,3A ， ()2,2B ，并且直线:320m x y -=平分圆C .
（1）求圆C 的方程；
（2）若直线:2l y kx =+与圆C 交于,M N 两点，是否存在直线l ，使得•6OM ON =（O 为坐标原点），若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.
16．已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>经过点(2
，(0,1)F 是C 的一个焦点，过F 点的动直线l 交椭圆于,A B 两点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在定点M （异于点F ），对任意的动直线l （斜率存在）都有0MA MB k k +=，若存在求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.
17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1)A ． （1）求C 的方程；
（2）点M ，N 在C 上，且,AM AN AD MN ⊥⊥，D 为垂足，问是否存在定点Q ，使得DQ 为定值，若存在，求出Q 点，若不存在，请说明理由．
18．已知点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，椭圆离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点A 、B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年新高考数学大一轮复习专题15 三角形中的范围与最值问题(原卷版)
专题15 三角形中的范围与最值问题 【方法技巧与总结】 1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题，通常有下列五种解题技巧: (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值. 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大. 2.解三角形中的范围与最值问题常见题型： (1)求角的最值； (2)求边和周长的最值及范围； (3)求面积的最值和范围. 【题型归纳目录】 题型一：周长问题 题型二：面积问题 题型三：长度问题 题型四：转化为角范围问题 题型五：倍角问题 题型六：角平分线问题 题型七：中线问题 题型八：四心问题 题型九：坐标法 题型十：隐圆问题 题型十一：两边夹问题 题型十二：与正切有关的最值问题 题型十三：最大角问题 题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 题型十五：托勒密定理及旋转相似 题型十六：三角形中的平方问题 题型十七：等面积法、张角定理
【典例例题】 题型一：周长问题 例1．（2022·云南·昆明市第三中学高一期中）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设 sin cos()6 a C c A π =-． (1)求A ； (2)从三个条件：①ABC b =a =ABC 周长的取值范围． 例2．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(1,1)b =，函数()f x a b =⋅． (1)求函数()f x 在[]0,π上的值域； (2)若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2f A =，1a =，求ABC 的周长的取值范围． 例3．（2022·浙江·高三专题练习）锐角ABC 的内切圆的圆心为O ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c .()222tan b c a A =+-，且ABC 的外接圆半径为1，则BOC 周长的取值范围为___________. 例4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21 ()cos sin 2 f x x x x ωωω=-+ ，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2 π． (1)求ω的值及()f x 的对称中心； (2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围． 题型二：面积问题 例5．（2022·贵州黔东南·高一期中）在面积为S 的△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ . (1)求C 的值； (2)若ABC 为锐角三角形，记2 S m a =，求m 的取值范围. 例6．（2022·浙江·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,cos 2a b c A A =． (1)求角A ；
2023年高考数学复习：探索性问题(原卷版)
第27讲 探索性问题 一、解答题 1．已知21,F F 分别为椭圆C ：（0>>b a ）的左、右焦点, 且离心率为2 2，点椭圆C 上 （1）求椭圆C 的方程； （2）是否存在斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点N M ,，使直线与的倾斜角互补，且直线l 是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 2．椭圆上顶点为M ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且焦距为2 ，离心率为 2． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线l 交椭圆于P ，Q 两点，判断是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 3．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为 12，右焦点到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅰ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k R =+∈，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由. 4．已知 为椭圆C 的左、右焦点，且点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程； （2）过的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 5．（本小题共13分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2−12x +32=0的圆心为Q ，过点P(0，2)且斜率为k 的直线l 与圆Q 相交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求圆Q 的面积； （Ⅰ）求k 的取值范围； （Ⅰ）是否存在常数k ，使得向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说 22221x y a b +=)23,22(-A l M F 2N F 2
2023年新高考数学大一轮复习专题03 等式与不等式的性质 (原卷版)
专题03等式与不等式的性质 【考点预测】 1.比较大小基本方法 （1）基本性质 bc 【方法技巧与总结】 1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性. 比较法又分为作差比较法和作商比较法. 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论. 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小. 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 【题型归纳目录】 题型一：不等式性质的应用 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 题型四：不等式的综合问题 【典例例题】 题型一：不等式性质的应用 例1．（2022·北京海淀·二模）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（ ） A ．11 0x y +> B ．330x y +> C ．lg()0x y +> D ．sin()0x y +> 例2．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ． 11 a b < C ．ac bc > D ．b a c -> 例3．（2022·山西·模拟预测（文））若0αβ<<，则下列结论中正确的是（ ） A ．2 2 αβ< B ．2βα αβ +> C ．1122αβ ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．sin sin αβ< （多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b > D ． 1a b b >+ （多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（ ） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -< （多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a ，b ，c 满足c 0 B ．c （b -a ）<0 C ．22cb ab < D ．ab ac > （多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设a b c <<，且0a b c ++=，则（ ）
2023年新课标II卷数学高考真题及答案解析(图片版)
2023年新课标II卷数学高考真题及答案 解析(图片版) 2023年新课标II卷数学高考真题 2023全国高考试卷分为哪几类 全国甲卷(原全国三卷)使用省份包括广西、云南省、贵州省、四川省、西藏五个省市区。这五个省份的语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。 全国甲卷(全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷合并后)适用省份包括河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西，共12省市区。全国乙卷的语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。 新高考Ⅰ卷使用省份包括广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北、山东，共7省，语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。 新高考Ⅱ卷适用范围包括辽宁、重庆、海南，共3省市，语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。 自主命题使用省份包括北京市、上海市、天津市、浙江省，共4省市。这四个地区的考生分别使用其自主命题的试卷，即：北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷。
高考总复习学生容易出现的问题及解决办法 问题1：旧错屡犯，复习成绩难提高 表现：没有找出高考复习犯错的根本原因，而是一味认为自己没有记住。 解决办法：分析错题、追根求源，反思错题。 问题2：不注意复习的知识系统化 表现：没有系统，各种知识间彼此孤立，各部分内容复习到什么程度，心中无数。 解决办法：梳理高考复习知识、形成线索，串联线索、结成网络。 问题3：根据个人喜好下功夫 表现：对喜欢的学科复习格外用功，对不喜欢的复习科目漠不关心。 解决办法：优势学科稳步提高;弱势学科复习要强行入轨。 问题4：复习不注重抓学科体系重点 表现：希望复习的各个知识点面面俱到学透，最终的结果却是样样抓不牢。 解决办法：合理取舍，深化重点，追踪热点，有的放矢。 问题5：没有找到适合自己的复习方法 表现：很努力，但成绩提不上去。 解决办法：记住书上所讲的概念、定理、公式，明白有关知识的意义。将现在所学习的知识与已经学过的知识联系起来，整理知识组成系统。知识经验与书本知识联系起来，回归到书本上去。 问题6：患得患失，高考考前心态失衡
2023年新高考数学大一轮复习专题23 立体几何中的压轴小题(原卷版)
专题23 立体几何中的压轴小题 【题型归纳目录】 题型一：球与截面面积问题 题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 题型四：立体几何中的交线问题 题型五：空间线段以及线段之和最值问题 题型六：空间角问题 题型七：立体几何装液体问题 【典例例题】 题型一：球与截面面积问题 例1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知球O 的体积为 125π 6 ，高为1的圆锥内接于球O ，经过圆锥顶点的平面α截球O 和圆锥所得的截面面积分别为12,S S ，若125π 8 S =，则2S =（ ） A ．2 B C D ． 例2．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122CC AB ==，E 为1CC 的中点，P 为棱1AA 上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，有如下四个命题： ①平面α⊥平面11A B E ； ①平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形； ①当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为11 π8 ； ①存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π 3 ． 则正确的命题个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例3．（2022·四川资阳·高二期末（理））如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直， 2BD =，1DE =，点P 在线段EF 上．给出下列命题：
①存在点P ，使得直线//DP 平面ACF ； ①存在点P ，使得直线DP ⊥平面ACF ； ①直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是⎤ ⎥⎣⎦ ； ①三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截得的截面面积是9π8 ． 其中所有真命题的序号（ ） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①① 例4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，圆锥的轴截面PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 2PA =，C 为PA 中点．若底面O 所在平面上有一个动点M ，且始终保持0MA MP ⋅=，过点O 作PM 的 垂线，垂足为H ．当点M 运动时， ①点H 在空间形成的轨迹为圆 ①三棱锥O HBC -的体积最大值为112 ①AH HO +的最大值为2 ①BH 与平面PAB 上述结论中正确的序号为（ ）． A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①① 例5．（2022·安徽省舒城中学一模（理））已知正三棱锥A BCD -的高为3，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为 3π ，E 为棱BD 上一点，且12 BE =，过点E 作正三棱锥A BCD -的外接球的截面，则截面面积S 的最小值为（ ）
2023年新高考数学一轮复习8-8 立体几何综合问题(知识点讲解)含详解
专题8.8 立体几何综合问题（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】以几何体为载体，考查空间几何体中的最值问题、折叠问题以及探索性问题，凸显直观想象、数学运算、 逻辑推理的核心素养． 【知识点展示】 （一）空间向量的概念及有关定理 1．空间向量的有关概念 2. (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对(x，y)，使p＝x a＋y b. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}， 使得p＝x a＋y b＋z c，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． （二）空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则①a ±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3)； ②λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)； ③a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则||(AB d AB a ==（三）异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角． ②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,]2π ． ③向量求法：设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为φ，则有cos |cos || ||||| a b a b θϕ⋅==⋅. （四）直线与平面所成角 直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n | . （五） 二面角 (1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．
考点专练52：定点、定值、探索性问题—2023届高考数学一轮复习(附答案)(人教A版(2019))
考点专练52：定点、定值、探索性问题 一、选择题 1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率32，则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的离心率为( ) A .2 B.3 C. 2 D.52 2.已知AB 是过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 是原点，则OA →·OB →＝( ) A .－2 B.－4 C .3 D.－3 3.直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别 为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23 ，则直线l 过定点( ) A .(－3,0) B.(0，－3) C .(3,0) D.(0,3) 4.已知直线l 过抛物线C ：x 2＝6y 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ， 若AF →＝FP →，则|AB|＝( ) A .8 B.9 C .11 D.16 5.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点为P ，任意一条平行于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，总有PA ⊥PB ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.62 D.233 6.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝ 2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22 ＝( ) A .4 B.2 3 C.2 D.3 7.已知直线x －y ＋1＝0与双曲线x 2a ＋y 2 b ＝1(ab ＜0)相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ(O 为坐标原点)，则1a ＋1b ＝( ) A .1 B. 2 C.2 D.5 8.已知F 为椭圆C ：x 225＋y 2 16 ＝1的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方，点A(－3,4)．若直线OA 平分线段PF ，则∠PAF 的大小为( ) A .60° B.90° C .120° D.无法确定
专题31以立体几何中探索性问题为背景的解答题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)
【名师综述】利用空间向量解决探索性问题 1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法． 求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p 的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题． 2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法． 【精选名校模拟】 1.【成都石室中学2014届高三上期“一诊”模拟考试（一）（理）】(本小题满分12分)已知直三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，且D 是BC 的中点． （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值； （Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒ 角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．
2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点36、导数中的证明与探索性问题(原卷word版)
2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点36 导数中的证明与探索性问题 【自主热身，归纳总结】 1、（2017⋅江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >； 2、(2017镇江期末）已知函数f (x )＝ln x x ，g (x )＝λ(x 2－1)(λ为常数)． (1) 若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )在x ＝1处有相同的切线，求实数λ的值； (2) 若λ＝12 ，且x ≥1，证明：f (x )≤g (x )； 3、(2017南京、盐城二模）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R . (1) 若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x . ①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； ②若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m )的值域为R ，求实数m 的取值范围． (2) 若存在实数x 1，x 2∈[0,2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e.
4、(2017扬州期末）已知函数f (x )＝g (x )·h (x )，其中函数g (x )＝e x ，h (x )＝x 2＋ax ＋a . (1) 求函数g (x )在(1，g (1))处的切线方程； (2) 当0＜a ＜2时，求函数f (x )在x ∈[－2a ，a ]上的最大值； (3) 当a ＝0时，对于给定的正整数k ，问函数F (x )＝e·f (x )－2k (ln x ＋1)是否有零点？请说明理由．(参考数据e ≈2.718，e ≈1.649，e e ≈4.482，ln2≈0.693) 【问题探究，变式训练】 题型一、与零点、极值点有关的证明 利用导数证明不等式的常规解题策略：(1) 构造差函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据差函数的导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；(2) 根据条件，寻找目标函数．一般思路为充分利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换等手段将多元函数转化为一元函数． 例1、(2019无锡期末）已知函数f(x)＝e x －a 2 x 2－ax(a>0)． (1) 当a ＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0 成立； (2) 若函数y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值，求证：x 1＋x 22
2022届高考数学二轮复习解答题满分专题04 二面角(含探索性问题)(原卷版)
2022届高考数学二轮复习解答题满分专题 立体几何专题四：二面角 一、必备秘籍 1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点P ，在二面角的两个半平面内分别作 棱的垂线PA 、PB ,则APB ∠称为二面角的平面角。 2、二面角的范围：[0,]π 3、向量法求二面角平面角 （1）如图①，AB ，CD 是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的直线， 则二面角的大小,AB CD θ=<>． （2）如图②③，1n ，2n 分别是二面角l αβ--的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足： 12 1212cos ,|||| n n n n n n ⋅<>=；12cos cos ,n n θ=±<>（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角。） 二、例题讲解 1．（2021·湖北高三月考）如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上（均异于端点）， AB AC =，ABE ACF ∠=∠，1BB ⊥平面AEF ． （1）求证：四边形BEFC 是矩形； （2）若2AE EF ==，33BE = ，求平面ABC 与平面AEF 所成锐二面角的余弦值． 2．（2021·广西高三开学考试（理））在三棱锥S ABC -中，90ASC ABC ∠=∠=︒，ASC CBA ≌△△，6AB SC ==，30SB =，43AC =． （1）求证：平面ASC ⊥平面ABC ；
（2）已知M是线段AC上一点，53 4 AM=，且二面角A SM B --的余弦值大小． 3．（2021·黑龙江大庆实验中学高三模拟预测（理））已知正四棱柱1111 ABCD A B C D -中，2 AB=，14 AA=．（1）求证：1 BD A C ⊥； （2）求二面角11 A A C D --的余弦值； （3）在线段 1 CC上是否存在点P，使得平面11 A CD⊥平面PBD，若存在，求出 1 CP PC 的值； 若不存在，请说明理由． 三、实战练习 1．（2021·河北沧州市·高三月考）如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD为正方形，三角形PAB 为正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD，M是棱AD的中点． （1）求证：PC BM ⊥； （2）求二面角B PM C --的正弦值．
2023届高考数学一轮复习收官卷03(浙江专用)(原卷版)
2023届高考数学（浙江专用） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、设集合{}()} 22280,{ln 3P x x x Q x y x x =∈--<==-Z ∣∣,则P Q =( ) A.{}0,3 B.{}1,2 C.()0,3 D.()1,2 2、复数5 2i z =-的虚部是( ). A.i B.53 C.5i 3 D.1 3、给出三个数12 3a =，3 12b ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，31log 2c =，则它们的大小顺序为( ) A.b c a << B.b a c << C.c a b << D.c b a << 4、设a 为实数，函数32()(2)f x x ax a x =++-的导函数是)'(f x ，且)'(f x 是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为( ) A.2y x =- B.3y x = C.3y x =- D.4y x =- 5、已知抛物线2 4y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐 近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为( ) 23 C.2 5 6．（2022·浙江·高二阶段练习）甲盒中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙盒中有3个红球，2个白球和2个黑球（球除颜色不同外，大小质地均相同）．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以事件12,A A 和3A 表示从甲盒中取出的球是红球、白球和黑球；再从乙盒中随机取出一球，以事件B 表示从乙盒中取出的球是红球．下列结论正确的个数是（ ） ①事件1A 与2A 相互独立；②123,,A A A 是两两互斥事件； ③()()23P B A P B A =；④31 ()72 =P B ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）直三棱柱111ABC A B C -的各个顶点都在同一球面上，若1323 AB AC AA BAC π ∠====，，，则此球的表面积为（ ） A ． 409 π B ． 403π C ． 323 π D ．32π
2023年高考数学一轮复习(学生版)：解答题题型突破四 立体几何
QQ 群483122854 联系QQ805889734加入百度网盘群3500G 一线老师必备资料一键转存，自解答题题型突破四 立体几何 (对应答案分册第40~42页) 立体几何中的翻折问题 把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.折叠问题是立体几何的一个重要问题,折叠与展开的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现.此类问题是历年高考命题的一大热点,多涉及空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题. 考向1 折叠后的线面关系 (2022·福建三明三模)如图①,在平面四边形ABCD 中,BC=√ 3AB ,CD=2AD ,且△ABD 为等边三角形.设E 为AD 的中点,连接BE ,将△ABE 沿BE 折起,使点A 到达平面BCDE 上方的点P ,连接PC ,PD ,设F 是PC 的中点,连接BF ,如图②. (1)证明:BF ∥平面PDE. (2)若二面角P-BE-D 为60°,设平面PBC 与平面PDE 的交线为l ,求l 与平面 PCD 所成角的正弦值.
QQ群483122854 点拨折叠问题要抓住两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等. 【突破训练1】(2018年全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明:平面PEF⊥平面ABFD. (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 联系QQ805889734加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自
备战2023年新高考数学二轮专题复习课件立体几何
第三讲立体几何 ——大题备考【命题规律】 立体几何大题一般为两问：第一问通常是线、面关系的证明；第二问通常跟角有关，一般是求线面角或二面角，有时与距离、几何体的体积有关． 微专题1线面角 保分题 [2022·辽宁沈阳二模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝2AB＝4，点M是P A的中点． (1)求证：BD⊥CM； (2)求直线PC与平面MCD所成角的正弦值． 提分题 例1 [2022·全国乙卷]如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E 为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值． 听课笔记：
【技法领悟】 利用空间向量求线面角的答题模板 巩固训练1 [2022·山东泰安一模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，P A⊥平面ABCD，E为PD中点． (1)若P A＝1，求证：AE⊥平面PCD； (2)当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E-ABC的体积． 微专题2二面角 保分题
[2022·山东临沂二模]如图，AB是圆柱底面圆O的直径，AA1、CC1为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB＝AA1＝2BC＝2CD，E、F分别为A1D、C1C的中点． (1)证明：EF∥平面ABCD； (2)求平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值． 提分题 例2 [2022·湖南岳阳三模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，F是PD 的中点． (1)证明：PB∥平面AFC； (2)若直线P A⊥平面ABCD，AC＝AP＝2，且P A与平面AFC所成的角正弦值为√21 ，求 7 锐二面角F-AC-D的余弦值． 听课笔记：
2023年高考数学二轮复习讲练测专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(原卷版)
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类 【命题规律】 函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点： （1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题； （3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题 其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点． 【核心考点目录】 核心考点一：含参数函数单调性讨论 核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 核心考点三：双变量问题 核心考点四：证明不等式 核心考点五：极最值问题 核心考点六：零点问题 核心考点七：不等式恒成立问题 核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 核心考点九：利用导数解决一类整数问题 核心考点十：导数中的同构问题 核心考点十一：洛必达法则 核心考点十二：导数与三角函数结合问题 【真题回归】 1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+． 3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e ()ln (0)2f x x x x =+>． (1)求()f x 的单调区间； (2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()() 112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明： （ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫ <-< - ⎪⎝⎭； （ⅰ）若1230e,a x x x <<<<，则22 132e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-． （注：e 2.71828=是自然对数的底数） 4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 21ln(1)n n + >++． 5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1 ()(1)ln f x ax a x x =--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值；
2023年高考数学二轮复习讲练测专题08 立体几何解答题常考全归类(原卷版)
专题08 立体几何解答题常考全归类 【命题规律】 空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度． 【核心考点目录】 核心考点一：非常规空间几何体为载体 核心考点二：立体几何探索性问题 核心考点三：立体几何折叠问题 核心考点四：立体几何作图问题 核心考点五：立体几何建系繁琐问题 核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 核心考点七：利用传统方法找几何关系建系 核心考点八：空间中的点不好求 核心考点九：创新定义 【真题回归】 1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C 中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点． (1)求证：//EF 平面ABC ； (2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值； (3)求平面1 ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值． 2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．
(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ； (2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值． 3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点． (1)证明：FN AD ⊥； (2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值． 4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．
2023年新高考数学大一轮复习专题37 求曲线的轨迹方程(原卷版)
专题37求曲线的轨迹方程 【考点预测】 曲线的方程和方程的曲线 在直角坐标系中，如果是某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(),0 f x y=的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性） （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性） 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集C，以一 个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集F，上述定义中 (1) (2) C F C F F C ⇔⊆ ⎧ ⇔=⎨ ⇔⊆ ⎩ 条件 条件 【方法技巧与总结】 一．直接法求动点的轨迹方程 利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下： （1）建系：建立适当的坐标系 （2）设点：设轨迹上的任一点() , P x y （3）列式：列出有限制关系的几何等式 （4）代换：将轨迹所满足的条件用含,x y的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为,x y的方程式化简 （5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明． 注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线． 二．定义法求动点的轨迹方程 回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程． 三．相关点法求动点的轨迹方程 如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,) P x y，用(,) x y表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程． 四．交轨法求动点的轨迹方程 在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通
2023年新高考数学大一轮复习讲义专题44 二项式定理(原卷版)
专题44 二项式定理 【题型归纳目录】 题型一：求二项展开式中的参数 题型二：求二项展开式中的常数项 题型三：求二项展开式中的有理项 题型四：求二项展开式中的特定项系数 题型五：求三项展开式中的指定项 题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 题型七：求二项式系数最值 题型八：求项的系数最值 题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 题型十：求奇数项或偶数项系数和 题型十一：整数和余数问题 题型十二：近似计算问题 题型十三：证明组合恒等式 题型十四：二项式定理与数列求和 题型十五：杨辉三角 【考点预测】 知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题 （1）二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有：011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++++ +∈， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的r n r r n C a b -做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=， 其中的系数r n C （r =0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， （2）二项式()n a b +的展开式的特点： ①项数：共有1n +项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次 数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ； ④项的系数：二项式系数依次是012r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系 数）． （3）两个常用的二项展开式： n n b a )(+
2023年新高考数学大一轮复习专题19 数列的综合应用(原卷版)
专题19 数列的综合应用 【题型归纳目录】 题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用 题型二：数列中的新定义问题 题型三：数列与函数、不等式的综合问题 题型四：数列在实际问题中的应用 题型五：数列不等式的证明 题型六：公共项问题 题型七：插项问题 题型八：蛛网图问题 题型九：整数的存在性问题（不定方程） 题型十：数列与函数的交汇问题 题型十一：数列与导数的交汇问题 题型十二：数列与概率的交汇问题 题型十三：数列与几何的交汇问题 【典型例题】 题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用 例1．（2023·全国·高三专题练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即()()()()()()121,123,F F F n F n F n n n * ===-+-≥∈N ，此数列在现代物理、 准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，则1232022b b b b +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．2696 B ．2697 C ．2698 D ．2700 例2．（2022·新疆喀什·高三期末（文））70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析，有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程中第一天产生的数据量为a ，其后每天产生的数据量都是前一天的()1q q >倍，那么训练n 天产生的总数据量为（ ） A ．1 n aq B ．n aq C ． ( )1 11n a q q --- D ． ( )11n a q q -- 例3．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解